2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分解析幾何141-150-專項訓練【含答案】

【例44】若橢圓的離心率為直線與橢圓交于，點在橢圓上求橢圓的方程.【解析】因為所以下面在一般情形下解:如圖3,設直線方程為代入橢圓方程得.即代入橢圓圓方程得，即得再把直線方程代入上式,得.化簡得故故即.【變式訓練】已知橢圓及其上兩點A.B.（1）若且，求證：點在橢圓上；(2)若求的取值范圍.【拓展提升】在平面直角坐標系中，設，是橢圓上的三點，若求證：線段的中點在橢圓上?！窘馕觥吭O，則由得因為是橢圓上一點,所以,即得故又線段的中點的坐標為,所以從而線段的中點在橢圓上.【例45】已知橢圓：的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓O相切。（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左焦點為.右焦點為.直線過點，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于，垂足為點P，線段的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡的方程；（3）設與x軸交于點Q，不同的兩點R.S在上，且滿足.求的取值范圍.【解析】(1)由得由直線與圓相切.得所以.（2）由已知條件，得，即動點M到定點的距離等于它到直線：的距離.由拋物線的第二定義得點M的軌跡的方程是(3)由(2),知.設所由得因為化簡得.所以(當且僅當，即時等號成立).因為所以當,即時，故的取值范圍.【例46】在平面直角坐標系中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.設應，求實數(shù)t的值.【解析】（1）設橢圓C的方程為。由題意知，解得因此橢圓C的方程為(2)設,由得.整理得解得因為,所以.故即即得,得所以【例47】已知直線與橢圓W:-相交于A，C兩點，O是坐標原點.(1)當點的坐標為(0,1),且四邊形為菱形時,求的長;(2)當點B在W上但不是W的頂點時,求證:四邊形OABC不可能為菱形.【解析】(1)因為四邊形為菱形.所以與相互垂直平分.可設，代入橢圓方程得，即。所以。(2)假設四邊形為菱形.因為點不是的頂點,且所以由消去并整理得:.設則所以的中點為.因為為和的交點,且,所以直線的斜率為.因為所與不垂直所以四邊形不是菱形與假設矛盾。所以當點B不是的頂點時,四邊形不可能是菱形.【例48】兒知動點到直線的距離是它到點的距離的2倍.(1)求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與軌跡交于兩點.若是的中點,求直線的斜率.【解析】(1)由于點到直線的距離是到點的距離的2倍,則整理得所以,動點的軌跡為橢圓,方程為.(2)已知,設,由題知.橢圓的上、下頂點坐標分別是和,經(jīng)檢驗直線不經(jīng)過這兩點,即直線的斜率存在.設直線方程為.聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得:，故由得即得.所以，直線的斜率.【例49】設橢圓的左焦點為離心率為過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為的直線與橢圓交于兩點，若求的值.【解析】(1)設早知過點且與軸垂直的直線為代入橢圓方程有,解得.于是解得又從而所以橢圓的方程為(2)設,點,切由,得直線的方程為.由方程組消去,整理得.求解可得.因為所以由已知得,解得.【例50】如圖4，已知橢圓與的中心在坐標原點O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為過原點且不與軸重合的直線與的四個交點按縱坐標從大到小依次為記和的面積分別為和。（1)當直線與軸重合時,若求的值；（2)當變化吋,是否存在與坐標軸不重合的直線，使得請說明理由。解析依題意可設橢圓和方程分別為。其中（1）解法1如圖5,若直線與軸重合,即直線的方程為,則所以.在和的方程中，分別令可得.于是若則化簡得由可解得故當直線與軸重合時，若，則。解法2如圖5,若直線與軸重合，則所以若則化簡得由可解得故當直線與軸重合時，若，則。(2)解法1如圖6,假設存在與坐標軸不重合的直線,使得.根據(jù)對稱性,不妨設直線點到直線的距離分別為.因為所以.又所以即.由對稱性可知所以.所以,于是（1）將的方程分別與的方程聯(lián)立,可求得.根據(jù)對稱性可知，于是（2）從而由信和@式可得(3)令則由可得于是由(3)可解得.因為，所以。于是（3）式關于有解，當且僅當?shù)葍r于由可解得即由解得,所以當時,不存在與坐標軸不重合的直線,使得;當時，存在與坐標軸不重合的直線，使得.解法2如圖6,若存在與坐標軸不重含的直線，使得因為所以.又所以因為所以由點分別在上,可得，兩式相減可得依題意所以所以由上式解得因為所以由可解得.從而解得，所以當時，不存在與坐標軸不重合的直線，使得;當時，存在與坐標軸不埋合的直線，使得.例51已知分別是橢圓的左、右焦點，點關于直線的對稱點是圓的一條直徑的兩個端點.(1)求圓的方程;(2)設過點的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為a，b.當a，b最大時,求直線的方程.解析(1)先求圓關于直線對稱的圓D.由題知圓的直徑為所以圓的圓心坐標為半徑.圓心與圓心關于直線對稱,可得,故圓方程為.（2）由（1）知，可設直線的方程為：。這時直線可被圓和橢圓截得兩條弦，符合題意.圓到直線的距離.在圓中，由勾股定理得.設直線與橢圓相交于,點.聯(lián)立直線和橢圓方程,整理得:.從而由橢圓的焦半徑公式得:，所以令得在[0,3]上單調遞增，在上單調遞減.令，當時，取最大值。這時直線方程為。所以，當取最大值，直線方程為。例52已知橢圓的焦距為4，且過點。（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓上一點。過點作軸的垂線，垂足為。取點，連接AE,過點作AE的垂線交軸于點D.點是點關于軸的對稱點，作直線QG.問:這樣作出的直線QG是否與橢圓一定有唯一的公共點？請說明理由。解析（1）因為橢圓過點，所以，且所以。故橢圓的方程是.（2)由題意，各點的坐標如圖7所示,,則直線QG的方程化簡得又，所以代入。最后求得所以直線QG與橢圓只有一個公共點.例53已知橢圓的離心率。（1）求橢圓的方程；（2）如圖8，是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點直線DP交軸于點,直線AD交BP于點M.設BP的斜率為k,MN的斜率為.求證為定值.解析（1）因為，故，所以。再由，得。所以橢圓的方程為.（2）因為，不為橢圓頂點，則方程為。（1）將（1）代入解得。又直線AD的方程為(2)(1)與（2）聯(lián)立解得.由三點共線可求得.所以MN的斜率則定值).例54如圖9，在平面直線坐標系中，橢圓的方程為分別為橄圓的左、右頂點分別為橢圓的左、右焦點,P為橢圓上不同于和的任意一點,若平面中兩個點Q,R滿足,試確定線段QR的長度余的大小關系,并給出證明.解析令則設其中。由可知將（1）-（2）,得,即.將其代入（1），得故于是根據(jù)同理可得因此.由于,故其中等號成立的充分必要條件是即點的坐標為.例55如圖10,已知橢圓的離心率為的面積為1。（1）求橢圓的方程；（2）設P是橢圓上一點,直線PA與軸交于點,直線PB與軸交于點,求證為定值.解析(1)由題意得解得，所以橢圓的方程為(2)由(1)知設則.當時，直線PA的方程為.令得從而.直線PB的方程為.令得從而.所以當時所以.綜上,為定值4.