2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關系 同步分層作業(yè)（含解析） 浙教版八年級下冊數(shù)學

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）2.4一元二次方程根與系數(shù)的關系同步分層作業(yè)基礎過關基礎過關1．已知方程2x2+3x﹣4＝0的兩根分別為x1和x2，則x1+x2的值等于（）A．2 B．﹣2 C． D．2．已知方程x2+5x﹣2＝0的兩根分別是x1、x2，則x1+x2﹣x1x2的值為（）A．﹣7 B．﹣3 C．7 D．33．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則的值為（）A． B．2 C． D．﹣24．一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的兩根分別為x1、x2，若x1+x2＝4，則+＝（）A．16 B．19 C．13 D．85．關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根分別為﹣2和3，則（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝66．關于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0，下列說法錯誤的是（）A．方程有兩個不相等的實數(shù)根B．方程的兩根之和為2 C．方程的兩根異號 D．方程的兩根互為倒數(shù)7．關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．則該方程的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個正實數(shù)根 C．兩根之積為﹣6 D．兩根之和為18．已知方程x2+3x﹣1＝0的兩個根是x1，x2，則（1﹣x1）（1﹣x2）＝．9．關于x的方程x2+kx﹣8＝0的一個根是2，則另一個根是．10．已知方程x2+x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，則的值為．11．關于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0．（1）判斷方程根的情況，并說明理由；（2）若方程有一個根是2，求它的另一個根．12．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根，在不解方程的前提下，求下列各式的值．（1）（2）x1﹣x213．已知關于x的一元二次方程3x2+5x+m＝0．（1）當m為何值時，方程有實數(shù)解；（2）當該方程的一個根為﹣2時，求m的值及方程的另一根．14．已知關于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個實數(shù)根x1、x2．（1）若x1＝x2，求m的值；（2）若x1＝2x2，求m的值；（3）若△ABC有一邊長為2，另兩邊長恰好為x1、x2，求m的取值范圍．能力提升能力提升15．若a，b為方程x2﹣3x+2＝0的兩個實數(shù)根，則a2﹣3a+2ab的值為（）A．﹣2 B．0 C．2 D．416．小州與小冬在解方程x2+bx+c＝0時，小州寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是2和﹣4，小冬寫錯了一次項系數(shù)，得到方程的兩個根是﹣1和3，則b與c的值分別是（）A．b＝2，c＝﹣8 B．b＝2，c＝﹣3 C．b＝﹣2，c＝8 D．b＝2，c＝317．已知m，n是方程x2﹣2x﹣6＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式m2﹣3mn+n2的值為．18．已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的兩個實數(shù)根．（1）求證：無論m為何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）當m為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（3）當m為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．19．如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，其中一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個根是x1＝2，x2＝4，則方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）通過計算，判斷x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；（2）若關于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代數(shù)式m2+2m+2的值；（3）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常數(shù)）是“倍根方程”，請直接寫出m的值．培優(yōu)拔尖20．已知實數(shù)a，b，c，m，n，其中a≠0，滿足，.則以下說法：①b2﹣12ac≥0；②若a，b，c，均為奇數(shù)，則m，n不能都為整數(shù)；③關于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的兩根為3m，n．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．321．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的兩個根，則代數(shù)式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（）A．4 B．3 C．2 D．122．若x1＝2025，x2＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則方程的解為．23．閱讀與思考下面是小文撰寫的數(shù)學小論文，請仔細閱讀并完成相應任務．通過解一元二次方程分成某些二次三項式，我們把形如ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的多項式叫做關于x的二次三項式．通過初中學習可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反過來，是否可以利用求出一元二次方程兩個根的方法，把某些二次三項式分解因式呢？根據(jù)下面代數(shù)推理，可以得出結果，設一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個實數(shù)根為，，直接計算：a（x﹣x1）（x﹣x2）．下面是代數(shù)推理過程：解：＝＝ax2+bx+c．即ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．這就是說，在因式分解二次三項式ax2+bx+c（a≠0）時，可先求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，然后寫成ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．即通過解一元二次方程可以將某些二次三項式分解因式．任務：（1）已知p，q是兩個常數(shù)，一元二次方程x2+px+q＝0的兩個實數(shù)根為x1＝﹣5，x2＝2，則二次三項式x2+px+q分解因式的結果是；（2）因式分解：x2﹣x﹣12的結果是；（3）請用閱讀內(nèi)容中的方法，因式分解：x2+4x﹣6．24．利用韋達定理，解決下列問題：（1）已知a、b是方程x2+10x+5＝0的二根，求的值．（2）結合二元一次方程組的相關知識，解決問題：已知和是關于x，y的方程組的兩個不相等的實數(shù)解．問：是否存在實數(shù)k，使得y1y2﹣＝2？若存在，求出的k的值，若不存在，請說明理由．25．我們在探究一元二次方程根與系數(shù)的關系中發(fā)現(xiàn)：如果關于x的方程x2+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1?x2＝q，請根據(jù)這一結論，解決下列問題：（1）若α，β是方程x2﹣3x+1＝0的兩根，則α+β＝，α?β＝；（2）已知a，b滿足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值；（3）已知a，b，c滿足a+b+c＝0，abc＝5，求正整數(shù)c的最小值．

答案與解析基礎過關基礎過關1．已知方程2x2+3x﹣4＝0的兩根分別為x1和x2，則x1+x2的值等于（）A．2 B．﹣2 C． D．【點撥】利用一元二次方程根與系數(shù)的關系即可解決問題．【解析】解：因為方程2x2+3x﹣4＝0的兩根分別為x1和x2，所以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可知：．故選：D．【點睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．2．已知方程x2+5x﹣2＝0的兩根分別是x1、x2，則x1+x2﹣x1x2的值為（）A．﹣7 B．﹣3 C．7 D．3【點撥】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2＝﹣5，x1?x2＝﹣2，然后把它們代入x1+x2﹣x1x2中計算即可．【解析】解：根據(jù)題意得x1+x2＝﹣5，x1?x2＝﹣2，所以x1+x2﹣x1x2＝﹣5﹣（﹣2）＝﹣3．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．3．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則的值為（）A． B．2 C． D．﹣2【點撥】根據(jù)x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，得出x1+x2＝2，x1?x2＝﹣1，再把變形為，然后代入計算即可．【解析】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝﹣1．∴＝＝﹣2故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．4．一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的兩根分別為x1、x2，若x1+x2＝4，則+＝（）A．16 B．19 C．13 D．8【點撥】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關系得到，再由＝進行求解即可．【解析】解：∵關于x的一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的兩根分別為x1，x2，∴，∵x1+x2＝4，∴＝＝＝13，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，正確得到＝是解題的關鍵．5．關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根分別為﹣2和3，則（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6【點撥】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，然后解一次方程即可得到b與c的值．【解析】解：根據(jù)題意得﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，所以b＝﹣1，c＝﹣6．故選：B．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．6．關于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0，下列說法錯誤的是（）A．方程有兩個不相等的實數(shù)根B．方程的兩根之和為2 C．方程的兩根異號 D．方程的兩根互為倒數(shù)【點撥】求出判別式的值再結合根與系數(shù)的關系可得結論．【解析】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴Δ＝4+4＝8＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根之和為2，兩根之積為﹣1，∴選項A，B，C正確．故選：D．【點睛】本題考查根與系數(shù)關系，根的判別式，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．7．關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．則該方程的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個正實數(shù)根 C．兩根之積為﹣6 D．兩根之和為1【點撥】先計算根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況，再根據(jù)根與系數(shù)的關系，得出兩根之積和兩根之和．【解析】解：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）＝（k+1）2+24＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故A錯誤，該選項不符合題意；設x1、x2是一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝k+1，x1?x2＝﹣6，故C正確，該選項不符合題意；D錯誤，該選項不符合題意；∴兩根的符號相反，故B錯誤，該選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關系，解答本題的關鍵要明確：若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．已知方程x2+3x﹣1＝0的兩個根是x1，x2，則（1﹣x1）（1﹣x2）＝3．【點撥】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出x1+x2＝﹣3，x1?x2＝﹣1，再將（1﹣x1）（1﹣x2）根據(jù)多項式乘多項式的運算法則展開，然后將值代入計算即可得出答案．【解析】解：由根與系數(shù)的關系可知：x1+x2＝﹣3，x1?x2＝﹣1，（1﹣x1）（1﹣x2）＝1﹣x1﹣x2+x1?x2＝1﹣（﹣3）+（﹣1）＝3，故答案為：3．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則，．9．關于x的方程x2+kx﹣8＝0的一個根是2，則另一個根是﹣4．【點撥】利用兩根之積求解即可．【解析】解：設另一個根為m．則有2m＝﹣8，∴m＝﹣4．故答案為：﹣4．【點睛】本題考查根與系數(shù)關系，一元二次方程的解，解題的關鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．10．已知方程x2+x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，則的值為．【點撥】先利用根與系數(shù)的關系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，然后利用整體代入的方法計算．【解析】解：根據(jù)根與系數(shù)的關系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，所以＝＝．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．11．關于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0．（1）判斷方程根的情況，并說明理由；（2）若方程有一個根是2，求它的另一個根．【點撥】（1）利用一元二次方程根的判別式即可解決問題．（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關系即可解決問題．【解析】解：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，理由如下：因為Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）由題知，方程的兩根之積為﹣1，因為方程有一個根是2，所以方程的另一個根為．【點睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關系及根的判別式，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系及根的判別式是解題的關鍵．12．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩根，在不解方程的前提下，求下列各式的值．（1）（2）x1﹣x2【點撥】（1）將所求式子變形為，然后整體代入上面兩個式子計算即可；（2）先求得，再根據(jù)平方根的定義計算即可．【解析】解：（1）由條件可知：x1+x2＝3，x1?x2＝﹣4．∴＝＝﹣；（2）由條件可知：x1+x2＝3，x1?x2＝﹣4．∴＝32﹣4×（﹣4）＝25，∴x1﹣x2＝±5．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系．由一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得x1+x2＝3，x1?x2＝﹣4是關鍵．13．已知關于x的一元二次方程3x2+5x+m＝0．（1）當m為何值時，方程有實數(shù)解；（2）當該方程的一個根為﹣2時，求m的值及方程的另一根．【點撥】（1）利用一元二次方程根的判別式即可解決問題．（2）將x＝﹣2代入方程，可求出m的值，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關系即可求出方程的另一個根．【解析】解：（1）由題知，Δ＝52﹣4×3×m≥0，解得m≤，所以當m≤時，方程有實數(shù)解．（2）將x＝﹣2代入方程得，12﹣10+m＝0，解得m＝﹣2．由一元二次方程根與系數(shù)的關系可知，方程的兩根之和為，所以方程的另一個根為：．【點睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關系及跟的判別式，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系及根的判別式是解題的關鍵．14．已知關于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個實數(shù)根x1、x2．（1）若x1＝x2，求m的值；（2）若x1＝2x2，求m的值；（3）若△ABC有一邊長為2，另兩邊長恰好為x1、x2，求m的取值范圍．【點撥】（1）根據(jù)Δ＝0即可求解；（2）利用根和系數(shù)的關系解答即可求解；（3）求出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關系和根的判別式解答即可求解．【解析】解：（1）∵已知關于x的方程x2﹣4x+m＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝16﹣4m＝0，解得m＝4；（2）∵已知關于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個實數(shù)根x1、x2，∴x1+x2＝4，x1x2＝m，∵x1＝2x2，∴2x2+x2＝4，∴，∴，∴；（3）解方程x2﹣4x+m＝0得，，，∵△ABC有一邊長為2，另兩邊長恰好為x1、x2，∴，即，解得3＜m≤4，又∵Δ＝16﹣4m≥0，∴m≤4，∴m的取值范圍為3＜m≤4．【點睛】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，根和系數(shù)的關系，掌握以上知識點是解題的關鍵．能力提升能力提升15．若a，b為方程x2﹣3x+2＝0的兩個實數(shù)根，則a2﹣3a+2ab的值為（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【點撥】根據(jù)題意可得a2﹣3a＝﹣2，ab＝2，代入計算即可求解．【解析】解：∵a，b為方程的兩個實數(shù)根，∴a2﹣3a+2ab＝﹣2+2×2＝2，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，代入求值，理解一元二次方程解的概念，掌握根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．16．小州與小冬在解方程x2+bx+c＝0時，小州寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是2和﹣4，小冬寫錯了一次項系數(shù)，得到方程的兩個根是﹣1和3，則b與c的值分別是（）A．b＝2，c＝﹣8 B．b＝2，c＝﹣3 C．b＝﹣2，c＝8 D．b＝2，c＝3【點撥】利用根與系數(shù)關系構建方程組求解．【解析】解：由題意，∴b＝2，c＝﹣3．故選：B．【點睛】本題考查根與系數(shù)關系，根的判別式，解題的關鍵是理解題意，學會構建方程或不等式解決問題．17．已知m，n是方程x2﹣2x﹣6＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式m2﹣3mn+n2的值為34．【點撥】先根據(jù)根與系數(shù)的關系得m+n＝2，mn＝﹣6，然后利用整體代入的方法計算．【解析】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣6＝0的兩個實數(shù)根，∴m+n＝2，mn＝﹣6，∴m2﹣3mn+n2＝（m+n）2﹣5mn＝4+30＝34．故答案為：34．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．18．已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的兩個實數(shù)根．（1）求證：無論m為何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）當m為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（3）當m為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．【點撥】（1）求出判別式的符號，即可得證；（2）根據(jù)勾股定理結合根與系數(shù)的關系進行求解即可；（3）分BC為腰和BC為底邊兩種情況進行求解即可．【解析】解：（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0，∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2）＝m2+2m+1﹣12m+24＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0；∴無論m為何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）由題意，得：AC+AB＝m+1，AC?AB＝3（m﹣2），∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，∴BC2＝AB2+AC2，∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC?AB＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2）＝m2﹣4m+13＝25，解得：m＝6或m＝﹣2（不合題意，舍去）；∴m＝6；（3）①當BC為腰長時，則方程有一個根為5，代入方程，得：25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0，∴m＝7，∴方程為：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5，∴等腰三角形的三邊為：5，5，3，∴周長為：5+5+3＝13；②當BC為底邊時，則方程有2個相同的實數(shù)根，∴Δ＝（m﹣5）2＝0，∴m＝5，∴方程為：x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，∴等腰三角形的周長為：3+3+5＝11；綜上：周長為11或13．【點睛】本題考查根的判別式，根與系數(shù)之間的關系，勾股定理及等腰三角形的性質，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．19．如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，其中一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個根是x1＝2，x2＝4，則方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）通過計算，判斷x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；（2）若關于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代數(shù)式m2+2m+2的值；（3）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常數(shù)）是“倍根方程”，請直接寫出m的值．【點撥】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根據(jù)新定義進行判斷；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝m，再根據(jù)新定義m＝4或m＝1，然后把m＝4或m＝1代入所求的代數(shù)式中進行分式的運算即可；（3）設方程的根的兩根分別為α、2α，根據(jù)根與系數(shù)的關系得α+2α＝m﹣1，α?2α＝32，然后求出α，再計算對應的m的值．【解析】解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1，則方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”；（2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0，解得x1＝2，x2＝m，∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，∴m＝4或m＝1，當m＝4時，m2+2m+2＝16+8+2＝26；當m＝1時，m2+2m+2＝1+2+2＝5，綜上所述，代數(shù)式m2+2m+2的值為26或5；（3）根據(jù)題意，設方程的根的兩根分別為α、2α，根據(jù)根與系數(shù)的關系得α+2α＝m﹣1，α?2α＝32，解得α＝4，m＝13或α＝﹣4，m＝﹣11，∴m的值為13或﹣11．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝．也考查了閱讀理解能力．培優(yōu)拔尖20．已知實數(shù)a，b，c，m，n，其中a≠0，滿足，.則以下說法：①b2﹣12ac≥0；②若a，b，c，均為奇數(shù)，則m，n不能都為整數(shù)；③關于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的兩根為3m，n．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【點撥】①根據(jù)題意，可得b＝a（3m+n），c＝amn，將其代入原式中，再利用公式法與提公因式法進行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根據(jù)a，m，n是實數(shù)，可知a2（3m﹣n）2≥0．②若m，n都為整數(shù)，其可能情況有：①m，n都為奇數(shù)；②m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，分別進行論證討論即可．③利用根與系數(shù)的關系進行判斷即可．【解析】解：①∵，，∴b＝a（3m+n），c＝amn，則b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn＝a2（9m2﹣6mn+n2）＝a2（3m﹣n）2，∵a，m，n是實數(shù)，∴a2（3m﹣n）2≥0，∴b2﹣12ac≥0．故①正確；②若m，n都為整數(shù)，其可能情況有：m，n都為奇數(shù)；m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，當m，n都為奇數(shù)時，則3m+n必為偶數(shù)，又∵，∴b＝a（3m+n），∵a為奇數(shù)，∴a（3m+n）必為偶數(shù)，這與b為奇數(shù)矛盾；當m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則mn必為偶數(shù)，又∵，∴c＝amn，∵a為奇數(shù)，∴amn必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾；綜上所述，m，n不可能都為整數(shù)；故②正確；③∵，，∴，3mn＝，∴3m和n是關于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的兩根，故③正確．故選：D．【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，因式分解的應用和整式的混合運算，熟練掌握因式分解的方法以及根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．21．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的兩個根，則代數(shù)式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【點撥】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到αβ＝1，通過根的定義得到α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0，即可得到1+2024α+α2＝α，1+2025β+β2＝2β，進一步即可求出答案．【解析】解：∵α，β是方程x2+2023x+1＝0的兩個根，∴αβ＝1，α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0，（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）＝a?2β＝2αβ＝2×1＝2．故選：C．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，屬于基礎題，關鍵是把所求代數(shù)式合理變形后再利用根與系數(shù)的關系解題．22．若x1＝2025，x2＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則方程的解為x1＝2027，x2＝﹣1．【點撥】利用根與系數(shù)的關系求得＝﹣2026，＝2025，即可得到方程x2﹣2026x﹣2027＝0，然后利用因式分解法求解即可．【解析】解：∵x1＝2025，x2＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，∴﹣＝x1+x2＝2025+1＝2026，＝x1?x2＝2025，∴＝﹣2026，∵，∴x2+x﹣＝0，∴x2﹣2026x﹣2027＝0，∴（x﹣2027）（x+1）＝0，∴x1＝2027，x2＝﹣1．故答案為：x1＝2027，x2＝﹣1．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，因式分解法解一元二次方程，掌握根與系數(shù)的關系與解一元二次方程的方法是解題的關鍵．23．閱讀與思考下面是小文撰寫的數(shù)學小論文，請仔細閱讀并完成相應任務．通過解一元二次方程分成某些二次三項式，我們把形如ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的多項式叫做關于x的二次三項式．通過初中學習可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反過來，是否可以利用求出一元二次方程兩個根的方法，把某些二次三項式分解因式呢？根據(jù)下面代數(shù)推理，可以得出結果，設一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個實數(shù)根為，，直接計算：a（x﹣x1）（x﹣x2）．下面是代數(shù)推理過程：解：＝＝ax2+bx+c．即ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．這就是說，在因式分解二次三項式ax2+bx+c（a≠0）時，可先求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，然后寫成ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．即通過解一元二次方程可以將某些二次三項式分解因式．任務：（1）已知p，q是兩個常數(shù)，一元二次方程x2+px+q＝0的兩個實數(shù)根為x1＝﹣5，x2＝2，則二次三項式x2+px+q分解因式的結果是（x+5）（x﹣2）；（2）因式分解：x2﹣x﹣12的結果是（x﹣4）（x+3）；（3）請用閱讀內(nèi)容中的方法，因式分解：x2+4x﹣6．【點撥】（1）讀懂題目根據(jù)題意并進行因式分解即可得到答案；（2）讀懂題目根據(jù)題意先解一元二次方程，在結合題意分解因式即可得到答案；（3）讀懂題目根據(jù)題意進行因式分解即可得到答案．【解析】解：（1）由題意可得：x2+px+q＝（x+5）（x﹣2），故答案為：（x+5）（x﹣2）；（2）由條件可得：，∴x1＝4，x2＝﹣3∴x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3），故答案為：（x﹣4）（x+3）；（3）解方程得，，∴，，∴．【點睛】本題考查因式分解，一元二次方程的應用，正確理解題