中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項提升第15講 幾何圖形的初步(練習(xí))(解析版)

第四章三角形第15講幾何圖形的初步TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01從不同方向看幾何體??題型02由幾何體展開圖計算表面積、體積??題型03正方體的展開圖??題型04平面圖形旋轉(zhuǎn)所得的立體圖形??題型05指出現(xiàn)實問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)??題型06與線段中點有關(guān)的計算??題型07方向角??題型08鐘面角??題型09與角平分線有關(guān)的計算??題型10與余角、補角、對頂角、鄰補角有關(guān)的計算??題型11三線八角的識別??題型12利用平行線的判定進(jìn)行證明??題型13根據(jù)平行線的性質(zhì)求解??題型14平行線的形狀在生活中的應(yīng)用??題型15根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度??題型16根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明??題型01從不同方向看幾何體1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測）小明自己動手做了一個數(shù)學(xué)模型，從正面、左面、上面觀察它，得到的三視圖如圖所示，則該模型的形狀是（

）A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐【答案】A【分析】本題考查從不同方向看．由從正面、左面看可得此幾何體為錐體，根據(jù)從上面看是圓及圓心可判斷出此幾何體為圓錐．【詳解】解：∵從正面、左面看都是三角形，∴此幾何體為錐體，∵從上面看是一個圓及圓心，∴此幾何體為圓錐，故選A．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測）如圖，下列四個幾何體，從上面、正面、左側(cè)三個不同方向看到的形狀中只有兩個相同的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分別找出每個幾何體從三個方向看到的圖形即可得到答案．【詳解】解：A.正方體從上面、正面、左側(cè)三個不同方向看到的形狀都是正方形，故A選項不符合題意；B.球從從上面、正面、左側(cè)三個不同方向看到的形狀都是圓，故B選項不符合題意；C.直三棱柱從上面看是中間有一條橫杠的矩形，從正面看是矩形，從左側(cè)看是三角形，故C選項不符合題意；D.圓柱從上面和正面看都是矩形，從左側(cè)看是圓，故D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了幾何體的三種視圖，培養(yǎng)空間想象能力，熟練掌握從不同方向看幾何體是解決本題的關(guān)鍵．3．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）小明同學(xué)從正面觀察如圖所示的幾何體，得到的平面圖形是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查的是幾何體的三視圖，根據(jù)主視圖是從物體的正面看得到的視圖解答即可．【詳解】解：從正面看到的平面圖形為等腰梯形.故選：A．??題型02由幾何體展開圖計算表面積、體積4．（2024·云南昭通·二模）如圖，這是一個圓柱形筆筒，量的筆筒的高是11cm，底面圓的直徑是8cm，則這個筆筒的側(cè)面積為cm2（結(jié)果保留【答案】88π【分析】本題考查了圓柱的側(cè)面積，熟練掌握圓柱的側(cè)面積為πd?，其中d為底面圓直徑，?為圓柱的高是解題的關(guān)鍵．根據(jù)筆筒的側(cè)面積為π?8?11，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，筆筒的側(cè)面積為π?8?11=88πcm2故答案為：88π．5．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）用相同尺寸的長方形紙板制作一個無蓋的長方體紙盒．先在紙板上畫出其表面展開圖（需剪掉陰影部分），兩種裁剪方案如圖1和圖2所示，圖中A，B，C均為正方形：下列說法正確的是（）A．方案1中的a=4 B．方案2中的b=6C．方案1所得的長方體紙盒的容積小于方案2所得的長方體紙盒的容積 D．方案1所得的長方體紙盒的底面積與方案2所得的長方體紙盒的底面積相同【答案】C【分析】本題考查圖形的展開與折疊，考查學(xué)生的運算能力、推理能力、空間觀念．分別求出a和b的值，方案1和方案2的容積即可得到答案．【詳解】解：方案1：a=12÷4＝所折成的無蓋長方體的底面積為3×3=9．容積為5×9=45．方案2：b=12?2×2所折成的無蓋長方體的底面積為4×2=8．容積為6×8=48．∴方案1所得的長方體紙盒的容積小于方案2所得的長方體紙盒的容積，故選：C．6．（2020·黑龍江大慶·中考真題）底面半徑相等的圓錐與圓柱的高的比為1：3，則圓錐與圓柱的體積的比為（

）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【答案】D【分析】根據(jù)V圓錐【詳解】解：設(shè)圓錐與圓柱的底面半徑為r,圓錐的高為?，則圓柱的高為3?，∴V∴V故選D．【點睛】本題考查的是圓錐的體積與圓柱的體積的計算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．（2024·河南駐馬店·二模）延時課上，同學(xué)們利用面積為100dm2的正方形紙板，制作一個正方體禮品盒(如圖所示裁剪)．則這個禮品盒的體積是【答案】16【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂裁剪的方法，找到相似三角形．設(shè)EF=x，判斷出△AEF和△DEG為等腰直角三角形，證明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EF【詳解】解：如圖，在正方形ABCD中，AD=10，設(shè)EF=x，由此裁剪可得：△AEF和△DEG為等腰直角三角形，∴△AEF∽△DEG，∴AEDE=EF解得：AE=2(分米)，∴EF=2∴正方體禮品盒的棱長為22∴體積為22故答案為：162??題型03正方體的展開圖8．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖所示，正方形盒子的外表面畫有3條粗黑線，將這個正方形盒子表面展開（外表面朝上），其展開圖可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正方體表面展開圖，觀察原正方體的3條粗黑線的特征，有兩條交于一個頂角，第三條與前面兩條粗黑線沒相交，據(jù)此逐個選項分析，即可作答．【詳解】解：觀察，∴其展開圖可能是，故選：D．9．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中，與“我”字所在的面相對的面上的漢字是(

)A．美 B．麗 C．中 D．國【答案】B【分析】本題考查了正方體展開圖的相對面，根據(jù)正方體展開圖的特點即可得出答案，解題的關(guān)鍵是掌握正方體展開圖相對面的特征“隔一個或成Z字端”．【詳解】解：由圖可知，與“我”字所在的面相對的面上的漢字是“麗”，故選：B．10．（2024·河北唐山·二模）如圖，是一個正方體粉筆盒的表面展開圖，將其折疊成正方體后，與頂點E重合的頂點是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】D【分析】本題考查了立體圖形的展開圖，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)，折疊成正方體后，與頂點E重合的頂點是點D．故選：D．11．（2024·河北張家口·三模）用硬卡紙做一個骰子，使骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，折疊前后如圖所示，下列判斷正確的是（

）A．點數(shù)1的對面是B面 B．點數(shù)2的對面是A面C．A，C兩個面的點數(shù)和為9 D．B，C兩個面的點數(shù)和為6【答案】C【分析】本題考查正方體展開圖的相對面，根據(jù)同行隔一個，確定出相對面，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知：點數(shù)1的對面是A面，故A的點數(shù)為7?1=6；點數(shù)4的對面是C面，故C的點數(shù)為7?4=3；點數(shù)2的對面是B面，故B的點數(shù)為7?2=5，∴A，C兩個面的點數(shù)和為9，B，C兩個面的點數(shù)和為8；故選C．??題型04平面圖形旋轉(zhuǎn)所得的立體圖形12．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，將Rt△PQR繞直線PQ旋轉(zhuǎn)一周，會得到一個幾何體，則這個幾何體的側(cè)面積等于．（結(jié)果保留【答案】15π【分析】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積計算，勾股定理，面動成體，先利用勾股定理得到PR=RQ2+PQ【詳解】解：∵在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4∴PR=R∵將Rt△PQR繞直線PQ∴這個幾何體的側(cè)面積等于π×3×5=15π，故答案為：15π．13．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸l、m旋轉(zhuǎn)一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別為a、3b的直角三角形，圖形乙是長、寬分別為a、b的矩形，已知a>b，試猜想這兩個立體圖形哪個體積更大，并通過計算證明自己的猜想（V圓錐=1【答案】圖形①的體積更大，見解析【分析】本題考查了面動成體，圓錐的體積、圓柱的體積等知識點，掌握圓錐的相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．設(shè)圖形①、②的體積分別為V?、V2，然后分別求得圖形①、【詳解】解：圖形①的體積更大．設(shè)圖形①、②的體積分別為V1、V則V1=1∴V∵a>b，∴故圖形①的體積更大．14．（2024·陜西西安·二模）如圖，某酒店大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部由三塊寬為1.8m、高為3m的玻璃隔板組成．(1)將此旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是________，這能說明的事實是________（填字母）；A．點動成線

B．線動成面

C．面動成體(2)求該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．（邊框及銜接處忽略不計，結(jié)果保留π）【答案】(1)圓柱；C(2)9.72【分析】本題考查了圓柱的體積，平面圖形旋轉(zhuǎn)后形成的立方體，（1）旋轉(zhuǎn)門的形狀是長方形；長方形旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱；（2）根據(jù)圓柱體的體積=底面積×高計算即可．【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)門的形狀是長方形，∴旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱，這能說明的事實是面動成體．故答案為：圓柱；C；（2）解：該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱，體積為：π×故形成的幾何體的體積是9.72πm??題型05指出現(xiàn)實問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)15．（2022·河北·二模）下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A． B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了兩點確定一條直線，垂線段最短，兩點之間，線段最短等知識．熟練掌握兩點確定一條直線，垂線段最短，兩點之間，線段最短是解題．【詳解】解：由題意知，A中能用兩點確定一條直線進(jìn)行解釋，不符合題意；B中能用兩點確定一條直線進(jìn)行解釋，不符合題意；C中能用垂線段最短進(jìn)行解釋，符合題意；D中能用兩點之間，線段最短進(jìn)行解釋，不符合題意；故選：C．16．（2023·吉林白山·模擬預(yù)測）某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（

）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊【答案】A【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩點之間所有的連線中，線段最短．【詳解】解：用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分，則原來所減掉的線段的兩個端點之間由曲線變?yōu)榱司€段，周長縮小了，則應(yīng)用的原理是兩點之間線段最短，故選：A．17．（2023·河南洛陽·二模）請舉生活中的實例說明“兩點確定一條直線”這個基本事實．【答案】把一個木條固定在墻上需要兩個釘子（答案不唯一）【分析】根據(jù)兩點確定一條直線的原理尋找實例解答即可．【詳解】舉生活中的實例說明“兩點確定一條直線”這個基本事實為：把一個木條固定在墻上需要兩個釘子（答案不唯一）．故答案為：把一個木條固定在墻上需要兩個釘子（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了直線的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解兩點確定一條直線．18．（20-21七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）下列三個日?，F(xiàn)象：其中，可以用“垂線段最短”來解釋的是（填序號）．【答案】①【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：垂線段最短即可得到結(jié)論．【詳解】解：可以用“垂線段最短”來解釋①，可以“兩點之間線段最短”來解釋②，可以用“兩點確定一條直線”來解釋③，故答案為：①．【點睛】本題考查了垂線段最短以及直線、線段的相關(guān)知識，熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．??題型06與線段中點有關(guān)的計算19．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，C地在A，B兩地的中點處，若A，C兩地之間的距離為6×106m，則A，BA．3×106m B．12×106m【答案】D【分析】首先根據(jù)線段中點的定義求得AB=2AC，然后利用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)即可；本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法形式a×10n，其中1≤a<10，【詳解】根據(jù)題意知：AB=2AC=2×6×故選：D．20．（2023·廣西桂林·三模）如圖，C是線段AB上一點，若線段AC=10cm，且OC=2cm，O是AB的中點，則線段AB的長度為【答案】16【分析】此題主要考查了與線段中點有關(guān)的計算，線段間的和差，理清題意是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵AC=10cm，OC=2∴AO=AC?OC=10?2=8cm∵O是AB的中點，∴AB=2AO=16cm故答案為：16．21．（2023平樂縣三模）如圖，在一條筆直的大道上有A，B，C三個小區(qū)，O為A、C區(qū)的中點．已知某校學(xué)生住在A區(qū)有3人，B區(qū)有2人，C區(qū)有7人，且AC＝1000m，BC＝700m．若學(xué)校在O處做為校車的停靠點，則這些學(xué)生從住處到該?？奎c的路程之和是（）．A．4400m B．5400m C．5800m D．7600m【答案】B【分析】根據(jù)題目所給條件，可以計算出AB的長，再根據(jù)線段中點，可以得到AO的長，從而得到BO的長，最后根據(jù)不同小區(qū)學(xué)生數(shù)，根據(jù)線段長度即可得到最后答案．【詳解】解：∵AC=1000m，BC=700∴AB=AC?BC=1000?700=300m又∵點O是線段AC的中點，∴AO=CO=1∴BO=AO?AB=500?300=200m∴這些學(xué)生從住處到該?？奎c的路程之和為：3AO+2BO+7CO=3×500+2×200+7×500=5400m故選：B．【點睛】本題考查了線段的和與差以及線段中點的問題，解決本題的關(guān)鍵是找出每個線段具體的長度．22．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四個車站的位置如圖所示．（1）C、D兩站的距離為；（2）若a＝3，C為AD的中點，b=．【答案】a+3b/3b+a2【分析】(1)利用CD=BD?BC即可求解；（2）先利用AC=AB+BC求得AC，再利用C為AD的中點，代入a=3即可．【詳解】解：（1）∵BD=3a+2b，BC=2a?b，∴CD=BD?BC=3a+2b（2）∵AB=a+b，BC=2a?b，∴AC=AB+BC=a+b∵C為AD的中點，∴AC=CD，即3a=a+3b，當(dāng)a=3時，則3×3=3+3b，解得b=2，故答案為：（1）a+3b（2）2【點睛】本題考查了整式的加減，根據(jù)圖形列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．??題型07方向角1．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖是石家莊市地圖的一部分，省二院在市二中北偏東30°方向上，則市二中在省二院的（

）A．南偏東30°方向 B．南偏西30°方向C．北偏東45°方向 D．北偏西60°方向【答案】B【分析】本題考查了方位角的應(yīng)用，因為省二院在市二中北偏東30°方向上，所以市二中在省二院的南偏西30°方向，即可作答．【詳解】解：如圖:∵省二院在市二中北偏東30°方向上∴市二中在省二院的南偏西30°方向故選：B2．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，一艘船由A島沿北偏東30°方向航行20km至B島，然后再沿北偏西60°方向航行20km至(1)求A，C兩島之間的距離；(2)確定C島在A島的什么方向？【答案】(1)20(2)北偏西15°【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對方向角的熟練掌握．（1）根據(jù)AN∥BH，∠ABH=∠NAB，推出∠CBA=180°?30°?60°=90°，在Rt△ABC（2）證明∠CAB=∠ACB=45°，根據(jù)∠NAC=∠CAB?∠BAN即可求解．【詳解】（1）如圖，由題意可知：∠NAB=30°,∠CBM=60°，∵AN∥BH，∴∠ABH=∠NAB=30°，∴∠CBA=180°?30°?60°=90°，在Rt△ABC中，AC=答：A，C兩島之間的距離是202（2）又∵AB=20km,BC=20km∴∠CAB=∠ACB=45°，∵∠BAN=30°，∴∠NAC=∠CAB?∠BAN=45°?30°=15°，∴C島在A島北偏西15°的方向上．3．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島A相對于小島C的方向是（）A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°【答案】C【分析】根據(jù)題意可得∠ABC=75°，AD∥BE，AB=AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠C=75°，從而求出∠BAC的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠DAB=∠ABE=40°，從而求出【詳解】解：如圖：由題意得：∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+35°=75°，AD∥BE，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°?∠ABC?∠C=30°，∵AD∥∴∠DAB=∠ABE=40°，∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=40°+30°=70°，∴小島C相對于小島A的方向是北偏東70°，小島A相對于小島C的方向是南偏西70°．故選C【點睛】本題考查了方向角，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024·吉林松原·模擬預(yù)測）木欄頭燈塔是矗立在海南島文昌市的一座航標(biāo)燈塔（如圖①），被稱為“亞洲第一燈塔”，如圖②，虎威島A位于木欄頭燈塔O的南偏西50°方向上，一艘輪船在B處測得燈塔O位于它的北偏西45°方向上，輪船沿著正北方向航行3km后，到達(dá)位于燈塔O正東方向上的C處，該船繼續(xù)向北航行至直線AO上的點D(1)填空：∠BOC=______度，∠D=______度；(2)求點D到燈塔O的距離（參考數(shù)據(jù)sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19【答案】(1)45，50(2)點D到燈塔O的距離約為3.9【分析】本題考查了方位角的定義，銳角三角函數(shù)的定義，路程、速度、時間之間的數(shù)量關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)方位角的定義及平行線的性質(zhì)即可解答；（2）先在Rt△BOC中求出OC，在Rt△DOC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知【詳解】（1）解：由題意可知，OC⊥BD，∵∠CBO＝∴∠BOC=90°?∠CBO=45°，∴∠COD=180°?50°?90°=40°，∴∠D=90°?∠COD=50°，故答案為：45，50；（2）解：由題意可知：BC=3km在Rt△BOC∠CBO=45°，∴OC=BC=3km在Rt△DOC中，∠D=50°∴OD=OC答：點D到燈塔O的距離約為3.9km??題型08鐘面角1．（2024·河北·一模）如圖1，小萍從地圖上測得學(xué)校在她家的北偏東60°方向，她看到家里的鐘表如圖2，想到如果把家的位置看成鐘表表盤的中心，則她可以說學(xué)校在家的（

）A．1點鐘方向 B．2點鐘方向 C．7點鐘方向 D．8點鐘方向【答案】B【分析】此題考查了方位角，鐘面角，首先求出相鄰兩個數(shù)之間的夾角為360°÷12=60°，進(jìn)而根據(jù)方位角求解即可．【詳解】∵鐘表一圈360°，共有12個數(shù)字，∴平均分成12份∴相鄰兩個數(shù)之間的夾角為360°÷12=60°∵小萍從地圖上測得學(xué)校在她家的北偏東60°方向，∴她可以說學(xué)校在家的2點鐘方向．故選：B．2．（2024·山西朔州·一模）如圖是一面鐘表，以指針的旋轉(zhuǎn)中心O為坐標(biāo)原點，以整9點時針和分針?biāo)诘闹本€分別為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時間為10點10分時，分針的外端點落在點A處．若OA=10，則點A的坐標(biāo)為（

）A．53,5 B．5,53 C．5【答案】A【分析】本題考查了解含有30°的直角三角形，正確使用三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．過點A作AB⊥x軸，于點B，構(gòu)造出含有30°直角三角形，由OA=10，解直角三角形即可．【詳解】解：過點A作AB⊥x軸，于點B．當(dāng)時間為10點10分時，分針的外端點落在點A處，此時分鐘轉(zhuǎn)動了360°12∴∠AOB=90°?60°=30°，在Rt△AOB中，OA=10∴AB=OA×sin30°=5，又∵點A在第一象限，∴點A坐標(biāo)為53故選：A．3．（2024·遼寧撫順·一模）如圖，正常運行的鐘表，分針從“9”第一次走到“12”，分針就（

）A．沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)了45° B．沿順時針方向旋轉(zhuǎn)了45°C．沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)了90° D．沿順時針方向旋轉(zhuǎn)了90°【答案】D【分析】本題考查了鐘表中的角度問題，在鐘表中，分針每分鐘走6°，據(jù)此即可求解．【詳解】解：在鐘表中，分針每分鐘走360°60∴正常運行的鐘表，分針從“9”第一次走到“12”，分針就沿順時針方向旋轉(zhuǎn)了6°×15=90°．故選：D4．（2023·河北保定·二模）某款鐘表的分針長度為5cm，則經(jīng)過30分鐘分針針尖走過的路線長為（

）A．5πcm B．5π4cm C．5π【答案】A【分析】經(jīng)過30分鐘，分針要走過6個大格，即旋轉(zhuǎn)了180°，分針走過的路程也是一個半圓，求分針針尖走過的路程也就是求半徑是20厘米的圓的周長的一半，根據(jù)弧長公式計算即可；【詳解】分針走了30分，即旋轉(zhuǎn)了180°，故分針針尖走過的路線長為180π×5180故選A.【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長計算公式，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.??題型09與角平分線有關(guān)的計算31．（2023鄭州市模擬）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時，由于(1)【知識運用】如圖2，∠AOB=120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=________°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是________．（用含α的代數(shù)式表示）(2)如圖3若∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒3°的速度逆時針轉(zhuǎn)動，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒5°的速度順時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線OD與射線OA重合時，運動停止．①是否存在某個時刻t（秒）使得∠COD的度數(shù)是20°？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．②當(dāng)t的值為多少時，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線？【答案】(1)40°,(2)①當(dāng)t=20秒或25秒時，∠COD的度數(shù)是20°．②當(dāng)t=907,【分析】本題主要考查了角平分線的頂用、角的計算、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，靈活利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)伴隨線定義求解即可；（2）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后兩種情況分別列式計算即可；②利用分類討論思想，分相遇之前和之后，分別畫出四個圖形進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，∵射線是射線的伴隨線，∴∠AOC=1∴∠AOC=1∴同理，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，∴∠BON=1∵射線OC是∠AOB的平分線，∴∠BOC=1∴∠NOC=∠BOC?∠BON=1故答案為：40°,π（2）解：射線OD與OA重合時，t=180①當(dāng)∠COD的度數(shù)是20°時，有兩種可能：若在相遇之前，則180?5t?3t=20，解得：t=20；若在相遇之后，則5t+3t?180=20，解得：t=25．綜上所述，當(dāng)t=20秒或25秒時，∠COD的度數(shù)是20°．②相遇之前：a．如圖1，當(dāng)OC是OA的伴隨線時，則∠AOC=12∠COD，即3t=b．如圖2，當(dāng)OC是OD的伴隨線時，則∠COD=12∠AOC，即180?5t?3t=相遇之后：c．如圖3，當(dāng)OD是OC的伴隨線時，則∠COD=12∠AOD，即5t+3t?180=d．如圖4，當(dāng)OD是OA的伴隨線時，則∠AOD=12∠COD，即180?5t=綜上所述，當(dāng)t=907,32．（2024·山西大同·二模）閱讀與思考下面是小王同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．x年x月x日

星期二數(shù)學(xué)推理真有趣今天數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了如果交換某命題的條件和結(jié)論，可以得到一個新命題，這個命題是原命題的逆命題．例如：原命題是兩直線平行，同位角相等，交換該命題的條件和結(jié)論，就可以得到該命題的逆命題是同位角相等，兩直線平行……在數(shù)學(xué)中有很多類似的情況，例如：如圖，E是AB上一點，①AB∥CD，②CE是∠ACD的平分線，③AC=AE，如果這三個條件中已知其中的任意兩個，那么就能推導(dǎo)出第三個．第一種情況：已知，如圖，E是AB上一點；AB∥CD，CE是∠ACD的平分線．求證：AC=AE．證明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD．∵CE是∠ACD的平分線，∴∠ACE=∠ECD．∴∠ACE=∠AEC．∴AC=AE（依據(jù)）第二種情況：已知，如圖，E是AB上一點，AB∥CD，AC=AE．求證：______證明：……第三種情況……任務(wù)：(1)以上證明過程中，依據(jù)是指______．(2)請你將日記中第二種情況的求證和第三種情況的已知和求證補充完整，并選擇其中一種情況進(jìn)行證明．【答案】(1)等角對等邊(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等角對等邊解答即可．（2）根據(jù)題意，寫出已知，求證，給出證明即可．本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：依據(jù)是等角對等邊，故答案為：等角對等邊．（2）解：第二種情況：求證：CE是∠ACD的平分線．故答案為：CE是∠ACD的平分線．第三種情況：已知，如圖，E是AB上一點，CE是∠ACD的平分線，AC=AE．求證：AB∥CD．選擇第二種情況，證明如下證明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD．∵AC=AE．∴∠ACE=∠AEC．∴∠ACE=∠ECD．∴CE是∠ACD的平分線，選擇第三種情況，證明如下：證明：∵CE是∠ACD的平分線，∴∠ACE=∠ECD．∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC．∴∠AEC=∠ECD．∴AB∥CD．33．（2024·江蘇泰州·二模）圖算法是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量，這樣的圖形叫諾模圖．設(shè)有兩只電阻，R1=6千歐，R2我們可以利用公式求得R的值，也可以設(shè)計一種圖算法（如圖1）直接得出結(jié)果：我們先來畫出一個120°的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著6和4的兩點連成一條直線，這條直線與角平分線的交點的刻度值就是并聯(lián)后的總電阻值R．

(1)①R1=6千歐，R2=4②如圖1，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分線，OA=R1，OB=R2，(2)如圖2，已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分線，OA=R1，OB=R2，OC=R．此時關(guān)系式可以寫成m?1(3)如圖3，若∠AOB=α，（2）中其余條件不變，請?zhí)剿鱎1，R2，R之間的關(guān)系．（用含【答案】(1)①125；②(2)2(3)2【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)并聯(lián)電路電阻公式，即可解答；②過點C作OB的平行線，交OA于點D，證明△CDO為等邊三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答；（2）過點C作OB的平行線，交OA于點E，得到CE與CO的關(guān)系，利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答；（3）過點C作OB的平行線，交OA于點F，過點F作FG⊥OC，交OC于點G，得到求得CF的長，利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答．【詳解】（1）解：①根據(jù)并聯(lián)電路電阻公式可得1R=1故答案為：12證明：②如圖1，過點C作OB的平行線，交OA于點D，∵∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分線，∴∠DOC=∠BOC=60°，∵DC∥∴∠DOC=∠BOC=∠DCO=60°，∴△DOC為等邊三角形，∴DC=OC=DO=R，∵DC∥∴∠ADC=∠AOB,∠ACD=∠ABO，∴△ADC∽△AOB，∴AD即R1可得R2R=R故1R

（2）解：如圖2，過點C作OB的平行線，交OA于點E，

同上述原理可得△AEC∽△AOB，∠ECO=∠EOC=1∴CE=OE=sin可得AEAO即R1整理后可得22即21∴m=2（3）解：過點C作OB的平行線，交OA于點F，過點F作FG⊥OC，交OC于點G，

同上述原理可得△AFC∽△AOB，∠FCO=∠FOC=1∴CG=OG=R∴CF=OF=CG可得AFAO即R1整理后可得12即2cos34．（2024北京二中模擬）如圖1，直線AB與直線l1，l2分別交于C，D兩點，點M在直線k上，射線DE平分∠ADM交直線l1于點Q

(1)證明：l1(2)如圖2，點P是CD上一點，射線QP交直線l2于點F，∠ACQ=70°①若∠QFD=15°，求出∠FQD的度數(shù)．②點N在射線DE上，滿足∠QCN=∠QFD，連接CN，請補全圖形，探究∠CND與∠PQD的等量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)見詳解(2)①20°；②∠CND=∠PQD或∠CND+∠PQD=70°，證明見解答．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及平行線的判定進(jìn)行解答即可；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計算即可；②分兩種情況畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形中角的大小關(guān)系得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，∵DE平分∠ADM，∴∠ADE=∠EDM=1∵∠ACQ=2∠CDQ，∴∠ACQ=∠ADM，∴l(xiāng)（2）解：①∵l∴∠ADM=∠ACQ=70°，∵DE平分∠ADM，∴∠ADE=∠EDM=1∵∠EDM=∠QFD+∠FQD，∴∠FQD=35°?15°=20°；②證明：∠CND=∠PQD或∠CND+∠PQD=70°，理由如下：如圖3，

∵l∴∠NCQ=∠CTD，∵∠QCN=∠QFD，∴∠CTD=∠QFD，∴NT∥FQ，∴∠CND=∠PQD；如圖4，

由①可得∠CDQ=∠CQD=1∵∠CND=∠CQN+∠QCN，∠QCN=∠QFD，∴∠CND=∠CQN+∠QFD，∴∠CND=35°+∠QFD，即：∠CND?∠QFD=35°，∵∠QFD=∠FQC=∠CQD?∠PQD=∠QDM?∠FQD=35°?∠PQD，∴∠CND?∠QFD=∠CND?(35°?∠PQD)=35°，∴∠CND+∠PQD=70°，綜上所述，∠CND與∠FQD滿足的等量關(guān)系為∠CND=∠PQD或∠CND+∠PQD=70°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判斷，掌握平行線的性質(zhì)和判斷方法是解決問題的關(guān)鍵．??題型10與余角、補角、對頂角、鄰補角有關(guān)的計算35．（2024·廣西柳州·三模）若一個角為55°，則它的補角的度數(shù)為（

）A．25° B．35° C．115° D．125°【答案】D【分析】此題考查補角，主要記住互為補角的兩個角的和為180度．根據(jù)補角的定義：和為180度的兩個角互為補角，求解即可．【詳解】解：它的補角的度數(shù)為180°?55°=125°，故選：D．36．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，已知AC⊥BC于點C，CD⊥AB于點D，∠A=50°，則∠DCB的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】此題考查了垂直的定義，余角的性質(zhì)，根據(jù)垂直的定義得到∠ACB=∠ADC=90°，從而推出∠DCB=∠A=50°【詳解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A=50°故選：C37．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測）如圖，a∥b，把Rt△ABC如圖所示放置，直角頂點A在直線b上，∠B=30°，若∠1=18°，則∠2【答案】48°/48度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角、三角形外角的定義和性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)“對頂角相等”可得∠3=∠1=18°，再根據(jù)“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和”可得∠4=∠3+∠B=48°，然后根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，∵∠1=18°，∴∠3=∠1=18°，∵∠B=30°，∴∠4=∠3+∠B=18°+30°=48°，∵a∥∴∠2=∠4=48°．故答案為：48°．38．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，直線a∥b將一個含有30°角的直角三角板（∠A=90°）按如圖所示的位置擺放，若∠1=33°，則∠2的度數(shù)是【答案】117°/117度【分析】本題考查了平行線性質(zhì)求角度，三角形外角性質(zhì)，鄰補角的計算，對頂角相等等知識，根據(jù)對頂角相等可求出∠3的度數(shù)，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠4的度數(shù)，再利用鄰補角求出∠5的度數(shù)，最后利用兩直線平行同位角相等求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，∵∠1=33°，∴∠3=∠1=33°，∵∠C=30°，∴∠4=∠3+∠C=33°+30°=63°，∴∠5=180°?∠4=180°?63°=117°，∵a∥∴∠2=∠5=117°，故答案為：117°．??題型11三線八角的識別39．（2024·福建寧德·一模）如圖，直線a，b被直線c所截，下列判斷錯誤的是（

）A．∠1+∠2=180°° B．∠4=∠5C．∠3與∠4是內(nèi)錯角 D．∠1=∠4【答案】D【分析】此題主要考查了對頂角、鄰補角、內(nèi)錯角，解題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z”形．根據(jù)對頂角、鄰補角、內(nèi)錯角的概念對選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.∠1與∠2是鄰補角，∴∠1+∠2=180°，故此選項不符合題意；

B.∠4與∠5是對頂角，∴∠4=∠5，故此選項不符合題意；C.∠3與∠4是內(nèi)錯角，故此選項不符合題意；

D.∠1和∠4是同位角，只有當(dāng)a∥b時，∠1=∠4，故此選項符合題意；故選：D．40．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，∠1與∠2的位置關(guān)系是（）A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補角【答案】A【分析】根據(jù)∠1,∠2的位置，結(jié)合同位角的定義可得答案．【詳解】如圖所示，∠1和∠2兩個角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，所以∠1和∠2是同位角．故選：A．【點睛】本題考查的是同位角的識別，掌握同位角的含義是解題的關(guān)鍵．41．（2022·青海·中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角B．同位角、內(nèi)錯角、對頂角C．對頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【答案】D【分析】兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為內(nèi)錯角；兩個角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個圖是同位角，第二個圖是內(nèi)錯角，第三個圖是同旁內(nèi)角．故選：D．【點睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．??題型12利用平行線的判定進(jìn)行證明42．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，AB=DC，EC=FB，______．

求證：AE∥DF．在①AE=DF；②EC∥FB這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充在上面的橫線上，并加以解答．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，選擇①利用SSS證明△AEC≌△DFB，即可；選擇②，利用SAS，證明△AEC≌△DFB，即可．【詳解】證明：選條件①，∵AB=DC,∴AB+BC=DC+BC,∴AC=DB，在△AEC和△DFB中，AE=DF，∴△AEC≌△DFB∴∠A=∠D,∴AE∥DF．選條件②，∵EC∥FB,∴∠ACE=∠DBF,∵AB=DC,∴AB+BC=DC+BC,∴AC=DB，在△AEC和△DFB中AC=DB，∴△AEC≌△DFB，∴∠A=∠D,∴AE∥DF．43．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）下面是小華同學(xué)設(shè)計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，直線l和直線l外一點P.求作：直線PM，使直線PM∥直線l作法：如圖2，①在直線l上任取一點A，作射線AP；②以P為圓心，PA為半徑作弧，交直線l于點B，連接PB；③以P為圓心，PB長為半徑作弧，交射線AP于點C；分別以B，C為圓心，大于12BC長為半徑作弧，在AC的右側(cè)兩弧交于點④作直線PM；所以直線PM就是所求作的直線．根據(jù)上述作圖過程，回答問題：(1)根據(jù)上述作圖過程可知：射線PM平分∠CPB，這種作角的角平分線的方法的依據(jù)是___________（填序號）．①SSS

②SAS

③ASA

④AAS(2)完成下面的證明：證明：由作圖可知PM平分∠CPB，∴∠CPM=∠__________=1又∵PA=PB，∴∠PAB=∠___________.∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，∴∠PAB=∠PBA=1∴∠CPM=∠PAB，∴直線PM∥直線l【答案】(1)①(2)∠BPM；∠PBA；同位角相等，兩直線平行【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊對等角、平行線的判定等知識．（1）根據(jù)作圖可知PC=PB,CM=BM,PM=PM，即可證明△PCM≌△PBMSSS（2）由角平分線作圖可知，∠CPM=∠BPM=12∠CPB．由等邊對等角可知∠PAB=∠PBA.由三角形外角的性質(zhì)得到∠CPB=∠PAB+∠PBA，則∠PAB=∠PBA=【詳解】（1）解：由作圖可知，PC=PB,CM=BM,PM=PM，∴△PCM≌△PBMSSS故選：①；（2）證明：由作圖可知PM平分∠CPB，∴∠CPM=∠BPM=1又∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA.∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，∴∠PAB=∠PBA=1∴∠CPM=∠PAB，∴直線PM∥直線l故答案為：BPM，PBA，同位角相等，兩直線平行44．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC．以AB為直徑的圓O分別交AC，BC于點D，E．過點B作圓O的切線交OE的延長線于點F．(1)求證：OE∥AC；(2)如果AB=10，AD=6，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)的知識．（1）由等腰三角形的性質(zhì)證出∠C=∠OEB，由平行線的判定可得出結(jié)論；（2）連接BD，交OF于M，由勾股定理求出BD=8，由垂徑定理求出BM=4，得出sin∠OBM=OMBO=3【詳解】（1）證明：∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠C=∠OEB，∴OE∥AC；（2）解：連接BD，交OF于M，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=10，AD=6∴BD=A∵OE∥AC，AD⊥BD，∴OE⊥BD，∴BM=DM=1在Rt△BOM中，OM=∴sin∠OBM=∵BF為⊙O的切線，∴OB⊥BF，∴∠OBF=90°，∴∠BOF+∠F=90°，∵∠OBM+∠BOM=90°，∴∠OBM=∠F，∴sinF=∴35∴OF=25∴EF=OF?OE=2545．（2024·江蘇蘇州·二模）在△ABC中，D是BC的中點，E是AC上一點，連接ED并延長使DF=DE．(1)證明：AC∥(2)若BC=8，AB=5，DB平分∠ABF，求AD的長．【答案】(1)見詳解(2)3【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）證明△BDF≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠FBD=∠C，然后證明結(jié)論即可；（2）證明△ABC為等腰三角形，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AD⊥BC，BD=1【詳解】（1）證明：∵D是BC的中點，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，BD=CD∠BDF=∠CDE∴△BDF≌△CDESAS∴∠FBD=∠C，∴AC∥（2）解：∵DB平分∠ABF，∴∠FBD=∠ABD，由（1）可知，∠FBD=∠C，∴∠ABD=∠C，∴AB=AC，即△ABC為等腰三角形，∵D是BC的中點，BC=8，AB=5，∴AD⊥BC，BD=1∴在Rt△ABD中，AD=??題型13根據(jù)平行線的性質(zhì)求解46．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）如圖，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分線，若∠2=64°，則∠3的度數(shù)是（A．64° B．58° C．32° D．116°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及對頂角相等等知識點，由題意得：∠BDC=∠2=64°，由AB∥CD得∠ABD=180°?∠BDC=116°，根據(jù)BC是∠ABD的平分線得【詳解】解：由題意得：∠BDC=∠2=64°，∵AB∥∴∠ABD=180°?∠BDC=116°，∵BC是∠ABD的平分線，∴∠3=故選：B47．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）光線照射到平面鏡鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，物理學(xué)中，我們知道反射光線與法線（垂直于平面鏡的直線叫法線）的夾角等于入射光線與法線的夾角．如圖一個平面鏡斜著放在水平面上，形成∠AOB形狀，∠AOB=36°，在OB上有一點E，從點E射出一束光線（入射光線），經(jīng)平面鏡點D處反射光線DC剛好與OB平行，則∠DEB的度數(shù)為（）A．71° B．72° C．54° D．53°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，過點D作DF⊥AO交OB于點F，根據(jù)題意可得∠CDF=∠EDF，∠CDF=∠DFE，因此∠EDF=∠DFE，最后由三角形的內(nèi)角和定理求得∠DEB的度數(shù)．【詳解】過點D作DF⊥AO交OB于點F，∵入射角等于反射角，∴∠CDF=∠EDF，∵CD∥OB，∴∠CDF=∠DFE，∴∠EDF=∠DFE，在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=36°∴∠DFE=90°?36°=54°，在Rt△DEF中，∠DEB=180°?2×54°=72°故選：B．48．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點，若∠2=40°，∠3=70°，則∠1的度數(shù)為（

）A．130° B．140° C．150° D．160°【答案】C【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)，由對頂角的性質(zhì)可得∠POF=∠2=40°，由外角的性質(zhì)可得∠OFP=30°再利用平行線的性質(zhì)可求出∠1的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵∠2=40°，∴∠POF=∠2=40°，∵∠3=70°，∴∠OFP=∠3?∠POF=70°?40°=30°，∵AB∥OF∴∠1=180°?∠OFP=180°?30°=150°，故選：C49．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）一副三角尺按如圖擺放，若EF∥AC，DF交AB于點M，則∠DMB的度數(shù)為（

）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運用．先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠1的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，求得∠DMA的度數(shù)，利用鄰補角即可得到∠DMB的度數(shù)．【詳解】解：∵EF∥AC，∴∠F=∠1=60°，又∵∠DMA=∠1+∠A=60°+45°=105°，∴∠DMB=180°?105°=75°，故選：C．??題型14平行線的形狀在生活中的應(yīng)用50．（2024·甘肅·模擬預(yù)測）如圖1，是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”．如圖2，是“中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中EG為豎直方向的饋源（反射面），入射波AO經(jīng)過三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，已知入射波A．70° B．60° C．45° D．35°【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，過點F作CC'∥OA，可得CC【詳解】解：過點F作CC'∥∵OA∥∴CC∴CC∴CC∴∠CFO=∠CFO∵OH為法線，∠1=35°，∴∠FOH=∠1=35°，∴∠AOF=70°，∵CC∴∠AOF=∠CFO=∠CFO∵CC∴∠A故選：A．51．（2024·廣東·模擬預(yù)測）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從空氣射向水時，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在空氣中平行的光線，在水中也是平行的．如圖，∠1=50°，∠AOB=153°，則∠2等于（A．93° B．103° C．130° D．153°【答案】B【分析】本題考查平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，∠2=∠4，再結(jié)合∠1=50°，【詳解】如圖，∵在空氣中平行的光線，在水中也是平行的∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=50°∴∠1=∠3=50°，∠AOB=∠3+∠4=50°+∠2=153°，∴∠2=103°，故選：B．52．（2023·浙江嘉興·一模）地球有多大？2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼（Eratost?enes）利用太陽光線測量出了地球子午線的周長．下面讓我們一起開啟“探求地球周長”的數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)之旅．項目任務(wù)（一）如圖1，某日正午，小紅在B地（與太陽直射點A在同一子午線上）測得太陽光與木棍的夾角為α，則∠AOB=______，若測得AB之間弧長為l，則地球子午線周長為______．（用含α，l的代數(shù)式表示）項目任務(wù)（二）如圖2，某日正午，小紅和小明在同一子午線的B地、C地測得太陽光與木棍的夾角分別為α，β，則∠BOC=______，若測得BC之間弧長為l，則地球子午線周長為______．（用含α，β，l的代數(shù)式表示）項目任務(wù)（三）如圖3，日落時，身高為h的小亮趴在地上平視遠(yuǎn)方，在太陽完全從地平線上消失的一瞬間，按下秒表開始計時．同時馬上站起來，當(dāng)太陽再次完全消失在地平線的瞬間，停止計時，小亮利用這個時間差和地球自轉(zhuǎn)的速度計算出了∠PQH=θ，請據(jù)此計算出地球的半徑與周長．（用含h，θ的代數(shù)式表示）

【答案】任務(wù)（一）：α，360lα；任務(wù)（二）：a?β，360lα?β；任務(wù)（三）：地球的半徑為?【分析】任務(wù)（一）：根據(jù)太陽光線是平行線可得∠AOB=∠ODC=α，再根據(jù)弧長公式求出半徑，即可求出對應(yīng)的周長；任務(wù)（二）：如圖所示，延長EF交OB于P，同理求出∠EPM=∠OMN=α，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BOC=α?β，再同（1）方法求出對應(yīng)的周長即可；任務(wù)（三）：由題意得，當(dāng)小亮趴在地上平視遠(yuǎn)方，在太陽完全從地平線上消失的一瞬間，此時小亮視線所在的直線HQ與⊙O相切于點H，同理當(dāng)小亮站起來，太陽再次完全消失在地平線的瞬間，小亮的視線所在的直線也與⊙O相切，設(shè)這個切點為T，連接OT，OH，設(shè)地球半徑為r2，則OP=?+r2，證明∠TOP=∠PQH=θ，解Rt【詳解】解：任務(wù)（一）∵太陽光線是平行線，∴OA∥CD，∵∠ODC=α，∴∠AOB=∠ODC=α，設(shè)地球的半徑為r,∵AB之間弧長為l，∴α?πr180∴r=180l∴地球子午線周長為2πr=2π?180l故答案為：α，360lα

任務(wù)（二）：如圖所示，延長EF交OB于P，∵太陽光線是平行線，∴MN∥EF，∵∠OMN=α，∴∠EPM=∠OMN=α，∵∠OEP=β，∴∠BOC=∠EPM?∠OEP=α?β，設(shè)地球的半徑為r1∵BC之間弧長為l，∴α?β?π∴r1∴地球子午線周長為2πr=2π?180l故答案為：a?β，360lα?β

任務(wù)（三）：由題意得，當(dāng)小亮趴在地上平視遠(yuǎn)方，在太陽完全從地平線上消失的一瞬間，此時小亮視線所在的直線HQ與⊙O相切于點H，同理當(dāng)小亮站起來，太陽再次完全消失在地平線的瞬間，小亮的視線所在的直線也與⊙O相切，設(shè)這個切點為T，連接OT，OH，設(shè)地球半徑為∴OP=PH+OH=?+r由切線的性質(zhì)可得∠PHQ=∠PTO=90°，∴∠HQP+∠HPQ=90°=∠TPO+∠TOP，∴∠TOP=∠PQH=θ，在Rt△TPO中，cos∴cosθ=∴r2∴地球的半徑為?cos∴地球的周長=2πr

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，求弧長，三角形外角的性質(zhì)等等，正確理解題意并作出對應(yīng)的輔助線是解題的關(guān)鍵.??題型15根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度53．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，DE∥BC，∠ADC=∠B=96°，求∠A的度數(shù)．【答案】36°【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義求出∠CDE的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和的度數(shù)即可求出∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵DE平分∠ADC，∠ADC=96°，∴∠CDE=1∵DE∥BC，∴∠C+∠CDE=180°，∴∠C=132°，在四邊形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠ADC=(4?2)×180°=360°，∵∠ADC=∠B=96°，∴∠A=360°?96°?96°?132°=36°．54．（2024·山東青島·一模）【探究1】如圖1，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E，AB∥CD，∠ABC=30°，∠ADC=36°，則∠AEC=【探究2】如圖2，∠BAD的三等分線AE與∠BCD的三等分線CE交于點E，∠EAD=13∠BAD,∠BCE=13∠BCD，AB∥CD【探究3】如圖3，∠BAD的n等分線AE與∠BCD的n等分線CE交于點E，∠EAD=1n∠BAD，∠BCE=1n∠BCD，AB∥CD，∠ABC=x°,∠ADC=y°，則∠AEC=

【答案】探究1：33°；探究2：44°；探究3：n?1【分析】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，以及角的和差關(guān)系．探究1：過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BCD=∠ABC=30°，∠BAD=∠ADC=36°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE，∠DCE，再利用平行線的性質(zhì)得出∠FEA=∠BAE，∠FEC=∠DCE，最后根據(jù)【詳解】解：探究1：如圖1，過點E作EF∥

∵AB∥CD∴∠BCD=∠ABC=30°，∠BAD=∠ADC=36°，∵AE平分∠BAD，CE平分∠BCD，∴∠BAE=12∠BAD=∵EF∥∴∠FEA=∠BAE=18°，∵EF∥AB，∴EF∥∴∠FEC=∠DCE=15°，∴∠AEC=∠FEC+∠FEA=15°+18°=33°；探究2：如圖2，過點E作EF∥

∵AB∥CD∴∠BCD=∠ABC=30°，∠BAD=∠ADC=36°，∵∠EAD=1∴∠BAE=2∵EF∥∴∠FEA=∠BAE=24°，∵EF∥AB，∴EF∥∴∠FEC=∠DCE=20°，∴∠AEC=∠FEC+∠FEA=20°+24°=44°；探究3：如圖3，過點E作EF∥

∵AB∥CD∴∠BCD=∠ABC=x°，∠BAD=∠ADC=y°，∵∠EAD=1n∠BAD∴∠BAE=n?1∵EF∥∴∠FEA=∠BAE=n?1∵EF∥AB，∴EF∥∴∠FEC=∠DCE=n?1∴∠AEC=∠FEC+∠FEA=n?1故答案為：探究1：33°；探究2：44°；探究3：n?1n55．（23-24九年級上·浙江紹興·期末）圖1是某種手機(jī)支架在水平桌面上放置的實物圖，圖2是其側(cè)面的示意圖，其中支桿AB=BC=22cm，可繞支點C,B調(diào)節(jié)角度，DE為手機(jī)的支撐面，DE=20cm，支點A為DE的中點，且(1)若支桿BC與桌面的夾角∠BCM=72°，求支點B到桌面的距離．(2)在（1）的條件下，若支桿BC與AB的夾角∠ABC=112°，求支撐面下端E到桌面的距離．【答案】(1)支點B到桌面的距離20.9(2)支撐面下端E到桌面的距離為27.3【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的判定與性質(zhì)，（1）過點B作BF⊥CM，則∠BFC=90°，在Rt△BFC中，∠BFC=90°，∠BCM=72°，BC=22cm，sin（2）過點A作AG⊥CM于點G，過點B作BH⊥AG于點H，過點E作EK⊥AG于點K，則BH∥FG，∠AKE=90°，根據(jù)題意和平行線的性質(zhì)得∠HBC=∠BCM=72°，根據(jù)角之間的關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理得∠ABH=40°，∠HAB=50°，∠EAK=40°，在Rt△AHB中，∠AHB=90°，∠HAB=50°，AB=22cm，cos∠HAB=AHAB，計算得AH=14.08cm，根據(jù)DE=20cm，支點A為DE的中點得AE=10cm，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AEK=50°，在Rt△AKE中，∠AKE=90°，∠AEK=50°，AE=10掌握銳角三角形函數(shù)，平行線的判定與性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，過點B作BF⊥CM，∴∠BFC=90°，在Rt△BFC中，∠BFC=90°，∠BCM=72°，BC=22cm，sin即sin72°=BF=22×0.95=20.9cm即支點B到桌面的距離20.9cm（2）解：如圖所示，過點A作AG⊥CM于點G，過點B作BH⊥AG于點H，過點E作EK⊥AG于點K，∴BH∥FG，∴∠HBC=∠BCM，∵∠BCM=72°，∴∠HBC=∠BCM=72°，∵∠ABC=112°，∴∠ABH=∠ABC?∠HBC=112°?72°=40°，∴∠HAB=180°?∠AHB?∠ABH=180°?90°?40°=50°，∵DE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠EAK=∠BAE?∠HAB=90°?50°=40°，在Rt△AHB中，∠AHB=90°，∠HAB=50°，AB=22cm即cos50°=AH=22×0.64=14.08(cm∵DE=20cm，支點A為DE∴AE=1∵∠AKE=90°，∠EAK=40°，∴∠AEK=180?∠AKE?∠EAK=180°?90°?40°=50°，在Rt△AKE中，∠AKE=90°，∠AEK=50°，AE=10cm即sin50°=AK=10×0.77=7.7(cm∵∠BHG=∠HGF=∠BFG=90°∴四邊形BHGF是矩形，∴HG=BF=20.9cm則支撐面下端E到桌面的距離：KG=AH?AK+HG=14.08?7.7+20.9=27.28≈27.3(cm即支撐面下端E到桌面的距離為27.3cm56．（2023·廣東·模擬預(yù)測）【學(xué)習(xí)新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，若入射光線與水平鏡面夾角為∠1，反射光線與水平鏡面夾角為∠2，則∠1=∠2．(1)【初步應(yīng)用】如圖2，有兩塊平面鏡AB，BC1，入射光線DO1經(jīng)過兩次反射，得到反射光線O2(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡AB，BC，CD，入射光線EO1經(jīng)過三次反射，得到反射光線O3F，已知∠1=36°，∠B=120°，若要使【答案】(1)證明見解析(2)126°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠2+∠3=90°，進(jìn)而得到∠1+∠2+∠3+∠4=180°，求出∠DO（2）過點O2作O2M【詳解】（1）證明：∵∠B=90°，∠B+∠2+∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∵∠1+∠DO1O∴∠DO∴DO（2）解：如圖，過點O2作O∵∠1=36°，∠B=120°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∴∠2=∠1=36°，∴∠3=180°?∠B?∠2=180°?120°?36°=24°，∴∠4=∠3=24°，∴∠EO∠O∵O2∴∠O∴∠MO∵O2M∥∴O2∴∠O∴∠5=∠6=1∴∠C=180°?∠4?∠5=180°?24°?30°=126°．∴∠C為126°．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．??題型16根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明57．（2024武漢市二模）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，EF交CD于點F，∠2+∠3=180°，(1)求證：DE∥(2)若DE平分∠ADC，∠3=3∠B，求【答案】(1)見詳解(2)72°【分析】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性質(zhì)并靈活運用．（1）由題意可得∠DFE+∠2=180°，從而得∠DFE=∠3，由平行線的判定條件可得BD∥EF，則有∠1=∠ADE，從而得∠B=∠ADE，即可判斷（2）由（1）可知∠B=∠ADE，再由角平分線的定義得∠ADC=2∠ADE=2∠B，再由∠3+∠ADC=180°，即可求∠ADC的度數(shù)，即可得∠2的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵∠DFE+∠2=180°,∠3+∠2=180°，∴∠DFE=∠3，∴BD∥∴∠1=∠ADE，∵∠1=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥（2）解：由（1）知，∠B=∠ADE,BD∥∴∠2=∠ADC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=2∠ADE=2∠B，∵∠3+∠ADC=180°,∠3=3∠B，∴3∠B+2∠B=180°，解得∠B=36°，∴∠ADC=72°，∴∠2=72°．58．（2024·浙江麗水·二模）課課堂上同學(xué)們獨立完成了這樣一道問題：“如圖，已知AB∥CD，AD∥小蓮?fù)瑢W(xué)解答如下：∵AB∥CD，∴∠1+∠BCD=180°，∵AD∥BC，∴∠2+∠BCD=180°，∴∠1=∠2小蓮的證法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請寫出你的證明過程．【答案】錯誤．證明過程見解析【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．由平行線的性質(zhì)推出∠1+∠BAD=180°，∠2+∠BAD=180°，由補角的性質(zhì)推出∠1=∠2．【詳解】小蓮的證法是錯誤的．證明過程如下：∵AB∥∴∠1+∠BAD=180°，∵AD∥∴∠2+∠BAD=180°，∴∠1=∠2．59．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D，E為BC上一點，AE，DC的延長線交于點F，(1)求證：∠BAF=∠F；(2)若CFAB=13，直接寫出【答案】(1)見解析(2)1【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，掌握這些判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由∠DAE=∠BEA得AD∥BC，由平行線的性質(zhì)結(jié)合∠B=∠D，得（2）由（1）知，四邊形ABCD是平行四邊形，則有CD=AB；易得△CEF∽△DAF，由相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠DAE=∠BEA，∴AD∥∴∠D=∠BCF；∵∠B=∠D，∴∠B=∠BCF，∴AB∥∴∠BAF=∠F；（2）解：由（1）知，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB；∵CF∴CF從而CFFD∵AD∥∴△CEF∽△DAF，∴∴△CEF和△DAF的周長之比為1460．（2024·黑龍江·二模）已知直線AM∥BN，∠BAM的平分線與∠ABN的平分線交于點C，過點C作DE交AM于點D，交直線

(1)當(dāng)直線DE⊥AM時，如圖①，求證：AB=BE+AD；(2)當(dāng)直線DE與AM不垂直時，如圖②、圖③，猜想線段AD，BE，AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并利用圖【答案】(1)證明見解析；(2)圖②：AB=BE+AD；圖③：BE=AD+AB；證明見解析．【分析】（1）如圖①，延長AC交BN于Q，證明△ABC≌△QBCAAS，得到AC=CQ，再證明△ABC≌△QBCAAS，得到AC=CQ，最后△ADC≌△QECASA，得到AD=QE，即可得AD+BE=EQ+BE=BQ=AB（2）圖②：AB=BE+AD．延長AC交BN于Q，同理①即可求證；圖③：BE=AD+AB．延長AC交BN于Q，同理①即可求證；本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖①，延長AC交BN于Q，

∵AC平分∠MAB，∴∠MAC=∠BAC，∵AM∥∴∠MAC=∠AQB，∴∠BAC=∠AQB，∴AB=BQ，∵BC平分∠ABQ，∴∠ABC=∠QBC，在△ABC和△QBC中，∠CAB=∠CQB∠ABC=∠QBC∴△ABC≌△QBCAAS∴AC=CQ，∵AM∥∴∠DAC=∠EQC，在△ADC和△QEC中，∠DAC=∠EQCAC=CQ∴△ADC≌△QECASA∴AD=QE，∴AD+BE=EQ+BE=BQ=AB，即AB=BE+AD；（2）解：圖②：AB=BE+AD．證明：如圖②，延長AC交BN于Q，

∵AC平分∠MAB，∴∠MAC=∠BAC，∵AM∥∴∠MAC=∠AQB，∴∠BAC=∠AQB，∴AB=BQ，∵BC平分∠ABQ，∴∠ABC=∠QBC，在△ABC和△QBC中，∠CAB=∠CQB∠ABC=∠QBC∴△ABC≌△QBCAAS∴AC=CQ，∵AM∥∴∠DAC=∠EQC，在△ADC和△QEC中，∠DAC=∠EQCAC=CQ∴△ADC≌△QECASA∴AD=QE，∴AD+BE=EQ+BE=BQ=AB，即AB=BE+AD；圖③：BE=AD+AB．證明：如圖③，延長AC交BN于Q，

∵AC平分∠MAB，∴∠MAC=∠BAC，∵AM∥∴∠MAC=∠AQB，∴∠BAC=∠AQB，∴AB=BQ，∵BC平分∠ABQ，∴∠ABC=∠QBC，在△ABC和△QBC中，∠CAB=∠CQB∠ABC=∠QBC∴△ABC≌△QBCAAS∴AC=CQ，∵AM∥∴∠DAC=∠EQC，在△ADC和△QEC中，∠DAC=∠EQCAC=CQ∴△ADC≌△QECASA∴AD=QE，∴AD+AB=EQ+BQ=BE，即BE=AD+AB．1．（2024·山東青島·中考真題）如圖①，將邊長為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長為1的小正方形，得到如圖②的“紙板卡”，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要塊；如圖③，將長、寬、高分別為4，2，2的長方體磚塊，切割掉長、寬、高分別為4，【答案】12144【分析】本題考查展開圖折疊成幾何體，最小公倍數(shù)等知識，先拼成一個基礎(chǔ)圖形（體），再根據(jù)正方形（體）的特征，即可解答．【詳解】解：先用2個圖②拼成一個長為3，寬為2的長方形，面積為6，∵2,3的最小公倍數(shù)是6，如圖，∴6個這樣的長方形拼成一個面積為36的正方形，此時邊長為6，∴需圖②的個數(shù)：6×2=12（個）；同理用2個圖④拼成長，寬，高分別為4,3,2的長方體，用4×3=12個這樣的長方體拼成一個長，寬，高為12，12，2的長方體，用6個這樣的長方體可以拼成長，寬，高為12，12，12的正方體，此時需要：2×3×4×6=144（個）．故答案為：12；144．2．（2024·河北·中考真題）如圖，△ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，點A，C1，C2，C3是線段CC4的五等分點，點A，D1，D2（1）△AC1D（2）△B1C【答案】17【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得S△ABD=S（2）證明△AB1D1≌△ABDSAS，得S△AB1D1=S△ABD=1，推出C1、D1【詳解】解：（1）連接B1D1、B1D2、∵△ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，∴S△ABD∵點A，C1，C2，C3∴AC=AC∵點A，D1，D2是線段∴AD=AD∵點A是線段BB∴AB=AB在△AC1DAC∴△AC∴S△AC1∴△AC1D故答案為：1；（2）在△AB1DAB∴△AB∴S△AB1∵∠BDA+∠CDA=180°，∴∠B∴C1、D1、∴S△A∵AC∴S△A∵AD1=∴S△A在△AC3D∵AC3AC∴△C∴S△∴S△∵AC∴S△A∴S△∴△B1C故答案為：7．【點睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點的意義，三角形的面積．掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·四川德陽·中考真題）走馬燈，又稱仙音燭，據(jù)史料記載，走馬燈的歷史起源于隋唐時期，盛行于宋代，是中國特色工藝品，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日，在一次綜合實踐活動中，一同學(xué)用如圖所示的紙片，沿折痕折合成一個棱錐形的“走馬燈”，正方形做底，側(cè)面有一個三角形面上寫了“祥”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時，正好看到“吉祥如意”的字樣．則在A、B、C處依次寫上的字可以是（

）A．吉

如

意 B．意

吉

如 C．吉

意

如 D．意

如

吉【答案】A【分析】本題考查的是簡單幾何體的展開圖，利用四棱錐的展開圖的特點可得答案．【詳解】解：由題意可得：展開圖是四棱錐，∴A、B、C處依次寫上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；故選A4．（2024·山東濰坊·中考真題）一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架AB與吊線FG平行，燈桿CD與底部支架AB所成銳角α=15°．頂部支架EF與燈桿CD所成銳角β=45°，則EF與FG所成銳角的度數(shù)為（

）A．60° B．55° C．50° D．45°【答案