2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)與平面向量141-150-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

十二、最低造價(jià)【例19】如圖,已知等腰梯形的面積為S,高為h,求的最小值.【解析】設(shè)則,則從而,(當(dāng)時(shí)取等號),即所求的最小值為十三、剛體運(yùn)動【例20】如圖,已知點(diǎn)在半價(jià)為1的上半圓上運(yùn)動,以AP為邊作正方形ABCP,求OB的取值范圍.【解析】設(shè)則將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)則則有即所以點(diǎn)的軌跡方程為.由圖易得.【例21】如圖，已知點(diǎn)在半徑為1的上半圓上運(yùn)動,以AP為邊作正方形ABCP,求OC的取值范圍【解析】設(shè)，則將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)則則有，即所以點(diǎn)的軌跡方程為.由圖易得【例22】如圖,已知點(diǎn)在半徑為1的上半圓上運(yùn)動以AB為邊作正(1)求點(diǎn)的軌跡方程;(2)求四邊形OBCA面積的最大值.【解析】如圖,設(shè)則易知AB的中點(diǎn)為,則將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)則,因?yàn)?所以,從而有即可得，即點(diǎn)的軌跡方程為(2)如圖,又.故,所以，即四邊形OBCA面積的最大值為.【例23】如圖，已知點(diǎn)在半徑為1的上半圓上運(yùn)動,以AB為直角邊作等腰求四邊形OBCA面積的最大值.【解析】設(shè)則.又則所以，即四邊形OBCA面積的最大值為.十四、重心支點(diǎn)【例24】如圖，在等邊中為重心,過點(diǎn)的直線交AB于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)M.求的最值求的值?！窘馕觥浚?）因?yàn)?設(shè)則在和中，由正弦定理得所以當(dāng)即時(shí)取得最大值當(dāng),即或時(shí)取得最小值(2)易知,則十五、方的定值【例25】如圖，已知扇形的圓心角為,半徑為1,C為的中點(diǎn),D,E分別為OB,OA上的兩個(gè)動點(diǎn),且求的取值范圍.【解析】設(shè)由余弦定理得,整理得即該方程在[0,1]上有兩個(gè)根.令則有解得即十六、鐵路鋪設(shè)【例26】如圖，某城市有一條公路從正西方沿AO通過市中心后轉(zhuǎn)向東北方，沿OB鋪設(shè).現(xiàn)要修一條鐵路L,在AO上設(shè)一站A,在OB上設(shè)一站B,鐵路在AB部分視為直線段,要求市中心與鐵路AB的距離為問把A,B分別設(shè)在距多遠(yuǎn)的地方才能使AB最小?并求出AB的最小值.【解析】設(shè)因?yàn)锳O沿正西方向,OB沿東北方向，所以,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.設(shè)則又點(diǎn)到直線AB的距離為10.所以，當(dāng)且僅當(dāng)和與的距離均為時(shí),AB最小,其最小值為十七、道路設(shè)計(jì)【例27】如圖,某住宅小區(qū)的平面圖為扇形AOC.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)和點(diǎn)處,有兩條筆直的小路AD,DC,且拐彎處的轉(zhuǎn)角為已知某人從處沿CD走到處用了10分，從處沿DA走到處用了6分.若此人步行的速度為每分50米,求該扇形的半徑OA的長。（精確到1m）【解析】解法1：設(shè)該扇形的半徑為r米。由題意得米米在中即，解得米.解法2:如圖,連結(jié)AC,作于點(diǎn)H.由題意得米米在中所以米，在中，米，所以十八、最佳折疊【例28】如圖，在邊長為1的正的邊AB,AC上分別取D,E兩點(diǎn)，沿線段DE折疊時(shí).頂點(diǎn)正好落在邊BC上,則AD的長的最小值為【答案】【解析】設(shè)作關(guān)于DE的對稱圖形則點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在BC上.在中,有,得,故當(dāng)時(shí).十九、兔狼較量【例29】如圖,直線是樹林的邊界,兔子和狼分別位于直線的垂線AC上的點(diǎn)兔)和點(diǎn)狼)處它們都以固定的速度奔跑,且兔子的奔跑速度是狼的兩倍.如果狼比兔子早到或者與兔子同時(shí)到達(dá)點(diǎn),兔子就會被狼逮住.設(shè)兔子沿線段AD進(jìn)人樹林,那么點(diǎn)應(yīng)該在何處,兔子才不會被狼逮住?【解析】設(shè)是AD上任意一點(diǎn)，要使兔子不被逮住,則,所以,即以AE為主元的二次函數(shù)恒大干0.則進(jìn)而得,所以得。【例30】在一個(gè)很大的湖邊（可視湖岸為直線）停著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與河岸成角,速度為同時(shí)岸上一人從同一地點(diǎn)開始追小船，已知他在岸上跑的速度為在水中游的速度為問此人能否追上小船?若小船速度改變,則小船能被追上的最大速度是多少?【解析】如圖，設(shè)小船的速度為，追上小船所用的時(shí)間為t，人在岸上跑的時(shí)間為在中由余弦定理得,即由得或.故此人能追上小船，小船能被追上的最大速度為二十一、海防監(jiān)測【例31】如圖,a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在上點(diǎn)處有一個(gè)水聲監(jiān)測點(diǎn),另兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)B,C分別在的正東方處和處.某時(shí)刻，監(jiān)測點(diǎn)收到發(fā)自靜止目標(biāo)的聲波信號,8s后監(jiān)測點(diǎn)收到這一信號，20s后監(jiān)測點(diǎn)收到這一信號.在當(dāng)時(shí)的氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是(1)設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為分別用表示點(diǎn)B,C到點(diǎn)的距離，并求的值;(2)求靜止目標(biāo)到海防警開線的距離.(結(jié)果精確到)【解析】(1)依題意有因此在中,。同理得.由即,解得.(2)如圖，作垂足為.在中故靜止目標(biāo)到海防警戒線的距離約為二十二、棚區(qū)改造【例32】如圖所示為某棚戶區(qū)改造建筑用地.規(guī)劃建筑用地區(qū)域是半徑為的圓,該圓的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶區(qū)建筑用地，測量可知邊界(1)請計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓的半徑的值;(2)因地理?xiàng)l件的限制,邊界AD,DC不能變更,而邊界AB,BC可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率,請?jiān)谏显O(shè)計(jì)一點(diǎn)P,使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求出最大值?！窘馕觥浚?）因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，所以,連結(jié)AC,由余弦定理得所以因?yàn)楣?在中，由余弦定理得，故由正弦定理得所以（2）設(shè)則.由余弦定理得，又則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以即所求最大面積為二十三、廣告創(chuàng)意【例33】如圖,某公司要在A,B兩地連線上的定點(diǎn)處建造廣告牌CD,其中為頂端，AC長35米,CB長80米.設(shè)A,B在同一水平面上,從處和處看點(diǎn)的仰角分別為和設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向,若要求問CD的長至多為多少？（結(jié)果精確到0.01米）（2）施工完成后,CD與鉛垂方向有偏差,現(xiàn)在實(shí)測得求CD的長。（結(jié)果精確到0.01米）【解析】本題屬于解三角形問題,條件可轉(zhuǎn)化為即而可用CD的長表示出來，從而得到關(guān)于CD的不等式，解之可得所求結(jié)論。第（2）小題要求CD的長，可在或中解得，由此要求得AD或BD的長,然后利用余弦定理，求出CD的長.而AD或BD在中，可用正弦定理求得.(1)因?yàn)榍宜?即,解得米，故CD的長至多為28.28米。（2）由題意,因?yàn)樗悦?因?yàn)樗悦?二十四、三圓相切【例34】如圖，已知扇形AOB的圓心角為,半徑為r,在扇形AOB中作內(nèi)切圓，即以及與外切并與OA,OB都相切的則當(dāng)為何值時(shí),的面積最大?最大值是多