剛體力學(xué)基礎(chǔ)課件

剛體力學(xué)基礎(chǔ)

形狀和大小都不改變的物體剛體：重點(diǎn)研究：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（理想模型）§5—1剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)1.平動(dòng)剛體上任意兩點(diǎn)間的聯(lián)線在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持原方向不變。1動(dòng)畫動(dòng)畫2.轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)。如果轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)，就稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。3.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理注意各量物理意義

例：

將一啞鈴拋出時(shí)，啞鈴上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的軌道都不是拋物線，但質(zhì)心然作拋物線運(yùn)動(dòng)。一般剛體運(yùn)動(dòng)很復(fù)雜，但可以看成是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成?？梢宰C明，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)遵循以下規(guī)律：

不管物體的質(zhì)量如何分布、外力作用在什么地方，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)就象物體的全部質(zhì)量都集中于此，而且所有的外力都作用于其上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一樣。2動(dòng)畫動(dòng)畫動(dòng)畫炮彈在飛行軌道上爆炸成碎片，質(zhì)心仍在拋物線上……質(zhì)心：剛體的質(zhì)量分布中心。通常以質(zhì)心（c）的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整個(gè)剛體的平動(dòng)。1.介紹幾個(gè)物理量角位置

rad角位移

(一般定逆時(shí)針為正)角速度dtdttq=DqD=w

D0lim角加速度220limdtddtdttq=w=DwD=b

D矢量描述:qrd方向由右手螺旋確定rqddtdq=wrr方向與相同qrdr22dtddtdq=w=brbrbr3§

5—2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1-.srad2-s.rad標(biāo)量描述:2.線量與角量的關(guān)系以圓運(yùn)動(dòng)為例

43.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（1）特征:

轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)靜止，其它各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。各質(zhì)元的相同不同各質(zhì)元的相同不同（2）勻加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式:（3）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

考慮剛體上第i

個(gè)質(zhì)元，質(zhì)量為

mi，速度為vi=Ri

，動(dòng)能為整個(gè)剛體的動(dòng)能為動(dòng)畫

JEk221w=m：質(zhì)點(diǎn)慣性的量度J：剛體慣性的量度如果剛體連續(xù)分布J

的大小與剛體總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置有關(guān).kg.m2,標(biāo)量。質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)J越大.20同一剛體，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不一樣。10在總質(zhì)量一定的情況下，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為（剛體對(duì)給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）J小J大討論幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：細(xì)棒細(xì)棒薄圓環(huán)或薄圓筒圓盤或圓柱體薄球殼球體*平行軸定理

以m表示剛體的質(zhì)量，Jc表示它通過(guò)其質(zhì)心c的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若另一軸與此軸平行并且相距為d，則此剛體對(duì)于后一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：*垂直軸定理例：4.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律（1）力矩（力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩）

在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)。注意：

則將分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量只有垂直于轉(zhuǎn)軸的分量對(duì)轉(zhuǎn)軸才有力矩。若不在（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第一定律類比有00=b=w=trrr

恒量時(shí)

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受的合外力矩為零時(shí)，將保持原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變。（3）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第二定律J

t=brr類比有

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體獲得的角加速度大小與合外力矩的量值成正比。方向與合外力矩的方向相同。rrrb=w==trJdtdJdtLd類比有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方程:由牛頓第一定律：5.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用用求導(dǎo)的方法積分加初始條件例1.一根輕繩跨過(guò)一定滑輪（滑輪視為圓盤），繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，m1<m2，滑輪的質(zhì)量為

m

，半徑為R，所受的摩擦阻力矩為

r

，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。試求：物體的加速度和繩的張力。已知：m1，m2，m，R，

r求：.動(dòng)畫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的兩類問(wèn)題：解:研究對(duì)象m1

，m2，m建立坐標(biāo)，受力分析如圖.對(duì)各隔離體寫出運(yùn)動(dòng)方程：對(duì)m1

：對(duì)m2：對(duì)m：

聯(lián)立求得：注意：當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量及摩擦阻力時(shí)：這便是中學(xué)所熟知的結(jié)果問(wèn)：如何求角加速度？根據(jù)可求得§

5—3剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能1.力矩的功合外力對(duì)剛體所作的微功：（

與

互余）2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由質(zhì)點(diǎn)系：類比：

合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。A內(nèi)力矩？3.剛體的機(jī)械能守恒定律剛體的勢(shì)能：設(shè)地面為零勢(shì)面，剛體的質(zhì)心離地面的高度為hc則

若剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中只有重力矩作功，則機(jī)械能守恒。例2.一質(zhì)量為m長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒OA可繞通過(guò)其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)（1）質(zhì)心C和端點(diǎn)A的線速度（2）質(zhì)心C的線加速度解法一（1）研究對(duì)象：細(xì)棒受力分析：（不考慮）力矩零勢(shì)面常數(shù)用動(dòng)能定理作：=0方向：向左零勢(shì)面因豎直位置=0=0（2）解法二用機(jī)械能守恒作：（剛體只有重力矩作功）解法三用運(yùn)動(dòng)方程（轉(zhuǎn)動(dòng)定律）求解：研究對(duì)象：細(xì)棒受力分析：mg（不考慮N）運(yùn)動(dòng)方程：零勢(shì)面回顧“剛體運(yùn)動(dòng)”中勻加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)公式

線量和角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第二定律rrrb=w==trJdtdJdtLd定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理若剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中只有重力矩作功，則機(jī)械能守恒。常數(shù)=w+221JmghcrrcamF=合外力質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§

5—4剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律1.

剛體的角動(dòng)量2.角動(dòng)量定理微分形式積分形式3.角動(dòng)量守恒定律10

對(duì)“剛體”“定軸”轉(zhuǎn)動(dòng)，J

是常數(shù)?！敖莿?dòng)量守恒”就是角速度守恒。20

若變，仍成立演示實(shí)驗(yàn)30適用范圍:慣性系,宏觀、微觀都適用。討論剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)的對(duì)比位移角位移速度角速度加速度角加速度質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力力矩運(yùn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量動(dòng)量角動(dòng)量角動(dòng)量動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)力的功力矩的功動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能（平動(dòng)動(dòng)能）動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理重力勢(shì)能重力勢(shì)能機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律例3.

如圖，質(zhì)量為

M

半徑為

R

的轉(zhuǎn)臺(tái)初始角速度為

0,有一質(zhì)量為m

的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)的中心,若他相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)以恒定的速度u沿半徑向邊緣走去,求人走了t

時(shí)間后,轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。（豎直軸所受摩擦阻力矩不計(jì)）解：人與轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)對(duì)軸角動(dòng)量守恒設(shè)t

時(shí)刻人走到距轉(zhuǎn)臺(tái)中心r=ut

處，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為.對(duì)小球：動(dòng)量定理對(duì)棒：角動(dòng)量定理例4.一根質(zhì)量為M，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，可繞通過(guò)棒中心的垂直軸Z，在xy平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)靜止，今有質(zhì)量為m

的小球以速度逆著軸的方向碰撞棒的端點(diǎn)，假設(shè)碰撞是彈性的，試求碰撞后小球的彈回速度和棒的角速度（1）、（2）聯(lián)立：受力分析：小球棒解法一研究對(duì)象：小球，棒球、棒、地系統(tǒng)機(jī)械能守恒：（3）（4）聯(lián)立將代入，舍棄的解方向：沿y正向方向：沿z正向解法二:應(yīng)用角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律研究系統(tǒng)：小球、細(xì)棒（內(nèi)力矩很大，小球重力忽略）碰撞前后，角動(dòng)量守恒：Z的負(fù)方向Z的正方向Z的正方向（4）（5）聯(lián)立可求彈性碰撞，球、棒、地系統(tǒng)機(jī)械能守恒：例5.一質(zhì)量為M、長(zhǎng)l

的均勻細(xì)桿，以0點(diǎn)為軸，從靜止在與豎直方向成

0角處自由下擺，到豎直位置時(shí)，與光滑桌面上一質(zhì)量為m的靜止物體（質(zhì)點(diǎn)）發(fā)生彈性碰撞。求碰撞后M的角速度

M

和m的線速度v

m

動(dòng)畫解:桿自由下擺,機(jī)械能守恒.（設(shè)桿擺到豎直位置時(shí)角速度為

0）桿與物彈性碰撞過(guò)程系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒,機(jī)械能守恒:零勢(shì)面(1)、(2)、(3)式聯(lián)立解得：§

5—5剛體的平面運(yùn)動(dòng)1.純滾動(dòng)S=2

RAcccRAA0可看成質(zhì)心平動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成（或整個(gè)剛體繞瞬心0轉(zhuǎn)動(dòng)）運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)心平動(dòng)rrcamF=合外力cyycxxmaFmaF==定軸轉(zhuǎn)動(dòng)b=tb=tJJrr合外力矩

注意：10角量是對(duì)質(zhì)心而言的，可以證明：b=w=RaRvcc20瞬心“0”的速度v0=0！30S=R

因軸上各點(diǎn)靜止28演示動(dòng)畫例6.一個(gè)質(zhì)量為m半徑為R的均勻圓柱體，從傾角為

的斜面上由靜止開始無(wú)滑動(dòng)地滾下，求質(zhì)心的加速度。cR解法一：研究對(duì)象：圓柱體建立坐標(biāo)、受力分析：如圖運(yùn)動(dòng)方程：平動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：聯(lián)立，求得：將

ac

代入（1）可得維持圓柱體滾動(dòng)的最小靜摩擦力動(dòng)畫解法二：研究對(duì)象：圓柱體、三角塊、地球組成的系統(tǒng)。圓柱體受力：N，f，mg只有mg作功，機(jī)械能守恒。初態(tài)：頂部末態(tài)：底部cR零勢(shì)面Rv

c=w,

mRJ=2210注意解法一可以求力，解法二則不能，說(shuō)明運(yùn)動(dòng)定律的作用。N，f

都作用在瞬心上，無(wú)滑動(dòng)，不作功?！?/p>

5—6進(jìn)動(dòng)1.進(jìn)動(dòng)：陀螺在繞本身的對(duì)稱軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，對(duì)稱軸還將繞豎直軸OZ轉(zhuǎn)動(dòng)