2025高考一輪復習（人教A版）第26講 事件的相互獨立性（含答案）

高考一輪復習（人教A版）第二十六講事件的相互獨立性閱卷人一、選擇題得分1．將一顆骰子先后鄭兩次，甲表示事件“第一次向上點數(shù)為1”，乙表示事件“第二次向上點數(shù)為2”，丙表示事件“兩次向上點數(shù)之和為8”，丁表示事件“兩次向上點數(shù)之和為7”，則（）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立2．在如圖所示的電路中，三個開關A，B，C閉合與否相互獨立，且在某一時刻A，B，C閉合的概率分別為12，13，A．34 B．58 C．123．已知古典概型的樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}，“事件A={1,2}”，則命題“事件B=Ω”是命題“事件A與事件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．某單位年初有兩輛車參加某種事故保險，對在當年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛車，單位均可獲賠（假設每輛車最多只獲一次賠償）.設這兩輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為120和1A．121 B．221 C．14205．已知事件A、B，如果A與B互斥，那么PAB=p1；如果A與B相互獨立，且PAA．p1=0,pC．p1=0,p6．某學生參與一種答題游戲，需要從A，B，C三道試題中選出一道進行回答，回答正確即可獲得獎品.若該學生選擇A，B，C的概率分別為0.3，0.4，0.3，答對A，B，C的概率分別為0.4，0.5，0.6，則其獲得獎品的概率為（）A．0.5 B．0.55 C．0.6 D．0.757．擲紅藍兩個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，記事件A1：紅骰子的點數(shù)為2，A2：紅骰子的點數(shù)為3，A3：兩個骰子的點數(shù)之和為7，AA．A1與A2對立 B．A3C．A1與A3相互獨立 D．A28．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是5”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與乙互斥 B．丙發(fā)生的概率為1C．甲與丁相互獨立 D．乙與丙相互獨立閱卷人二、多項選擇題得分9．設樣本空間Ω=a,b,c,d含有等可能的樣本點，且A=a,b，B=A．PAB=PAPB B．PAC10．已知事件A,B發(fā)生的概率分別為PAA．若A與B互斥，則PB．若A與B相互獨立，則PC．若PAB=13D．若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則P11．設A，B為隨機事件，且PA，PB是A，B發(fā)生的概率．A．若A，B互斥，則PB．若PABC．若A，B互斥，則A，B相互獨立D．PABP12．拋出一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，得到正反兩面的概率相同．事件A:n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中最多有一次正面朝上，下列說法正確的是（）A．當n=2時，A，B相互獨立 B．當n=3時，A，B相互獨立C．n≥2時，P(A)=2n?22n閱卷人三、填空題得分13．設事件A與B相互獨立，PA=0.4，PB=0.9，則PAB14．若事件A,B發(fā)生的概率分別為PA=12,PB=115．四個村莊A,B,C,D之間建有四條道路AB,BC,CD,DA.在某個月的30天中，每逢單數(shù)日道路AB,CD開放，BC,DA封閉維護，每逢雙數(shù)日道路BC,DA開放，AB,CD封閉維護.一位游客起初住在村莊A，在該月的第k1?k?30天，他以1k的概率沿當天開放的道路去往相鄰村莊投宿，以1?1k的概率留在當前村莊，并且他在這30天里的選擇是相互獨立的.則第30天結(jié)束時該游客住在村莊閱卷人四、解答題得分16．為普及抗疫知識、弘揚抗疫精神，某學校組織防疫知識挑戰(zhàn)賽．每位選手挑戰(zhàn)時，主持人用電腦出題的方式，從題庫中隨機出3道題，編號為T1，T2，①選手每答對一道題目得5分，每答錯一道題目扣3分；②選手若答對第Ti題，則繼續(xù)作答第Ti+1題；選手若答錯第Ti題，則失去第Ti+1題的答題機會，從第③選手初始分為0分，若挑戰(zhàn)結(jié)束后，累計得分不低于7分，則選手挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失?。x手甲即將參與挑戰(zhàn)，已知選手甲答對題庫中任何一題的概率均為34（1）挑戰(zhàn)結(jié)束時，選手甲共答對2道題的概率P1（2）挑戰(zhàn)結(jié)束時，選手甲恰好作答了2道題的概率P2（3）選手甲闖關成功的概率P317．A，B，C三人參加知識闖關比賽，三人闖關成功與否相互獨立.已知A闖關成功的概率是23，A，B，C三人闖關都成功的概率是16，A，B，C三人闖關都不成功的概率是（1）求B，C兩人各自闖關成功的概率；（2）求A，B，C三人中恰有兩人闖關成功的概率.18．第22屆亞運會已于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行．為慶祝這場體育盛會的勝利召開，某市決定舉辦一次亞運會知識競賽，該市A社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽．已知A社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為12，13，14（1）求這3人中至多有2人通過初賽的概率；（2）求這3人都參加市知識競賽的概率；（3）某品牌商贊助了A社區(qū)的這次知識競賽，給參加選拔賽的選手提供了獎勵方案：只參加了初賽的選手獎勵200元，參加了決賽的選手獎勵500元．求三人獎金總額為1200元的概率．19．在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié)．每次信號只發(fā)送0和1中的某個數(shù)字，由于隨機因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤，已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為α0<α<1，1?α；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為β(0<β<1),1?β（1）當連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時，設其相應三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為fα，求f（2）當連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時，設其相應四次接收到的信號數(shù)字依次為x1,x2,x3,x4，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意知，P(甲)=1×66×6=由于P(甲丁故答案為：B.【分析】根據(jù)相互獨立事件求概率公式和獨立事件的判斷方法，即可判斷各選項，從而得出正確的選項.2．【答案】D【解析】【解答】解：已知燈亮由兩個獨立事件組成，即A,B開關同時閉合和C開關同時閉合，由這兩個獨立事件至少有一組閉合，燈就一定亮，而它的對立事件是這兩個獨立事件同時都不滿足閉合，所以燈亮的概率為P=1?1?故答案為：D.【分析】先判斷出燈亮的條件，再利用兩個獨立事件及對立事件概率公式來即可求解3．【答案】A【解析】【解答】解：樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}中事件B包含樣本點個數(shù)可能為B=1，2，3，4，5，6其對應的概率P(B)可能值分別為16，13，12，23，56事件A與事件B相互獨立?P(AB)=P(A)P(B)，B=Ω，則P(B)=1，P(AB)=即“事件B=Ω”是命題“事件A與事件B若B=1,3,4，則P(B)=12，P(AB)=所以事件A與事件B相互獨立，所以命題“事件B=Ω”不是命題“事件A與事件B故命題“事件B=Ω”是命題“事件A與事件B故答案為：A.【分析】由題意，根據(jù)相互獨立事件的定義事件A與事件B相互獨立判斷即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知，

一年內(nèi)該單位兩輛車都不發(fā)生此種事故的概率為1?1則一年內(nèi)該單位這兩輛車至少有一輛發(fā)生此種事故的概率為1?19故一年內(nèi)該單位在此種保險中獲賠的概率為221故答案為：B.【分析】利用對立事件求概率公式和獨立事件乘法求概率公式，從而得出一年內(nèi)該單位兩輛車都不發(fā)生此種事故的概率，再利用對立事件求概率公式，從而得出一年內(nèi)該單位這兩輛車至少有一輛發(fā)生此種事故的概率，即得出一年內(nèi)該單位在此種保險中獲賠的概率.5．【答案】C【解析】【解答】解：如果事件A與B互斥，則PAB=0，所以如果事件A與B相互獨立，則事件A與B也相互獨立，所以PBPA+B=P故答案為：C.【分析】根據(jù)互斥事件的定義和互斥事件求概率公式，則可求出p1的值，再根據(jù)獨立事件的概率公式和對立事件求概率公式以及互斥事件求概率公式，則求出p6．【答案】A【解析】【解答】解：該學生獲得獎品的概率為P=0.3×0.4+0.4×0.5+0.3×0.6=0.5.故選：A

【分析】利用互斥事件和獨立事件的概率（如果事件A和B相互獨立，?則它們的概率乘積等于它們同時發(fā)生的概率）求解.7．【答案】C【解析】【解答】對于A，因為紅骰子的點數(shù)為2與點數(shù)為3不會同時發(fā)生，所以A1與A2互斥，又因為紅骰子的點數(shù)除了2和3，還有1，4，5，6，所以A1對于B：因為兩個骰子的點數(shù)之和為7與點數(shù)之和為9不可能同時發(fā)生，故A3與A對于C：因為A3=1，6則PA1=16,PA3=對于D：因為A4=3，6則PA2=16,PA4=故答案為：C.

【分析】對于AB：根據(jù)對立事件與互斥事件的概念分析判斷；對于CD：根據(jù)獨立事件概率乘法公式結(jié)合古典概型分析判斷.8．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知，兩點數(shù)和為6的所有可能為1,5,兩點數(shù)和為7的所有可能為1,6,P(甲)=16,P(乙)=16對于A選項，甲與乙可以同時發(fā)生，故選項A錯誤；對于B選項，由上可知錯誤，故選項B錯誤；對于C選項，P（甲?。?136=P對于D選項，P（乙丙）=136≠P故選：C.【分析】先分別計算出事件甲、乙、并、丁的概率，可判斷B選項；直接由互斥事件的概念判斷A選項；由獨立事件概率公式判斷C、D選項即可.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由題意得A∩B=B∩C=A∩C=a則P(A)=P(B)=P(C)=24=所以P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).故答案為：ABD.【分析】利用已知條件，易得A∩B=B∩C=A∩C=a，從而得到P(A),P(B),P(C)，P(AB),P(AC),P(BC),P(ABC)10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、因為A與B互斥，則PA+B對于選項B、A與B相互獨立，則PA+BC、因為PA=12,PB=D、因為B發(fā)生時A一定發(fā)生，所以B?A，則PAB故答案為：BC.【分析】利用互斥事件的概率公式即可判斷A，選項B，利用PA+B=P(A)+P(B)?P(AB)，求得PA+B=211．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A：若A，B互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，

則PA∪B對于B：由相互獨立事件的概念知，

若PAB對于C：若A，B互斥，則A，B不一定相互獨立，例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件A=“正面朝上”，事件B=“反面朝上”，事件A與事件B互斥，但P(AB)=0，P(A)=P(B)=1所以不滿足相互獨立事件的定義，故C錯誤；對于D：PAPB所以PABP故答案為：ABD.【分析】利用互斥事件加法概率公式，則可判斷選項A；由相互獨立事件的概念可判斷選項B；由互斥事件和相互獨立事件的概念，則可判斷選項C；由條件概率公式化簡，則判斷出選項D，進而找出說法正確的選項.12．【答案】B,C【解析】【分析】由相互獨立事件概率乘法公式及對立事件概率公式依次判斷即可．【解答】拋出兩次，有正反，反正，正正，反反，共四種情況，P(A)=又因為P(AB)=1拋出三次：正正正，正正反，正反正，正反反，反反反，反反正，反正反，反正正，共八種情況，則PA=68=拋出n次有2n種組合，A則PA=2P(B)=1故選：BC13．【答案】0.36；0.94【解析】【解答】解：因為事件A與B相互獨立，

所以PABPA∪B故答案為：0.36；0.94.【分析】由獨立事件乘法求概率公式和交事件、并事件計算公式，從而計算出結(jié)果.14．【答案】2【解析】【解答】解：若事件A,B發(fā)生的概率分別為PA=12,P則PA∪B故答案為：23【分析】根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式求解即可.15．【答案】15【解析】【解答】解：對n=0,1,?,15，用an表示游客恰有n天通過道路AB或CD的概率，bn表示該游客恰有n天通過道路BC或fxgx根據(jù)條件知an為fn的n次項系數(shù)，bn為g第30天結(jié)束時，游客住在村莊B當且僅當他通過道路AB或CD的總天數(shù)為奇數(shù)，且通過道路BC或DA的總天數(shù)為偶數(shù)，因為f1=1，f?1=?1×所以a1+a所以第30天結(jié)束時該游客住在村莊B的概率p=15故答案為：1558.

【分析】先設兩種情況的概率，再列函數(shù)，最后根據(jù)函數(shù)求游客在村莊B16．【答案】解：設Ai為選手答對Ti題，其中i=1,2,3.

（1）設挑戰(zhàn)結(jié)束后，選手甲共答對2道題為事件A，

選手甲共答對2道即選手甲前2題答對且第3題答錯，

所以A=A1A2A3，所以，由事件獨立性的定義得

P1=PA=PA1A2A3=PA1PA2PA3=34×34×1?34=964

（2）設挑戰(zhàn)結(jié)束時，選手甲恰好作答了2道題為事件B【解析】【分析】（1）根據(jù)“選手甲共答對2道即選手甲前2題答對且第3題答錯”，再結(jié)合相互獨立事件乘法求概率公式、對立事件加法求概率公式，從而計算出挑戰(zhàn)結(jié)束時，選手甲共答對2道題的概率P1（2）根據(jù)“選手甲恰好作答了2道題即選手甲第1題答錯或第一題答對且第2題答錯”，再結(jié)合相互獨立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式、對立事件求概率公式，從而計算出挑戰(zhàn)結(jié)束時，選手甲恰好作答了2道題的概率P2（3）根據(jù)““選手甲闖關成功”是“選手甲恰好作答了2道題”的對立事件”，再結(jié)合（2）以及對立事件求概率公式，從而計算出選手甲闖關成功的概率P317．【答案】（1）解：記A,B,C三人各自闖關成功分別為事件D,E,F，三人闖關成功與否得相互獨立，且滿足PD=23PDP所以B，C兩人各自闖關成功的概率都是12（2）解：設A，B，C三人中恰有兩人闖關成功為事件H，則PH所以三人中恰有兩人闖關成功的概率為512【解析】【分析】（1）記A,B,C三人各自闖關成功分別為事件D,E,F，三人各自獨立闖關，由題意結(jié)合獨立事件的概率公式可列出方程組，求解B，C兩人各自闖關成功的概率即可；（2）三人中恰有兩人闖關成功為事件DEF+D（1）記A,B,C三人各自闖關成功分別為事件D,E,F，三人闖關成功與否得相互獨立，且滿足PD解得PE=1所以B，C兩人各自闖關成功的概率都是12（2）設A，B，C三人中恰有兩人闖關成功為事件H，則PH所以三人中恰有兩人闖關成功的概率為51218．【答案】（1）解：由題意可得：3人全通過初賽的概率為12所以這3人中至多有2人通過初賽的概率為1?1（2）解：甲參加市知識競賽的概率為12乙參加市知識競賽的概率為13丙參加市知識競賽的概率為14所以這3人都參加市知識競賽的概率為P=1（3）解：由題意可得：要使得獎金之和為1200元，則只有兩人參加決賽，

記“甲、乙、丙三人獲得獎金之和為1200元”為事件A，

則PA【解析】【分析】（1）先計算出3人都通過初賽的概率，再利用對立事件的概率公式即可求解；（2）)先分別計算出3人各自參加市知識競賽的概率，再利用獨立事件概率公式即可求解；（3）先根據(jù)獎金為1200元，判斷出3人中有2人通過初賽的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率；（1）由題意可得：3人全通過初賽的概率為12所以這3人中至多有2人通過初賽的概率為1?1（2）甲參加市知識競賽的概率為12乙參加市知識競賽的概率為13丙參加市知識競賽的概率為14所以這3人都參加市知識競賽的概率為P=1（3）由題意可得：要使得獎金之和為1200元，則只有兩人參加決賽，記“甲、乙、丙三人獲得獎金之和為1200元”為事件A，則PA19．【答案】（1）解：由題可知fα因為0<α<1，所以當α=1