2023年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題含解析

2023年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題含解析數(shù)學(xué)答題注意事項1．本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答案全部寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆，在答題卡上對應(yīng)題號的答題區(qū)域書寫答案．注意不要答錯位置，也不要超界．4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.的相反數(shù)是（）A. B. C. D.2.以下列每組數(shù)為長度（單位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A.2，2，4 B.1，2，3 C.3，4，5 D.3，4，83.下列運算正確的是（）A. B. C. D.4.已知一組數(shù)據(jù)96，89，92，95，98，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.89 B.94 C.95 D.985.若等腰三角形有一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的底角是（）A. B. C. D.6.《孫子算經(jīng)》中有個問題：若三人共車，余兩車空：若兩人共車，剩九人步，問人與車各幾何？設(shè)有x輛車，則根據(jù)題意可列出方程為（）A. B. C. D.7.在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（）A.2 B.5 C.6 D.88.如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（）A. B. C. D.1二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.計算：________．10.港珠澳大橋被譽為“新世界七大奇跡”之一，全長55000米．將數(shù)字55000用科學(xué)記數(shù)法表示是________．11.分解因式：___．12.不等式的最大整數(shù)解是________．13.七邊形的內(nèi)角和是______．14.在平面直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是__________．15.若圓錐的底面半徑是2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為120的扇形，則該圓錐的母線長是________．16.如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則________．17若實數(shù)m滿足，則________．18.如圖，是正三角形，點A在第一象限，點、．將線段繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；將線段繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；將線段繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；將線段繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；……以此類推，則點的坐標是________．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19計算：．20.先化簡，再求值：，其中．21.如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．22.為了解某校九年級學(xué)生周末活動情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖．學(xué)生參加周末活動人數(shù)統(tǒng)計表活動名稱人數(shù)A．課外閱讀40B．社會實踐48C．家務(wù)勞動mD．戶外運動nE．其它活動26請結(jié)合圖表中提供的信息，解答下列問題：（1）________，________；（2）扇形統(tǒng)計圖中A對應(yīng)的圓心角是________度；（3）若該校九年級有800名學(xué)生，請估算該校九年級周末參加家務(wù)勞動人數(shù)．23.某校計劃舉行校園歌手大賽．九（1）班準備從A、B、C三名男生和D、E兩名女生中隨機選出參賽選手．（1）若只選1名選手參加比賽，則女生D入選的概率是________；（2）若選2名選手參加比賽，求恰有1名男生和1名女生的概率（用畫樹狀圖或列表法求解）．24.如圖，在中，，，．（1）求出對角線的長；（2）尺規(guī)作圖：將四邊形沿著經(jīng)過點的某條直線翻折，使點落在邊上的點處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）25.（1）如圖，是的直徑，與交于點F，弦平分，點E在上，連接、，________．求證：________．從①與相切；②中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論，將題目補充完整（填寫序號），并完成證明過程．（2）在（1）的前提下，若，，求陰影部分的面積．26.某商場銷售兩種商品，每件進價均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元．（1）求兩種商品的銷售單價．（2）經(jīng)市場調(diào)研，種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；種商品的售價不變，種商品售價不低于種商品售價．設(shè)種商品降價元，如果兩種商品銷售量相同，求取何值時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？27.【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動探究】觀察小軍操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．28.規(guī)定：若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有三個不同的公共點，則稱這兩個函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”，其公共點稱為“兄弟點”．（1）下列三個函數(shù)①；②；③，其中與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是________（填寫序號）；（2）若函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個“兄弟點”的橫坐標．①求實數(shù)a值；②直接寫出另外兩個“兄弟點”的橫坐標是________、________；（3）若函數(shù)（m為常數(shù)）與互為“兄弟函數(shù)”，三個“兄弟點”的橫坐標分別為、、，且，求的取值范圍．

2023年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題含解析數(shù)學(xué)答題注意事項1．本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答案全部寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆，在答題卡上對應(yīng)題號的答題區(qū)域書寫答案．注意不要答錯位置，也不要超界．4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.的相反數(shù)是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得．【詳解】解：的相反數(shù)是，故選：B．【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2.以下列每組數(shù)為長度（單位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A.2，2，4 B.1，2，3 C.3，4，5 D.3，4，8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；B、，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；C、，滿足三角形的三邊關(guān)系，能搭成三角形，則此項符合題意；D、，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊．3.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方與冪的乘方法則逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，則此項錯誤，不符合題意；B、，則此項正確，符合題意；C、，則此項錯誤，不符合題意；D、，則此項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方與冪的乘方，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．4.已知一組數(shù)據(jù)96，89，92，95，98，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A89 B.94 C.95 D.98【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義（將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)）即可得．【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)按從小到大進行排序為89，92，95，96，98，則其中位數(shù)是95，故選：C．【點睛】本題考查了中位數(shù)，熟記中位數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．5.若等腰三角形有一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的底角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷出的內(nèi)角是這個等腰三角形的頂角，再根據(jù)等腰三角形的定義求解即可得．【詳解】解：等腰三角形有一個內(nèi)角為，∴這個等腰三角形的底角是，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩個底角相等．6.《孫子算經(jīng)》中有個問題：若三人共車，余兩車空：若兩人共車，剩九人步，問人與車各幾何？設(shè)有x輛車，則根據(jù)題意可列出方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)每三人乘一車，最終剩余2輛車，每2人乘一車，最終剩余9人無車可乘，進而表示出總?cè)藬?shù)得出等式即可；【詳解】由題意可列出方程，故選D．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，準確分析列方程是解題的關(guān)鍵．7.在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（）A.2 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】過點作于點，連接，判斷出當點為的延長線與的交點時，點到直線的距離最大，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接，，，當點為的延長線與的交點時，點到直線的距離最大，最大距離為，故選：B．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，正確判斷出點到直線的距離最大時，點的位置是解題關(guān)鍵．8.如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖像交點的對稱性判斷四邊形是平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)及平面直角坐標系中三角形面積求法，確定，再求出直線與軸交于點，通過聯(lián)立求出縱坐標，代入方程求解即可得到答案．【詳解】解：連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示：根據(jù)直線、與雙曲線交點的對稱性可得四邊形是平行四邊形，，直線與軸交于點，當時，，即，與雙曲線分別相交于點，聯(lián)立，即，則，由，解得，，即，解得，故選：A．【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平面直角坐標系中三角形面積求法是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.計算：________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根進行計算即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．10.港珠澳大橋被譽為“新世界七大奇跡”之一，全長55000米．將數(shù)字55000用科學(xué)記數(shù)法表示是________．【答案】【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，按要求表示即可．【詳解】解：55000共有5位數(shù)，從而用科學(xué)記數(shù)法表示為，故答案為：．【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，確定與的值是解決問題的關(guān)鍵．11.分解因式：___．【答案】【解析】【分析】直接提取公因式即可【詳解】解：．故答案為:.12.不等式的最大整數(shù)解是________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法即可得．【詳解】解：不等式的解集是，則不等式的最大整數(shù)解是3，故答案為：3．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關(guān)鍵．13.七邊形的內(nèi)角和是______．【答案】【解析】【分析】由n邊形的內(nèi)角和是：180°（n-2），將n=7代入即可求得答案．【詳解】解：七邊形的內(nèi)角和是：180°×（7-2）=900°．故答案為：900°．【點睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟記n邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．14.在平面直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x軸的對稱點的坐標計算即可；【詳解】根據(jù)關(guān)于x軸的對稱點的特征，橫坐標不變，縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù)可得：點關(guān)于軸對稱的點的坐標是；故答案是．【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中點的對稱，準確計算是解題的關(guān)鍵．15.若圓錐的底面半徑是2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為120的扇形，則該圓錐的母線長是________．【答案】6【解析】【分析】先根據(jù)圓錐的底面半徑求出底面圓周長，也就是側(cè)面圖扇形的弧長，再利用弧長公式求出扇形半徑，也就是圓錐的母線．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑是2，∴底面圓周長是，即展開后的扇形弧長是，根據(jù)弧長公式：，得，解得，即該圓錐的母線長是6．故答案是：6．【點睛】本題考查扇形和圓錐的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的弧長公式，以及圓錐和側(cè)面展開的扇形的關(guān)系．16.如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則________．【答案】【解析】【分析】取的中點，連接，先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)正弦的定義即可得．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，，，又點是的中點，，，故答案：．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．17.若實數(shù)m滿足，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式得，再代值計算即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，求代數(shù)式值，掌握完全平方公式及其變式是解題本題的關(guān)鍵．18.如圖，是正三角形，點A在第一象限，點、．將線段繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；將線段繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；將線段繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；將線段繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至；……以此類推，則點的坐標是________．【答案】【解析】【分析】首先畫出圖形，然后得到旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)，然后求出點在射線的延長線上，點在x軸的正半軸上，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示，由圖象可得，點，在x軸的正半軸上，∴．旋轉(zhuǎn)3次為一個循環(huán)，∵∴點在射線的延長線上，∴點在x軸的正半軸上，∵，是正三角形，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴同理可得，，，∴，∴，∴，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴如圖所示，過點作軸于點E，∵，∴，∴，∴，，∴點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)．正確確定每次旋轉(zhuǎn)后點與旋轉(zhuǎn)中心的距離長度是關(guān)鍵．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19.計算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)去絕對值運算、零指數(shù)冪運算及特殊角的三角函數(shù)值分別計算后，再根據(jù)二次根式加減運算法則求解即可得到答案．【詳解】解：．【點睛】本題考查二次根式加減運算，涉及去絕對值運算、零指數(shù)冪運算及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵．20.先化簡，再求值：，其中．【答案】，原式【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合計算法則化簡，然后代值計算即可．【詳解】解：，當時，原式．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，正確計算是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22.為了解某校九年級學(xué)生周末活動情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖．學(xué)生參加周末活動人數(shù)統(tǒng)計表活動名稱人數(shù)A．課外閱讀40B．社會實踐48C．家務(wù)勞動mD．戶外運動nE．其它活動26請結(jié)合圖表中提供的信息，解答下列問題：（1）________，________；（2）扇形統(tǒng)計圖中A對應(yīng)的圓心角是________度；（3）若該校九年級有800名學(xué)生，請估算該校九年級周末參加家務(wù)勞動的人數(shù)．【答案】（1）24，62（2）72（3）估算該校九年級周末參加家務(wù)勞動的人數(shù)為96名【解析】【分析】（1）先根據(jù)的扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表信息可求出抽取調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)，再根據(jù)的扇形統(tǒng)計圖可求出的值，然后利用抽取調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)減去其他活動的人數(shù)可得的值；（2）利用乘以的學(xué)生人數(shù)所占百分比即可得；（3）利用該校九年級的學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以周末參加家務(wù)勞動的學(xué)生人數(shù)所占百分比即可得．【小問1詳解】解：抽取調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為（人），則（人），（人），故答案為：24，62．【小問2詳解】解：，即扇形統(tǒng)計圖中對應(yīng)的圓心角是72度，故答案為：72．【小問3詳解】解：（名），答：估算該校九年級周末參加家務(wù)勞動的人數(shù)為96名．【點睛】本題考查了統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖、利用樣本估計總體等知識點，熟練掌握統(tǒng)計調(diào)查的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．23.某校計劃舉行校園歌手大賽．九（1）班準備從A、B、C三名男生和D、E兩名女生中隨機選出參賽選手．（1）若只選1名選手參加比賽，則女生D入選的概率是________；（2）若選2名選手參加比賽，求恰有1名男生和1名女生的概率（用畫樹狀圖或列表法求解）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）畫樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果數(shù)，找出選中1名男生和1名女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【小問1詳解】解：只選1名選手參加比賽，女生D入選的概率故答案為：；【小問2詳解】畫樹狀圖為如下：共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選中1名男生和1名女生的有12種，，，，，，，，，，，，所以恰好選中1名男生和1名女生的概率．【點睛】本題考查了利用概率公式求概率，列表法與樹狀圖法，利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果數(shù)，再從中選出符合事件的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算事件的概率．24.如圖，在中，，，．（1）求出對角線的長；（2）尺規(guī)作圖：將四邊形沿著經(jīng)過點的某條直線翻折，使點落在邊上的點處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】（1）（2）作圖見解析【解析】【分析】（1）連接，過作于，如圖所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；（2）連接，根據(jù)軸對稱性質(zhì)，過點尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線即可得到答案．【小問1詳解】解：連接，過作于，如圖所示：在中，，，，，，在中，，，，則；【小問2詳解】解：如圖所示：【點睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長，涉及勾股定理、尺規(guī)作圖作線段垂直平分線，熟練掌握勾股定理求線段長及中垂線的尺規(guī)作圖是解決問題的關(guān)鍵．25.（1）如圖，是的直徑，與交于點F，弦平分，點E在上，連接、，________．求證：________．從①與相切；②中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論，將題目補充完整（填寫序號），并完成證明過程．（2）在（1）的前提下，若，，求陰影部分的面積．【答案】（1）②①，證明見解析（或①②，證明見解析）（2）【解析】【分析】（1）一：已知條件為②，結(jié)論為①與相切；連接，先證出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；二：已知條件為①與相切，結(jié)論為②；連接，先證出，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證；（2）連接，先解直角三角形求出的長，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得的長，從而可得的長，然后根據(jù)圓周角定理可得，最后根據(jù)陰影部分的面積等于直角梯形的面積減去扇形的面積即可得．【詳解】解：（1）一：已知條件為②，結(jié)論為①與相切，證明如下：如圖，連接，，，弦平分，，，，，，又是的半徑，與相切；二：已知條件為①與相切，結(jié)論為②，證明如下：如圖，連接，，，弦平分，，，，與相切，，；（2）如圖，連接，，，，，，又，，是等邊三角形，，，由圓周角定理得：，則陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積、圓周角定理等知識點，熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．26.某商場銷售兩種商品，每件進價均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元．（1）求兩種商品的銷售單價．（2）經(jīng)市場調(diào)研，種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；種商品的售價不變，種商品售價不低于種商品售價．設(shè)種商品降價元，如果兩種商品銷售量相同，求取何值時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）的銷售單價為元、的銷售單價為元（2）當時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是元．【解析】【分析】（1）設(shè)的銷售單價為元、的銷售單價為元，根據(jù)題中售出種20件，種10件，銷售總額為840元；售出種10件，種15件，銷售總額為660元列方程組求解即可得到答案；（2）設(shè)利潤為，根據(jù)題意，得到，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及題中限制條件分析求解即可得到答案．【小問1詳解】解：設(shè)的銷售單價為元、的銷售單價為元，則，解得，答：的銷售單價為元、的銷售單價為元；【小問2詳解】解：種商品售價不低于種商品售價，，解得，即，設(shè)利潤為，則，，在時能取到最大值，最大值為，當時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是元．【點睛】本題考查二元一次方程組及二次函數(shù)解實際應(yīng)用題，讀懂題意，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，根據(jù)函數(shù)關(guān)系找到函數(shù)關(guān)系式分析是解決問題的關(guān)鍵．27.【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】[問題背景]；[活動探究]；[應(yīng)用拓展]【解析】【分析】[問題背景]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個三角形相似的判定與性質(zhì)，列出相似比代值求解即可