2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-排列組合+概率統(tǒng)計(jì)31-40-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

#【評(píng)注】本題中的逆向思維的分析方法是解決問題的重要方法，當(dāng)從正面解決問題比較困難時(shí)，可以考慮從它的反面入手，問題往往就可以迎刃而解.十四、配對(duì)問題，先“對(duì)”后“單”生活中有很多配對(duì)問題的例子，如夫妻配對(duì)，手套配對(duì)等，一般宜用組合選擇法.【例84】在家長會(huì)上，要從10對(duì)夫妻中選6人參加某項(xiàng)活動(dòng)，分別求滿足下列條件的選擇的方法數(shù).|恰有1對(duì)夫妻；至少有1對(duì)夫妻；沒有夫妻.【解析】(1)當(dāng)恰有1對(duì)夫妻時(shí)，有種情況，即20160種選法.當(dāng)至少有1對(duì)夫妻時(shí)，有種情況，即25320種選法.當(dāng)沒有夫妻時(shí)，有種情況，即13440種選法.十五、幾何問題，構(gòu)造模型幾何中的排列組合問題很多，如平面圖表、圖形，立體幾何中的頂點(diǎn)、中點(diǎn)、線段等，對(duì)于每類問題，我們必須找到破招的模型，達(dá)到快速計(jì)算的目的.【例85】在一個(gè)立方體中，立方體的棱所在的直線是異面直線的有對(duì).【答案】174【解析】先求立方體中四面體的個(gè)數(shù)，可得,即58個(gè)四面體.每個(gè)四面體恰有3對(duì)異面直線，可得.故所有的異面直線有174對(duì).【例86】圓上有20個(gè)點(diǎn)，兩兩連線在圓內(nèi)至多有幾個(gè)交點(diǎn)？【解析】圓上任意4點(diǎn)其對(duì)角線交點(diǎn)必在圓內(nèi)，又,故至多有4845個(gè)交點(diǎn).【例87】連接圓的內(nèi)接正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)，則（1）在圓內(nèi)總共可以得到 個(gè)交點(diǎn)；（2）可以得到個(gè)三角形. (【答案】13；110【解析】(1)圓上任意4點(diǎn)其對(duì)角線交點(diǎn)必在圓內(nèi)，有個(gè)交點(diǎn)，但3個(gè)矩形中心重合，故,所以共有13個(gè)交點(diǎn).（2）①若此三角形3個(gè)頂點(diǎn)都在圓上，則有個(gè)，如圖22所示；②若此三角形只有2個(gè)頂點(diǎn)在圓上，則圓上任意4點(diǎn)對(duì)角線連線構(gòu)成這樣的三角形共有個(gè)，如圖23所示；若此三角形只有1個(gè)頂點(diǎn)在圓上，任意1個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)5個(gè)三角形，故共有個(gè)，如圖24所示.可得，故一共可得110個(gè)三角形.【例88】四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，從中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有多少種？【解析】解法1用直接法考慮.TOC\o"1-5"\h\z如圖25所示，設(shè)四面體為,底面為平面.分四類情況考慮. ①恰有3個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，有（種）. ②恰有2個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，可分兩種情況： 該2個(gè)點(diǎn)在四面體的同一條棱上，有（種）；該2個(gè)點(diǎn)不在同一條棱上，有（種）.③恰有1個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，可分兩種情況： 該點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，有（種）； 該點(diǎn)是棱的端點(diǎn)，有（種）.④4個(gè)點(diǎn)全不在平面內(nèi)，只有1種取法.由加法原理，可得68+27+30+9+6+1=141，故不同的取法共有141種.解法2用間接法考慮.先從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，有種取法，其中所取的4個(gè)點(diǎn)共面的情況可分為兩類.4個(gè)點(diǎn)在四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有種.4個(gè)點(diǎn)不在四面體的同一個(gè)面內(nèi)，可分兩種情形：4個(gè)點(diǎn)位于相對(duì)的兩條棱上，這是其中比如有3個(gè)點(diǎn)位于同一條棱上，而另一個(gè)點(diǎn)是對(duì)棱的中點(diǎn)，共有6種取法；4個(gè)點(diǎn)不位于相對(duì)的棱上，這時(shí)4個(gè)點(diǎn)必然全為棱的中點(diǎn)，且是平行四邊形的頂點(diǎn)，共有3種取法.綜上可得，，故不同的取法共有141種.【例89】如圖26所示，在的兩條邊上分別有和共9個(gè)點(diǎn)，連接線段，如果其中兩條線段不相交，則稱之為1對(duì)“和睦線”，則圖中的“和睦線”共有（）.A.60對(duì) B.62對(duì) C.72對(duì) D.124對(duì)【答案】A【解析】任意一個(gè)四邊形恰有1對(duì)“和睦線"，故有（對(duì)）.【例90】三角形內(nèi)有2018個(gè)點(diǎn)（任意3點(diǎn)不共線），加上3個(gè)頂點(diǎn)共可構(gòu)成無重疊的三角形個(gè).【答案】4037 /K【解析】因?yàn)榈趥€(gè)點(diǎn)一定落在前個(gè)三角形的其中一個(gè)中，且把它分成3個(gè)（即多了2個(gè)），如圖27所示，所以有，.故為等差數(shù)冽，求得. 因此，故可構(gòu)成無重疊的三角形4037個(gè).十六、染色問題，對(duì)稱分類生活中的很多問題可歸類為“染色問題”，對(duì)于有對(duì)稱性質(zhì)的圖形，染色時(shí)要先染對(duì)稱的區(qū)域，然后逐步進(jìn)行后續(xù)處理，對(duì)于均分圓形區(qū)域的問題，要找到一般規(guī)律方可準(zhǔn)確求解.（一）平面圖形染色問題【例91】五個(gè)人排一個(gè)五天的值日表，每天由一人值日，每人可以值日多天或不值日，但相鄰兩天不能由同一人值日，那么值日表的排法有（）.A.120種 B.324種 C.720種 D.1280種 【答案】D【解析】可將題中值日問題看成5種顏色填5個(gè)空格，相鄰空格不同色，有（種）.【例92】將5種不同的顏色分別填入下圖中，要求相鄰的區(qū)域不同色，求各自不同的填法數(shù).【解析】在圖28中，抓住對(duì)稱區(qū)域.對(duì)角區(qū)域同色時(shí)有種，異色時(shí)有種.可得，故一共有260種填法.在圖29中，先除去左上角，問題化為圖28,由圖28知，有260種填法.再填左上角的區(qū)域，有3種，則有260X3=780,故一共有780種填法.在圖30中，左邊區(qū)域有5種顏色可供選擇，右上區(qū)域有4種，右中區(qū)域有3種，右下區(qū)域有3種，可得，故一共有180種填法.【例93】將5種不同的顏色分別填入圖31中的五邊形內(nèi)的5塊不同的區(qū)域中，要求相鄰的區(qū)域不同色，則不同的填法有種.【答案】1020 【解析】解法1若區(qū)域①與②③中的一塊同色，不同的填法有種；若區(qū)域①與②③中任意一塊均不同色，不同的填法有種.可得，故不同的填法一共有1020種.解法2若相鄰區(qū)域可以同色，則有種.相鄰區(qū)域同色的相當(dāng)于首尾合并成為1格，則五塊區(qū)域變成了田字格，此時(shí)有260種.可得，故不同的填法有1020種.【例94】將5種不同的顏色填入圖32中六邊形內(nèi)的6塊區(qū)域中，要求相鄰的區(qū)域不同色，則不同的填法有種.【答案】4100【解析】解法1第一類：區(qū)域①②③同色，則有種；第二類：區(qū)域①②③有2種顏色，則有種；第三類：區(qū)域①②③有3種顏色，則有種.可得，故不同的填法有4100種.解法2若相鄰區(qū)域可以同色，則有種.相鄰區(qū)域同色的相當(dāng)于首尾合并成1格，化為上題中的五邊形內(nèi)部的5塊區(qū)域，由上題知，此時(shí)有1020種.可得故不同的填法有4100種.【規(guī)律探索】通過對(duì)上述例題的分析，我們提出這樣的問題:設(shè)一個(gè)圓被分成，共個(gè)扇形（如圖33所示），用種不同的顏色對(duì)這個(gè)扇形著色（），每一個(gè)扇形著1種顏色，相鄰扇形著不同顏色，共有多少種不同的著色方法？這類問題有沒有更為一般的解法（通法）呢？【解析】設(shè)對(duì)個(gè)扇形的符合要求的涂色方法為.對(duì)扇形有種涂色方法，扇形有種涂色方法，扇形R也有種涂色方法，扇形也有種涂色方法.于是，共有種不同的涂色方法.但是，因?yàn)檫@種涂色方法可能出現(xiàn)與著色相同的情形，這是不符合題意的，因此，答案應(yīng)從中減去這些不符合題意的涂色方法.那么，這些不符合題意的涂色方法又怎樣計(jì)算呢？這時(shí)，把與看作一個(gè)扇形，其涂色方法相當(dāng)于用種顏色對(duì)個(gè)扇形涂色（這種轉(zhuǎn)換思維相當(dāng)巧妙），不同的涂色方法有種，于是有).①顯然.上述的①式就是數(shù)列的遞推公式，由此，我們就可以推導(dǎo)出的通項(xiàng)公式：.至此，我們就找到了這類著色方法數(shù)的通項(xiàng)公式：.【例94】在圖34所示的的6塊區(qū)域中，用4種顏色填涂，且相鄰區(qū)域不同色，不同的填色方法有種.【答案】120【解析】①當(dāng)A,C同色時(shí)，有4種顏色可供選擇，此時(shí)B有3種，D有2種，E有2種，F(xiàn)有1種，共有48種.②當(dāng)A,C異色時(shí)，不同顏色的選法有種，此時(shí)B有2種，D有1種.若E,C同色，則F有2種；若E,C異色，則F有1種.可得，故不同的染色方法有72種.【變式訓(xùn)練14】在圖35的7塊區(qū)域中，用5種顏色填充，且相鄰區(qū)域不同色，不同的染色方法有種.【規(guī)律探索】可將此類題型進(jìn)行推廣：將一個(gè)圓分成一個(gè)小圓和個(gè)扇環(huán)(如圖36所示)，用種不同的顏色對(duì)這個(gè)區(qū)域著色，每一個(gè)區(qū)域著一種顏色，相鄰區(qū)域著不同顏色，共有多少種不同的著色方法？【答案】 .【例96】用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2,???，9的9個(gè)小正方形，如圖37所示，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂的顏色都不相同，且“3,5,7”號(hào)小正方形涂相同的顏色，則符合要求的涂法共有種.【答案】108【解析】分類：若小正方形1,9與5同色，則有種；若小正方形1與5同色，9與5異色，則有種；若小正方形9與5同色，1與5異色，則有種；若小正方形1,9均與5異色或1與9同色，9與5異色，則有種.可得，故符合條件的涂法共有108種.【例97】用五種不同的顏色給圖38中的A,B,C,D,E,F六個(gè)區(qū)域涂色，要求有公共邊的區(qū)域不能涂同一種顏色且五種顏色要用完，則共有涂色方法種.【答案】960【解析】先分析出同色區(qū)域的情況，然后剩余顏色任意排列即可.由題意可知，每次涂色中同色的區(qū)域的只可能有兩個(gè)，同色的區(qū)域可以為AC,AE,AF,BD,BF,GD,CE,DF,共8種，可得，故共有涂色方法960種.（二）立體圖形染色問題【例98】如圖39所示，現(xiàn)要給固定位置的四棱錐的五個(gè)面涂上顏色，要求相鄰的面涂:j不同的顏色，可供選擇的顏色共有5種，則不同的涂色方案共有種.【答案】420【解析】若左右側(cè)面同色，則有種；若左、右側(cè)面異色，則有種.可得，故不同的涂色方案共有420種.【例99】用4種不同的顏色為一個(gè)固定位置的正方體的六個(gè)面著色，要求相鄰的兩個(gè)面顏色不同，則不同的著色方法有（ ）.A.24種 B.48種 C.72種 D.96種【答案】D【解析】解法1若正方體的上、下面同色，則有（種）；若正方體的上、下面不同色，則有（種）.可得，故不同的著色方法有96種.解法2若上、下面同色，前、后面同色，則有種；若上、下面同色，前、后面異色，則有種；若上、下面異色，前、后面同色，則有種.可得故不同的著色方法有96種.【例100】如圖40所示，用4種不同的顏色涂三棱臺(tái)的頂點(diǎn)，同一線段的端點(diǎn)不同色，且每種顏色至少用1次，則不同的涂法有種.【答案】216【解析】先對(duì)上底面的頂點(diǎn)進(jìn)行涂色，有種涂法.再將剩下的1種顏色涂在下底面的頂點(diǎn)處，有種涂法.以涂在點(diǎn)處為例，可對(duì)點(diǎn)的涂法進(jìn)行分類：若點(diǎn)與點(diǎn)A同色，則點(diǎn)只能與點(diǎn)同色，此時(shí)有1種；若點(diǎn)與點(diǎn)C同色，則點(diǎn)可在點(diǎn)A與B所涂的顏色中選1種，此時(shí)有2種.可得，故不同的涂法有216種.引申若例題中的條件“每種顏色至少用1次”改為“顏色可以不用完”，其余條件不變，則不同的涂法有 種.【答案】264【解析】根據(jù)題意可得，共有（種）.【變式訓(xùn)練15】用4種不同的顏色涂三棱臺(tái)的頂點(diǎn)，任一線段端點(diǎn)不同色，且每種顏色至少用1次，問：共有幾種不同的涂法？【例101】在如圖41所示的十一面體中，用3種不同顏色給這個(gè)幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)涂色，每個(gè)頂點(diǎn)涂1種顏色，要求每條棱的兩端點(diǎn)異色，則不同的涂色方案有 種.【答案】6【解析】首先分析幾何體的空間結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合排列組合計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可求得最終結(jié)果.空間幾何體由11個(gè)頂點(diǎn)確定，假設(shè)點(diǎn)涂色為顏色，點(diǎn)涂色為顏色，點(diǎn)涂色為顏色，由點(diǎn)的顏色可知點(diǎn)需要涂顏色，由點(diǎn)的顏色可知點(diǎn)需要涂顏色,由點(diǎn)的顏色可知點(diǎn)需要涂顏色，由點(diǎn)的顏色可知點(diǎn)需要涂顏色，由點(diǎn)的顏色可知點(diǎn)需要涂顏色,由點(diǎn)的顏色可知點(diǎn)需要涂顏色，據(jù)此可知，當(dāng)三個(gè)頂點(diǎn)的顏色確定之后，其余點(diǎn)的顏色均為確定的，用3種顏色給的三個(gè)頂點(diǎn)涂色的方法有種，故給題中的幾何體染色的不同的染色方案有6種.【評(píng)注】1.解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組.注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.十七、環(huán)狀排列，剪斷直排個(gè)人圍成一圈的排列稱為環(huán)狀排列.對(duì)于環(huán)狀排列我們可想象成這八個(gè)人是手拉手的排列，因此，可采用剪斷直排法.由于個(gè)人有個(gè)連結(jié)點(diǎn)，故有種剪斷的方法，故共有種排法.【例102】有4個(gè)學(xué)生和2個(gè)老師圍繞圓桌入座，問：（1） 有多少種就座方法？（2） 如果老師必須相鄰，有多少種就座方法？（3） 如果老師必須不相鄰，有多少種就座方法？【解析】（1）將師生6個(gè)人全排列，有種，由于6種直排對(duì)應(yīng)同一種圓排，故共有（種）.（2）由于老師相鄰，可把2個(gè)老師看作1個(gè)整體，可得共有（種）.（3）只要在所有環(huán)狀排列中減掉老師相鄰的種數(shù)即為老師不相鄰的種數(shù)，故有（種）.【孌式訓(xùn)練16]8人圍繞圓桌而坐，共有多少種坐法？十八、集合分拆，元素分盒將一個(gè)具體的集合有序分拆成若干個(gè)子集的問題，也是高考的新熱點(diǎn)，可以用組合選元法.【例103】把集合分拆成兩個(gè)集合和，且，這樣的分拆方法有種.【答案】3”【解析】按集合中的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類:若中有0個(gè)元素（即種）時(shí)，則中有個(gè)元素（即種），共有種；若中有1個(gè)元素（即種）時(shí)，則中有乃個(gè)元素（即種），共有種；若中有2個(gè)元素（即種）時(shí)，則中有乃個(gè)元素（即種），共有種；若中有3個(gè)元素（即種）時(shí)，則中有乃個(gè)元素（即種），共有種；若中有個(gè)元素（即種）時(shí)，則中有乃個(gè)元素（即種），共有種；可得，故這樣的分拆方法有種.【例104】將集合分拆成兩個(gè)集合和，且，，這樣的分拆方法共有種.【答案】【解析】按集合中的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：若中有0個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種；若中有1個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種；若中有2個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種；若中有3個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種；若中有個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種；可得，故這樣的分拆方法有種.【變式訓(xùn)練17】把集合分拆成兩個(gè)集合和，且，這樣的分拆方法共有幾種？【例105】設(shè)是集合的兩個(gè)子集，若規(guī)定滿足的集合稱為的理想配對(duì)，則滿足條件的理想配對(duì)有（ ）.A.8種 B.9種 C.27種 D.16種【答案】C【解析】對(duì)1,3,