2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式161-170-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

，則得，所以變式訓(xùn)練已知，都在區(qū)間內(nèi)，且，則函數(shù)的最小值是（）A.B.C.D.【例5】若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是.【答案】【解析】令.所以.拓展提升若實(shí)數(shù)滿足，，求的最小值.【例6】已知，若關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是.【答案】【解析】由即，得，由得.設(shè)，令，則，令，則，得，，結(jié)合圖象(圖略)得.【例7】若正數(shù)滿足，的最大值為.【答案】【解析】，則，，令，，則原式，由得，能取到，故的最大值為.變式訓(xùn)練設(shè)，為正實(shí)數(shù)，，，則.【例8】已知，則的最大值為.【答案】【解析】經(jīng)驗(yàn)證等號(hào)可以取到，故的最大值為.變式訓(xùn)練已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是.【例9】若且，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解法1：令，則，，，，故選解法2：令，，故選【例10】已知函數(shù)，且，對任意恒成立，求的最小值.【解析】解法1：齊次化思想根據(jù)條件有，則，因此令，則解法2：由題意可知即，此時(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)化成齊次式，所以分子分母同除以，得當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)取得.解法3：根據(jù)條件有，則，故.令得，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取得最小值，即時(shí)取得.解法4：令，得，代入，得.解法5：待定系數(shù)法假設(shè)，化簡為，又，故比對系數(shù)得，，解得，.因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所?變式訓(xùn)練若二次函數(shù)恒成立，求的最小值.【例11】關(guān)于的不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】利用三角不等式等號(hào)成立的條件，由，得，即或解得，故選.【例12】設(shè)兩個(gè)向量和，其中為實(shí)數(shù).若，則的取值范圍是【答案】【解析】解法1：由，可得設(shè)，代入方程組可得消去化簡得，再令代入上式得，可得，解不等式得因而，解得.解法2：由，得則令，則，解得，由得，故【例13】已知且求的取值范圍.【解析】解法1:由，得方程有兩個(gè)正根.則有解法2：由，得，則解法3：由得，故.【例14】已知且，求的取值范圍.【解析】由得，則，即【例15】已知函數(shù)若在上單調(diào)遞增,且求最小值.【解析】由得原式令則原式再令原式.變式訓(xùn)練已知二次函數(shù)和一次函數(shù)設(shè)與的圖象交點(diǎn)為，且求線段在軸上的投影的長度的取值范圍.【例16】若且求的最小值.【解析】初看，這是一個(gè)三元式的最值問題，無法利用來解決.換個(gè)思路，可考慮將重新組合，變成而等于定值于是就可以利用均值不等式了.由知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故的最小值為.【例17】已知且求證.【解析】不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到對左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又可由此變形入手.由得同理得.上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【例18】已知且求的最大值.【解析】由題意知，故，則【評(píng)注】對于有條件定值的齊次型函數(shù)，宜先考慮柯西不等式，這樣更簡單、快速，而解題關(guān)鍵在于系數(shù)的拆配.變式訓(xùn)練1.已知?jiǎng)t的最小值為2.已知x，y為正實(shí)數(shù)，且求的最大值.【例19】求函數(shù)的最大值.【解析】.故的最大值為.變式訓(xùn)練求函數(shù)的最大值.【例20】已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程求的最值.【解析】條件中的隱含信息是粗圓的范圍，即，如圖所示，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【評(píng)注】注意的隱含范圍.【例21】若求的取值范圍.【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故【例22】已知不等式對于恒成立，求的取值范圍.【解析】設(shè)則，從而原不等式可化為，即①因?yàn)椋?，不等式①恒成立等價(jià)于恒成立，從而只要又容易知道在上單調(diào)遞減，故，所以【例23】已知求的最小值.【解析】，同理得相加得當(dāng)不同時(shí)成立，但其中恰有一個(gè)式子為0時(shí)取等號(hào).故原式的最小值為2.【例24】已知求的最大值.【解析】解法1:由題意知所以又因?yàn)樗?解法2：柯西不等式法即所以.解法3：利用圖象由對任意的正數(shù)x，y恒成立，則必有所以.【例25】已知求函數(shù)的最大值和最小值.【解析】令比較兩邊的系數(shù)，可得.分別用1，2，3乘以三個(gè)已知條件，得，，，這三個(gè)式子相加得即.故的最大值和最小值分別為47和.【例26】設(shè)若時(shí)，恒成立，則【答案】【解析】本題按照一般思路，則可分為以下兩種情況：(1)無解;(2)無解.因?yàn)槭艿浇?jīng)驗(yàn)的影響，會(huì)認(rèn)為本題可能是錯(cuò)題.其實(shí)我們可以將分成兩個(gè)區(qū)間，兩個(gè)因式在各自的區(qū)間內(nèi)恒正或恒負(fù).（如圖）我們知道：函數(shù)都過定，點(diǎn).考察函數(shù)令得還可分析得考察函數(shù)顯然過點(diǎn)代入得解之得.綜上.【例27】已知a，b，c為互不相等的整數(shù)，則的最小值為【答案】8【解析】，其最小值為8.【例28】已知求的最大值.【解析】設(shè)則，于是從而可得，等號(hào)當(dāng)，即時(shí)取得，因此所求的最大值為18.【例29】對于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)，滿足，且使最大時(shí)，的最小值為.【答案】【解析】由得即，當(dāng)時(shí)取到最大值.此時(shí)有令則原式拓展提升1.設(shè)則的最大值是.2.若正實(shí)數(shù)滿足則的最大值為.3.求函數(shù)的最大值和最小值.【例30】若對所有實(shí)數(shù)及，均有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】注意到恒成立則，即或，解得或.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則.同時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.解法2：令得是直線上的動(dòng)點(diǎn);令得是直線上的動(dòng)點(diǎn)；即轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，以下由讀者自己完成.【例31】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足則使得恒成立的實(shí)數(shù)的最大值為【答案】【解析】由得令則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因此，實(shí)數(shù)的最大值為.【例32】已知，若函數(shù)的最大值為11，則的值是【答案】【解析】若則因?yàn)?/p>