2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分?jǐn)?shù)列141-150-專項訓(xùn)練【含答案】

當(dāng)時成立假設(shè)當(dāng)時,成立。那么當(dāng)時,綜上所述,對任意所以.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時成立;假設(shè)當(dāng)時成立，那么當(dāng)時,綜上所述,對任意.(3)由得,故[例4]已知在數(shù)列中是的前項和,求證:(1)(2);(3).(解析)(1)先用數(shù)學(xué)歸納法證明時(ii)假設(shè)時成立時即成立.綜上知成立.又,所以成立.(2),當(dāng)時而所以由得,即所以所以綜上得.(3)由(1)知,得,由(2)得,所以所以成立.(例5)已知數(shù)列的各項均非負(fù),前項和為且對任意的都有.(1)若,求的最大值(2)若對任意都有求證解析(1)由題意知設(shè),則且,因為,所以,故(2)假設(shè)存在使得則由得因此,從項開始,數(shù)列嚴(yán)格遞增,故對于固定的k,當(dāng)足夠大時,必有與題設(shè)矛盾,所以數(shù)列不可能遞增,即只能令,由得,故所以綜上,對一切都有例6.已知在數(shù)列中為數(shù)列的前項和,求證:(1)(2)(3).解析解法1：（1）所以(2)記則原命題等價于證明用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時,顯然成立;假設(shè)當(dāng)時成立,則當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)則在上單調(diào)遞增，綜上知成立,即原命題成立.(3)由得,即累加可得,所以解法2:(1)由知(2)由得,累加得，即,得,從而有，于是即成立.(3)則,累加得于是.[例7]已知數(shù)列滿足.求證:當(dāng)時，(1);(2)(3)[解析]解法1:(1)先用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時;假設(shè)當(dāng)時那么當(dāng)時,若則,予盾故因此所以因此.(2)由得設(shè)函數(shù),在上單調(diào)遞增,所以因此所以(3)因為即,進而得由(2)知，故所以.解法2:(1)顯然所以.(2)已知(常用泰勒展開公式)，即(3)由(2)有則可得,即所以又即,所以.（評注）本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性、不等式及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題.[例8]已知數(shù)列滿足.若求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)若求證.[解析](1)當(dāng)時,則即,所以,所以數(shù)列是以0為首項、以2為公差的等差數(shù)列.當(dāng)時,令,則令解得，下面證明當(dāng)時;當(dāng)時,假設(shè)成立，由在上是單調(diào)減函數(shù),得,即即當(dāng)時成立,綜上知成立.所以,即成立.[例9]已知在數(shù)列中其中.(1)當(dāng)時,求的值;(2)是否存在實數(shù)$m,$使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列?證明你的結(jié)論;(3)當(dāng)時,求證:存在使得解析：(1)(2)因為成等差數(shù)列,所以即,所以即因為所以將代入上式,解得.經(jīng)檢驗,此時的公差不為0.所以存在,使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.因為,叉所以令，，….，將上述不等式相加,得即取正整數(shù)就有故原命題成立.[例10)已知對于任意的數(shù)列都滿足(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證時解析(1)由題設(shè)有eq\o\ac(○,1)當(dāng)時eq\o\ac(○,2),eq\o\ac(○,1)-eq\o\ac(○,2)得所以.又由得,綜上得(2)當(dāng)時,所以當(dāng)時,【例11】已知數(shù)列的首項的前項和為求證:(1)數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)對任意的;(3).解析(1)由得且所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列(2)令,則（3）由(2)知對任意的恒成立，取代入上式得[例]已知正項數(shù)列的前項和為且.（1求數(shù)列的通項公式;(2)求證:.(解析)(1)因為為正項數(shù)列eq\o\ac(○,1),當(dāng)時,得;當(dāng)時eq\o\ac(○,2),eq\o\ac(○,1)-eq\o\ac(○,2)得得又,所以是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,所以(2)解法1:因為,所以當(dāng)時，當(dāng)時也符合,所以原不等式成立.解法2:因為所以,所以以下同解法1.第六章數(shù)學(xué)歸納，綜合應(yīng)用一、特殊到一般的通項探求【例1】已知數(shù)列其中是大于零的常數(shù),記的前項和為計算的值，由此推出計算的公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.當(dāng)時顯然成立;假設(shè)當(dāng)時成立,即,則即時也成立,綜上知.【例2】已知在數(shù)列中,，是它的前項和，當(dāng)時，(1)求的值,并推測的通項公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.(解析)(1)因為所以解得.這時所以解得.這時所以解得.由猜想時,數(shù)列的通項公式是(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時結(jié)論成,立;(ii)假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立,即,這時當(dāng)時,由得,得即時結(jié)論成立.由ii)可知對時結(jié)論都成立.【例3】已知數(shù)列的各項均為正數(shù),且前項和試猜想的通項公式并證明.[解析]當(dāng)時,解得解得同理得猜想以下用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.(i)當(dāng)時等式成立;假設(shè)當(dāng)時成立,當(dāng)時,即去分母并整理得解得.故(負(fù)值舍去則時等式成立.由知對任意成立.變式訓(xùn)練1.已知數(shù)列中,當(dāng)時,成等比數(shù)列.(1)求并求通項公式（2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論;（3求數(shù)列所有項的和.2.已知數(shù)列滿足.(1)求（2)猜想通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.3.已知正數(shù)數(shù)列滿足.(1)求(2)猜測通項公式并證明你的結(jié)論.【例4】設(shè)數(shù)列滿足.(1)當(dāng)時,求并由此猜想的一個通項公式;(2)當(dāng)時,證明對所有的,有:(i)(ii)解析(1)由得;由得;;由得;由此猜想的一個通項公式:.(2)()用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)