中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第30講 尺規(guī)作圖與定義、命題、定理(講義2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)18種題型)(解析版)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第七章圖形的變化第30講尺規(guī)作圖與定義，命題，定理（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)18種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一尺規(guī)作圖考點(diǎn)二定義、命題、定理04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一尺規(guī)作圖?題型01作線段?題型02作一個(gè)角等于已知角?題型03尺規(guī)作角的和、差?題型04過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線?題型05作三角形?題型06作角平分線?題型07作垂線?題型08作等腰三角形?題型09畫圓?題型10過圓外一點(diǎn)作圓的切線?題型11作正多邊形?題型12格點(diǎn)作圖?題型13無刻度直尺作圖?題型14最短路徑問題命題點(diǎn)二定義、命題、定理?題型01判斷是否是命題?題型02判定命題的真假?題型03寫成命題的逆命題?題型04反證法

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求尺規(guī)作圖★★能用尺規(guī)作圖定義、命題、定理★通過具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義.結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念.會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.【命題預(yù)測】本考點(diǎn)內(nèi)容以考查尺規(guī)作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為6分左右．預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn).中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問題的能力，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握．02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一尺規(guī)作圖定義：最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱作基本作圖,五種基本作圖：1）作一條線段等于已知線段已知線段a求作線段0A，使OA等于a作法1）任作一條射線OP；2）以點(diǎn)0為圓心，a的長為半徑畫弧，交0P于點(diǎn)A，則線段OA即為所求依據(jù)圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.2）作一個(gè)角等于已知角已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射線O'A'；2）以點(diǎn)0為圓心，任意長為半徑畫弧，交0A于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；3）以點(diǎn)0'為圓心，0C的長為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)E；4）以點(diǎn)E為圓心，CD的長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)F；5）經(jīng)過點(diǎn)F作射線O'B',ㄥA'0'B'即為所求.依據(jù)1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；3）兩點(diǎn)確定一條直線.3）作已知角的角平分線已知∠AOB求作射線OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交0A于點(diǎn)M，交0B于點(diǎn)N；2）分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；3）作射線OP，射線OP即為所求.依據(jù)1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；3）兩點(diǎn)確定一條直線.4）過一點(diǎn)作已知直線的垂線已知直線AB和AB上的一點(diǎn)M求作AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)M作法作平角ㄥACB的平分線MF.直線MF就是所求作的垂線.已知直線AB和AB外一點(diǎn)M求作AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)M作法1）任意取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P和點(diǎn)M在AB的兩旁；2）以點(diǎn)M為圓心，MP的長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D；3）分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E；4）作直線EM，直線EM就是所求作的垂線.依據(jù)1）等腰三角形“三線合一”；

2）兩點(diǎn)確定一條直線.5）作線段的垂直平分線已知線段AB求作線段AB的垂直平分線作法1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；2）作直線MN，直線MN就是線段AB的垂直平分線.依據(jù)1）到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；2）兩點(diǎn)確定一條直線.尺規(guī)作圖的關(guān)鍵:1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問題；3)切記作圖中一定要保留作圖痕跡；4）無刻度直尺作圖通常會(huì)與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)和勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.1．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點(diǎn)．按下列要求作圖：①以點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧，交線段BO于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E；②以點(diǎn)O為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段OA于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)G，點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線AB同側(cè)；④作直線OG，交AC于點(diǎn)M．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=【答案】D【分析】本題主要考查了作一個(gè)角等于已知角，平行線的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，先根據(jù)作圖得出∠AOM=∠B，根據(jù)平行線的判定得出OM∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠OMC+∠C=180°，根據(jù)平行線分線段成比例得出【詳解】解：A．根據(jù)作圖可知：∠AOM=∠B一定成立，故A不符合題意；B．∵∠AOM=∠B，∴OM∥∴∠OMC+∠C=180C．∵O是邊AB的中點(diǎn)，∴AO=BO，∵OM∥∴AMCM∴AM=CM一定成立，故C不符合題意；D．OM=12．（2024·四川·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)F，作射線BF交AC于點(diǎn)G．則∠ABG的大小為【答案】35【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的尺規(guī)作法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的尺規(guī)作法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)AB=AC，∠A=40°，由等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可得∠ABC=∠ACB=70°，由尺規(guī)作圖過程可知BG為∠ABC的角平分線，由此可得∠ABG=∠GBC=1【詳解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，根據(jù)尺規(guī)作圖過程，可知BG為∠ABC的角平分線，∴∠ABG=∠GBC=1故∠ABG=35°，故答案為：35°．3．（2024·山東德州·中考真題）已知∠AOB，點(diǎn)P為OA上一點(diǎn)，用尺規(guī)作圖，過點(diǎn)P作OB的平行線．下列作圖痕跡不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖．作一個(gè)角等于已知角，作一個(gè)角的平分線，平分線的判定，菱形的判定和性質(zhì)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、由作圖知，OC是∠AOB的平分線，且PO=PC，∴∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PC∥B、由作圖知，PD是∠APC的平分線，且PO=OC，∴∠3=∠4，∠1=∠2，不能說明∠2與∠4相等，∴PD與OB不平行，故本選項(xiàng)符合題意；C、由作圖知，PO=OD=CD=CP，∴四邊形POCD是菱形，∴PC∥D、由作圖知，∠1=∠O，∴PC∥故選：B．4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠B=90°(1)尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，將中線BO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（1）作出線段AC的垂直平分線EF，交AC于點(diǎn)O，連接BO，則線段BO即為所求；（2）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，線段BO即為所求；（2）證明：如圖，∵由作圖可得：AO=CO，由旋轉(zhuǎn)可得：BO=DO，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為矩形．考點(diǎn)二定義、命題、定理1.命題定義：判斷一件事情的語句，叫做命題.組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．表達(dá)形式：可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．2.真命題、假命題內(nèi)容舉例注意真命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題?對(duì)頂角不相等說明一個(gè)命題是真命題，需從已知出發(fā),經(jīng)過一步步推理，最后得出正確結(jié)論假命題命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題?相等的角是對(duì)頂角判定一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子(反例)，使它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可3.逆命題逆命題：把原命題的結(jié)論作為命題的題設(shè)，把原命題的題設(shè)作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題.互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題．4.公理、定理公理：如果一個(gè)命題的正確性是人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.如：兩點(diǎn)之間線段最短.定理：如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理．5.互逆定理互逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．6.反證法定義：先假設(shè)原命題的結(jié)論不正確，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推理論證，最后得出與學(xué)過的概念、基本事實(shí)、已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，這種證明的方法叫做反證法.反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確．1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）請(qǐng)寫出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理．【答案】同位角相等，兩直線平行【分析】本題考查了逆定理的改寫，根據(jù)題意，將題設(shè)與結(jié)論交換位置即可．【詳解】解：定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，兩直線平行，故答案為：同位角相等，兩直線平行．2．（2024·山東濰坊·中考真題）下列命題是真命題的有（

）A．若a=b，則ac=bcB．若a>b，則ac>bcC．兩個(gè)有理數(shù)的積仍為有理數(shù)D．兩個(gè)無理數(shù)的積仍為無理數(shù)【答案】AC【分析】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了等式及不等式的性質(zhì)、無理數(shù)及有理數(shù)的積．利用等式及不等式的性質(zhì)、無理數(shù)及有理數(shù)的積分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、由等式的性質(zhì)可得，若a=b，則ac=bc，原命題為真命題；B、由不等式的性質(zhì)可得，若a>b，且c>0，則ac>bc，原命題為假命題；C、兩個(gè)有理數(shù)的積仍為有理數(shù)，原命題為真命題；D、兩個(gè)無理數(shù)的積不一定為無理數(shù)，比如2×故選：AC．3．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）下列說法正確的是（

）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關(guān)系，分別舉出反例，再進(jìn)行判斷，即可得出答案．【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項(xiàng)符合題意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等沒有逆定理，故此選項(xiàng)不符合題意；C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對(duì)頂角相等的逆命題是：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角，它是假命題而不是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角的逆命題是：對(duì)頂角相等，它是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關(guān)鍵．把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題．4．（2022·黑龍江綏化·中考真題）下列命題中是假命題的是（

）A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半B．如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定相等C．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【答案】B【分析】利用三角形的中位線定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；B.如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角不一定相等，故此選項(xiàng)是假命題，符合題意；C.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解三角形的中位線定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)、切線長定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一尺規(guī)作圖?題型01作線段1．（2023·山西太原·模擬預(yù)測）已知線段a、b、c．

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條線段AB，使它等于a+c?b．（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕跡）(2)若a=6，b=4，c=7，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，求AC的長．【答案】(1)作圖見解析(2)4.5【分析】（1）作射線AM，在射線AM上順次截取AE=a,EF=c，在線段FA上截取FB=b，則線段AB即為所求；（2）由（1）中結(jié)論及已知條件，求得AB的長，再利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可解得AC的長．【詳解】（1）解：如圖，線段AB即為所求：

（2）如圖，

∵a=6，b=4，c=7，∴AB=a+c?b=6+7?4=9∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC=即AC的長4.5．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，大于12BD的長為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN分別交AB于點(diǎn)E，若AD=3,BE=1，則BCA．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】本題考查了，作圖等長線段，作圖垂直平分線，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：由作圖方法得到等量關(guān)系式．根據(jù)取等長線段的做法，垂直平分線的做法，得到AC=AD=3，DE=BE，即可求出AB=AD+BD=5，在Rt△ABC【詳解】解：根據(jù)作圖可得：AC=AD=3，MN為BD的垂直平分線，∵BE=1，∴BD=2BE=2，∴AB=AD+BD=5，∵∠ACB=90°，∴BC=A故選：B．3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在等邊△ABC中，AD為BC邊上的高．(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)，以CD為邊在CD下方作等邊△CDE，延長ED交AB于點(diǎn)M；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡、不寫作法，標(biāo)明字母）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，證明CE=BM．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作線段，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握作線段，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，分別以C、D為圓心，CD的長為半徑畫弧，交點(diǎn)為E，連接CE、DE，則等邊△CDE即為所作，延長ED交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所作；（2）證明△BMD≌△CEDASA，進(jìn)而可證CE=BM【詳解】（1）解：如圖，分別以C、D為圓心，CD的長為半徑畫弧，交點(diǎn)為E，連接CE、DE，則CD=CE=DE，等邊△CDE即為所作，延長ED交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所作；（2）證明：∵△ABC為等邊三角形，AD為BC邊上的高，∴∠B=∠ACB=60°，∵等邊△CDE，∴∠ECD=60°，∴∠B=∠ECD，又∵∠MDB=∠EDC，∴△BMD≌△CEDASA∴CE=BM．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02作一個(gè)角等于已知角1．（2024·北京·中考真題）下面是“作一個(gè)角使其等于∠AOB”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）作射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)C（3）過點(diǎn)D'作射線O'B

上述方法通過判定△C'O'D'≌△CODA．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等C．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等D．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等【答案】A【分析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：根據(jù)上述基本作圖，可得OC=O故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，故選A.2．（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE∥DC交AC

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射線CM交BE于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；（2）先證明四邊形CDBF是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出CD=BD=1【詳解】（1）解：如圖，

；（2）證明：∵∠ECM=∠A，∴CM∥∵BE∥∴四邊形CDBF是平行四邊形，∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB∴CD=BD=1∴平行四邊形CDBF是菱形．3（2021·山東青島·中考真題）已知：∠O及其一邊上的兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且點(diǎn)C在∠O內(nèi)部，∠BAC=∠O．【答案】見解析【分析】先在∠O的內(nèi)部作∠DAB=∠O，再過B點(diǎn)作AD的垂線，垂足為C點(diǎn)．【詳解】解：如圖，Rt△ABC為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．?題型03尺規(guī)作角的和、差1．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C．(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交射線AQ于點(diǎn)B，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求作點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（1）、（2）的條件下，若sinA=35，CM=12【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)BM=6【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角等于已知角的方法即可求解；（2）根據(jù)尺規(guī)作圓，作垂線的方法即可求解；（3）根據(jù)作圖可得MW⊥AQ，CM=WM=12，AB是直徑，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可得AM的值，根據(jù)勾股定理可求出AC的值，在直角△BCM中運(yùn)用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，∴∠COQ=2∠CAQ；點(diǎn)O即為所求（2）解：如圖所示，連接BC，以點(diǎn)B為圓心，以BC為半徑畫弧交AQ于點(diǎn)B1，以點(diǎn)B1為圓心，以任意長為半徑畫弧交AQ于點(diǎn)C1，D1，分別以點(diǎn)C1，D1為圓心，以大于∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，即BC⊥AP，根據(jù)作圖可得B1∴MB1⊥AQ，即∠MB1B=90°，∵BC=BB∴Rt△BCM≌∴CM=B點(diǎn)M即為所求點(diǎn)的位置；（3）解：如圖所示，根據(jù)作圖可得，∠COQ=2∠CAQ，MC=MW=12，MW⊥AQ，連接BC，∴在Rt△AMW中，sin∴AM=5WM∴AC=AM?CM=20?12=8，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴sinA=設(shè)BC=3x，則AB=5x，∴在Rt△ABC中，5x解得，x=2（負(fù)值舍去），∴BC=3x=6，在Rt△BCM中，BM=【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作角等于已知角，尺規(guī)作垂線，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)的綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）操作探究題(1)已知AC是半圓O的直徑，∠AOB=180n°（n是正整數(shù)，且n操作：如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB=180n°交流：當(dāng)n=11時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180探究：你認(rèn)為當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180(2)如圖2，⊙o的圓周角∠PMQ=2707°．為了將這個(gè)圓的圓周【答案】(1)作圖見解析；交流：60°?9×18028°=探究：正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），理由見解析(2)作圖見解析【分析】（1）由操作可知，如果(60n)°可以用60°（2）將圓周14等分就是把∠PMQ=2707°所對(duì)的圓周角【詳解】（1）操作：交流：60°?9×18028°=探究：設(shè)60°?k180n°=60n或設(shè)k180n°?60°=60n所以對(duì)于正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），都可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180（2）【點(diǎn)睛】本題考查了用圓規(guī)作圖的基本技能，需要準(zhǔn)確理解題意，對(duì)于復(fù)雜圖形的作圖要學(xué)會(huì)將其轉(zhuǎn)化成基本圖形去作，本題第二問利用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為第一問的思路從而得以解決，這也是本題求解的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線1．（2024·山東青島·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD，E為DC邊上一點(diǎn)．求作：四邊形內(nèi)一點(diǎn)P，使EP∥BC，且點(diǎn)P到AB,AD的距離相等．【答案】見解析【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線和作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖方法．作∠DAB的平分線AM，以E為頂點(diǎn)，ED為一邊作∠DEN=∠C，EN交AM于P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：作∠DAB的平分線AM，以E為頂點(diǎn)，ED為一邊作∠DEN＝∠C，EN交AM于P，如圖，點(diǎn)2．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)y=x?2的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于A，B3,n兩點(diǎn)，且直線AB與坐標(biāo)軸分別交于P(1)求m和n的值；(2)已知點(diǎn)M0,2，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)M作直線AB(3)若（2）中所作的平行線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，連接NP，QM，求四邊形【答案】(1)m=3，n=1(2)見解析(3)8【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，尺規(guī)作圖：（1）將B3,n代入y=x?2可得n的值，將B3,n代入y=m（2）以M為頂點(diǎn)，y軸為角的一邊，作一個(gè)角等于∠MPB即可；（3）先求出直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得△OMN為腰長是2的等腰直角三角形，再根據(jù)S四邊形【詳解】（1）解：一次函數(shù)y=x?2經(jīng)過點(diǎn)B3,n，代入解得n=1∵B3,1在反比例函數(shù)y=∴m=1×3=3；（2）解：所作平行線如圖所示：（3）解：由（1）知反比例函數(shù)解析式為y=3當(dāng)x=0時(shí)，y=0?2=?2，當(dāng)y=0時(shí)，0=x?2，解得：x=2，則y=x?2交坐標(biāo)軸于Q2,0，P∴OP=OQ=OM=2，PM=4，∴∠OMN=∠OPQ=45°，∴△OMN為腰長是2的等腰直角三角形，∴S四邊形QUOTE?題型05作三角形1．（2022·廣西貴港·中考真題）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．【答案】見解析【分析】作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；過點(diǎn)A作l的垂線；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．【詳解】解：如圖所示：△ABC為所求．注：（1）作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；（2）過點(diǎn)A作l的垂線；（3）在l上截取AB=m；（4）作BC=n．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．2．（2023·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ(0°<θ<180°)，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T(A，順θ，k)；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T(A，逆θ，k)．例如：如圖①，先將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點(diǎn)B為位似中心縮小到原來的(1)如圖②，△ABC經(jīng)過T(C，順60°，2)得到△A'B(2)如圖③，△ABC經(jīng)過T(B，逆α，k1)得到△EBD，△ABC經(jīng)過T(C，順β，k2)得到△FDC，連接AE，(3)如圖④，在△ABC中，∠A=150°,AB=2,AC=1.若△ABC經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形AFDE是正方形．①用尺規(guī)作出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；②直接寫出AE的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①見解析；②2【分析】（1）旋轉(zhuǎn)60°，可作等邊三角形DBC，ACE，從而得出B點(diǎn)和點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，E，進(jìn)而作出圖形；（2）根據(jù)△EBD和△ABC位似，△FDC與△ABC位似得出∠EBD=∠ABC，BEAB=BDBC，DFCD=ABBC，進(jìn)而推出△EBA∽△DBC，從而（3）要使?AFDE是正方形，應(yīng)使∠EAF=90°，AE=AF，從而得出∠BAE+∠FAC=270°?∠BAC=120°，從而得出∠DBC+∠DCB=120°，從而∠BDC=60°，于是作等邊△BCG，保證∠BDC=∠G=60°，作直徑BD，保證BD=2CD，這樣得出作法．【詳解】（1）解：如圖1，1．以B為圓心，BC為半徑畫弧，以C為圓心，BC為半徑畫弧，兩弧在BC的上方交于點(diǎn)D，分別以A，C為圓心，以AC為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，2．延長CD至B'，使DB'=CD，延長CE至A'則△A（2）證明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC與△ABC位似，∴∠EBD=∠ABC，BEAB=BD∴∠EBA=∠DBC，∴△EBA∽△DBC，∴AECD∴AECD∴AE=DF，同理可得：DE=AF，∴四邊形AFDE是平行四邊形；（3）解：如圖2，1．以BC為邊在BC上方作等邊三角形GBC，2．作等邊三角形BCG的外接圓O，作直徑BD，連接CD，3．作∠DBE=∠ABC，∠BDE=∠ACB，延長BA，交⊙O于F，連接CF，DF，則四邊形AFDE是正方形，證明：由上知：△EBA∽△DBC，△FAC∽△DBC，∴∠BAE=∠DCB，∠FAC=∠DBC，AECD=AB∴∠BAE+∠FAC=∠DCB+∠DBC，要使?AFDE是正方形，應(yīng)使∠EAF=90°，AE=AF，∴∠BAE+∠FAC+∠BAC=270°，BD=2CD，∴∠BAE+∠FAC=270°?∠BAC=270°?150°=120°，∴∠DBC+∠DCB=120°，∴∠BDC=60°，∴作等邊△BCG，保證∠BDC=∠G=60°，作直徑BD，保證BD=2CD，這樣得出作法；∵∠ABE=∠DBC=30°，∠EAB=∠BCD=90°，AB=2，∴AE=3【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，確定圓的條件，尺規(guī)作圖等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是較強(qiáng)的分析能力．?題型06作角平分線1．（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交BC，BA于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線BP交AC于點(diǎn)F．已知CF=3，AF=5，則BF的長為【答案】3【分析】本題考查了作圖?基本作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．根據(jù)基本作圖可判斷BF平分∠ABC，過F作FG⊥AB于G，再利用角平分線的性質(zhì)得到GF=CF=3，根據(jù)勾股定理求出AG=AF2?FG2=52?32=4，證明Rt△CBF≌Rt【詳解】解：過F作FG⊥AB于G，由作圖得：BF平分∠ABC，F(xiàn)G⊥AB，∠C=90°，∴GF=CF=3，在Rt△AFG中根據(jù)勾股定理得：AG=∵FG=CF，BF=BF，∴Rt∴BG=BC，設(shè)BG=BC=x，則AB=4+x，AC=AF+CF=5+3=8，在Rt△ABCAC即：82解得：x=6，∴BC=6，在Rt△BCF中根據(jù)勾股定理得：BF=故答案為：352．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)E，再分別以B、E為圓心，大于12BE的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部交于點(diǎn)F，作射線AF【答案】10°/10度【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出AF平分∠BAC，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：因?yàn)椤螧=50°，所以∠BAC=180°?50°?30°=100°，根據(jù)題意得：AF平分∠BAC，所以∠BAF=1因?yàn)锳D為高，所以∠BDA=90°，所以∠BAD=180°?50°?90°=40°,所以∠DAF=∠BAF?∠BAD=50°?40°=10°，故答案為：10°．3．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在△ABC中，AB>AC．(1)尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)D，使得DB=DC；（不寫作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，則AD的長是多少？（請(qǐng)直接寫出AD的值）【答案】(1)見詳解(2)6【分析】（1）作∠BAC的角平分線和線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，即為所求．（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB與點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC交AC與點(diǎn)F，先利用角平分線的性質(zhì)定理證明四邊形AEDF為正方形，設(shè)AE=AF=ED=DF=x，則BE=7?x，F(xiàn)C=5?x，以DB=DC為等量關(guān)系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出AD．【詳解】（1）解：如下圖：AD即為所求．（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB與點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC交AC與點(diǎn)F，則∠AED=∠AFD=90°，又∵∠BAC=90°∴四邊形AEDF為矩形，∵AD是∠BAC的平分線，∴DE=DF，∴四邊形AEDF為正方形，∴AE=AF=ED=DF，設(shè)AE=AF=ED=DF=x，∴BE=AB?AE=7?x，F(xiàn)C=AC?AF=5?x，在Rt△BED中，B在Rt△CFD中，C∵DB=DC∴D∴x2解得：x=6，∴AD=A【點(diǎn)睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質(zhì)定理，正方形的判定以及勾股定理的應(yīng)用，作出圖形以及輔助線是解題的關(guān)鍵．?題型07作垂線1．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)．用兩種不同的方法過點(diǎn)P作⊙O的一條切線．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．【答案】答案見解析．【分析】方法一：作出OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)A，再以點(diǎn)A為圓心，PA長為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，PQ即為所求．方法二：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一作⊙O的切線，作射線PO，交⊙O于點(diǎn)M,N，以P為圓心，PO為半徑作⊙P,以O(shè)為圓心，MN的長為半徑畫弧交⊙P于點(diǎn)A，連接PA,OA,OA交⊙O于點(diǎn)B，則△PAO是等腰三角形，OB=12OA，則PB⊥OA【詳解】解：作法：連結(jié)PO，分別以P、O為圓心，大于12PO的長度為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)交PO于點(diǎn)A；以點(diǎn)A為圓心，PA長為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，PQ作法：作射線PO，交⊙O于點(diǎn)M,N，以P為圓心，PO為半徑作⊙P,以O(shè)為圓心，MN的長為半徑畫弧交⊙P于點(diǎn)A，連接PA,OA,OA交⊙O于點(diǎn)B，則△PAO是等腰三角形，OB=12OA，則PB⊥OA【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的作法，圓的作法等知識(shí)點(diǎn)．復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖．解題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合基本幾何圖形的性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．?題型08作等腰三角形1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=4，C是直線BO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△ABC(1)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)C的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)求OC的長．【答案】(1)見解析(2)78【分析】（1）分三種情形：AB=AC，CA=CB，BC=BA，以頂角的點(diǎn)為圓心，腰長為半徑畫弧，依次畫出圖形即可；（2）分三種情形求出OC的長即可．本題考查作圖?復(fù)雜作圖，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的射線解決問題．【詳解】（1）解：當(dāng)AC=BC時(shí)，點(diǎn)C的位置如圖1所示；當(dāng)AC=AB時(shí)，點(diǎn)C的位置如圖2所示；當(dāng)BC=AB時(shí)，點(diǎn)C的位置如圖3所示；（2）解：如圖2中，當(dāng)AC=AB時(shí)，OB=OC=4；如圖1中，當(dāng)CA=CB時(shí)，設(shè)CA=CB=x，則有x2解得x=25∴OC=OB?BC=4?25如圖3中，當(dāng)BA=BC時(shí)，AB=O∴OC=5?4=1或OC綜上所述，OC的長為4或78?題型09畫圓1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程：已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°求作：Rt△ABC作法：如圖2．（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于P，（2）作直線PQ，交AB于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O即為所求作的圓．

下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C．與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上D．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明：OC=OA=OB即可．【詳解】解：作直線PQ（兩點(diǎn)確定一條直線），連接PA，

∵由作圖，PA=PB，∴PQ⊥AB且AO=BO（與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）．∵∠ACB=90°，∴OC=1∴OA=OB=OC，∴A，B，C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，AB為直徑的圓上．∴⊙O為△ABC的外接圓．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的定義，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．2．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知⊙O和圓上一點(diǎn)M．作法如下：①以點(diǎn)M為圓心，OM長為半徑，作弧交⊙O于A，B兩點(diǎn)；②延長MO交⊙O于點(diǎn)C；即點(diǎn)A，B，C將⊙O的圓周三等分．(1)請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將⊙O的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）畫出的圖形，連接AB，AC，BC，若⊙O的半徑為2cm，則△ABC的周長為______cm【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟解答即可；（2）連接AM，設(shè)AB,OM的交點(diǎn)為D，得到AD⊥OM，根據(jù)⊙O的半徑為2cm，MC是直徑，△ABC本題考查了尺規(guī)作圖，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下：則點(diǎn)A，B，C是求作的⊙O的圓周三等分點(diǎn)．（2）連接AM，設(shè)AB,OM的交點(diǎn)為D，根據(jù)垂徑定理得到AD⊥OM，∵⊙O的半徑為2cm，MC是直徑，△ABC∴∠CAM=90°，∠CMA=∠B=60°,MC=4cm∴AC=MCsin∴△ABC的周長為AB+BC+AC=63故答案為：633．（2022·甘肅武威·中考真題）中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學(xué)教科書用器畫》由國人自編（圖1），書中記載了大量幾何作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：原文釋義甲乙丙為定直角．以乙為圓心，以任何半徑作丁戊?。灰远閳A心，以乙丁為半徑畫弧得交點(diǎn)己；再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交點(diǎn)庚；乙與己及庚相連作線．如圖2，∠ABC為直角．以點(diǎn)B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線BA，BC分別于點(diǎn)D，E；以點(diǎn)D為圓心，以BD長為半徑畫弧與DE交于點(diǎn)F；再以點(diǎn)E為圓心，仍以BD長為半徑畫弧與DE交于點(diǎn)G；作射線BF，BG．

(1)根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）完成的圖，直接寫出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)∠DBG=∠GBF=∠FBE【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）連接DF，EG，可得△BDF和△BEG均為等邊三角形，∠DBF=∠EBG=60°，進(jìn)而可得∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°．【詳解】（1）解：（1）如圖：

（2）∠DBG=∠GBF=∠FBE．理由：連接DF，EG如圖所示

則BD=BF=DF，BE=BG=EG即△BDF和△BEG均為等邊三角形∴∠DBF=∠EBG=60°∵∠ABC=90°∴∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)題意正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．?題型10過圓外一點(diǎn)作圓的切線1．（2023·黑龍江綏化·中考真題）已知：點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：如圖，過點(diǎn)P作出⊙O的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)D在⊙O上（點(diǎn)D不與E，F(xiàn)兩點(diǎn)重合），且∠EPF=30°．求∠EDF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠EDF=75°或105°【分析】（1）①連接PO，分別以點(diǎn)P,O為圓心，大于12PO的長為半徑畫圓，兩圓交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn)，作直線MN交OP于點(diǎn)A，②以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫圓，與⊙O交于E,F兩點(diǎn)，作直線（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠PEO=∠PFO=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出∠EOF=150°，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

①連接PO，分別以點(diǎn)P,O為圓心，大于12PO的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn)，作直線MN交OP于點(diǎn)②以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫圓，與⊙O交于E,F兩點(diǎn)，作直線PE,PF，則直線PE,PF即為所求；（2）如圖所示，點(diǎn)D在⊙O上（點(diǎn)D不與E，F(xiàn)兩點(diǎn)重合），且∠EPF=30°，∵PE,PF是⊙O的切線，∴∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EOF=360°?90°?90°?30°=150°，當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧EF上時(shí)，∠EDF=1當(dāng)點(diǎn)D在劣弧EF上時(shí)，∠EDF=180°?75°=105°，∴∠EDF=75°或105°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·北京東城·模擬預(yù)測）下面是小明設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：⊙O及圓上一點(diǎn)A．求作：直線AB，使得AB為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．小明的作法如下：①連接OA并延長到點(diǎn)C；②分別以點(diǎn)A,C為圓心，大于12AC長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在直線③以點(diǎn)D為圓心，DA長為半徑作⊙D；④連接CD并延長，交⊙D于點(diǎn)B，作直線AB．則直線AB就是所求作的直線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，完成下列問題：(1)使用直尺和圓規(guī)，完成作圖；（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接AD．∵_(dá)__________=AD∴點(diǎn)C在⊙D上，CB是⊙D的直徑．∴___________=90°．（___________）∴AB⊥________．∵OA是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．（___________）【答案】(1)見詳解(2)CD，∠BAC，直徑所對(duì)的圓周角是90°，OA，過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線【分析】本題考查了作圖的證明，掌握?qǐng)A的切線的判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)上述描述的過程作圖，即可作答．（2）根據(jù)題中的過程，結(jié)合圖形進(jìn)行合情推理．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）證明：如圖：連接AD，∵CD=AD∴點(diǎn)C在⊙D上，CB是⊙D的直徑．∴∠BAC=90°（直徑所對(duì)的圓周角是90°)，∴AB⊥AC，∵OA是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線，（過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線），故答案為：CD，∠BAC，直徑所對(duì)的圓周角是90°，OA，過半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線．?題型11作正多邊形1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．平面直角坐標(biāo)系中畫一個(gè)邊長為2的正六邊形ABCDEF背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個(gè)古老而經(jīng)典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個(gè)圓分成六等份的問題．這個(gè)問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述．已知條件點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)D在x軸的正半軸上且坐標(biāo)為2,0操作步驟①分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；②以點(diǎn)P為圓心，PC長為半徑作圓；③以CD的長為半徑，在⊙P上順次截取DE=④順次連接DE，EF，F(xiàn)A，AB，BC，得到正六邊形ABCDEF．問題解決任務(wù)一根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務(wù)二將正六邊形ABCDEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E所在位置的坐標(biāo)：______．【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：4,0【分析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．任務(wù)一：根據(jù)操作步驟作出⊙P，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，分別作出DE=EF=AF=AB=CD，即得出DE=任務(wù)二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知DE'=OD=2，即得出OE'【詳解】解：任務(wù)一：如圖，正六邊形ABCDEF即為所作；任務(wù)二：如圖，由旋轉(zhuǎn)可知DE∴OE∴E'故答案為：4,0．2．（2024·上海閔行·二模）滬教版九年級(jí)第二學(xué)期的教材給出了正多邊形的定義：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．同時(shí)還提到了一種用直尺和圓規(guī)作圓的內(nèi)接正六邊形和圓的內(nèi)接正五邊形的方法，但課本上并未證明．我們現(xiàn)開展下列探究活動(dòng)．活動(dòng)一：如圖1，展示了一種用尺規(guī)作⊙O的內(nèi)接正六邊形的方法．①在⊙O上任取一點(diǎn)A，以A為圓心、AO為半徑作弧，在⊙O上截得一點(diǎn)B；②以B為圓心，AO為半徑作弧，在⊙O上截得一點(diǎn)C；再如此從點(diǎn)C逐次截得點(diǎn)D、E、F；③順次連接AB、BC、CD、DE、EF、FA．(1)根據(jù)正多邊形的定義，我們只需要證明__________，________（請(qǐng)用符號(hào)語言表示，不需要說明理由），就可證明六邊形ABCDEF是正六邊形．活動(dòng)二：如圖2，展示了一種用尺規(guī)作⊙O的內(nèi)接正五邊形的方法．①作⊙O的兩條互相垂直的直徑PQ和AF；②取半徑OP的中點(diǎn)M；再以M為圓心、MA為半徑作弧，和半徑OQ相交于點(diǎn)N；③以點(diǎn)A為圓心，以AN的長為半徑作弧，與⊙O相截，得交點(diǎn)B．如此連續(xù)截取3次，依次得分點(diǎn)C、D、E，順次連接AB、BC、CD、DE、EA，那么五邊形ABCDE是正五邊形．(2)已知⊙O的半徑為2，求邊AB的長，并證明五邊形ABCDE是正五邊形．（參考數(shù)據(jù)：sin22.5°=2?22，cos22.5°=2+1【答案】(1)AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F(2)AB=10?25，證明五邊形【分析】（1）各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形，據(jù)此即可獲得答案；（2）首先結(jié)合題意并根據(jù)勾股定理解得AM=5，進(jìn)而可得MN=AM=5，易得ON=5?1，再在Rt△AON中，由勾股定理解得AN=10?25，即可確定AB的值；連接BF，OB，OC，OD，OE，結(jié)合AF為⊙O直徑易得∠ABF=90°，利用三角函數(shù)可得∠AFB=36°，由圓周角定理可得∠AOB=72°【詳解】（1）解：根據(jù)正多邊形的定義，我們只需要證明AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，就可證明六邊形ABCDEF是正六邊形．故答案為：AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F；（2）解：根據(jù)題意，可得AF⊥PQ，OP=OA=2，∵點(diǎn)M為半徑OP的中點(diǎn)，∴OM=1∴在Rt△AOM中，AM=∵以M為圓心、MA為半徑作弧，和半徑OQ相交于點(diǎn)N，∴MN=AM=5∴ON=MN?OM=5∴在Rt△AON中，AN=∵以點(diǎn)A為圓心，以AN的長為半徑作弧，與⊙O相截，得交點(diǎn)B，∴AB=AN=10?2如下圖，連接BF，OB，OC，OD，OE，∵AF為⊙O直徑，∴∠ABF=90°，AF=2×2=4，∵sin∠AFB=∴∠AFB=36°，∴∠AOB=2∠AFB=72°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=1在△OAB和△OBC中，OA=OBAB=BC∴△OAB≌△OBC，∴∠AOB=∠BOC=72°，∴∠OBC=∠OCB=54°，同理可得△OCD≌△ODE≌△OAB，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=72°，∴∠EOA=360°?∠AOB?∠BOC?∠COD?∠DOE=72°=∠AOB，又∵OE=OA，OA=OB，∴△EOA≌△AOBSAS∴EA=AB，∠OEA=∠OAE=54°，∴AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=54°×2=108°，∴五邊形ABCDE是正五邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖、多邊形的定義和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形等知識(shí)，正確理解題意，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．?題型12格點(diǎn)作圖1．（2024·吉林長春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對(duì)稱圖形且點(diǎn)C、D均在格點(diǎn)上．(1)在圖①中，四邊形ABCD面積為2；(2)在圖②中，四邊形ABCD面積為3；(3)在圖③中，四邊形ABCD面積為4．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查網(wǎng)格作圖、設(shè)計(jì)圖案、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為2四邊形ABCD即可．（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為3四邊形ABCD即可．（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為4四邊形ABCD即可．【詳解】（1）解：如圖①：四邊形ABCD即為所求；（不唯一）．（2）解：如圖②：四邊形ABCD即為所求；（不唯一）．（3）解：如圖③：四邊形ABCD即為所求；（不唯一）．2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，線段AB和線段CD的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在方格紙中畫出△ABE，且AB=BE，∠ABE為鈍角（點(diǎn)(2)在方格紙中將線段CD向下平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度后得到線段MN（點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)M，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)N），連接EN，請(qǐng)直接寫出線段EN的長．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析，EN=【分析】（1）找到1×3的格點(diǎn)的E，使得BE=AB，且∠ABE>90°，連接AE,BE，則△ABE即為所求；（2）根據(jù)平移畫出MN，連接EN，勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，△ABE即為所求；

（2）解：如圖所示，MN，EN即為所求；

EN=12【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021·湖北荊州·中考真題）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格圖形中小正方形的邊長都為1，線段ED與AD的端點(diǎn)都在網(wǎng)格小正方形的頂點(diǎn)（稱為格點(diǎn)）上．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖形中畫圖：(1)以線段AD為一邊畫正方形ABCD，再以線段DE為斜邊畫等腰直角三角形DEF，其中頂點(diǎn)F在正方形ABCD外；(2)在（1）中所畫圖形基礎(chǔ)上，以點(diǎn)B為其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一個(gè)新正方形，使新正方形的面積為正方形ABCD和△DEF面積之和，其它頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解如何根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形并利用勾股定理．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和網(wǎng)格的特點(diǎn)畫出圖形即可；（2）先計(jì)算出新正方形的面積，從而得出邊長，根據(jù)勾股定理和網(wǎng)格的特點(diǎn)畫出圖形即可．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：∵新正方形的面積為正方形ABCD和△DEF面積之和，其它頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上．∴新正方形的面積為：9+1=10，∴新正方形的邊長為：10，如圖：正方形KBGF的邊長為：32∴正方形KBGF即為所求．?題型13無刻度直尺作圖1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是6×7的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，半圓ACB上的點(diǎn)A，(1)在圖中作出弧BC的中點(diǎn)D．(2)連結(jié)AC，作出∠BAC的角平分線．(3)在AB上作出點(diǎn)P，使得AP=AC．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）連BC與網(wǎng)格線交于一格點(diǎn)G，以O(shè)為端點(diǎn)，作射線OG與圓弧交于點(diǎn)D，（2）作射線AD，則AD即是∠BAC的角平分線，（3）連結(jié)BD并延長，交AC的延長線于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F，連結(jié)EF并延長交AB于點(diǎn)P，則AP=AC．本題考查了無刻度直尺作圖，垂徑定理，圓周角定理，角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握無刻度直尺作圖，與相關(guān)定理的結(jié)合．【詳解】（1）解：由格點(diǎn)可知G為BC中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可得，點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D即為所求，（2）解：∵點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理，可得∠CAD=∠BAD，AD即為所求，（3）解：∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=∠ADE=90°，∠BCE=90°，∵∠CAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABDASA∴ED=BD，∠AED=∠ABD，∴AD是BE的垂直平分線，∴FE=FB，∴∠FEB=∠FBE，∴△EPB≌△BCEASA∴∠EPB=∠BCE=90°，∴△ACF≌△APFAAS∴AP=AC，作圖如下：．2．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的3×4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫線不得超過三條．(1)在圖（1）中，畫射線AD交BC于點(diǎn)D，使AD平分△ABC的面積；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在射線AD上畫點(diǎn)E，使∠ECB=∠ACB；(3)在圖（2）中，先畫點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)C，再畫射線AF交BC于點(diǎn)G；(4)在（3）的基礎(chǔ)上，將線段AB繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°，畫對(duì)應(yīng)線段MN（點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)）．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)作圖見解析(4)作圖見解析【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖．熟練掌握全等三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）作矩形HBIC，對(duì)角線HI交BC于點(diǎn)D，做射線AD，即可；（2）作OP∥BC,射線AR⊥OP于點(diǎn)Q，連接CQ交AD于點(diǎn)E，即可；（3）在AC下方取點(diǎn)F，使AF=CF=5，△ACF是等腰直角三角形，連接CF，AF，AF交BC于點(diǎn)G（4）作OP∥BC，交AG于點(diǎn)M，作ST∥AG，交BC于點(diǎn)N，連接MN，即可．【詳解】（1）如圖，作線段HI，使四邊形HBIC是矩形，HI交BC于點(diǎn)D，做射線AD，點(diǎn)D即為所求作；（2）如圖，作OP∥BC,作AR⊥OP于點(diǎn)Q，連接CQ交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為作求作；（3）如圖，在AC下方取點(diǎn)F，使AF=CF=5，連接CF，連接并延長AF，AF交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)F，G（4）如圖，作OP∥BC，交射線AG于點(diǎn)M，作ST∥AG，交BC于點(diǎn)N，連接MN，線段MN即為所求作．3．（2023·湖北·中考真題）已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示作圖過程，實(shí)線表示作圖結(jié)果）．

(1)在圖1中作出以BE為對(duì)角線的一個(gè)菱形BMEN；(2)在圖2中作出以BE為邊的一個(gè)菱形BEPQ．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)角線互相垂直平分即可作出圖形．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)四條邊平行且相等即可作出圖形．【詳解】（1）解：如圖，菱形BMEN即為所求（點(diǎn)M，N可以對(duì)調(diào)位置）：

（2）解：如圖，菱形BEPQ即為所求．∵BEPQ是菱形，且要求BE為邊，∴①當(dāng)BE為上底邊的時(shí)候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

②當(dāng)BE為上底邊的時(shí)候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

③當(dāng)BE為下底邊的時(shí)候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

④當(dāng)BE為下底邊的時(shí)候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有菱形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于熟悉菱形的幾何性質(zhì)和正六邊形的幾何性質(zhì)，將復(fù)雜作圖拆解成基本作圖．?題型14最短路徑問題1．（2020·江蘇南京·中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹?，向l同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別發(fā)鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?，試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短．（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，線A'B與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建氣站，所得路線ACB是最短的，為了讓明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在l直線上另外任取一點(diǎn)C'，連接AC（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域請(qǐng)分別始出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由），①生市保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．【答案】（1）證明見解析；（2）①見解析，②見解析【分析】（1）連接A'C，利用垂直平分線的性質(zhì)，得到（2）由（1）可知，在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的路線最短．分別對(duì)①、②的道路進(jìn)行設(shè)計(jì)分析，即可求出最短的路線圖．【詳解】（1）證明：如圖，連接A∵點(diǎn)A、A'∴A'∴CA+CB=A'C+CB=A'B，同理AC'+C'B=A'C'+C'B，在ΔA'∴AC+CB<AC'+C'B；（2）解：①在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是AC+CD+DB（如圖，其中D是正方形的頂點(diǎn)）．②在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是AC+CD+DE【點(diǎn)睛】本題考查了切線的應(yīng)用，最短路徑問題，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確確定點(diǎn)C的位置，從而確定鋪設(shè)管道的最短路線．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐【提出問題】唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬問題．如圖1，將軍從山腳下的點(diǎn)A出發(fā)，到達(dá)河岸點(diǎn)P飲馬后再回到點(diǎn)B宿營，請(qǐng)問怎樣走才能使總路程最短？【分析問題】如圖1，取點(diǎn)A關(guān)于河岸線的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接AP，A'P，當(dāng)A'，【解決問題】（1）當(dāng)A'，P【遷移應(yīng)用】（2）如圖2，A，B兩個(gè)村莊在河岸CD的同側(cè)，兩村到河岸CD的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，(CD=3千米，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠P，從P處向①請(qǐng)?jiān)诤影禖D上作出水廠P的位置，并寫出作圖過程；②若鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為20000元/千米，求出鋪設(shè)水管最節(jié)省的總費(fèi)用．【答案】（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）①作圖見解析；②100000元．【分析】本題考查了軸對(duì)稱?最短路徑問題，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解；（2）①如圖，延長AC到點(diǎn)A'，使CA'=CA，連接A'B交CD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；②過點(diǎn)A'作A'N⊥BD的延長線于點(diǎn)N，則∠A'【詳解】解：（1）當(dāng)A'故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；（2）①如圖，延長AC到點(diǎn)A'，使CA'=CA，連接A'B交②過點(diǎn)A'作A'N⊥BD的延長線于點(diǎn)N，則∠A'∴BN=BD+DN=3+1=4千米，∴A'∴最短路線PA+PB=A∴鋪設(shè)水管最節(jié)省的總費(fèi)用為20000×5=100000元．命題點(diǎn)二定義、命題、定理?題型01判斷是否是命題1．（2020·四川雅安·中考真題）下列四個(gè)選項(xiàng)中不是命題的是（

）A．對(duì)頂角相等B．過直線外一點(diǎn)作直線的平行線C．三角形任意兩邊之和大于第三邊D．如果a=b，a=c，那么b=c【答案】B【分析】判斷一件事情的語句，叫做命題．根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：由題意可知，A、對(duì)頂角相等，故選項(xiàng)是命題；B、過直線外一點(diǎn)作直線的平行線，是一個(gè)動(dòng)作，故選項(xiàng)不是命題；C、三角形任意兩邊之和大于第三邊，故選項(xiàng)是命題；D、如果a=b，a=c，那么b=c，故選項(xiàng)是命題；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．注意：疑問句與作圖語句都不是命題．2．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）下列語句中，不是命題的是（

）A．如果b+1<a+1，那么a+1>b+1 B．對(duì)頂角相等C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．過一點(diǎn)作已知直線的垂線【答案】D【分析】本題考查了命題，根據(jù)命題的概念逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握判斷一件事情的語句，叫做命題是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、如果b+1<a+1，那么a+1>b+1，是命題，不符合題意；B、對(duì)頂角相等，是命題，不符合題意；C、兩點(diǎn)之間，線段最短，是命題，不符合題意；D、過一點(diǎn)作已知直線的垂線，不是命題，符合題意；故選：D．3．（2023·廣東揭陽·二模）下列句子中哪一個(gè)是命題（

）A．你的作業(yè)完成了嗎？ B．美麗的天空．C．猴子是動(dòng)物． D．過直線l外一點(diǎn)作l的平行線．【答案】C【分析】需判定每個(gè)句子是否判斷一件事情，若進(jìn)行了判斷，則為命題，反之，則不是命題；根據(jù)上述方法判斷．【詳解】解：A、你的作業(yè)做完了嗎？它是疑問句，不是命題，本選項(xiàng)不符合題意；B、美麗的天空，它是