2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省泉州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)(?1,1)，則l的方程為(

)A.y=?x B.y=x+1 C.y=x?1 D.y=x+22.過橢圓C：x26+y22=1的一個(gè)焦點(diǎn)作x軸的垂線l，若l交C于AA.63 B.32 C.3.已知數(shù)列{an}滿足：a1=9，aA.1 B.3 C.7 D.94.在四面體OABC中，AB=2AD，OE=2EC，設(shè)OA=a，OB=A.?12a?12b+25.過原點(diǎn)的直線與圓M：(x+1)2+(y?1)2=3交于P，QA.1 B.2 C.2 D.6.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若aA.{an}是等差數(shù)列，公差為?23 B.{an}是等比數(shù)列，公比為3

C.7.斜率為1的直線與雙曲線C：x2a2?y2=1(a>0)交于A，B兩點(diǎn)，若線段A.2 B.3 C.68.第七屆數(shù)字中國建設(shè)峰會(huì)在福建舉行，其中主題為“顯示+創(chuàng)意”的裸眼3D展臺(tái)引人關(guān)注.峰會(huì)上顯示屏的示意圖如圖所示，底面為等腰梯形ABCD，側(cè)面ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1均為矩形且垂直于底面，已知AB=CD=2，BC=1，AAA.1

B.2

C.3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.數(shù)列{an}滿足：a1=1，A.a3=9 B.an=n2?1

C.數(shù)列{an10.已知圓O：x2+y2=4，點(diǎn)P為圓M：A.直線y=2與圓O，圓M都相切

B.若以2為半徑的圓P與圓O外離，則a>6

C.若a=2，則圓O和圓M的公共弦的長為22

D.若a=6，過P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則四邊形OAPB11.已知點(diǎn)F(1,0)，R(?1,0)，拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F.過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AR交C于點(diǎn)P，則下列說法正確的是(

)A.p=2

B.若|AF|=4，則|BF|=2

C.若AP=12AR，則直線PR的斜率為±三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.直線l1：ax+y+1=0，l2：(2?a)x?3y+2=0，若l1//l213.已知空間四點(diǎn)O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，則點(diǎn)O到平面ABC的距離為______．14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A是四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知a2+a4=14，S3=15．

(1)求{a16.(本小題15分)

如圖，AB為圓錐PO的底面直徑，點(diǎn)C，D為底面上AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)．

(1)證明：MN//平面PCD；

(2)若AB=4，PA=22，求直線AC與BM所成角的余弦值．17.(本小題15分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知P(0,?3)，Q(0,3)，R(?3,0)，圓Γ過P，Q，R三點(diǎn)．

(1)求圓Γ的方程；

(2)若斜率小于0的直線l與D交于P，E兩點(diǎn)，與直線x=2交于點(diǎn)F18.(本小題17分)

如圖，在直三棱柱ABC?DEF中，AC=BC=2，∠ABC=45°，Q為AC中點(diǎn)．

(1)求證：DF⊥平面BCFE；

(2)若三棱錐E?BDF的體積為223，求證：平面DEQ⊥平面BDF；

(3)P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線PE與平面DEF所成的角為α，二面角P?DF?E的大小為β，P到AC的距離為d，若α=β，求19.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(?1,0)，B(1,0)，直線PA，PB相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積的絕對值為2，記P的軌跡為C．

(1)求軌跡C；

(2)將按照確定的順序的一列直線t1，t2，t3…稱為直線列，記為{tn}.直線列{ln}與{mn}均過點(diǎn)B，且滿足ln⊥mn，直線ln的斜率kn=n，ln交C于Mn，Nn兩點(diǎn)，mn交C于Pn，Qn兩點(diǎn)，且參考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.C

6.D

7.B

8.C

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.?1

13.214.1015.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

由題意得a2+a4=2a1+4d=14,S3=3a1+3d=15,

解得a1=3，d=2，

所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1，n∈N16.解：(1)證明：∵AB為圓錐PO的底面直徑，點(diǎn)M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，

∴MN//AB，

連接OC，OD，∵點(diǎn)C，D為底面上AB的三等分點(diǎn)，

∴∠AOC=∠COD=60°，

△OCD是等邊三角形，∴∠DCO=60°=∠AOC，∴CD//AB//MN，

∵M(jìn)N?平面PCD，CD?平面PCD，

∴MN/?/平面PCD．

(2)取CD中點(diǎn)Q，連接OQ，OP，

則OQ⊥CD，OQ⊥AB，OP⊥平面ABDC，∴OP⊥AB，

∵OB=2，PB=22，∴OP=2，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OQ，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(?2,?1,0)，A(0,?2,0)，B(0,2,0)，M(0,?1,1)，

∴AC=(?3,1,0)，BM=(0,?3,1)，

設(shè)異面直線AC，BM所成角為θ，

則cosθ=|AC17.解：(1)設(shè)圓Γ的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

則由已知圓Γ過P(0,?3)Q(0,3)R(?3,0)，

得3?3E+F=03+3E+F=09?3D+F=0，解得D=2E=0F=?3，

所以圓Γ的方程為x2+y2+2x?3=0；

(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(0,?3)，

設(shè)直線PE的方程為y=kx?3，

又|PF|=7，所以1+k2|2?0|=7，解得k=±32，

18.解：(1)證明：因?yàn)锳C=BC，∠ABC=45°，

所以△ABC為直角三角形，所以AC⊥BC，

在直三棱柱ABC?DEF中，AC⊥CF，又BC∩CF=C，

所以AC⊥平面BCFE，

因?yàn)锳C/?/DF，

所以DF⊥平面BCFE；

(2)證明：由(1)可知DF⊥EF，

所以VE?BDF=VB?DEF=13?S△EDF?BE=13?12?2?BE=23?BE，

因?yàn)槿忮FE?BDF的體積為223，所以BE=2，

由(1)可知AC，BC，CF兩兩垂直，

以C為原點(diǎn)，CA，CB，CF為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(0,2,0)，D(2,0,2)，E(0,2,2)，F(xiàn)(0,0,2)，Q(1,0,0)，

所以DE=(?2,2,0)，QD=(1,0,2)，F(xiàn)D=(2,0,0)，F(xiàn)B=(0,2,?2)，

設(shè)平面DEQ的法向量為m=(x1,y1,z1)，

則m?DE=0m?QD=0，所以?2x1+2y1=0x1+2z1=0，

取x1=2，則y1=2，z1=?1．

所以m=(2,2,?1)是平面DEQ的一個(gè)法向量，

設(shè)平面BDF的法向量為n=(x2,y2,z2)，

則n?FD=0n?FB=0，所以2x2=02y2?2z2=0，

取y2=2，則z2=2．

所以n=(0,19.解：(1)記兩直線PA，PB的斜率分別為kPA=yx+1,kPB=yx?1，

因?yàn)閨k1k2|=2，所以yx+1?yx?1|=2，

即y2=2|x2?1|，x≠±1，

故C：2x2+y2=2,|x|<1,2x2?y2=2,|x|>1.

即當(dāng)|x|<1時(shí)，軌跡是橢圓2x2+y2=2去除左右頂點(diǎn)；

當(dāng)|x|>1時(shí)，軌跡是雙曲線2x2?y2=2去除左右頂點(diǎn)．

(2)(i)由題意得，設(shè)直線l1：x=y+1，可得m1：x=?y+1，

注意到兩直線關(guān)于x軸對稱，

又曲線C：2x2+y2=2,|x|<1,2x2?y2=2,|x|>1,圖形也關(guān)于x軸對稱，故可得M1，P1關(guān)于x軸對稱，

N1，Q1關(guān)于x軸對稱，所以T1必在x軸上，不妨設(shè)為T1(t,0)，

將l1與雙曲線2x2?y2=2聯(lián)立，得y2+4y=0，解得yM1=?