2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)與平面向量71-80-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

【例79】設(shè)a，b為常數(shù)，集合映射把平面上任意一點(diǎn)映射為函數(shù)（1）求證:不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對應(yīng)同一個(gè)函數(shù)；（2）求證:若則這里為常數(shù)；（3）對于屬于的一個(gè)固定值得，在映射的作用下作為象，求其原象，并說明它是什么圖形．【解析】(1)假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)對應(yīng)同一函數(shù)，即與相同，即對一切實(shí)數(shù)均成立．令得令得，這與是兩個(gè)不同的點(diǎn)桶矛盾，假設(shè)不成立，故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對應(yīng)同一個(gè)函數(shù)．(2)當(dāng)時(shí)，可得常數(shù)使．由于為常數(shù)，設(shè)則m，n是常數(shù)，從而．(3)設(shè)由此得其中．在映射之下，的原象是則的原象是消去得，即在映射之下的原象是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓．【評注】本題將集合、映射、函數(shù)、三角函數(shù)融為一體，兼顧典型性和新穎性，是一道用“活題”考“死知識”的好題目，具有很高的訓(xùn)練價(jià)值．第四章正余定理，解秘三角一、正弦定理，七種證法正弦定理：對于任意三角形，任何一邊與其對角的正弦之比為定值．如圖，若△的三邊為a，b，c，三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，則，其中2R為三角形外接員直徑．證法一：利用等面積法證明因?yàn)椋謩t有，從而可得．【思考】是否可以用其他方法證明這一等式?由于涉及邊長，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題．證法二:利用向量證明．如圖，在△中，過點(diǎn)作一個(gè)單位中量j，使當(dāng)為銳角時(shí)，由，得，即從而有，得即，同理可證，即．當(dāng)為針角或直角時(shí)，同理可證上述結(jié)論．根據(jù)上面的研究過程，可得以下定理．正弦定理:在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦之比相等，即(1)正弦定理說明在同一個(gè)三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k，使(2)等價(jià)于．下面再介紹幾種證明的方法，供感興趣的同學(xué)探索．法三:利用復(fù)數(shù)證明如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，在復(fù)平面內(nèi)，過原點(diǎn)作BC的平行線，過點(diǎn)作AB的平行線，交于點(diǎn)D．由，則，則，，即，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部，可以得出:從而有．同理可證，所以證法四:利用外接圓證明Ⅰ如圖是△的外接圓，設(shè)其半徑為，分別連結(jié)OA，OB，OC，過點(diǎn)作，垂足為．因?yàn)樗詮亩裕淼?，故有．證法四:利用外接圓證明Ⅱ如圖是△的外接圓，設(shè)其半徑為R，連結(jié)BO并延長，交于點(diǎn)D，連結(jié)AD．易知即．同理可證，所以．證法六:利用高線證明如圖，在△中，過點(diǎn)作垂足為D．因?yàn)椋约赐砜勺C，所以證法七:利用和角正弦證明如圖，在△中，過點(diǎn)作垂足為D．即進(jìn)而有同理可證．所以二、余弦定理，十二證法余弦定理:對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方之和減去這兩邊與它們夾角余弦的兩倍積．若三角形的三邊為a，b，c三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，則滿足性質(zhì)：證法一:平面幾何法如圖，可知因?yàn)橛兴裕匆布从忠驗(yàn)樗?，得．證法二:勾股定理法在任意△中，作，如圖．因?yàn)榻撬鶎Φ倪厼閏．角所對的邊為$b，$角所對的邊為，則有在中，根據(jù)勾股定理可得:，故證法三:建系解析法以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，點(diǎn)落在軸正半軸上．設(shè)三角形的三邊分別為a，b，c，則三點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)閯t由兩點(diǎn)間距離公式得，化簡得，所以證法四：面積等值法如圖，在正方形ABPQ中，有，，從而，同理得，聯(lián)立三個(gè)方程，得:易得余弦定理證法五:正弦定理法因?yàn)椋瑒t有，從而有，所以所以證法六:射影定理法由得證法七:復(fù)數(shù)建模法如圖，在復(fù)平面內(nèi)作△，則這里是平行四邊形的頂點(diǎn)．根據(jù)復(fù)數(shù)加法的兒何意義可知所以根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有即．對(*)式兩邊取模，得:證法八:向量求模法設(shè)如圖，則，所以證法九:托勒密證法如圖，由托勒密定理得所以證法十:面積拼搭法由圖可知證法十一:圓冪定理法如圖，由圓冪定理得，整理得．證法十二:物理磁場法設(shè)△是邊長分別為a，b，c的通電導(dǎo)線框，其電流強(qiáng)度為I．現(xiàn)將它置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場中，且線框平甫與磁場方口垂直，那△的三邊所受的安培力如圖1所示，其大小分別為:（1）很顯然，這三個(gè)力是相互平衡的共點(diǎn)力，它們的作用線相交于的外心，現(xiàn)以為原點(diǎn)，分別建立如圖2、圖3、圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，對進(jìn)行正交分解．根據(jù)圖2，有：，，(2)同理，根據(jù)圖3、圖4，分別有：，，（3），，(4)將方程組(1)分別代人（2）(3)（4）式并整理，得:化簡即得余弦定理:三，射影定理，捷徑之道射影定理向底投影:向高投影:【例1】設(shè)△的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則△的形狀為()．A．銳角三角形B．直角三角形C．針角三角形D．不確定【答案】B【解析】由射影定理得：，因?yàn)?，所以即從而故選．【例2】在△中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，則角的大小為()．A． B． C． D．【答案】A【解析】由射影定理得：，因?yàn)?，所以即．因太為則，所以故選．【例3】在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)求角的大小；(2)若求△面積的最大值．【解析】(1)解法1:由已知條件及正弦定理得(1)又故(2)．由(1)(2)兩式和得．又所以解法2:由射影定理得：，因?yàn)?，所以即．又所?2)△的面積為由已知條件及余弦定理得．又故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．因此△面積的最大值為【例4】已知△的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為則的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】解法1:由得得，即得故選解法2:由條件得即，即，所以故選D．【例5】在△中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，已知(1)求的值；(2)若求的值．【解析】解法1:(1)由和正弦定理得:即所以．(2)由，得，事實(shí)上，由得，令則即，解得所以．由正弦定理得，所以．解法2:(1)由射影定理得，又得，所以．(2)由余弦定理得，根據(jù)題設(shè)條件，有，整理得，即，即，由得，則有得，從而得，所以．【例6】已知△的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，且(1)求角的大?。?2)若求a，c．【解析】（1）已知，由正弦定理可變形為即．由余弦