2025高考數(shù)學二輪復習-排列組合+概率統(tǒng)計1-10-專項訓練【含答案】

第一章排列與組合排列組合可以說是研究計數(shù)問題的策略學，所以解答排列組合問題要講究策略.首先，要認真審題，弄清楚是排列（有序）、組合（無序），還是排列與組合混合問題;其次，要抓住問題的本質特征，準確合理地利用兩個基本原理進行“分類”與“分步”.加法原理的特征是分類解決問題.分類必須滿足兩個條件：（1） 類與類須互斥（確保不重）；（2） 總類必須完備（確保不漏）.乘法原理的特征是分步解決問題.分步必須滿足兩個條件：（1） 步與步互相獨立（確保不重）；（2） 步與步確保連續(xù)（確保不漏）.分類與分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略,在實際操作中往往是“步，，“類，，交叉，有機結合,可以用下面的電路圖說明.（電路打通表示完成一件事，此時電燈亮）.類中有步：先類后步;運算特征：和中有積.本章將對一些典型的排列組合問題進行策略分析，找到解決相應問題的有效方法,并用實例進行說明.類中有步：先類后步;運算特征：和中有積.本章將對一些典型的排列組合問題進行策略分析，找到解決相應問題的有效方法,并用實例進行說明.―、特殊優(yōu)先，一般在后對于所討論問題中的特殊元素和特殊位置，要優(yōu)先安排.在操作時，針對實際問題，有時“元素優(yōu)先”，有時“位置優(yōu)先”.一、蔬菜種植問題【例1】在圖一所示的10塊地中，選出6塊種植這六個不同品種的蔬菜，每塊地種植一種.若必須橫向相鄰種在一起與在橫向、縱向都不能相鄰種在一起,則不同的種植方案有().A.3120種B.3360種C.5160種D.5520種【答案】C【解析】①當同行，與也同行時，有種種植方案；與不同行時,有種種植方案;②當與不同行時,有種種植方案.故不同的種植方案有(種(二)考生選題問題【例2】新課程自選模塊考試試卷中共有18道試題,要求考生從中選取6道題進行解答,其中考生甲對第1,2,9,15,16,17,18題一定不選,考生乙對第3,9,15,16,17,18題一定不選,且考生甲與乙選取的試題沒有一題是相同的,則滿足條件的選法共有種.（用數(shù)字作答）【答案】1974【解析】去掉9,15,16,17,18這5道兩人都不選的題目，只翻下13道題目可選.對甲選擇第3題的情況分類可知：(1)若甲選擇第3題,則有種情況;(2)若甲不選第3題,則有種情況.故滿足條件的選法共有種(三)數(shù)字排列問題【例3】用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù),其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有個.(用數(shù)字作答)【答案】32【解析】按千位上數(shù)字的奇偶性分情況計算.第一類:第一步,當千位數(shù)字為奇數(shù)1,3或5時,有種.第二步,再分兩種情況來確定后三位數(shù)字.后三位數(shù)字都是偶數(shù),即從0,2,4,6中選擇3個進行全排列，共種;后三位數(shù)字為一偶兩奇,“一偶”(包括0)有種，“兩奇”只能翻下的2個奇數(shù)，然后進行排列，有種.所以此種情況下共有第二類:第一步,當千位數(shù)字為偶數(shù)2,4或6時,同樣有種.第二步,同樣分兩種情況來確定后三位數(shù)字.(1)后三位數(shù)字全為偶數(shù)(包括0),已經選了一個偶數(shù),所以只剩下3個,直接排列，有種(2)后三位數(shù)字一偶兩奇,“一偶”(包括0)有種，“兩奇”有種,再排列,有種.所以此種情況下共有故滿足題意的四位數(shù)有個).【例4】從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)【答案】1260【解析】第一類:若取的4個數(shù)字不包括0,則可以組成的四位數(shù)有個第二類:若取的4個數(shù)字包括0,則可以組成的四位數(shù)有個.綜上,一共可以組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有（個）【變式訓練1】用0,2,3,4,5這五個數(shù)字,組成沒有垂復數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)共有幾個?由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位奇數(shù)?(四)人員選派問題【例5】2019年3月22日,某校舉辦了“世界水日”主題演講比賽,該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內的6名學生中選派4人參加演講比賽,其中學生丙必須參加,僅當甲、乙兩名學生同時參加時，甲、乙至少有一人與學生丙演講順序相鄰,那么選派的4名學生不同演講順序有（）.A.228種B.238種C.218種D.248種【答案】A【解析】分甲、乙均未參加，甲、乙中有1人參加和甲、乙都參加三種情況討論.(1)甲、乙均未參加,不同的演講順序有種(2)甲、乙中有1人參加，不同的演講順序有種(3)甲、乙都參加，不同的演講順序有種由分類計數(shù)原理可知,不同的演講順序共有種).故答案選A.【評注】1.本題是排列組合的綜合應用問題,意在考查學生對這此知識的掌握水乎和分析推理能力.2.解排列組合問題的方法:一般問題直接法、復雜問題分類法、相臨問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、小數(shù)問題列舉法.【例6】從2名女生,4名男生中選3人參加科技比賽，且至少有1名女生人選,則不同的選法共有種.（結果用數(shù)字表示）【答案】16【解析】解法1可分兩種情況(1)只有1名女生入選,不同的選法有(種);(2)有2名女生入選,不同的選法有(種).根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1名女生入選的不同的選法有16種.解法2從6人中任選3人,不同的選法有(種).$從6人中任選3人都是男生,不同的選法有(種).所以至少有1名女生入選的不同的選法有(種).(五)元素定位問題(例7)已知n是由a,b,c組成的一個三位數(shù),表示為,其中a,b,c均表示從1到9中的任意數(shù),若以a,b,c為三條邊長可以構成一個等腰(含等邊)三角形,則這樣的三位數(shù)n共有（）.A.185個B.170個C.165個D.156個【答案】C[【解析】(1)等邊三角形有9個等腰但不等邊的三角形的情況如表1所示:有52個,再排列a,b,c有個.故共有這樣的三位數(shù)(個).【例8】回文數(shù)是指從左向右讀與從右向左讀都一樣的正整數(shù),如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數(shù)有9個：3位回文數(shù)有90個：則(1)4位回文數(shù)有個;(2)位回文數(shù)有【答案】【解析】（1）4位回文數(shù)只需排列前面2位數(shù)字（后面2位數(shù)字就可以確定）。由于第1位不能為0,故有9種情況;第2位有10種情況.所以4位回文數(shù)有.(2)解法1由題中多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn):位回文數(shù)與位回文數(shù)的個數(shù)相同,所以可以算出位回文數(shù)的個數(shù).位回文數(shù)只需看前位的排列情況:第1位不能為0,故有9種情況;后面項中的每項有10種情況,所以總個數(shù)為個.解法2可以看出2位數(shù)中有9個同文數(shù),3位數(shù)中有90個回文數(shù).4位數(shù)的回文數(shù)可以看做是在2位回文數(shù)的中間添加成對的2位回文數(shù)；00,11,22，，99，因此四位數(shù)中的回文數(shù)有90個.按此規(guī)律推導位數(shù)是偶數(shù)的回文數(shù)有（個）；當位數(shù)是奇數(shù)時，可以看成在偶數(shù)位回文數(shù)的中問添加這十個數(shù)，因此，故所求答案為個.【變式訓練2】在一個五位數(shù)中,若十位數(shù)字,千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大,則稱此五位數(shù)為“五位波浪數(shù)”，如$45132,$則由數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7可構成無丟復數(shù)字的“五位波浪數(shù)”的個數(shù)為個.(六)參賽方案問題【例9】從6人中選出4人分別參加2018年北京大學的數(shù)學、物理、化學、生物暑期夏令營,每人只能參加其中一項,其中甲、乙兩人都不能參加化學比賽,則不同的參賽方案共有().A.94種B.180種C.240種D.286種【答案】C【解析】由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，可根據(jù)分步計數(shù)原理得到結果。從不同學科參賽情況為切入點,先看化學比案,甲，乙兩人都不能參加,參加者只能在其余4個人中選擇,有4種選法.然后看其余三個科目，可以在剩余的5個人中任意選3人參加，有種.共有種故選C.【評注】分步時要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務，步與步之間要相互獨立，分布后在計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步計數(shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)相乘,得到總方法數(shù).(七)彩球排列問題【例10】將標號為1,2,3,4,5,6,7的7個彩球進行排列,若1號球不能排在左端,2號球不能排在右端,則不同的排法有多少種?【解析】解法1(1)若2導球排在左端,則排法有種;（2）若2號球不排在左端，則左端的拍法有種，右端的排法有種，中間五個位置的排法有種，此時的排法共有種.由分類計數(shù)原理可知，不同的拍法共有（種）。解法2將7個彩球全排列,共有種，而1號球在左端及2號球在右端的排法均為則中把1號球在左端且2號球在右端的排法減了兩次,所以還需加上則有故不同的排法共有3720種.(八)卡片抽取問題【例11】現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色,并且紅色卡片至多有1張,不同取法有（).A.232種B.252種C．472種D.484種【答案】C【解析】解法1分類處理(1)若沒有紅色卡片,則需從黃、藍、綠三色卡片中選3張.若都不同色，則有種若2張同色,則有種(2)若有1張紅色卡片.其余2張不同色，則有(種);其余2張同色,則有(種).所以不同取法的種數(shù)是(種故選解法種故選.解法種故選（九）女士特權問題【例12】三對夫婦去參觀上海世博會,在中國館前拍照留念,六人排成一排,若每名女士的旁邊不能是其他女士的丈夫,則不同的排法有種。【答案】60【解析】將這六個人依次編號1,2，，6，設奇數(shù)（如1,3,5）為女士，偶數(shù)（如2,4,6）為男士，連續(xù)數(shù)(如12,34,56)為夫妻.根據(jù)題意可知，至少有兩名女士連排在一起.(1)當有兩名女土連排時，若連排的女土排在兩端,如134265,則有(種);右連排的女士不排在兩端,如213465,則有(種).(2)當有三名女士連排時，若女士在兩端,如135624,則有種);若女士不在兩端,如213564,則有種).由分類加法原理知,不同的排法種數(shù)為種特殊取數(shù)問題【例13】已知集合,（1）任取兩個數(shù),其和能被3整除的取法有種（2)任取三個數(shù),能構成等差數(shù)列的取法有種*(3)任取三個數(shù),能構成等比數(shù)列的取法有種【答案】[解析對3的余數(shù)分三類:余數(shù)為0,這樣的集合余數(shù)為1,這樣的集合,余數(shù)為2,這樣的集合,可從集合中任取兩個數(shù),則有種;可從集合B,C中各取一個數(shù)，則有種可得，故滿足題意的取法由64種。(2)設所取的三個數(shù)為a,b,c,則由知a與的和為偶數(shù),故與的奇偶性相同.令集合根據(jù)與的奇偶性分類如下:當與同為奇數(shù)時,從集合A中任取兩個數(shù),有種.當與同為偶數(shù)時,從集合中任取兩個數(shù),有種.考慮到a,b,c為遞增或遞減兩種情況,故共有（種）。（3）設所取的三個數(shù)為m,r,n,則有.按平方數(shù)分類,令集合.對其余的數(shù)進行質因數(shù)分解:,，滿足題意的有:3與12;5與20;8與2;2與18;8與18.故有,故滿足題意的取法有22種.【變式訓練3】將一骰子連續(xù)拋鄭三次,它落地時向上的面上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的有種。(十一)工種分配問題【例14】安排甲、乙、丙、丁、戊這5名同學參加上海世博會志愿者服務,每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一,每項工作至少有1人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作,丙、丁、戊都能勝任這四項工作,則不同安排方案有（）。A.152種B.126種C.90種D.54種【答案】B【解析】由于5個人從事四項工作，而每項工作至少1人，那么每項工作之多2人。因為甲、乙不會開車,所以可先考慮安排司機.此時分兩類:(1)先從丙、丁、戊這3人中任選1人開車,再從其余4人中任選2人視為一個整體同其他2人從事其余的三項工作,共有種.(2)從丙、丁、戰(zhàn)這3人中任選2人開車,其余3人從事利余的三項工作,共有種.所以不同安排方案的種數(shù)是種故選.【例15】從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人，組成4個人的服務隊，要求服務隊中至少有1名女生,共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）【答案】660【解析】根據(jù)題意，可分為兩步：第一步,選出4人，由于至少有1名女生,故不同的選法有種第二步,從這4人中選出隊長、副隊長各1人,不同的選法有種根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的選法共有種)（十二）產品排列問題【例16】把五件不同的產品排成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有種.【答案】36【解析】先將A，B捆綁在一起，由種擺法，再將他們與其余的三件產品全排列，有種擺法，不同的擺法有種而A,B,C三件產品在一起,且A,B相鄰,A,C相鄰,有CAB,BAC兩種情況,將這三件與剩下的兩件全排列，不同的擺法有(種故A,B相鄰,A,C不相鄰的擺法有(種).(十三)著色方案問題【例17】給個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當時,在所有不同的著色方案中,黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖2所示:由此推斷,當時,黑色正方形互不相鄰的著色方案共有種;至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有種.（結果用數(shù)值表示）【答案】21；43【解析】當時，黑色正方形互不相鄰的著色方案種數(shù)分別為2,3,5,8，由此可看出后一個數(shù)總是前兩個數(shù)字之和。故當n=5時，著色方案數(shù)應為5+8=13（種）；著色方案數(shù)應為8+13=21（種）。而當時,所有的蓋色方案數(shù)種故至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有(種).（十四)特定排位問題【例18】將A,B,C,D,E,F這六個字母排成一排,且A,B均在的同側，則不同的排法共有種.（用數(shù)字作答）【答案】480【解析】根據(jù)字母的位置不同,可分為三類:第一類,字母排在左邊第一個位置,不同的排法有種;第二類,字母排在左邊第二個位置,不同的排法有種貿三類,字母排在左邊第三個位置,不同的排法有種由對稱性可知,不同的排法共有種【例19】有4名同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”立定跳遠”肺活量”握力”和“臺階”五個項目的測試,每名同學上、下午各測試一個項目,且不重復.若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目,其余項目上、下午都各測試一人,則不同的安排方式共有種.（用數(shù)字作答）【答案】264【解析】上午的總測試方法有（種）若上午測試的下午測試，則上午測試的下午只能測試或,此種測試方法共有2種;若上午測試的同學下午測試A,B,C之一,則上午測試A,B,C中任何一個的下年都可以測試,安排完這2名同學后其余2名同學的測試方式就確定了，故共有種測試方法.故下午的測試方法共有11種.根據(jù)分步乘法原理,總的測試方法共有種).（十五）定序排列問題【例20】將數(shù)字1,2,，3，4,5,6排成一列，記第i個數(shù)為，若，且則不同的排列方法有A.18種B.30種C.36種D.48種【答案】B【解析】以1號位所排數(shù)字進行分類，根據(jù)題意，1號位只能排數(shù)字2,3或4,如圖3所示(1)若1號位排數(shù)字2,則3號位可排數(shù)字4或5,有種5號位只能排數(shù)字6,其余三個位置排利余的數(shù)字,有種.此時不同的排列方法種數(shù)為(2)若1號位排數(shù)字3,則3號位可排數(shù)字4或5,有種5號位只能排數(shù)字6,其余三個位置排剩余的數(shù)字,有種.此時不同的排列方法種數(shù)為.(3)若1號