2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試·新課標Ⅰ卷

PAGE12023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試·新課標Ⅰ卷數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}C[因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故選C．]2．已知z＝1?i2+2i，則zA．－iB．iC．0D．1A[因為z＝1?i2+2i＝1?i221+i1?i＝－12i，所以z＝12i，3．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則()A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1D[因為a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因為(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故選D．]4．設函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)單調遞減，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)D[法一(復合函數(shù)法)因為y＝2x在R上單調遞增，所以y＝x(x－a)在區(qū)間(0，1)單調遞減，所以x＝a2≥1，解得a≥2．故選法二(特值法)取a＝3，則y＝x(x－3)＝x?322－94在(0，1)單調遞減，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)單調遞減，所以a＝3符合題意，排除5．設橢圓C1：x2a2＋y2＝1(a＞1)，C2：x24＋y2＝1的離心率分別為e1，e2，若e2＝3A．233 C．3 D．6A[由已知得e1＝a2?1a，e2＝4?12＝32，因為e2＝3e1，所以32＝3×a2?1a6．過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝()A．1 B．15C．104 D．B[如圖，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圓心坐標為(2，0)，半徑r＝5，所以圓心到點(0，－2)的距離為2?02+0+22＝22，由于圓心與點(0，－2)的連線平分角α，所以sinα2＝r22＝522＝104，所以cosα2＝64，所以sinα＝2sinα]7．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設甲：{an}為等差數(shù)列；乙：SnA．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件C[若{an}為等差數(shù)列，設其公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋nn?12d，所以Snn＝a1＋(n－1)·d2，所以Sn+1n+1－Snn＝a1＋(n＋1－1)·d2－[a1＋(n－1)·d2]＝d2為常數(shù)，所以Snn為等差數(shù)列，即甲?乙；若Snn為等差數(shù)列，設其公差為t，則Snn＝S11＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，當n＝1時，S1＝a1也滿足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t8．已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，則cos(2α＋2A．79 B．C．－19 D．－B[依題意，得sinαcosβ?cosαsinβ=13，cosαsinβ=16，所以sinαcosβ＝12，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C．x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差BD[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標準差為0，x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，標準差為223＝663，故A，C均不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的算術平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確．綜上，故選10．噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值，聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2ACD[因為Lp＝20×lgpp0隨著p的增大而增大，且Lp1∈［60，90］，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正確；由Lp＝20×lgpp0，得p＝p010Lp20，因為Lp3＝40，所以p3＝p0104020＝100p0，故C正確；假設p2＞10p3，則p010Lp220＞10p010Lp320，所以1011．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(xy)＝y(tǒng)2f(x)＋x2f(y)，則()A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函數(shù)D．x＝0為f(x)的極小值點ABC[取x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝0，故A正確；取x＝y(tǒng)＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正確；取x＝y(tǒng)＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，則f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故C正確；由于f(0)＝0，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，所以x＝0可能為函數(shù)f(x)的極小值點，也可能為函數(shù)f(x)的極大值點，也可能不是函數(shù)f(x)的極值點，故D不正確．綜上，故選ABC．]12．下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內的有()A．直徑為0.99m的球體B．所有棱長均為1.4m的四面體C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體ABD[由于棱長為1m的正方體的內切球的直徑為1m，所以選項A正確；由于棱長為1m的正方體中可放入棱長為2m的正四面體，且2＞1.4，所以選項B正確；因為正方體的棱長為1m，體對角線長為3m，3＜1.8，所以高為1.8m的圓柱體不可能整體放入正方體容器中，所以選項C不正確；由于正方體的體對角線長為3m，而底面直徑為1.2m的圓柱體，其高0.01m可忽略不計，故只需把圓柱的底面與正方體的體對角線平行放置，即可以整體放入正方體容器中，所以選項D正確．綜上，故選ABD．]三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．64[法一：由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術類選修課各選修1門，有C41C41種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術類選修課中選修2門，有C41C42種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術類選修課中選修1門，有法二：若學生從這8門課中選修2門課，則有C82?C42?C42＝16(種)選課方案；若學生從這8門課中選修3門課，則有C8314．在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則該棱臺的體積為________．766[法一：如圖所示，設點O1，O分別為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則點O1，O分別為B1D1，BD的中點，連接O1O，則O1O即是正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，過點B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1O．因為AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12?BE2＝2?12＝62，所以O1O＝62，所以V正四棱臺法二：如圖，將正四棱臺ABCD-A1B1C1D1補形成正四棱錐P-ABCD，因為AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22．連接BD，取BD的中點為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2?BO2＝6，所以正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為62，所以V正四棱臺ABCD?A1B1C1D1＝13×(22＋12＋22×12)×62＝766．(或者V四棱錐P-ABCD＝13×22×6＝463，V四棱錐P?A15．已知函數(shù)f(x)＝cosωx－1(ω>0)在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是________．[2，3)[法一：函數(shù)f(x)＝cosωx－1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，即cosωx＝1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個根，因為ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，則由余弦函數(shù)的圖象可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范圍是[2，3)．法二：函數(shù)f(x)＝cosωx－1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，即cosωx＝1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個根，根據(jù)函數(shù)y＝cosx在[0，2π]上的圖象可知，cosx＝1在區(qū)間[0，2π]有2個根，所以若cosωx＝1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個根，則函數(shù)y＝cosωx在[0，2π]內至少包含2個周期，但小于3個周期，即2×2πω≤2π3×2πω＞2π16．已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．點A在C上，點B在y軸上，F(xiàn)1A355[法一：由題意可知，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，設A(x1，y1)，B(0，y0)，所以F2A＝(x1－c，y1)，F(xiàn)2B＝(－c，y0)，因為F2A＝－23F1A＝83c，?23y0，F(xiàn)1B＝(c，y0)，因為F1A⊥F1因為點A53c，?23y0在雙曲線C上，所以25c29a2－4y029b2＝1，又y02＝4c2，所以25c29a2法二：由法一得A53c，?23y0，y02＝4c2，所以|AF1|＝53c+c2+?23y02＝64c29+4y029＝64c29+16c29＝45c3，|法三：由F2A＝－23F2B可得A，B，F(xiàn)2三點共線，且F2在線段AB上，不妨令點A在第一象限，則點B在y軸負半軸上，易得|F2A|＝23|F2B|．設|F2B|＝3m(m＞0)，則|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由F1A⊥F1B可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝AB2?BF12＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m．過F1作F1D⊥AB，垂足為D(圖略)，則12|AB|·|F1D|＝12|F1A|·|F1B|，即12×5m×|F1D|＝12×4m×3m，所以|F1D|＝125m，所以|BD|＝BF12?F1D2＝95m，所以|F2D|＝四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB．(1)求sinA；(2)設AB＝5，求AB邊上的高．解：法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因為A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4因為2sin(A－C)＝sinB，所以2sinA?π4＝sin展開并整理得2(sinA－cosA)＝22(cosA＋sinA得sinA＝3cosA，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，所以sinA＝310(2)由正弦定理BCsinA＝得BC＝ABsinC·sinA＝522×由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，得52＝AC2＋(35)2－2AC·35cosπ4整理得AC2－310AC＋20＝0，解得AC＝10或AC＝210．由(1)得，tanA＝3＞3，所以π3＜A＜π又A＋B＝3π4，所以B＞即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝210．設AB邊上的高為h，則12×AB×h＝12×AC×BCsin即5h＝210×35×22解得h＝6，所以AB邊上的高為6．法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因為A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4因為2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，所以tanA＝3tanC＝3tanπ4又sinA＞0，所以sinA＝332+(2)由(1)知sinA＝31010，tanA＝3＞0，所以A所以cosA＝1010所以sinB＝sin3π4?A＝22(cosA＋sinA)＝22由正弦定理ACsinB＝得AC＝AB·sinBsinC故AB邊上的高為AC·sinA＝210×31018．(12分)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．(1)證明：B2C2∥A2D2；(2)點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P．解：(1)證明：以點C為坐標原點，CD，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，所以B2C2所以B2C2＝A2D2，所以B2C2(2)設BP＝n(0≤n≤4)，則P(0，2，n)，所以PA2＝(2，0，1－n)，PC設平面PA2C2的法向量為a＝(x1，y1，z1)，所以PA2令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)．設平面A2C2D2的法向量為b＝(x2，y2，z2)，又A2C2所以A2C令y2＝1，得b＝(1，1，2)．所以|cos150°|＝|cos〈a，b〉|＝n?1+3?n+4n?12+4+整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，所以BP＝1或BP＝3，所以B2P＝1．19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x．(1)討論f(x)的單調性；(2)證明：當a＞0時，f(x)＞2lna＋32解：(1)f′(x)＝aex－1，當a≤0時，f′(x)≤0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減；當a＞0時，令f′(x)＞0，得x＞－lna，令f′(x)＜0，得x＜－lna，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調遞減，在(－lna，＋∞)上單調遞增．綜上可得，當a≤0時，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減；當a＞0時，函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調遞減，在(－lna，＋∞)上單調遞增．(2)證明：由(1)得當a＞0時，函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值為f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，令g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－32＝a2－lna－12，a∈(0，＋所以g′(a)＝2a－1a，令g′(a)＞0，得a＞2令g′(a)＜0，得0＜a＜22所以函數(shù)g(a)在0，22上單調遞減，在所以函數(shù)g(a)的最小值為g22＝222－ln22－所以當a＞0時，f(x)＞2lna＋32成立20．(12分)設等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞1．令bn＝n2+nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{b(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通項公式；(2)若{bn}為等差數(shù)列，且S99－T99＝99，求d．解：(1)因為3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd．因為bn＝n2+nan，所以bn＝所以S3＝3a1+a32＝3d+3d2＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝因為S3＋T3＝21，所以6d＋9d＝21，解得d＝3或d＝1因為d＞1，所以d＝3．所以{an}的通項公式為an＝3n．(2)因為bn＝n2+nan，且{b所以2b2＝b1＋b3，即2×6a2＝2a所以6a1+d－1a1＝6a1+2d，所以a解得a1＝d或a1＝2d．①當a1＝d時，an＝nd，所以bn＝n2+nan＝S99＝99a1+a992＝T99＝99b1+b99因為S99－T99＝99，所以99×50d－99×即50d2－d－51＝0，解得d＝5150或d＝－1(舍去②當a1＝2d時，an＝(n＋1)d，所以bn＝n2+nan＝S99＝99a1+a992＝T99＝99b1+b99因為S99－T99＝99，所以99×51d－99×即51d2－d－50＝0，解得d＝－5051(舍去)或d＝1(舍去綜上，d＝515021．(12分)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，則E(Xi)＝qi．記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y，求E(Y)．解：(1)記“第2次投籃的人是乙”為事件A，“第1次投籃的人是甲”為事件B，則A＝BA＋BA，所以P(A)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)＝P(B)P(A|B)＋P(B)P(A|B)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6．(2)設第i次投籃的人是甲的概率為pi，由題意可知，p1＝12，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝25pi＋所以pi＋1－13＝2又p1－13＝12－13＝16，所以數(shù)列pi?1所以pi－13＝16×所以pi＝13＋16×(3)設第i次投籃時甲投籃的次數(shù)為Xi，則Xi的可能取值為0或1，當Xi＝0時，表示第i次投籃的人是乙，當Xi＝1時，表示第i次投籃的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi．Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，則E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝13＋16×所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝n3＋16×1+25+252+…+2522．(12分)在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0，12的距離，記動點P(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33．解：(1)設點P的坐標為