2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分解析幾何11-20-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

方程①左邊的特征，由對(duì)偶性原理可想到：但其值未知，故只要分子有理化即可得對(duì)偶式:，②所以由①②即得，③兩邊平方后得到④令則有標(biāo)準(zhǔn)方程這種求法難道不會(huì)讓學(xué)生感到對(duì)偶思想的精美與神奇嗎?同時(shí)，由④式我們還得到了一個(gè)副產(chǎn)品，即：這個(gè)式子用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看是:一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與到一定直線的距離之比為一常數(shù).（這正是橢圓的第二定義）八、整理化簡(jiǎn)，抓住主元在解析幾何運(yùn)算中常常要涉及直線方程和曲線方程的聯(lián)立消元問題，而這步運(yùn)算的錯(cuò)誤率很高，由消元整理產(chǎn)生的錯(cuò)誤，會(huì)導(dǎo)致后續(xù)工作全面亂套，破壞了數(shù)學(xué)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的完美與和諧，使運(yùn)算鉆進(jìn)煩瑣的死胡同.因此，有必要研究這步運(yùn)算的合理性和科學(xué)性，既要速度快又要正確率高，那就是抓住“主元”，一步到位算系數(shù)，從高次到低次逐步計(jì)算相應(yīng)系數(shù)和即可.例如化簡(jiǎn)方程只要先抓住“主元"的系數(shù),再看的系數(shù),最后看常數(shù)項(xiàng),就得.這樣化簡(jiǎn)不僅快，而且不易出錯(cuò).（因?yàn)樵谟?jì)算t的不同次數(shù)的系數(shù)時(shí)，互不干擾、互不影響，且注意力相對(duì)集中在同次系數(shù)的和上）這里先不去分母保持整體性，最后再化簡(jiǎn)也是一種有效策略.九、定值定點(diǎn)，特值先知對(duì)于待定的參數(shù)預(yù)先可通過特定的位置先求出目標(biāo)，為后續(xù)的正確運(yùn)算提供保障.【例10】已知是拋物線上一定點(diǎn)，直線與軸正半軸的夾角互補(bǔ)并分別交拋物線于兩點(diǎn)，求證:直線的傾斜角為定值.【解析】如圖1,對(duì)取極端位置，使兩者重合，此時(shí)，點(diǎn)重合，直線為切線，而切點(diǎn)即為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn).由于的切線為,所以即直線的傾斜角為定值.【評(píng)注】先做到心中有目標(biāo).【例11】是拋物線上的一個(gè)定點(diǎn)，是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果，問:動(dòng)直線是否過定點(diǎn)？定點(diǎn)坐標(biāo)是什么？【解析】如圖2,一方面,直接讓垂直對(duì)稱軸,交拋物線于點(diǎn),此時(shí)平行于軸（點(diǎn)趨向無窮遠(yuǎn)),故也平行行于軸,所以定點(diǎn)必在其上,即縱坐標(biāo)為.另一方面,過點(diǎn)的拋物線的法線(當(dāng)點(diǎn)趨向點(diǎn)時(shí),即為點(diǎn)的切線,此時(shí)即為法線)必過定點(diǎn),即得定點(diǎn)的坐標(biāo)為.即動(dòng)直線過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.【變式訓(xùn)練】已知橢圓及其上一點(diǎn)為橢圓上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn),且,求證:直線過定點(diǎn).十、距離面積，化斜為直解題時(shí)我們常常遇到求線段長(zhǎng)度或三角形面積問題，若用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，則會(huì)比較煩瑣，此時(shí)就要“化斜為直”，即是把斜的線段轉(zhuǎn)化為垂直或水平的線段，這樣求解就簡(jiǎn)單多了.【例12】如圖1,已知圓,過原點(diǎn)作此圓的切線,切點(diǎn)為又過原點(diǎn)任作一直線，交圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).設(shè)求證.【解析】1設(shè)直線將直線方程代入圓方程,得整理得由于.則等價(jià)于此處即為“化斜為直").左邊.過切點(diǎn)的直線的方程為,求方程組的解,得故,從而即證.【例13】直線過橢圓左焦點(diǎn)交橢圓于，兩點(diǎn),為右焦點(diǎn),求面積的最大值.【解析】由于直線過點(diǎn),一方面要利用“”坐標(biāo),另一方面求面積可“化斜為直”,故應(yīng)設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立解方程組,得.整理得得，當(dāng)時(shí),達(dá)到最大值.【評(píng)注】上述運(yùn)算注意了兩個(gè)地方的優(yōu)化：一是設(shè)直線優(yōu)化；二是化斜為直求面積，使得運(yùn)算過程大大簡(jiǎn)化，快速完成.你不妨用一般法設(shè)直線時(shí),先用點(diǎn)到直線距離公式求高，再求弦長(zhǎng),最后求面積，對(duì)兩種方法進(jìn)行比較，即可知對(duì)方法進(jìn)行優(yōu)化的重要性.十一、涉及中點(diǎn)，點(diǎn)差為宜若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為，，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量.我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”.當(dāng)所給條件涉及線段中點(diǎn)問題時(shí)，一般優(yōu)先考慮“點(diǎn)差法”.【例14】在拋物線中，若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)是弦的中點(diǎn),弦所在直線的斜率為求證【解析】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則有①②，得所以.又因?yàn)?所以.【評(píng)注】使用這個(gè)公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn);（2)直線的斜率存在且不等于零.同理可證,在拋物線中,若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)是弦的中點(diǎn),弦所在直線的斜率為,則.【例15】已知橢圓是橢圓上的兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)求證.【解析】設(shè)中點(diǎn)由于的垂直平分線與軸相交,故不平行于軸,即.又交點(diǎn)為故有①-②并整理得:.把上述各式代入,得.又，所以.【評(píng)注】上述解法只是把條件一一列出，并作差代入,運(yùn)算簡(jiǎn)捷.【例16】已知拋物線上恒有關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】如圖1,設(shè)執(zhí)物線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,且弦的中點(diǎn)為.根據(jù)題意，點(diǎn)在直線上,所以.設(shè)與聯(lián)立得所以.又由得.點(diǎn)在拋物線的開口內(nèi).所以.解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例17】已知橢圓試確定的取值范圍,使得對(duì)于直線橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱.【解析】設(shè)為橢圓上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn).則.兩式相減得,即因?yàn)?所以,這就是弦中點(diǎn)的軌跡方程.它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi).聯(lián)立得則必須滿足即,解得.十二、代換消元，低次從優(yōu)解與圓錐曲線相關(guān)的問題，經(jīng)常會(huì)遇到將直線與曲線方程聯(lián)立解方程組的情況，有時(shí)不注意優(yōu)化，會(huì)使運(yùn)算變得相當(dāng)煩瑣，尤其當(dāng)曲線為拋物線時(shí)，二次方程出現(xiàn)一次項(xiàng)，故要充分抓住這個(gè)“低次”不放.若曲線方程為則設(shè)直線方程為；若曲線方程為,則設(shè)直線方程為.【例18】如圖1,已知拋物線過點(diǎn)過定點(diǎn)(2,0)的直線與曲線交于兩點(diǎn),以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn),為原點(diǎn).求證為定值.【解析】由題意得故所以.設(shè)，，以為直徑端點(diǎn)的圓為:由此可得設(shè)則是方程即的兩個(gè)實(shí)根，故有則，所以.【評(píng)注】本題方程是故設(shè),使后續(xù)一系列運(yùn)算變得簡(jiǎn)捷順暢.【例19】如圖，已知點(diǎn)，，是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且求證:直線過定點(diǎn).【解析】設(shè)把代入拋物線方程得由于,可得,從,整理得,即，,從而.所以直線過定點(diǎn)【評(píng)注】本題曲線方程中的指數(shù)為，故抓住這一特征,設(shè)可使運(yùn)算更簡(jiǎn)捷.【例20】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，一條垂直于軸的直線,分別與線段和直線交于，兩點(diǎn).（1）若，求的值;（2）若為線段的中點(diǎn)，求證:直線為此拋物線的切線;(3)試問(2)的逆命題是否成立?說明理由.【解析】（1)設(shè)過點(diǎn)的直線方程為所以即設(shè)，因?yàn)樗约?整理得:.所以即所以舍去.（2)設(shè)過點(diǎn)的拋物線的切線為,所以即它與直線的交點(diǎn)為.又所以由于故有從而點(diǎn)即點(diǎn)和點(diǎn)重合,也就是為此拋物線的切線.（3)第(2)問的逆命題成立.由(2)可知因?yàn)檩S,所以.因?yàn)樗詾榈闹悬c(diǎn).【評(píng)注】本題曲線方程為故設(shè)直線方程為下面運(yùn)算就方便了.十三、兩點(diǎn)直徑，方程妙用定義以點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓方程,簡(jiǎn)稱直徑圓方程,其表達(dá)形式為:【解析】如圖1，設(shè)為圓上一點(diǎn)，則，故.去分母,得直徑圓方程【評(píng)注】直徑圓方程的作用非常神奇，利用它可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，而且高考考查頻率很高，應(yīng)予以足夠重視.下面舉例說明.【例21】如圖2，已知拋物線過點(diǎn)，直線：與曲線交于兩點(diǎn)問:是否存在這樣的實(shí)數(shù)使得是以為斜邊的直角三角形?【解析】由題意得故所以.設(shè)聯(lián)立方程消去得,整理得因?yàn)?即所以,即,故故故故從而故存在滿足題意.【例22】過直角頂點(diǎn)的兩直角邊交拋物線于兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)由已知及直徑圓方程得：(5)式變形得,將(3)(4)化式代入得,整理得，即(6)(1)式變形得(7)(2)式平方得.(8)(8)(7)得((9)和(2)式均代入(6)式得,