大學(xué)物理安培環(huán)路定理

10-4安培環(huán)路定理靜電場(chǎng)的一個(gè)重要特征是電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的積分等于零，即，那么，磁場(chǎng)中的磁感強(qiáng)度沿任意閉合路徑的積分等于多少呢？可以證明：在真空的穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度B沿任一閉合路徑的積分（即B的環(huán)流）的值，等于乘以該閉合路徑所包圍的各電流的代數(shù)和，即

（10-8）這就是真空中磁場(chǎng)的環(huán)路定理，也稱安培環(huán)路定理。它是電流與磁場(chǎng)之間的基本規(guī)律之一。在式（10-8）中，若電流流向與積分回路呈右螺旋關(guān)系，電流取正值；反之則取負(fù)值。安培環(huán)路定理與靜電場(chǎng)環(huán)路定理的比較

討論：安培環(huán)路定理的證明如圖(a)所示，有一通有電流的長(zhǎng)直載流導(dǎo)線垂直于屏幕平面，且電流流向垂直屏幕平面向內(nèi).在屏幕平面上取兩個(gè)閉合路徑和，其中閉合路徑內(nèi)包圍的電流為，而在閉合路徑內(nèi)沒(méi)有電流.從圖（b）可以看出，由于磁感強(qiáng)度的方向總是沿著環(huán)繞直導(dǎo)線的圓形回路的切線方向，所以對(duì)閉合路徑或上任意一線元，磁感強(qiáng)度與的點(diǎn)積為

式中為載流導(dǎo)線至線元的距離.由第10-2節(jié)二中例1的式（2），上式可寫成

（1）對(duì)于圖（a）的閉合回路，將由0增至.于是，磁感強(qiáng)度沿閉合路徑的環(huán)流為

（2）可見(jiàn)，真空中磁感強(qiáng)度沿閉合路徑的環(huán)流等于閉合路徑所包圍的電流乘以，而與閉合路徑的形狀無(wú)關(guān).

然而，對(duì)于圖（a）中的閉合路徑，將得到不同的結(jié)果，當(dāng)我們從閉合路徑上某一點(diǎn)出發(fā)，繞行一周后，角的凈增量為零，即

于是，由式（1）可得

（3）比較式（2）和式（3）可以看出，它們是有差別的.這是由于閉合路徑包圍了電流，而閉合路徑卻未包圍電流.于是我們可以得到普遍的安培環(huán)路定理：沿任意閉合路徑的磁感強(qiáng)度的環(huán)流為

式中是該閉合路徑所包圍電流的代數(shù)和

人物簡(jiǎn)介：安培簡(jiǎn)介安培(AndreMarieAmpere,1775-1855)，法國(guó)物理學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)和化學(xué)也有貢獻(xiàn)，他在電磁理論的建立和發(fā)展方面建樹頗豐。1820年9月提出了物質(zhì)磁性起源的分子電流假設(shè)，并在1821—1825年精巧實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出兩電流元間相互作用力的公式，后來(lái)人們結(jié)合畢奧—薩伐爾定律而將該公式寫成現(xiàn)在通用的安培力公式，即安培定律。

討論：安培環(huán)路定理與靜電場(chǎng)環(huán)路定理的比較靜電場(chǎng)環(huán)流為零說(shuō)明靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，并由此引入了電勢(shì)能的概念，靜電場(chǎng)環(huán)流定理是描述靜電場(chǎng)性質(zhì)的基本定理。對(duì)于安培環(huán)路定理，其中顯然并不代表磁場(chǎng)力的功，定理只是表明磁場(chǎng)中存在環(huán)流，它用數(shù)學(xué)形式表述了磁場(chǎng)環(huán)流與電流的關(guān)系。恒穩(wěn)磁場(chǎng)的環(huán)流不為零，因此磁場(chǎng)不是保守場(chǎng)，磁場(chǎng)是無(wú)源的渦旋場(chǎng)，磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理是描述穩(wěn)恒磁場(chǎng)性質(zhì)的重要定理。例1

載流長(zhǎng)直螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)處于真空中的載流長(zhǎng)直螺線管內(nèi)外的磁場(chǎng)分布情況與管上各匝線圈的疏密程度及管的尺寸有關(guān)。對(duì)于線圈較稀疏的載流螺線管，它的磁感線分布如下圖所示。由圖可以看出，在螺線管內(nèi)中間部分靠近管軸處的磁感線趨于與管軸平行；而導(dǎo)線附近的磁感線幾乎是一些以導(dǎo)線為軸的同心圓。這樣，管外中間部分貼近外管壁的區(qū)域里，存在著磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度不為零。然而對(duì)于繞得非常密集的直螺線管，它的磁感線分布如上圖所示。由圖可以看出，在螺線管內(nèi)中部，從管壁到管軸的區(qū)域里，磁感線可看成是趨于與管軸平行；而管外中部貼近外管壁附近的磁場(chǎng)很弱，磁感強(qiáng)度趨于零。當(dāng)螺線管繞得很密，而且管的長(zhǎng)度比管的直徑大得很多時(shí)（）?？蓪⒋寺菥€管當(dāng)成無(wú)限長(zhǎng)的螺線管。

右圖是一個(gè)密繞的無(wú)限長(zhǎng)螺線管中間的一段，在單位長(zhǎng)度上繞有匝線圈，通過(guò)的電流為。管內(nèi)的磁感強(qiáng)度的方向處處與管軸平行，且大小均相等；在管外貼近管壁處的磁感強(qiáng)度可視為零。下面我們用安培環(huán)路定理來(lái)討論管內(nèi)的磁感強(qiáng)度。在圖中作一矩形閉合路徑。則其中，。。而在段，磁感強(qiáng)度的大小均相同，且的方向與相同，所以上式為

根據(jù)安培環(huán)路定理，有

得

上式表明，無(wú)限長(zhǎng)載流螺線管內(nèi)中部，任意點(diǎn)磁感強(qiáng)度的大小與通過(guò)螺線管的電流和單位長(zhǎng)度線圈的匝數(shù)成正比。討論：載流螺繞環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)圖示為一螺繞環(huán)，環(huán)內(nèi)為真空。環(huán)上均勻地密繞有匝線圈，線圈中的電流為。由于環(huán)上的線圈繞得很密集，環(huán)外的磁場(chǎng)很微弱，可以略去不計(jì)，磁場(chǎng)幾乎全部集中在螺繞環(huán)內(nèi)，此時(shí)，呈對(duì)稱分布的電流使磁場(chǎng)也具對(duì)稱性，導(dǎo)致環(huán)內(nèi)的磁感線形成同心圓，且同一圓周上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度的大小相等，方向處處和環(huán)面平行?，F(xiàn)通過(guò)環(huán)內(nèi)點(diǎn)，以半徑作一圓形閉合路徑,如圖所示。顯然閉合路徑上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度方向都和閉合路徑相切，各點(diǎn)的值都相等，并且圓形閉合路徑內(nèi)電流的流向和此圓形閉合路徑構(gòu)成右螺旋關(guān)系。這樣，根據(jù)安培環(huán)路定理有可得如果表示螺繞環(huán)中心線所在的圓形閉合路徑的長(zhǎng)度，那么，圓環(huán)中心線上一點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度為當(dāng)螺繞環(huán)中心線的直徑比線圈的直徑大得多，即時(shí)，管內(nèi)的磁場(chǎng)可近似看成是均勻的，管內(nèi)任意點(diǎn)的磁感強(qiáng)度均可用上式表示。

二、無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱體的磁場(chǎng)設(shè)在半徑為的圓柱形導(dǎo)體中，電流沿軸向流動(dòng)，且電流在截面積上的分布是均勻的。如果圓柱形導(dǎo)體很長(zhǎng)，那么在導(dǎo)體的中部，磁場(chǎng)的分布可視為是對(duì)稱的。下面先用安培環(huán)路定理來(lái)求圓柱體外的磁感強(qiáng)度。如下圖(右)所示，設(shè)點(diǎn)離圓柱體軸線的垂直距離為，且。通過(guò)作半徑為的圓，圓面與圓柱體的軸線垂直，由于對(duì)稱性，在以為半徑的圓周上，的值相等，方向都是沿圓的切線，故。于是根據(jù)安培環(huán)路定理有

得

由此可見(jiàn)，無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱體外的磁感強(qiáng)度與無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度是相同的。

現(xiàn)在來(lái)計(jì)算圓柱體內(nèi)距軸線垂直距離為處（）的磁感強(qiáng)度。如上圖(左)所示，通過(guò)點(diǎn)作半徑為的圓，圓面與圓柱體的軸線垂直。由于磁場(chǎng)的對(duì)稱性，圓周上各點(diǎn)的值相等，方向均與圓周相切。故根據(jù)安培環(huán)路定理有

式中是以為半徑的圓所包圍的電流。如果在圓柱體內(nèi)電流密度是均勻的，有，那么，通過(guò)截面積的電流。于是上式為

得

三、思考題在下面三種情況下，能否用安培環(huán)路定律來(lái)求磁感強(qiáng)度？為什么？

（1）有限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)；

（2）圓電流產(chǎn)生的磁