八年級(jí)數(shù)學(xué)《幾何專項(xiàng)訓(xùn)練》 浙教版 初二數(shù)學(xué)練習(xí)

八年級(jí)數(shù)學(xué)《幾何專項(xiàng)訓(xùn)練》浙教版初二數(shù)學(xué)練習(xí)

浙教版?八全暑期《幾何特訓(xùn)專》

目錄

第1講《巧用中點(diǎn)之“倍長(zhǎng)中線”》.......................................................1

第2講《巧用中點(diǎn)之“等腰直角三角形斜中定埋”》.........................................7

第3講《巧用中點(diǎn)之“中位線”》.......................................................10

第4講《“K字型”之全等（1）》......................................................15

第5講《“一線三等角”之全等》.......................................................21

第6講《“旋轉(zhuǎn)手拉手”之全等》.......................................................24

第7講《平行四邊形之“對(duì)角線最值問(wèn)題”》............................................37

第8講《平行四邊形之“雙平等腰”模型》..............................................39

第9講《平行四邊形之“等積轉(zhuǎn)化”》...................................................42

第10講《平行四邊形存在性問(wèn)題之“矩形大法”》......................................49

第11講《平行四邊形存在性問(wèn)題之“公式法”》...........................................55

第12講《折疊及對(duì)稱問(wèn)題1》..........................................................60

第13講《折疊及對(duì)稱問(wèn)題2——對(duì)稱點(diǎn)落在線上的問(wèn)題》................................64

第14講《“將軍飲馬”模型求線段和最值問(wèn)題》........................................68

第15講《正方形之“十字架”》........................................................74

第16講《正方形之“角含當(dāng)角”》......................................................77

第17講《正方形之“趙爽弦圖”》......................................................80

第1講《巧用中點(diǎn)之“倍長(zhǎng)中線”》

思路點(diǎn)撥

I.基本圖形：

(I)如圖1,在△A8C中,4。為8C邊上的中線，延長(zhǎng)4。至石，使得則有

圖(1)

(2)如圖2,在梯形ABCD中，E為CD邊中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE.BC交于點(diǎn)F,則有.

圖(2)

經(jīng)典例題

例I.如圖，在AABC中，AB=5,AC=\3,邊8c邊上的中線AQ=6,則8c的長(zhǎng)為.

例2.如圖，在梯形48CQ中，AB//CD,且8M_LCW,M是4。的中點(diǎn)，且A3=3,CD=5,則3c

的長(zhǎng)為.

1

例3.如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為1的等邊3c的邊A/3上一點(diǎn)P,作PE_L4C于E,。為8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

當(dāng)尸A=C。時(shí)，連P。交AC邊于。，則。E的長(zhǎng)為.

類題精練

I.如圖，已知梯形A8CQ,人?！?C,E為CO的中點(diǎn)，若用$,S，S3分別表示△人。石，&EBC,LABE

的面積，則$,$2，$3的關(guān)系是（）

A.S1+S2>S3B.S|+§2=S3C.$+S2Vs3D.以上都不對(duì)

2.在A48C中，AB=5,AC=3.4。是4c邊上的中線，則4D的取值范圍為

3.如圖，梯形ABCD中，AD//BC,E為CD的中點(diǎn)，且AE平分若4。=3,BC=5,則

AB=

2

4.（2019年溫州二中期中卷）如圖，在"BC中，Z4=90°,4B=3,AC=6,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)使

得CB=B。,再延長(zhǎng)A8至點(diǎn)E,使得N4￡D=45°,連接EC,則△燈芯的面積為.

5.（2015年南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中卷）如圖，在中，NAC8=90°,過(guò)點(diǎn)人做直線加/C,過(guò)四

的中點(diǎn)D作DE±CD,DE交直線m于點(diǎn)E,連結(jié)CE,已知BC=5,AC=\2,則AE的長(zhǎng)為.

6.如圖，A。是A4BC的中線.E,尸分別在邊AB,AC上（E,/不與端點(diǎn)重合），且。

則有（）

\.BE+CF>EF

C.liE+CF<EFD.%;+。?與￡尸的長(zhǎng)短關(guān)系不確定

7.如圖，E是8c的中點(diǎn),^BAE=ZCDE,若AB=6,則8的長(zhǎng)為

3

D

8.如圖，已知A4〃CD,4C_LCQ,且CD=2A4=12,4c=8,E是4。的中點(diǎn)，則跖的長(zhǎng)為

上BA_____

D^—--------------°C

9.如圖，矩形ABC。與CEFG如圖放置，點(diǎn)8,C,E共線，點(diǎn)C,D,G共線，連接AF,取4戶的

中點(diǎn)“，連接G”,若BC=EF=2,CD=CE=\,則G”的長(zhǎng)為

G._____.F

力尸二-----------D

Bc

10.（2018年浙江寧波中考真題卷）如圖,菱形288中,AB=2t々是銳角，AE_L8C于點(diǎn)E,M

是AB的中點(diǎn)，連接MZ）,ME.若4WD=9O°,貝】J3E=______.

A________________八

B

BEC

11.（2020年永嘉期中卷）如圖，等邊ZVIBC的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)尸在AB邊上,點(diǎn)、Q為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，

連結(jié)PQ交4。于。，點(diǎn)4關(guān)于直線尸Q的對(duì)稱點(diǎn)A恰好落在48邊上，芻Q4=C。時(shí)，A4的長(zhǎng)為

A

/^K

BQ

4

12.（2021年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中復(fù)習(xí)卷）如圖，在矩形A8CZ）中，AB=10,AD=S,將矩形A8C。折

疊，使得頂點(diǎn)8落在CO邊上的P點(diǎn)處，連接4P,/3P,動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)"與點(diǎn)P、A不

重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM,連接MN交P8于點(diǎn)尸，

ME上BP于點(diǎn)E.點(diǎn)M,N在移動(dòng)過(guò)程中，線段石戶的長(zhǎng)是.

13.（202（）年山東德州中考真題卷）如圖，人。是△A8C的中線，在人。上取一點(diǎn)F,連接8F并延長(zhǎng)

交AC于點(diǎn)E,使AE=EF,求證：BF=AC.

14.如圖，在"BC中，點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，＞BD=CE,連接。E交也于尸,

DF=EF.求證：AABC是等腰三角形.

15.（2021年溫州市期末統(tǒng)考卷）如圖1,四邊形ABCO是平行四邊形，點(diǎn)E在邊4。上，連結(jié)8巴

過(guò)點(diǎn)。作。尸〃8E,交BC于點(diǎn)F,點(diǎn)G,”分別是8E,。尸的中點(diǎn)，連結(jié)E”，GF.

（1）求證：四邊形EGFH為平行四邊形.

（2）若8C=10,4B=6,ZABC=60°.

①當(dāng)BG=GF時(shí)，求四邊形EGFH的面積；

②如圖2,延長(zhǎng)FG交A8于點(diǎn)P,連結(jié)AG,記^APG的面積為S”&BPG的面枳為S2,若EP_LAB,

求之的值.

邑

5

圖2

6

第2講《巧用中點(diǎn)之“等腰直角三角形斜中定理”》

思路點(diǎn)撥

i.基本圖形:

如圖，在等腰RSABC中，。為斜邊AC邊上的中點(diǎn)，/分別交A3、BC于E、尸兩點(diǎn)，則

有

經(jīng)典例題

例1.（2019年溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中卷）如圖，在ZiABC中，AB=AC,Z3AC=90°,。、E、尸分別

是邊AC、AB.AC上的點(diǎn)，且DELDF,ABED,ADFC,ZkAE產(chǎn)的面積分別為SI，S2,S3;若。

為8C的中點(diǎn)，51=2,52=6,則S.尸.

類題精練

1.（2020年外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中卷）如圖，在△A8C中，CA=CB=4,NAC4=90°,以A8為中點(diǎn)。為

圓心，作圓心角90°的扇形DEF,點(diǎn)C恰好在EF±,下列關(guān)于圖中陰影部分的說(shuō)法正確的是（）

A.面積為24-4B.面積為4一2

C.面積為9-2

D.面積隨著扇形位置的變化而變化

2.（2018年溫州協(xié)作體期中卷）如圖，在RSPOQ中，ZO=90°,OP=OQ,M為尸。中點(diǎn)，將

7

一把三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以例為旋轉(zhuǎn)中心，/QMB=a,三角尺的兩直角邊與APOQ的

兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B.在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角尺的過(guò)程中（00<a<90°）,則△A08的周長(zhǎng)變化

情況是（）

A.先減少再增大B.逐漸增大C保持不變D.逐漸減少

3.如圖，在正方形A8CO中，對(duì)角線AC和8。相交于點(diǎn)。，E、產(chǎn)分別在邊A8,8c上的點(diǎn)，若

AE=4,BE=3,且OE_L。/，則E廠的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

4.（2020年蒼南縣期中卷）如圖，在等腰“8。中，NC=90°,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，且A8=2,將

一塊直角三:角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，并保持該直角三角板的兩直角邊分別與兩邊ACMC相交，

交點(diǎn)分別為。，E,則AD+BE的值為.

5.（2020年平陽(yáng)縣期中卷）如圖，在RSA8C中，AC=CB,。為A8的中點(diǎn)，點(diǎn)E在4c邊上運(yùn)動(dòng),

連接?！赀^(guò)D作DFLDE交邊8c于，點(diǎn)F,連接￡￡

8

(I)當(dāng)￡C=2他時(shí)，-^-=____________；

SfdWB

(2)當(dāng)遍”=2時(shí)，且比)=J而時(shí)，AE=_________.

S&ECF3

9

第3講《巧用中點(diǎn)之“中位線”》

思路點(diǎn)撥

i.在題目的條件中若出現(xiàn)中點(diǎn)的相關(guān)條件，均可考慮中位線的構(gòu)造，利用中位線的性質(zhì)進(jìn)行解題,

若出現(xiàn)兩個(gè)或者更多個(gè)中點(diǎn)的條件時(shí)，優(yōu)先考慮中位線.

2.連結(jié)三角形兩邊________的線段叫做三角形的中位線；一個(gè)三角形有條中位線.

（1）三角形的中位線于第三邊，并且等于第三邊的.

（2）三角形的中位線將原三角形分得的較小三角形的面積是原三角形面積的.

3.中位線逆定理：如圖，在中，若。是中點(diǎn)，且則.

經(jīng)典例題

例1.如圖，在MBC中，AD是中線，AE是角平分線，七于凡AB=5,AO3,則力廣的長(zhǎng)

為?

例2.（2020年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)單元卷）如圖，在RtMBC中，NACB=90°,點(diǎn)。是AC延長(zhǎng)線上的

一點(diǎn)，A￡>=24,點(diǎn)、E是BC上一點(diǎn)，BE=10,連接DE,M、N分別是A氏QE的中點(diǎn)，則MN=.

例3.（2019年棋甌海區(qū)中考模擬卷）如圖，菱形48CD的頂點(diǎn)4在x軸的正半軸上，ZC=60°,

頂點(diǎn)從。的縱坐標(biāo)相同.已知點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為76，若過(guò)點(diǎn)。的雙曲線），=K（x>0）恰好經(jīng)過(guò)

X

的中點(diǎn)石，則右.

10

y

例4.（2020年浙江湖州中考卷）如圖，在RtZ\AOB中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)8在x軸上，點(diǎn)C是

04的中點(diǎn)，反比例函數(shù)），=人的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與A3交于點(diǎn)Q,若△OCZ）的面積為3,求上的值.

x

類題精練

1.（2020年瑞安聯(lián)考期中卷）如圖，。石為△A5C的中位線，點(diǎn)、F在DE上,且NA陽(yáng)=90°,若A8=4,

BC=1,貝UE尸的長(zhǎng)為.

2.（2020年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)返?？季恚┤鐖D，在OABCD中，點(diǎn)、E、F、G分別是邊3C、CD、AD±.

的中點(diǎn)，連AE、FG、BD,已知AE=BE,△A8E的周長(zhǎng)為8,G/=2,則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為.

3.（2020年天津中考卷）如圖，DABCD的頂點(diǎn)C在等邊△8。的邊BF上，點(diǎn)E在.AB的延長(zhǎng)線上,

G為。七的中點(diǎn)，連接CG.若455,AB=CF=3,則CG的長(zhǎng)為.

11

D

//\

ABE

4.（2019江蘇揚(yáng)州中考卷）如圖，已知點(diǎn)E在正方形ABC。的邊A8上，以8E為邊向正方形ABCO

外部作正方形BEFG,連接DF,M、N分別是DC、DF的中點(diǎn)，連接MN.若AB=7,BE=5,則

MN=.

5.（2019年河南中考卷）如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形48CD中，點(diǎn)石，尸分別是邊人8,8c的中

點(diǎn),連接EGFD,同G,H分別是EC尸D的中點(diǎn)，連接G"，則G”的長(zhǎng)度為.

6.（2020年龍灣區(qū)期中卷附加題）如圖，在Rt^AOC中，ZACZ7-90",AC=8,4c=4,D為斜邊

4B上的中點(diǎn)，E是直角邊AC上的一點(diǎn)，連接OE,將△AOE沿OE折疊至△A，E交邊BD

于點(diǎn)凡若△。/E的面積是AAOE面積的一半，則CE=.

7.（2020年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)單元卷）如圖，CQ是△A8C的中線，AC=AD,AEJ_C￡）于點(diǎn)￡延長(zhǎng)線

交CB于F,CD=4,AF=12,則BC的長(zhǎng)為.

12

8.（2020年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)單元卷）如圖，在四邊形A8CO中.=90°,AC=AD,E為CO的

中點(diǎn)，連結(jié)BE若/班。:60’，AC平分N胡。，BC=1,則BE的長(zhǎng)為.

9.如圖，在△48C中，ZC=90°,D為AB中點(diǎn)，E在BC上，且。E平分△4BC的周長(zhǎng)，則OE

的長(zhǎng)為.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形AOBC的頂點(diǎn)8在X軸的正半軸上，點(diǎn)A在

笫一象限，邊BC的中點(diǎn)為D若），=工的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4和點(diǎn)。，且AAB。的面積為3,則上的值為

x

1L（2018年永嘉縣期末卷）如圖.已知點(diǎn)4在），軸的正半軸上.點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2.0）,以4B為

邊向右作正方形ABCD,過(guò)點(diǎn):D的反比例函數(shù)的圖象交射線BC于點(diǎn)E,取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)ME,

當(dāng)△8ME與△A8D的面積相等時(shí)，線段48與8E的長(zhǎng)度之比為,0A的長(zhǎng)為.

13

12.（2021年重慶中考真題8卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A,B在大軸的正

半軸上，反比例函數(shù)），=K（攵>0,x>0）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)八，分別與對(duì)角線4C,邊BC交于點(diǎn)E,

x

F,連接所.若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),且AAE尸的的面積為1,則2的值為.

14

第4講《“K字型”之全等（1）》

思路點(diǎn)撥

I.基礎(chǔ)模型：

如果在題目條件或圖形中出現(xiàn)____________________________________的兩條線段時(shí).，通常都會(huì)考慮

到構(gòu)造“K”字型全等的基本圖形來(lái)進(jìn)行解題.

構(gòu)造“K”字型全等圖形的一般性步驟：）

第一步：過(guò)___________________作一條水平線或鉛垂線；

第二步：分別過(guò)另外兩個(gè)端點(diǎn)作水平線或鉛垂線的，形成情形.

2.拓展延伸：

在更一般普遍情況下，過(guò)________________任意作一條直線，再過(guò)另外兩個(gè)端點(diǎn)作這條直線的

，亦能形成的基本圖形，從而得到“K”字型全等的特殊情形.

課堂例題

伊ij1.如圖，在中，=,AC=3,BC=2,以AA為邊向右上側(cè)作正方形A以兒,

連結(jié)CE,則CE的長(zhǎng)為.

15

例2.如圖，直線y=3-l與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)8、4以48為斜邊作等腰口△“八B,使得

點(diǎn)M落在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的雙曲線為），=與，則A的值為.

例3.如圖，點(diǎn)4（2,6）,8都經(jīng)過(guò)雙曲線,，=工（X>0）,且/403=45°，則8的坐標(biāo)為

例4.如圖.在△人AC中,AC=RC,7RCA=90°行為△ARC外一點(diǎn),連結(jié)人用RE,CE,若/RFC

=90°,CE=4,BE=1,則△A4E的面積為.

類題精練

1.（2019年南浦實(shí)驗(yàn)期中卷）如圖，NC44:RtN,P是線段AC上一點(diǎn)（不包括點(diǎn)A）,分別以必、

PB為腰向外作等腰RtAPAE和等腰RtAPBD,連接DE,交AC于?當(dāng)。從A運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中,

P廠長(zhǎng)的變化情況為（）

16

A.一直變大B.不變C.先變大后變小D.先變小后變大

2.（2020年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中卷）如圖,已知RSA8C和RtZ\8E,頂點(diǎn)8,C,。在一條直線上,

且C4=CE,AB=CD,連結(jié)AO,AE,若A￡>=AE=1（）,則3。的長(zhǎng)為.

3.如圖，點(diǎn)4,點(diǎn)B分別為雙曲線y=4上的兩點(diǎn)，若NQ4B=90°,AB=AO,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

x

1,則出的值為.

90°,AB=AO,且點(diǎn)人的縱坐標(biāo)為-2,則A的值為.

5.（2017年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。48c是正方形，點(diǎn)A,C

的坐標(biāo)分別為（3,0）,（0,3）,。是工軸止半軸上的一點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)A的右邊），以BD為邊

17

向外作正方形BQQXE,尸兩點(diǎn)在第一象限），連接FC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若反比例函數(shù)），=與

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,G兩點(diǎn)，則人的值為.

6.（2020年溫州市期末統(tǒng)考卷）長(zhǎng)方形零件圖人8C。中，BC=2AB,兩孔中心何，N到邊力。上點(diǎn)P

的距離相等，且MP上NP,相關(guān)尺寸如圖所示，則兩孔中心M,N之間的距離為mm.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A8CQ的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1）,點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上,

點(diǎn)。在第四象限的雙曲線丁=-號(hào)上，過(guò)點(diǎn)。作CE〃工軸交雙曲線于點(diǎn)￡，則CE的長(zhǎng)為.

x

8.（2021年南浦實(shí)驗(yàn)單元練習(xí)卷）如圖，點(diǎn)人（3,4）,8都經(jīng)過(guò)雙曲線）=々工＞0）,且/403=45°,

.1

則B的坐標(biāo)為.

18

9.(2018年山東濱州市中考卷)如圖，在矩形A8CO中，AB=2,BC=4,點(diǎn)、E,尸分別在BC,CQ上,

若AE=布,ZEAF=45Q，則4F=.

10.(2018年甌海區(qū)單元測(cè)試卷)如圖，△A8C是等腰直角三角形，NC=90°。點(diǎn)P是線段AC上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接8P,過(guò)點(diǎn)B作BQ上BP且BP=BQ,連接八Q交8C于點(diǎn)。，已知AP=2,BC=5,

則BD的長(zhǎng)為.

11.(2018年溫州市期末統(tǒng)考卷)圖，在RtZ\48C中，Z4CT=90°,AB=10,AC=8,。是A8的中

點(diǎn)，例是邊AC上一點(diǎn)，連接以0M為直角邊作等腰直角三角形斜邊。笈交線段CM

于點(diǎn)F,若SM*2sAM叱則CM的長(zhǎng)為.

12.(202()年永嘉十校聯(lián)考期中卷)如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,射線AW〃8C,

射線CN平分NAC3交4B于點(diǎn)。，交AM于點(diǎn)E,P是射線AM上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求線段AE的長(zhǎng)：

(2)連結(jié)PD,BP.

①若4B=AP,求BP的長(zhǎng)；

19

②如圖2,若點(diǎn)Q是射線CN上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BPQ是以8戶為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求出AP

的長(zhǎng).

20

第5講《“一線三等角“之全等》

思路點(diǎn)撥

I.“一線三等角”之全等，其實(shí)是“K”字型全等的更為普遍或更為高階級(jí)的表現(xiàn)形式，即將“K”

字型全等中的共頂點(diǎn)的垂直且相等的兩條線段的核心條件，擴(kuò)充變成了共頂點(diǎn)的任意夾角且相等的

兩條線段的條件（如下圖所示），再進(jìn)一步構(gòu)圖所形成的全等模型:

如圖，當(dāng)_____________,且______________時(shí)，則

（圖1）（圖2）

證明：

2.“一線三等角”之全等模型的詳細(xì)構(gòu)圖方式如下:

第一步：過(guò)相等的兩條線段的公共頂點(diǎn)做一條水平線或鉛垂線;

第二步：再分別以相等的兩條線段的另外兩個(gè)端點(diǎn)在這條水平線或鉛垂線上構(gòu)造相等的角（在實(shí)際

的解題過(guò)程中，這種相等的夾角通常為45°、60°、90°、120°為常見(jiàn)角。）

典型例題

例1.（2019年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中卷）如圖，在△A8C中，NACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D,E分別是

BC,AC上的點(diǎn)，CD=3,CE=5,連接OE,在邊43上有到一點(diǎn)凡使得EF=E。,且NDEF=45°,

則△人石尸的面積為.

例2.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)、E、F、G分別為A4,3C、C。邊上的點(diǎn)，￡B=3石,CG=4x/3,

21

連接￡尺FG、￡G恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則正方形ABC。的邊長(zhǎng)為.

類題精練

1.如圖，一次函數(shù)y=[r+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含A,

6兩端點(diǎn)），C是線段04上一點(diǎn)，若NCPO=45°,且PC=PO,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

2.（2019年溫州新希望聰明期中卷改編）如圖，點(diǎn)8在線段DE上，BA=BC,ZABC="DB=4BEC=

120°,若4）=5,CE=3,則AC的長(zhǎng)是.

3.（2021年南浦實(shí)驗(yàn)期中卷）如圖，在，4BC。中，ZC=60°,BC=6,CD=4,點(diǎn)E,P,Q分別

為A8,BC,AQ上一點(diǎn)，ZPEQ=120°,PE=QE,連結(jié)￡）￡和。P,當(dāng)DE平分NPEQ,貝i|CP

的長(zhǎng)為.

4.如圖，已知△ABC是等邊三角形，直線/過(guò)點(diǎn)C,分別過(guò)點(diǎn)A,8兩點(diǎn)作AO_L/于點(diǎn)。，作8EJL/

于點(diǎn)￡,若AD=4>/5,BE=7x/3,則A4的長(zhǎng)為.

22

B

5.如圖，A（0,3百），點(diǎn)6在人軸上，點(diǎn)C是反比例函數(shù)），=人>0）圖象上點(diǎn)，若△A6C

是等邊三角形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

6.（2018年溫州瑞安中考一模卷）如圖，在△A8C中，ZC=90,/4=30,BC=8,D為BC中點(diǎn),

點(diǎn)E在邊AB上,△￡>￡?是等邊三角形（按逆時(shí)針順序），GF〃BC交AC于點(diǎn)、G,若3=1,則

等邊三角形OE尸的邊長(zhǎng)為.

23

第6講《“旋轉(zhuǎn)手拉手“之全等》

思路點(diǎn)撥

“手拉手”模型，指的是存在一個(gè)公共頂點(diǎn)，且頂角相等的兩個(gè)等腰三角形，將其兩組底角的對(duì)應(yīng)

頂點(diǎn)分別連結(jié)，形成一組全等三角形的模型.在這里，我們將兩個(gè)等腰三角形的底角頂點(diǎn)形象地稱

之為“左手”和“右手”，而公共頂點(diǎn)起到了“拉”起兩只手的作用，故稱之為“手拉手”模型.也

可以看作為這兩個(gè)全等三角形中的其中一個(gè)三角形繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的全等關(guān)系，故也稱為“旋

轉(zhuǎn)手拉手”.為了表述方便，我們將兩個(gè)等腰三角形的底角頂點(diǎn)的連線稱之為第三組對(duì)應(yīng)邊.

一般地，“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型在實(shí)際的應(yīng)用中，通常以等邊三角形、等腰直角三角形，以及進(jìn)一步

延伸出來(lái)的正方形作為圖形背景進(jìn)行展開(kāi)，圖形分別如下所示：

對(duì)于“手拉手”模型通常存在以下三個(gè)基本結(jié)論：

（1）”手拉手模型”必有一經(jīng)全等三角形；

（2）第三組對(duì)應(yīng)邊（所在直線）的夾角等于等腰三角形的頂角；

（3）第三組對(duì)應(yīng)邊（所在直線）交點(diǎn)與公共頂點(diǎn)的連線，會(huì)平分第三組對(duì)應(yīng)邊構(gòu)成的夾角。

現(xiàn)就以上四種情形，分類具體說(shuō)明如下：

24

1.“等邊三角形”之“旋轉(zhuǎn)手拉手”

思路點(diǎn)撥

如圖，△A6C和△<?￡>￡均為等邊三角形，連接陰人A。交于點(diǎn)0,

則有（I）一組全等三角形為:

（2）第三組對(duì)應(yīng)邊連線的夾角為°,即

（3）連結(jié)OC,則

圖1圖2

經(jīng)典例題

例1.（2020年溫州二中期中卷）如圖，NABC=90",點(diǎn)P在射線BC上,分別以A&AP為邊在NA8C

內(nèi)部作等邊△ABE和等邊△APQ,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交8P于點(diǎn)F,若A4=3,AP=5,求廣。的長(zhǎng).

例2.（2018年溫州梧田一中期中卷改編）如圖，△ABC和△C￡7）均為等邊三角形，且8,C,。三

點(diǎn)共線.線段BE,A。相交于點(diǎn)。，若NDBE=T5°,OA=2,求3c的長(zhǎng).

例3.如圖，P是等邊三角形48c內(nèi)一點(diǎn)，PA=6,PB=8,PC=10,則N4P8=.

25

A

類題精練

I.（2019年平陽(yáng)期末卷）如圖，△AAC和△4P。都是等邊三角形，點(diǎn)。在△A8C內(nèi)，若APCQ是

以NPCQ為頂角的等腰直角三角形，若AQ=而，則的長(zhǎng)為.

2.（2019年繡山中學(xué)百題卷）如圖，點(diǎn)A在第三象限，點(diǎn)。在第四象限，△0A8與△CAD都是等

邊三角形，已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-3）,則點(diǎn)及的坐標(biāo)是.

3.（自編）如圖，AABC和△CDE均為等邊三角形，點(diǎn)A、O、E在同一條直線上，連接BE.若NC4O=

15°,AQ=4,則48的長(zhǎng)為.

4.（2020年溫州市新希望聯(lián)盟期中卷）如圖，在等邊△ABC中，AB=4,8/是AC邊上中線，點(diǎn)。

是BF上一點(diǎn)、,連接4Q,在4D的右側(cè)作等邊△ADE,連接芯憶則△4Kb周長(zhǎng)的最小值是.

26

A

5.（2020年溫州市素養(yǎng)測(cè)試卷）如圖，已知△A8C和△CDE都是等邊三角形，ADLED,DC=2,

AB=3,則A￡2+破2的值為.

6.如圖，在四邊形A8CO中，AC,8。是對(duì)角線，/XABC是等邊三角形，ZADC=30,

AD=6,8。=10,則CO的長(zhǎng)為.

7.如圖，已知等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PC=2,PA=4,P8=2G，則A8的長(zhǎng)為

8.（2018年溫州二中期中卷）如圖，等邊△A8C的邊長(zhǎng)為2,。是射線48上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CD,將

CO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CE,連結(jié)及E,BE.

（1）△ABC的面積為；（直接填入答案）

（2）當(dāng)為Rt△時(shí)，求AO的長(zhǎng);

27

(3)當(dāng)。在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，DC交BE于點(diǎn)F,S△加二^時(shí)，求所的長(zhǎng).

9.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且/4P8=120°,ZAPC=90°.

(1)求證：AP=2BP；

(2)若。為8C的中點(diǎn)，連結(jié)PO,求NCPD的度數(shù).

28

2.“等腰直角三角形”之“旋轉(zhuǎn)手拉手”

思路點(diǎn)撥

如圖，△46C和△C。七均為等腰直角三角形，連接8石、AQ交于點(diǎn)0,

則有（1）一組全等三角形為：;

（2）第三組對(duì)應(yīng)邊連線的夾角為°,即；

（3）連結(jié)0C,則.

經(jīng)典例題

例1.（2020年瑞安東部聯(lián)盟期中卷）如圖，在△ABC中，Z?AC=90°,84=AC,點(diǎn)。在△A8C

內(nèi)，E在8。延長(zhǎng)線上，且NZME=90°,AD=AE,若NCDE=6°,BD=6,則.

例2.（2020年瑞安西部聯(lián)盟期中卷）在等腰RtZ\A8C內(nèi)部有一點(diǎn)。，連結(jié)A。、8。、CO,hZADC=

135°,4)=4,CO=J萬(wàn)，則8。的長(zhǎng)為.

類題精練

1.（2019年瑞安期末卷改編）如圖，在AAOB與△CO。中，ZAOB=NCOD=9U°,且。4=04,

OC=O￡）,且A、C、。三點(diǎn)共線.若CO=1,AC=\/7,則8c的長(zhǎng)為.

29

o

D

2.（自編）如圖，在△ABC與ZxAOE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,且點(diǎn)8、C、

E在同一條直線上，若CE=2,BC=4,則比的長(zhǎng)為

3.（2017年南浦實(shí)驗(yàn)期中卷）如圖，△ABC、/XAEO是兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形，如圖所示

擺放，點(diǎn)8、C、E在同一條直線上，連結(jié)CD若4C=CE=1,連結(jié)BQ,則△A8。的面積為

4.如圖，ZACB=ZDCE=9Q°,AC=BC=6,CD=CE,且AE=3,ZC4E=45°,則A。的長(zhǎng)

為

5.（2020年遼寧錦州中考真題卷改編）已知△A04與△M0N都是等腰直角三角形，且

ZAOB=ZMON=90：

30

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)N恰好在人8邊上時(shí)，且AN=1,BN=3,求ON的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)A、M、N在同一?條直線上時(shí)，若OB=4,ON=3,求3N的長(zhǎng).

圖1圖2

31

3.“正方形”之“旋轉(zhuǎn)手拉手”

思路點(diǎn)撥

如圖，△46C和△C。七均為等腰直角三角形，連接8石、AQ交于點(diǎn)0,

則有（1）一組全等三角形為：;

（2）第三組對(duì)應(yīng)邊連線的夾角為°,即

（3）連結(jié)0C,則.

經(jīng)典例題

例1.將邊長(zhǎng)為后的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為拉的正方形有CEFG如圖擺放，點(diǎn)G恰好落在線段

OE上，連結(jié)BE,

例2.如圖，點(diǎn)P為正方形內(nèi)部一點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,PC,若NAP8=135°,且#4=1,PB=2,

貝|J〃C=

類題精練

1.（2020年南浦實(shí)驗(yàn)期中卷）如圖，以△ABC的邊AC,8c和A8為邊恰好可以向上作正方形ACG產(chǎn)

32

和正方形8a77和正方形A8EQ,若△ABC的面積為3,則圖中六邊形（陰影部分）的面

積為.

2.如圖，四邊形A8C。和四邊形CEFG均是正方形，且點(diǎn)從G、￡三點(diǎn)在同一條直線上，連結(jié)

若DE=7,正方形A4CO的邊長(zhǎng)為13,則正方形C￡?G的邊長(zhǎng)為.

3.（2020年山西中考卷改編）如圖，點(diǎn)E為正方形A8CD內(nèi)一點(diǎn),且A8=I5,ZAEB=90°,以

BE為邊向右側(cè)作正方形BEFG,使C、F、G在同一條直線上.連結(jié)DE,若5=3,則。石二

4.（2020年山東濱州中考卷）如圖，正方形ABCO和正方形CEFG邊長(zhǎng)分別為5和2,正方形CEFG

繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連結(jié)。￡、BG,則。爐+BG?=.

5.如圖，E為正方形44C。對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)E為邊作正方形?！癎,使得點(diǎn)廠恰好落在4c

的延長(zhǎng)線上，連結(jié)CG.若AO=17,DE=13,則CG=,CF=.

33

6.（2020年山東濱州中考卷）如圖，點(diǎn)P是正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、。的距離分

別為2百、叵、4,則正方形人KCQ的面積為.

34

4.“等腰三角形”之“旋轉(zhuǎn)手拉手”

思路點(diǎn)撥

如圖，4c和△AQE均為等腰直角三角形，且AB=AC,AD=AE,連結(jié)4。、CE交于點(diǎn)O,

則有3）一組全等三角形為：;

（2）第三組對(duì)應(yīng)邊連線的夾角為°,即；

（3）連結(jié)0C,則.

圖1圖2圖3

經(jīng)典例題

例1.（2018年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中卷）已知NE4C=90°,AC=6,A3=10,若平面上存在點(diǎn)D,

使得N4/M=90°,當(dāng)￡>C=D4時(shí)，則BD=.

類題精練

1.（2020年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中卷）如圖，己知△8OC是等腰三角形，Z?OC=120°,OB=4,△

AO。是等邊三角形，連結(jié)AB,CD,記△AO8和△OOC的面積分別為S1,S2,將△4。。繞點(diǎn)。旋

轉(zhuǎn)，使得“CO=30°,若CD=5,貝IJS]+52=.

2.（2018年溫州二中期中卷）如圖，己知四邊形A3c。中，/DCR=ZDBC=NDAB=45：AD=4,

35

AI3=3,則AC的長(zhǎng)為

36

第7講《平行四邊形之“對(duì)角線最值問(wèn)題”》

思路點(diǎn)撥

對(duì)于平行四邊形對(duì)角線長(zhǎng)的最值問(wèn)題，考查的是平行四邊形的性質(zhì).即,

在變化的平行四邊形中，通常對(duì)角線的交點(diǎn)位置不變，找到這個(gè)交點(diǎn)的位置，利用

_____________________________________的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行解決問(wèn)題.

經(jīng)典例題

例1.（2019年溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中卷）如圖，在RtZkABC申，々=90°,NA=30°,4c=4,

點(diǎn)七為邊A3上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作所〃8C交NAC8的角平分線于點(diǎn)F.以AACF為邊作D4FC。.當(dāng)

點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則DF的取值范圍為.

類題精練

1.如圖，在△/13c中，N84C=45°,AC=1272,P為AB邊上一點(diǎn)、,以Z4,PC為鄰邊向右側(cè)

做DPAQC,則對(duì)角線PQ長(zhǎng)的最小值為.

2.（2019年溫州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中卷）如圖，在長(zhǎng)方形A3CQ中，對(duì)角線3。、AC交于點(diǎn)O,BD=8,

BC=4,點(diǎn)P為線段AC上任意一點(diǎn)，連接BP,以P人、為鄰邊作。E4Q以連接PQ.當(dāng)PQ取

最小值時(shí)，CP的值是為.

B

37

3.（2018年外國(guó)語(yǔ)期中卷）菱形A8CO的面積為48,對(duì)角線8。為6,為銳角.點(diǎn)似是對(duì)角

線8。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)8、。重合），做則MN的最小值為.

4.（2021年溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中卷）如圖，在等腰RlZXABC中，ZB=90°,BC=2,D在線段AC

上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)A,C）,將線段8。繞著點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段8E,連接AE,以AE,

為鄰邊構(gòu)造D4E4F,連接￡居在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段E*的取值范圍為.

38

第8講《平行四邊形之“雙平等腰”模型》

思路點(diǎn)撥

i.在平行四邊形及特殊的平行四邊形中相關(guān)的問(wèn)題或含有條件的問(wèn)題

中，通常都會(huì)出現(xiàn)“雙平等腰”模型，可借助此模型找到線段的等量關(guān)系，從而為解題找到突破口.

經(jīng)典例題

例1.如圖，在。中，AI3=\,AD=3,將△AC。沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)。落在△ABC所在

平面內(nèi)的點(diǎn)E處，若A