《機(jī)械制圖與CAD》課件-第8章

第8章軸測圖8.1軸測圖的基本知識8.2正軸測圖8.3斜軸測圖8.4軸測圖上的交線與剖切畫法 8.1軸測圖的基本知識

8.1.1軸測圖的形成

如圖8－1所示，將物體連同其參考直角坐標(biāo)系（O－XYZ）一起，沿箭頭S所示方向，用平行投影法投影到一個投影面（如P）上，則在該投影面上所得到的圖形稱為軸測圖。圖8－1軸測圖的形成

(a)正軸測圖; (b)斜軸測圖8.1.2軸測軸、軸間角和軸向伸縮系數(shù)

1．軸測軸與軸間角

如圖8－1所示，其中O1X1、O1Y1和O1Z1為參考直角坐標(biāo)系OX、OY和OZ軸的軸測投影，稱為軸測投影軸，簡稱為軸測軸。而軸測投影軸（O1X1、O1Y1、O1Z1）之間的夾角，即∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1和∠Z1O1X1稱為軸間角。

2．軸向伸縮系數(shù)

在圖8－1中，O1A1、O1B1、O1C1分別為直角坐標(biāo)軸上線段OA、OB、OC的投影，稱p、q、r分別為X、Y、Z軸方向上的軸向伸縮系數(shù)。8.1.3軸測圖的特性

軸測圖屬平行投影，因而必然具備平行投影的特性，即若空間兩直線平行，則其軸測投影必平行，且兩平行線段具有相同的長度變化率。

該特性有助于軸測圖的繪制：在三面投影圖中，凡平行于坐標(biāo)軸的線段其軸測投影必平行于相應(yīng)的軸測軸，而且根據(jù)軸向伸縮系數(shù)的大小，便可確定相應(yīng)線段的軸測投影長度。軸測圖也由此得名。 8.2正軸測圖

8.2.1正軸測圖的分類

在圖8－1（a）所示的正軸測投影圖中，如果改變被投影物體（包括其參考直角坐標(biāo)系）相對軸測投影平面P的傾角，便會得到不同種類的正軸測投影圖。通常正軸測投影圖分為三種：

(1)正等軸測圖(p=q=r)。

(2)正二等軸測圖(p=r≠q)。

(3)正三軸測圖(p≠q≠r)。8.2.2正等軸測圖

1．軸間角與軸向伸縮系數(shù)

如圖8－2所示，改變被投影物體（包括其參考直角坐標(biāo)系）相對軸測平面P的夾角，使得直角坐標(biāo)軸OX、OY和OZ與軸測平面P的傾角均為35°16′，經(jīng)過正投影后三個軸間角∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=∠Z1O1X1=120°，其中O1Z1與水平方向垂直。X、Y、Z三個方向的軸向伸縮系數(shù)相等（p=q=r=cos35°16′=0.82）。由于三個軸的軸向伸縮系數(shù)相等，因而稱為正等軸測圖。圖8－2正等軸測圖

(a)形成;(b)軸間角與軸向伸縮系數(shù)

為方便起見，常采用簡化的伸縮系數(shù)，即p=q=r=1。這樣畫出的軸測圖沿各軸向的長度均放大為原長的1/cos35°16′=1.22倍。

2．正等軸測圖的畫法

由三視圖繪制正等軸測圖時，應(yīng)按照下列步驟進(jìn)行：

（1）針對繪制對象的三視圖，進(jìn)行形體分析，以確定表達(dá)方案。

（2）設(shè)定其參考直角坐標(biāo)系原點(diǎn)位置。為了畫圖簡便，若物體對稱，一般將坐標(biāo)原點(diǎn)定在物體的對稱線上，同時原點(diǎn)定位在物體的頂面（或底面）、前面（或后面）。

（3）確定軸測圖上的點(diǎn)和線。根據(jù)軸向伸縮系數(shù)，首先確定物體在軸測軸（或平行于軸測軸）上的點(diǎn)和線。不在軸測軸（或不平行于軸測軸）上的點(diǎn)和線，不可直接測量。（4）連接點(diǎn)和線，完成軸測圖。由于投影會造成物體前后、上下、左右的遮擋，因此應(yīng)從上到下、從前到后、從左到右逐步繪制。不可見部分一般省略不畫。對于較復(fù)雜物體，應(yīng)先畫物體的主要表面，后畫次要表面；先畫主體，后畫細(xì)節(jié)。作圖時應(yīng)注意運(yùn)用平行投影的特性。

3．平面立體的正等軸測圖

畫平面立體的正等軸測圖的基本方法是坐標(biāo)法。實(shí)際作圖時，還應(yīng)根據(jù)物體的形狀特點(diǎn)靈活采用其他作圖方法，如疊加法和切割法等。

1）坐標(biāo)法

坐標(biāo)法就是根據(jù)物體表面各頂點(diǎn)的空間坐標(biāo)，畫出它們的軸測投影，然后依次連接各頂點(diǎn)，即得物體的正等軸測圖。

【例8－1】畫出正六棱柱的正等軸測圖（圖8－3）。

解正六棱柱的頂面和底面是水平位置的正六邊形，考慮遮擋關(guān)系，將坐標(biāo)原點(diǎn)放在頂面的中心O。

（1）在三視圖中設(shè)定坐標(biāo)系（圖8－3（a））。

（2）畫軸測軸（圖8－3（b）），分別在X1、Y1上量取A、E和C、G（圖8－3（c））。

（3）過C、G作X1軸的平行線，量取B、D、F、H，連線得頂面軸測投影（8－3（c））。

（4）由點(diǎn)H、A、B、D沿Z1軸相反方向量取長度h，得I、J、K、L（圖8－3（d））。

（5）連接I、J、K、L，擦去作圖過程線并加深，得到軸測圖（圖8－3（e））。圖8－3坐標(biāo)法畫六棱柱的正等軸測圖

2）疊加法

疊加法是將疊加型組合體分解為若干個基本形體，再依次按其相對位置逐個畫出各個部分的軸測投影，最后完成組合體的軸測投影。

【例8－2】畫出立體的正等軸測圖（圖8－4）。

解該形體由長方體和棱臺組成?？上犬嬮L方體，再畫棱臺。

（1）在三視圖中設(shè)定坐標(biāo)系（圖8－4（a））。

（2）畫軸測軸（圖8－4（b））。

（3）根據(jù)圖中尺寸a、b和c，作出長方體的正等軸測圖（圖8－4（c））。

（4）在長方體頂面上作棱臺上表面的水平投影（圖8－4（d））。

（5）根據(jù)棱臺的高度畫出棱臺上表面（圖8－4（e））。

（6）連接棱臺側(cè)棱，擦去多余圖線并加深（圖8－4（f））。圖8－4疊加法畫正等軸測圖

3）切割法

有些形體是由基本形體經(jīng)切割后得到的。畫這種形體的軸測圖，應(yīng)以坐標(biāo)法先畫出基本形體的軸測圖，然后按形體分析的方法去切割，從而得到所需的軸測圖。

【例8－3】畫出墊塊正等軸測圖（圖8－5）。

解把墊塊看作長方體，先用正垂面切去左上角，再用鉛垂面切去左前角。

（1）在三視圖中設(shè)定直角坐標(biāo)系（圖8－5（a））。

（2）畫軸測軸，并按尺寸a、b、h畫出未切割前的長方體的正等軸測圖（圖8－5（b））。

（3）根據(jù)三視圖中尺寸c和d，畫出長方體左上角被正垂面切去三棱柱后的正等軸測圖（圖8－5（c））。

（4）根據(jù)三視圖中尺寸e和f，畫出左前角被鉛垂面切去三棱柱后的墊塊的正等軸測圖（圖8－5（d））。

（5）擦去多余圖線并加深（圖8－5（e））。圖8－5切割法畫墊塊的正等軸測圖

4.圓的正等軸測圖

在正等軸測圖中，平行于坐標(biāo)面的圓或圓弧，其軸測投影為橢圓或橢圓弧。如圖8－6所示，直徑為d的圓，不論它平行于哪個坐標(biāo)平面，其投影是一種有規(guī)律的橢圓：橢圓短軸方向恒與其所在平面的垂線的軸測投影方向一致，長度等于0.58d；橢圓的長軸垂直于短軸，長度等于圓的直徑d，如圖8－6（a）、（b）所示。采用簡化軸向伸縮系數(shù)后，其長度放大1.22倍，即長軸為1.22d，短軸為0.7d（圖8－6（c））。圖8－6平行于坐標(biāo)面圓的正等軸測圖

1）平行弦法

用坐標(biāo)方法作出圓上一系列點(diǎn)的正等測投影，然后光滑連接，即得圓的正等測投影。為了作圖方便，這些點(diǎn)選在平行于坐標(biāo)軸的若干條平行弦上，因此稱為平行弦法。用平行弦法畫水平圓的正等軸測圖的步驟如圖8－7所示。

(1)畫出軸測軸OX1、OY1，并在其上按圓的半徑定出A、G、D、H四點(diǎn)（圖8－7（b））。

(2)作橢圓上不在軸測軸上的點(diǎn)：如圖8－7（a）所示，作一系列平行于OX軸的平行弦，然后按其坐標(biāo)，相應(yīng)地作出這些平行弦的軸測投影（圖8－7（b））。

(3)依次光滑連接各點(diǎn)，即得橢圓（圖8－7（c））。圖8－7平行弦法作圓的正等軸測圖

2）近似畫法——菱形法

為了作圖簡便，通常采用菱形法來近似繪制橢圓。首先根據(jù)圓所平行的坐標(biāo)面確定長短軸的方向，然后按圓的直徑作出橢圓的外切菱形并確定四段圓弧的圓心和半徑，最后畫出四段光滑連接的圓弧，即得近似橢圓。

圖8－8為水平圓的正等軸測圖的菱形近似畫法。可把圓看成是四邊平行于坐標(biāo)軸的正方形的內(nèi)切圓，而正方形的軸測圖是菱形，其內(nèi)切圓的軸測圖為橢圓。作圖步驟如下：（1）過圓心O作坐標(biāo)軸和圓的外切正方形，切點(diǎn)為a、b、c、d（圖8－8（a））。

（2）畫軸測軸和切點(diǎn)A、B、C、D，過A、C作Y1軸的平行線，過B、D作X1軸的平行線，即得菱形EFGH，并連接菱形對角線EG、FH（圖8－8（b））。

（3）連接FD、FC，與EG交于I、J，則F、H、I、J為四段圓弧的圓心（圖8－8（c））。

（4）分別以F、H為圓心，以FD（FC、HA、HB）為半徑，畫大圓弧DC和AB（圖8－8（d））。

（5）分別以I、J為圓心，以IA（ID、JB、JC）為半徑，畫小圓弧AD和BC（圖8－8（e））。

（6）加深并完成作圖（圖8－8（f））。圖8－8水平圓的正等軸測圖近似畫法（菱形法）圖8－9正平圓、側(cè)平圓的正等軸測圖(a)正平圓； (b)側(cè)平圓

5.回轉(zhuǎn)體的正等軸測圖

【例8－4】畫出開槽圓柱的正等軸測圖（圖8－10）。圖8－10開槽圓柱的正等軸測圖

解該形體由圓柱體切割而成。可先畫出切割前圓柱體的軸測投影，然后根據(jù)切口寬度b和深度h畫出槽口的軸測投影。

為作圖方便，減少作圖線，作圖時選頂圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，先畫頂面橢圓，再用移心法畫出底面橢圓。

（1）在三視圖中設(shè)定直角坐標(biāo)系（圖8－10（a））。

（2）畫頂面橢圓（圖8－10（b））。

（3）用移心法畫下底橢圓。即將頂面橢圓的四段圓弧的四個圓心分別沿Z1軸相反方向方向移動圓柱高度H，得下底橢圓四段圓弧的圓心，同時將A、B、C、D也向下移H高度，得下底四段圓弧的連接點(diǎn)（圖8－10（c））。（4）作兩橢圓公切線，完成圓柱體的正等軸測圖（圖8－10（d））。

（5）由h定出槽口底面的中心，用移心法畫出槽口橢圓的可見部分。注意，此段橢圓由兩段圓弧組成。根據(jù)寬度b畫出槽口（圖8－10（e））。

（6）擦去多余圖線，加深，即完成開槽圓柱的正等軸測圖（圖8－10（f））。

【例8－5】畫出圓錐臺的正等軸測圖（圖8－11）。

解其方法與畫圓柱的正等軸測圖方法基本相同，只是上、下底圓的直徑不同，圖8－11為圓錐臺的正等軸測圖的畫圖步驟。圖8－11圓錐臺的正等軸測圖畫法

【例8－6】求作已知球的正等軸測圖（圖8－12）。

解在正等軸測投影中，由于投影方向垂直于軸測投影面，所以球的正等軸測投影是一個圓。當(dāng)采用簡化伸縮系數(shù)時，球的正等軸測圖的輪廓圓的直徑為1.22d。圖8－12（b）所示為球過中心并平行于三個坐標(biāo)面的平面截去1/8后的情形。圖8－12球的正等軸測圖

6.圓角的正等軸測圖

圖8－13（a）是帶1/4圓角的長方體底板，其正等軸測圖的作圖步驟如下：

（1）作長方體的正等軸測圖（圖8－13（b））。

（2）由長方體角頂沿兩邊分別量取圓角半徑R，得到A、B點(diǎn)。過A、B兩點(diǎn)分別作垂直于圓角兩邊的直線，兩條垂線的交點(diǎn)為O1（圖8－13（c））。

（3）以O(shè)1為圓心，以O(shè)1A（O1B）為半徑畫弧AB，即為半徑為R的圓角的軸測圖。軸測圖上銳角處的軸測圖作法與鈍角處的完全相同，只是半徑不一樣（圖8－13（d））。圖8－13圓角的正等軸測圖的畫法（4）用移心法得底板下表面圓角的兩圓心O2。以O(shè)2為圓心，以O(shè)1A（O1B）為半徑畫弧與兩邊相切，即得底板下面圓弧。注意在小圓弧處要作兩小圓弧的公切線（圖8－13（e））。

（5）擦去多余圖線并加深（圖8－13（f））。

7.組合體的正等軸測圖

圖8－14(a)是組合體——支架零件的三視圖。

首先根據(jù)支架的三視圖，進(jìn)行形體分析：該支架由底板、豎板和肋板疊加而成?？上犬嫵龅装宓恼容S測圖，再依次畫出豎板、肋板的正等軸測圖。圓孔、圓角待主要形體繪制完成后再逐步畫出。作圖步驟如下：圖8－14支架的正等軸測圖（1）在三視圖上設(shè)定直角坐標(biāo)系（圖8－14（a））。

（2）畫軸測軸，定出底板和豎板的位置（圖8－14（b））。

（3）畫底板、豎板的主要輪廓（圖8－14（c））。

（4）畫肋板、圓角（圖8－14（d））。

（5）畫圓孔（圖8－14（e））。

（6）擦去作圖線并加深（圖8－14（f））。8.2.3正二等軸測圖

1．軸間角與軸向伸縮系數(shù)

正等軸測圖由于作圖簡便而被廣泛使用，但由于其三個軸向伸縮系數(shù)相同，與我們的視覺習(xí)慣有一定差距，故工程上也常采用正二等軸測圖。

改變被投影物體及其參考直角坐標(biāo)系（O－XYZ）相對軸測平面P的夾角，使得空間坐標(biāo)軸OX和OZ對軸測平面P的夾角為19°28′，OY軸對軸測平面P的夾角為61°52′，經(jīng)過正投影后，其軸間角∠X1O1Z1=97°10′，∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=131°25′，軸向伸縮系數(shù)p=r=cos19°28′=0.94，q=cos61°52′=0.47，如圖8－15（a）所示。圖8－15正二等軸測圖的軸間角、軸向伸縮系數(shù)及度量(a)軸間角與軸向伸縮系數(shù); (b)簡化伸縮系數(shù)的正方體由于Y軸的軸向伸縮系數(shù)約為X、Z的一半，即p=r≈2q，所得軸測圖與觀察物體的實(shí)際情況接近，因而更富立體感。這種軸測圖因?yàn)槿齻€軸向伸縮系數(shù)中有兩個相等，故稱為正二等軸測圖，簡稱正二軸測圖或正二測。同樣，為了畫圖方便，在正二等軸測圖中，也采用簡化的伸縮系數(shù)，即p=r=1，q=0.5。這樣畫出的軸測圖為準(zhǔn)確圖的1/cos19°28′=1.06倍。

圖8－15（b）為用簡化伸縮系數(shù)畫出的邊長為L的正方體。雖然正二等軸測圖立體感較好，但作圖較正等軸測復(fù)雜，尤其是橢圓的畫法，所以使用不廣。

2．圓的正二軸測圖畫法

與坐標(biāo)面平行的圓的正二軸測圖均為橢圓?？梢允褂闷叫邢曳椒ɡL制這些橢圓（參見圓的正等軸測圖中的平行弦畫圖法），也可以用近似畫法繪制，此處介紹近似畫法。

三個方向上橢圓長短軸的長度與方向如圖8－16所示。圖8－16正二軸測投影中橢圓長短軸的長度與方向水平圓對應(yīng)的橢圓的長軸AB垂直于O1Z1軸，短軸CD平行于O1Z1軸。

側(cè)平圓對應(yīng)的橢圓的長軸AB垂直于O1X1軸，短軸CD平行于O1X1軸。

正平圓對應(yīng)的橢圓的長軸A1B1垂直于O1Y1軸，短軸C1D1平行于O1Y1軸。

在確定了橢圓的長短軸的長度與方向后，就可用近似畫法畫橢圓。

采用簡化伸縮系數(shù)時，各橢圓長軸長度為AB=A1B1≈1.06d，各橢圓短軸長度為CD≈0.35d，C1D1≈0.94d。其中d為圓的直徑。

圖8－17是平行于坐標(biāo)面圓的正二等軸測圖——橢圓近似畫法。圖8－17平行于坐標(biāo)面圓的正二軸測圖——橢圓近似畫法(a)正平圓； (b)水平圓（1）正平圓的正二等軸測圖——橢圓的近似畫法（圖8－17（a））。先作圓的外切正方形的軸測投影（菱形），再過其一邊的中點(diǎn)K作垂線，與菱形的兩個對角線相交于1、2點(diǎn)。以1為圓心，r=1K為半徑作圓弧，再以2為圓心，R=2K為半徑作弧，即得所求橢圓。

（2）水平圓的正二等軸測圖——橢圓的近似畫法（圖8－17（b））。先作圓的外切正方形的軸測投影（平行四邊形），并確定橢圓的長短軸方向。從橢圓的中心起在短軸延長線上取一段等于已知圓的直徑d的距離，得圓心1。連接點(diǎn)1與K（平行四邊形邊的中點(diǎn)，見圖8－17（b）），與長軸相交，得圓心2。（3）側(cè)平圓的正二等軸測圖——橢圓的近似畫法。除了長短軸方向不同外，其作法與上相同。

正二等軸測圖除了上述這些區(qū)別外，其余作圖方法與正等軸測圖相同。

8.3斜軸測圖

8.3.1軸間角與軸向伸縮系數(shù)

斜軸測投影的形成見圖8－1（b）。

在正面斜軸測投影中，無論投影方向如何，O1X1軸和O1Z1軸上的軸向伸縮系數(shù)總是為1，軸間角∠X1O1Z1為90°，所以與坐標(biāo)面XOZ面平行的平面上的圖形，其正面斜軸測投影反映實(shí)形，這對作圖非常有利。但這時，O1Y1軸的軸向伸縮系數(shù)及Y1軸與X1、Z1軸之間的軸間角的大小可以任取，并且兩者之間沒有固定的內(nèi)在聯(lián)系。圖8－18正面斜軸測投影中Y軸的投影

(a)Y軸的軸向伸縮系數(shù)； (b)Y軸的軸測投影通過以上分析可知：在正面斜軸測投影中，Y軸的軸向伸縮系數(shù)可以任意選??；同時軸間角∠X1O1Y1的大小也可以任意選取，且兩者之間沒有固定的內(nèi)在聯(lián)系。

為了作圖簡便，立體感好，常選∠X1O1Z1=90°、∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=135°，X1軸和Z1軸上的軸向伸縮系數(shù)為1，Y1軸的軸向伸縮系數(shù)為0.5，即p=r=1，q=0.5，這樣畫出的軸測圖稱為斜二等軸測圖，如圖8－19所示。圖8－19斜二等軸測投影

(a)軸間角與軸向伸縮系數(shù)；

(b)與坐標(biāo)面平行的圓的斜二等軸測圖8.3.2圓的斜二等軸測圖

與三個坐標(biāo)面平行的圓的斜二等軸測投影如圖8－19（b）所示。由圖可知，正平圓的斜二等軸測投影仍為大小相同的圓，水平圓、側(cè)平圓的斜二等斜軸測投影為橢圓。橢圓的長短軸與軸測軸有一定夾角：水平面上橢圓的長軸對X1軸偏轉(zhuǎn)7°10′，側(cè)面上橢圓的長軸對Z1軸也偏轉(zhuǎn)7°10′。水平圓、側(cè)平圓對應(yīng)的橢圓的長軸≈1.06d，短軸≈0.33d。

由于水平面和側(cè)平面上的橢圓作圖繁瑣，所以當(dāng)物體三個坐標(biāo)面上都有圓時，應(yīng)避免使用斜軸測投影。斜二等軸測投影一般用來表達(dá)一個方向有圓的物體，并將圓放置在正平面位置（平行于XOZ坐標(biāo)面）。8.3.3畫法舉例

斜二等軸測投影的基本作圖方法仍是坐標(biāo)法。

【例8－7】畫出支座的軸測圖（圖8－20）。

因?yàn)槲矬w的正面有圓，故采用斜二等軸測投影法較好。

（1）設(shè)定直角坐標(biāo)系，如圖8－20（a）所示。

（2）先畫前端面，實(shí)際上它和主視圖完全一樣。再在Y1軸上定O1A=L/2，畫出后面形狀（同前面一樣）。

（3）半圓柱面軸測投影的輪廓線按兩圓弧的公切線畫出。

（4）擦去不可見及作圖線并加深（圖8－20（b））。圖8－20支座的斜二等軸測圖解

【例8－8】作出組合體的斜二等軸測圖（圖8－21）。

解該組合體由底板和豎板疊加而成。底板可看成由一個長方體切割掉兩個三棱柱和一個四棱柱而形成的，豎板可看成四棱柱加半圓柱挖孔。

（1）在三視圖上設(shè)定直角坐標(biāo)系，并畫軸測軸,確定底板和豎板的相對位置(圖8－21（b）)。

（2）作出長方體的軸測圖(圖8－21（c）)。

（3）作出豎板四棱柱加半圓柱的軸測圖(圖8－21（d）)。

（4）作出長方體底板切去三棱柱和開槽及豎板挖孔的軸測圖(圖8－21（e）)。

（5）擦去作圖線并加深（圖8－21（f））。圖8－21組合體的斜二軸測圖

8.4軸測圖上的交線與剖切畫法

8.4.1軸測圖上交線的畫法

物體上的交線有多種，其中帶切口平面立體的軸測圖畫法已經(jīng)討論過。此處主要介紹回轉(zhuǎn)體上交線的畫法。

在三面投影圖中，用輔助平面法求零件表面的交線是常用的方法之一，如圖8－22（a）所示。同理，軸測圖上的交線也可用輔助平面法求得。圖8－22軸測圖中零件表面交線畫法圖8－22（a）所示兩圓柱，其相貫線的軸測圖作圖步驟如下：

（1）畫出水平圓柱及垂直圓柱的軸測圖（圖8－22（b））。

（2）求交線的軸測投影（圖8－22（c））。

①由兩圓柱的正面輪廓相交