2020年高考數(shù)學(xué)一輪(江蘇理)-第2章-2-3-函數(shù)的奇偶性與周期性

§2.3函數(shù)的奇偶性與周期性考情考向分析以理解函數(shù)的奇偶性、會(huì)用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識(shí)，題型以填空題為主，中等偏上難度．1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函數(shù)f(x)，g(x)的奇偶性，那么函數(shù)f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么結(jié)論？提示在函數(shù)f(x)，g(x)公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函數(shù)f(x)滿足下列條件，你能得到什么結(jié)論？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝eq\f(1,fx)(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|(2)T＝2|a|(3)T＝|a－b|題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(×)(2)偶函數(shù)的圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)．(×)(3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(√)(4)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(√)題組二教材改編＝________.答案－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.3．[P43練習(xí)T4]函數(shù)y＝f(x)為(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且f(|a|)＝3，則f(－a)＝________.答案3解析若a≥0，則f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；若a<0，則f(－a)＝f(|a|)＝3.故對(duì)a∈R，總有f(－a)＝3.4．[P45習(xí)題T8]若函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，則a＝________.答案1解析∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)對(duì)x∈R恒成立，∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，∴1－a＝0，∴a＝1.題組三易錯(cuò)自糾5．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是________．答案eq\f(1,3)解析∵f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，∴a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f(1,3).又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝eq\f(1,3).6．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，且當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))時(shí)，f(x)＝－x3，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＝________.答案eq\f(1,8)解析由f(x＋3)＝f(x)知函數(shù)f(x)的周期為3，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,8).題型一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(36－x2)＋eq\r(x2－36)；(2)f(x)＝eq\f(ln1－x2,|x－2|－2)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36－x2≥0，,x2－36≥0，))得x2＝36，解得x＝±6，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－6,6}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)＝eq\r(36－x2)＋eq\r(x2－36)＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得定義域?yàn)?－1,0)∪(0,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(ln1－x2,－x).又∵f(－x)＝eq\f(ln[1－－x2],x)＝eq\f(ln1－x2,x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．思維升華判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是________．(填序號(hào))①f(x)＝x＋sin2x;②f(x)＝x2－cosx；③f(x)＝3x－eq\f(1,3x)；④f(x)＝x2＋tanx.答案④解析對(duì)于①，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x為奇函數(shù)；對(duì)于②，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以f(x)＝x2－cosx為偶函數(shù)；對(duì)于③，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝3－x－eq\f(1,3－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,3x)))＝－f(x)，所以f(x)＝3x－eq\f(1,3x)為奇函數(shù)；對(duì)于④，f(x)＝x2＋tanx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)＝lg|sinx|是________．(填序號(hào))①最小正周期為π的奇函數(shù)；②最小正周期為2π的奇函數(shù)；③最小正周期為π的偶函數(shù)；④最小正周期為2π的偶函數(shù)．答案③解析易知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，又函數(shù)y＝|sinx|的最小正周期為π，所以函數(shù)f(x)＝lg|sinx|是最小正周期為π的偶函數(shù)．題型二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用1．若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x，0≤x≤1，,sinπx，1<x≤2，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝________.答案eq\f(5,16)解析由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×4－\f(3,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×4－\f(7,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)))＝－eq\f(3,16)＋sineq\f(π,6)＝eq\f(5,16).2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)＝2－eq\r(3)，且對(duì)任意的x都有f(x＋2)＝eq\f(1,－fx)，則f(2020)＝________.答案－2－eq\r(3)解析由f(x＋2)＝eq\f(1,－fx)，得f(x＋4)＝eq\f(1,－fx＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(2020)＝f(4)．因?yàn)閒(2＋2)＝eq\f(1,－f2)，所以f(4)＝－eq\f(1,f2)＝－eq\f(1,2－\r(3))＝－2－eq\r(3).故f(2020)＝－2－eq\r(3).3．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)＝2x－1，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋f(2)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝________.答案eq\r(2)－1解析依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，則f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋0＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(0)＝－1＋20－1＝eq\r(2)－1.思維升華利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題．題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1求函數(shù)值或函數(shù)解析式例2(1)設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，若在區(qū)間[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，－2≤x<0，,ax－1，0<x≤2，))則f(2021)＝________.答案－eq\f(1,2)解析設(shè)0<x≤2，則－2≤－x<0，f(－x)＝－ax＋b.因?yàn)閒(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1.而f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，所以－2a＋b＝2a－1，解得a＝eq\f(1,2)，所以f(2021)＝f(1)＝eq\f(1,2)×1－1＝－eq\f(1,2).(2)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝e－x－1－x，則f(x)＝________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x－1－x，x≤0，,ex－1＋x，x>0))解析∵當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x－1－x，x≤0，,ex－1＋x，x>0.))命題點(diǎn)2求參數(shù)問(wèn)題例3(1)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝__________.答案1解析∵f(－x)＝f(x)，∴－xln(eq\r(a＋x2)－x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))，∴l(xiāng)n[(eq\r(a＋x2))2－x2]＝0.∴l(xiāng)na＝0，∴a＝1.(2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x<0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，則a＋3b的值為_(kāi)_______．答案－10解析因?yàn)閒(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))且f(－1)＝f(1)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，從而eq\f(\f(1,2)b＋2,\f(1,2)＋1)＝－eq\f(1,2)a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝eq\f(b＋2,2)，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.(3)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是____________．答案[－1,0]解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，且－1－a≤0，此時(shí)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,－2)＝\f(a,2)≤0，,－1－a≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a≥－1，))即－1≤a≤0.命題點(diǎn)3利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式例4(1)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(lnx)<f(2)，則x的取值范圍是________．答案(e－2，e2)解析根據(jù)題意知，f(x)為偶函數(shù)且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(lnx)<f(2)?|lnx|<2，即－2<lnx<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范圍是(e－2，e2)．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍為_(kāi)_____________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))解析由已知得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，因?yàn)閥＝ln(1＋x)與y＝－eq\f(1,1＋x2)在(0，＋∞)上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，兩邊平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得eq\f(1,3)<x<1.所以符合題意的x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).思維升華解決周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問(wèn)題，通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，再利用奇偶性和單調(diào)性求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝2x(1－x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝________.答案－eq\f(1,2)解析由題意可知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則f(－25)，f(11)，f(80)的大小關(guān)系為_(kāi)_______．答案f(－25)<f(80)<f(11)解析因?yàn)閒(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)<f(0)<f(1)．所以f(－25)<f(80)<f(11)．(3)已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，g(x)＝－ln(1－x)，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,gx，x>0，))若f(6－x2)>f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．答案(－3,2)解析∵g(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函數(shù)，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，∴－3<x<2.函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來(lái)確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題．一、函數(shù)性質(zhì)的判斷例1(1)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)，其中a∈R.討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論．解方法一f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．若f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)恒成立，即ax2－eq\f(1,x)＝－ax2－eq\f(1,x)，得2ax2＝0恒成立，所以a＝0；若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)恒成立，即ax2－eq\f(1,x)＝ax2＋eq\f(1,x)，得eq\f(2,x)＝0，這是不可能的．綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)為非奇非偶函數(shù)．方法二f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝eq\f(1,x)，f(－x)＝－eq\f(1,x)＝－f(x)，此時(shí)f(x)為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(－1)＝a－1，f(1)＝a＋1，則f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．(2)下列函數(shù)：①y＝sin3x＋3sinx; ②y＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)；③y＝lgeq\f(1－x,1＋x)； ④y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x－1，x>0.))其中是奇函數(shù)且在(0,1)上是減函數(shù)的是________．(填序號(hào))答案②③解析易知①中函數(shù)在(0,1)上為增函數(shù)；④中函數(shù)不是奇函數(shù)；滿足條件的函數(shù)為②③.(3)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，當(dāng)x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時(shí)，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0.給出下列命題：①f(3)＝0；②直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為增函數(shù)；④函數(shù)y＝f(x)在[－9,9]上有四個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______．答案①②④解析∵f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)．又f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(3)＝0，故①正確；由①知f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期為6.又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x＋6)＝f(－x)，而f(x)的周期為6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，f(－x)＝f(－x－6)，所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸．故②正確；當(dāng)x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時(shí)，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以函數(shù)y＝f(x)在[0,3]上為增函數(shù)．因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)在[－3,0]上為減函數(shù)，而f(x)的周期為6，所以函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為減函數(shù)．故③錯(cuò)誤；f(3)＝0，f(x)的周期為6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，所以函數(shù)y＝f(x)在[－9,9]上有四個(gè)零點(diǎn)．故④正確．二、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例2(1)(2018·全國(guó)Ⅱ改編)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.答案2解析∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．由f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.(2)(2018·南京、鹽城模擬)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．如果實(shí)數(shù)t滿足f(lnt)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,t)))≤2f(1)，那么t的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))解析f(lnt)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,t)))＝f(lnt)＋f(－lnt)＝2f(lnt)＝2f(|lnt|)，于是f(lnt)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,t)))≤2f(1)，所以f(|lnt|)≤f(1)，所以|lnt|≤1，所以－1≤lnt≤1，所以eq\f(1,e)≤t≤e.(3)(2018·揚(yáng)州期末)已知函數(shù)f(x)＝sinx－x＋eq\f(1－4x,2x)，則關(guān)于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集為_(kāi)_______．答案(2,3)解析因?yàn)閒(－x)＝sin(－x)＋x＋eq\f(1－4－x,2－x)＝－sinx＋x＋eq\f(4x－1,2x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．又因?yàn)閒(x)＝sinx－x＋eq\f(1,2x)－2x，所以易判斷f(x)在R上單調(diào)遞減，所以f(1－x2)＋f(5x－7)<0，即f(1－x2)<f(7－5x)，所以1－x2>7－5x，即x2－5x＋6<0，解得2<x<3.

1．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是________．(填序號(hào))①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.答案②④解析由奇函數(shù)的定義f(－x)＝－f(x)驗(yàn)證，①f(|－x|)＝f(|x|)，為偶函數(shù)；②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，為奇函數(shù)；③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，為偶函數(shù)；④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，為奇函數(shù)．可知②④正確．2．已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋m，則f(－2)＝________.答案－3解析由f(x)為R上的奇函數(shù)，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，則f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0))為_(kāi)_______函數(shù)．(填“奇”或“偶”)答案奇解析f(x)的定義域?yàn)镽(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．(1)當(dāng)x＝0時(shí)，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)；(2)當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；(3)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．由(1)(2)(3)可知，當(dāng)x∈R時(shí)，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．4．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，且當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))時(shí)，f(x)＝log2(－3x＋1)，則f(2021)＝________.答案－2解析∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，∴f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．∵－1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，且當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))時(shí)，f(x)＝log2(－3x＋1)，∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，∴f(2021)＝－f(－1)＝－2.5．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(1)＝2，則不等式f(log2x)>2的解集為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)解析f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(log2x)>2＝f(1)?f(|log2x|)>f(1)?|log2x|>1?log2x>1或log2x<－1?x>2或0<x<eq\f(1,2).6．已知偶函數(shù)f(x)對(duì)于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是________．(用“<”連接)答案f(0)<f(－6.5)<f(－1)解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期是2.∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________.答案－eq\f(3,2)解析函數(shù)f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化簡(jiǎn)得lneq\f(1＋e3x,e3x＋e6x)＝2ax＝lne2ax，即eq\f(1＋e3x,e3x＋e6x)＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0恒成立，所以a＝－eq\f(3,2).8．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lnx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))))的值為_(kāi)_______．答案－ln2解析由已知可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))＝lneq\f(1,e2)＝－2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))))＝f(－2)．又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))))＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2.9．奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù)，且在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為－1，則f(6)＋f(－3)的值為_(kāi)_______．答案9解析由于f(x)在[3,6]上為增函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(6)＝8，f(x)的最小值為f(3)＝－1，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.10．設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x<0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－x))，0≤x<1，))其中a∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))，則f(5a)的值是________．答案－eq\f(2,5)解析由已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)＋a，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(1,2)))＝eq\f(1,10).又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))，則－eq\f(1,2)＋a＝eq\f(1,10)，a＝eq\f(3,5)，∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋eq\f(3,5)＝－eq\f(2,5).11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.經(jīng)檢驗(yàn)，m＝2符合題意．(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]．12．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式．(1)證明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．13．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)>0，f(x＋2)＝eq\f(1,fx)對(duì)任意x∈R恒成立，則f(2023)＝________.答案1解析因?yàn)閒(x)>0，f(x＋2)＝eq\f(1,f