數(shù)學場論初步

為

V上的一個向量場.稱如下向量函數(shù):設場,也稱旋度場,記作四、旋度場

為的旋度.

是由向量場派生出來的一個向量為便于記憶起見,可用行列式形式來表示旋度:類似于用散度表示的高斯公式

(1),現(xiàn)在可用旋度來表示斯托克斯公式:其中為前述對于曲面

S的面積元素向量;而則是對于曲線

L的弧長元素向量.

對后者說明如下:設是曲線

L在各點處的正向單位切向量,弧長元素向量即為把公式

(3)改寫成對上式中的曲面積分應用中值定理,

使得

在

S上任取一點令

S收縮到這個等式也可以看作是旋度的另一種定義形式.

則同時有對上式取極限,得到為了由

(5)式直觀描述旋度的物理意義,不妨將其中的曲面塊

S改換為平面區(qū)域

D

(

圖

22-12),這時

(5)式又被改寫為在流速場中,曲線積分是沿閉曲線

L

的環(huán)流量,它表示流速為

的不可壓縮流體,在單位時間內(nèi)沿曲線

L流過的總量.這樣,

就反映了流體關于L所圍面積的平均環(huán)流密度.當時,(6)式右邊這個極限,就是流速場在

點處按右手法則繞的環(huán)流密度.另一方面,(6)式左邊的是在上的投影.由此可見,當所取的與同向時,該投影為最大.綜合起來就可以說:這同時指出了旋度的兩個基本屬性:(i)

的方向是在點處環(huán)流密度最大的方向;(ii)

即為上述最大環(huán)流密度的數(shù)值.在上的投影.”

“流速場

在點處繞的環(huán)流密度,等于旋度

為了更好地認識旋度的物理意義及這一名稱的來源,

我們討論剛體繞定軸旋轉的問題.設一剛體以角速

與旋轉方向符合右手法則.

當時,稱向量場為“無旋場”.

度繞某軸旋轉,則的方向沿著旋轉軸,其指向若取定旋轉軸上一點O

作為原點(圖22-13),剛體上任意一點P的線速度

可表示為其中是P的徑向量,設

P的坐標為,便有又設

于是就是旋轉的角速度這也說明了旋度這個名稱的應用算符的旋度是旋度有如下一些基本性質:這結果表明線速度的旋度除相差一個常數(shù)因子外,

來源.

1.

若

是向量函數(shù),則2.

若是數(shù)量函數(shù),

是向量函數(shù),則這些等式可通過梯度、散度、旋度等定義來驗證.五、管量場與有勢場式知道,此時沿任何封閉曲面的曲面積分都等于零.

中作一向量管

(圖22-14),即由向量線圍成的管狀的

若一個向量場的散度恒

為零,即我們曾

稱為無源場.從高斯公

我們又把稱作管量場.

這是因為,若在向量場

曲面.

用斷面去截它,以表示所截出的管的表面,這就得到了由所圍成的封閉曲面

S.于是由(1)式得出而向量線與曲面的法線正交,所以這等式說明了流體通過向量管的任意斷面的流量是

間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于

相同的,所以把場稱為管量場.如例2,由的梯度所成的引力場是一個管量場.若一個向量場的旋度恒為零,即我們在

前面稱

為無旋場.從斯托克斯公式知道,這時在空

零,這種場也稱為有勢場.這是因為當時,由定理

22.5推得空間曲線積分與路線無關,且存在某函數(shù),使得即則必存在某個勢函數(shù)u,使得這也是一

個向量場是某個數(shù)量場的梯度場的充要條件.在例1

通常稱u為勢函數(shù).

因此若某向量場的旋度為零,

中,引力勢就是勢函數(shù).所以因為恒成立,所以它也是引力

若一個向量場既是管量場,又是有勢場,則稱這個向場是有勢場的充要條件.量場為調(diào)和場.

上述例

2中講到的引力場就是調(diào)