人口預測模型數(shù)學建模論文

人口的數(shù)量和結構是影響經濟社會發(fā)展的重要因素。從20世紀70年代后期對于問題一，我們通過多個渠道收集數(shù)據，利用SAS和Matlab等軟件進行對于問題二，這是典型的人口模型，我們建立了4個相應的數(shù)學模型，選用路巧妙，提高了預測的精確度；建立BP神經網絡模型，無需進行模型假設，同摘要單位：(萬人)其中加權系數(shù)為：0.24282,0.34055,0.41663。男女比例等影響人口增長的因素，并利用以1年為分組長度方式和以5年為年份(萬)05(萬)然后對Leslie人口模型進行了改進，構建了反映生育率和死亡率變化率最后我們BP神經網絡模型檢驗以上模型的正確性BP神經網絡灰色序列預測邏輯斯蒂模型Leslie人口模型問題假設1.假設本問題所使用的數(shù)據均真實有效，具有統(tǒng)計分析價值。2.假設本問題所研究的是一個封閉系統(tǒng)，也就是說不考慮我國與其它國家的人口遷移問題。3.不考慮戰(zhàn)爭瘟疫等突發(fā)事件的影響4.在對人口進行分段處理時，假設同一年齡段的人死亡率相同，同一年齡段的育齡婦女生育率相同。5.假設各年齡段的育齡婦女生育率呈正態(tài)分布6.人類的生育觀念不發(fā)生太大改變，如沒有集體不愿生小孩的想法。7.中國各地各民族的人口政策相同。符號說明a,(t)------------------第t時間區(qū)間內第i個年齡段人口總數(shù)c,(I)------------------第t時間區(qū)間內第i個年齡段人口總數(shù)占總人口的比例c^(1)------------------第t時間區(qū)間內第i個年齡段中第k年齡值人口總數(shù)占總人A(1)…第t時間區(qū)間內各年齡段人口總數(shù)的向量P(t)…第t時間區(qū)間各年齡段人口總數(shù)向量轉移矩陣b(I)…第t時間區(qū)間內第i個年齡段人的生育率d,(I)…第t時間區(qū)間內第i個年齡段人的死亡率d,^(1)………………第t時間區(qū)間內第i個年齡段中第k年齡值的死亡率s,(1)…第t時間區(qū)間內第i個年齡段人的存活率h(t)……第t時間區(qū)間男性人數(shù)與女性人數(shù)的比值e;(I)……第t時間區(qū)間內第i個年齡段育齡婦女的生育率m………每個年齡段上年齡值的數(shù)目本問題是一個關于人口預測的問題，與以往不同，本問題需要根據中國特殊的國情去研究，我們根據對問題的分析并結合實際情況認為對人口產生主要影響的因素有以下四個：生育率、死亡率、年齡結構、男女比例。在這里需要說明的是對于人口產生影響的一些因素，如經濟發(fā)展狀況，生態(tài)環(huán)境情況、已婚夫婦對生育所持的態(tài)度、醫(yī)療技術的發(fā)展等，我們認為它們對人口的增長是通過作用于以上四個指標而間接發(fā)揮作用的。而對于諸如戰(zhàn)爭爆發(fā)、疾病流行等突發(fā)因素，由于其不可預測性，我們不考慮1.生育率生育率代表育齡婦女生育人口的能力，從一定意義上講生育率的高低控制著人口增長率高低，通常來說生育率越高人口增長率越高，所以說生育率是人口增長的源頭。生育率的影響因素很多，首先是年齡因素，不同年齡段的育齡婦女的生育率不同，通常20歲至30歲的育齡婦女的生育率最強；此外是地域因素，受政策因素、觀念認識、周邊環(huán)境等影響鄉(xiāng)村育齡婦女的生育率高于城市育齡婦女的生育率；還有其它因素的影響，比如大規(guī)模疾病會降低育齡婦女的生育率。2.死亡率死亡率表示一定時期內一個人口群體中死亡的人數(shù)占該人口群體的比值，和生育率一樣死亡率的高低同樣控制著人口增長率高低，如果說生育率是人口增長的源頭，則死亡率是人口增長的匯點。同樣影響死亡率的因素很多，首先不同年齡段的死亡率不同，通常老年人和剛出生的嬰兒的死亡率較高；從長遠來看，隨著醫(yī)療水平的提高，整個人口群體的死亡率將會成下降趨勢；此外一些突發(fā)事件，如戰(zhàn)爭、疾病等，將會使使那一段的人口死亡率大幅度提高。3.年齡結構年齡結構反映了總體人口在各年齡段分布情況，年齡結構蘊涵的信息量很大，從其中我們可以實現(xiàn)對很多問題的分析，比如從年齡結構我們可以分析出社會的老年化程度，此外從年齡結構我們可以判斷出不同時間段人口出生的情況，比如年齡結構不僅反映了總體人口在各年齡段分布情況，而且考慮到不同年齡段人口生育率、死亡率不同等情況，我們可以在年齡結構中有效反映這些差異4.男女比例男女比例反映了總體人口中男性與女性人數(shù)的比較關系，男女比例值能反映出體人口中男性與女性人數(shù)是否協(xié)調，男女比例主要受男女出生比和男女死亡率的影響，男女出生比正常范圍在103—107,也就是說出生100個女兒的同時會有103—107個男兒出生，但是在現(xiàn)實社會中，女性死亡率低于男性，以至于男女比例大致維持著穩(wěn)定的相對穩(wěn)定，但目前我國男女出生比超過110,這不僅將導致男女比例失調，還會對人口的預測產生影響，所以在人口預測時必須將男女出生·死亡比例問題考慮進去。考慮到人口預測分為中短期預測和長期預測，兩類預測因為涉及的時間長短不同，所以考慮的因素不同，采用的方法不同。對于中短期預測，我們假設生育率、死亡率、年齡結構、男女比例均維持在同一穩(wěn)定水平，這樣我們采用方法有很多，。對于長期預測，我們需要考慮生育率、死亡率、年齡結構、男女比例等因素隨時間變化，此外城鄉(xiāng)人口遷移對城鄉(xiāng)人口結構產生影響，盡管以上因素短期內積累效應較小，但在長期中必須考慮。在預測方法上我們選用了基于以往人口數(shù)據的一次線性回歸，灰色、時間序列預測，邏輯斯蒂模型和基于年齡結構并生育率、死亡率隨時間Leslie人口模型中國人口預測模型中國人口預測模型Leslie人口模型BP神經網絡模型邏輯斯蒂次線型回歸齡結構女比例生率亡率知其四數(shù)學模型有關于人口增長預測的模型很多，比如灰色GM(1,1),移動平均數(shù)法，指數(shù)平滑法，一元線型回歸，馬爾薩斯人口模型，宋健人口模型等等，但是每種預測方法的精度往往也不同。組合模型和單個模型比起來，具有較高的預測精度，組合預測的關鍵就在于確定各個預測方法的權重。本文將從一個新的角度進行研究，即從信息論的觀點出發(fā)，根據各個體預測方法誤差指標的信息熵，確定組合預測模型的權重，進行人口組合預測模型。本文選用了一元線性回歸法，邏輯斯蒂模型法，灰色GM(1,1)模型法對中國人口增長進行預測。而1978至2005年的數(shù)據見本文表一?；疑到y(tǒng)是指部分信息已知，部分信息未知的系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)的理論實質是將無規(guī)律的原始數(shù)據進行累加生成數(shù)列，再重新建模。由于生成的模型得到的數(shù)據通過累加生成的逆運算一一累減生成得到還原模型，再有還原模型作為預測模型。預測模型，是擬合參數(shù)模型，通過原始數(shù)據累加生成，得到規(guī)律性較強的序列，用函數(shù)曲線去擬合得到預測值?；疑A測模型建立過程如下：x={x(1),x?(2)…,x(n)},2)利用擬合出來的函數(shù)，求出新生序列x)的預測值序列X利用灰色GM(1,1)模型對X()序列的確定增長趨勢進行預測2模型求解根據2006全國統(tǒng)計年鑒數(shù)據整理得到全國歷年年度人口統(tǒng)計表如表1.表1:全國歷年年底的人口統(tǒng)計年份1978年1980年1985年1989年1990年1991年1992年總人口年份1993年1994年1995年1996年1997年1998年1999年總人口年份2000年2001年2002年2003年2005年總人口根據上述數(shù)據，建立含有20個觀察值原始數(shù)據序列x(0):利用Matlab軟件對原是數(shù)列X()進行一次累加，得到新數(shù)列為X(1),如表表2:新數(shù)列X誤差和誤差率x(”1、利用表2,擬合函數(shù)，如下：x(t+1)=9280043e?.0116241-2、精度檢驗值c=0.3067(很好)3、得到未來20年的預測值：年份2006年2007年2007年2008年2009年2010年20總人口年份2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年年份2019年2020年2021年2022年20234.1.2一元線性回歸法根據表一中的數(shù)據，本文建立一元線性回歸模型Y=a+bX進行預測；Y為人口數(shù)單位：萬人X為年份。利用Matlab軟件，用麥夸特法進行回歸擬合，得到擬核值及回歸方程，如下：表八一元線性回歸模型擬合值由此，建立如下的一元線性回歸方程Y=102974.5053+1572.384.1.3邏輯斯蒂模型(Logisticgrowthmodel)果人口的凈增長率隨著N(t)的增加而減小，且當N(t)→N。時，凈增長率趨于其中r為常數(shù)，此模型就叫邏輯斯蒂模型。我們把1978年至2005年全國歷年年底總人口的數(shù)值組成一個觀察矩陣，其中的每一個數(shù)值稱之為觀察值。本文利用spss軟件，得出與觀察值一一映射的擬核值，殘差值和cook距離，見下表：差差差從新數(shù)據得到F=372.3471p一值=0.001相關系數(shù)R=0.98884.1.4.組合模型建立1、熵權法的概念及基本步驟熵權法是一種決定指標的方法，我們知道，綜合指標取決于單個指標數(shù)的確定，一般情況下的權重是根據經驗來確定的，但是這種確定權重的方法缺少科學根據，也不能保證確立的綜合指標能反映原始指標的大部分信息，且權重的確立因人而異，所以其應用受到了限制，而熵權法就能夠避免這些問題，使權重的確立具有科學的根據，具有說服力。熵權法的步驟確立如下：①計算第j項指標下第i個方案的指標比重2、誤差指標的選舉為了能全面的各個預測方法以及組合預測的預測效果，必須制定一套切實可行的誤差指標。按照預測效果的評價慣例，本文選取如下指標作為參考：(1)、平方和誤差(2)、平均絕對值誤差(3)、均方誤差(4)、平均絕對值百分比誤差(5)、均方百分比誤差3、組合模型權重的確定設以選定m種個體預測方法，n個誤差指標，m種個體預測方法對應n個誤差指標構成了評價指標值矩陣；第j個指標下第i種個體方法的指標比重值P為第j個指標的熵值為：記第i個指標的權重為：這樣，各個體預測方法的熵權評價值λ,可以表示為：將上式進行歸一化處理，即可以得到各個個體的權重。4.1.6熵權組合模型求解本文利用Matlab軟件對上述的模型、指標進行綜合的運算處理，得到熵權系的基本數(shù)據資料，見下表：加權系數(shù)為：0.24282,0.34055,0.41663。4.2.4模型改進1.考慮到生育率和死亡率是隨時間變化的，我們可以定義生育率和死亡率為時間函數(shù)(1)生育率影響生育率因素有受政策因素、觀念認識、周邊環(huán)境等，通常來說農村的生育率高于城市，為了有效區(qū)分這種差異性，我們定義b(t)為反映城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)平均考慮到隨著時間的推移，計劃生育政策深入人心，農村生育率將降低用下面函數(shù)反映這種變化式中a,b為參考系數(shù)(2)死亡率隨著時間的推移，醫(yī)療水平的提高，死亡率將下降，但死亡率中有一部分是非疾病死亡，對于青年人死亡率比較平穩(wěn)，死亡率變化主要體現(xiàn)在老年人。定義d,(1)為第t時間區(qū)間內第i個年齡段人的死亡率式中a,b為參考系數(shù)，用來區(qū)分青年與中老年2.考慮到城鄉(xiāng)人口轉移因素城鄉(xiāng)人口轉移將會對城鄉(xiāng)人口結構產生影響，因此必須進行研究，考慮到人口主要是從鎮(zhèn)轉入城，從鄉(xiāng)轉入城，從鄉(xiāng)轉入鎮(zhèn)因此定義B(t)為從鎮(zhèn)轉入城的轉移向量，C(t)為從鄉(xiāng)轉入城的轉移向量，D(t)為從鄉(xiāng)轉入鎮(zhèn)的轉移向量。式中v,(1)表示第t時間區(qū)間內第i個年齡段的農村人數(shù)，w;(I)表示第t時間區(qū)間內第i個年齡段人的農村轉入城市的百分比則A'(t)=A(t)+B(t)+C(t)表示城鄉(xiāng)人口轉移后的人口向量每次計算完A()=A(t-1)P(t-1)再計算A'(1)=A(t)+B(t)+C(t)4.2.5模型優(yōu)缺點分析1.Leslie人口模型可以分析不同年齡組生育率與死亡率不同的情況2.Leslie人口模型中可以考慮生育率與死亡率隨時間變化的情況3.Leslie人口模型中可以分析出年齡結構的情況4.Leslie人口模型中對給出的關于年齡結構的統(tǒng)計數(shù)據要求較高5.Leslie人口模型對男女比例不平衡情況反映敏感6.Leslie人口模型中選取分組的年齡段長度不同，適于的預測期長短不同4.3BP神經網絡人口預測模型基于BP神經網絡的時間序列預測模型與傳統(tǒng)模型不同的是：此模型只需以歷史數(shù)據作為輸入，通過抑制與激活神經結點，自動決定影響性能的參數(shù)及影響程度，自動形成模型，無需進行模型假設，再加上神經網絡對復雜的非線性系統(tǒng)具有曲線擬核能力，預測能力強，所以是合適的對比檢驗模型。p=[1996199719981999200020012002200320042005](年份歸一化后的數(shù)據)p=[0.19960.19970.19980.19990.20.20010.20020.20030.20040.2005]輸出樣本觀測值(對應1996-05年的總人口歸一化后的數(shù)據):T=[0.1223890.1236260.1247610.1257860.1267430.1276270.12采用神經網絡模型進行運算，系統(tǒng)仿真產生輸入數(shù)據的收斂結果見圖示：圖6:BP訓練函數(shù)數(shù)(萬五模型優(yōu)缺點的評判在上文中，每個模型的后面，針對該模型的優(yōu)缺點本文都做了深刻地評判，此時就不再重復贅言了，卻還沒有從宏觀角度出發(fā)，對本文的所有模型進行整體1、具有很好的創(chuàng)新性，在對傳統(tǒng)模型的理解的基礎，取模型之長，利用熵權法對模型進行組合預測，大幅度提高了預測準確度；2、本文的思路寬闊，在不同時期，建立起不同的模型，能夠與實際緊密的聯(lián)系，結合當前具體國情，對問題進行求解，使該模型具有很好的推廣性和通用性；數(shù)據可信度較高。4、對于題目附錄里為涉及到的數(shù)據，均到“中國統(tǒng)計局”下載官方數(shù)據加以補充，并且對論文中涉及到的眾多影響因素進行了量化處理，使得論文的說服里更強，實際性更高。缺點2、不同模型在相應的時間階段具有很高的預測能六全文總結 七相關建議(一)人口增長速度快但增長速度回落年份1978年1980年1985年1989年1990年1991年1992年總人口年份1993年1994年1995年1996年1997年1998年1999年總人口年份2000年2001年2002年2003年2005年總人口(二)農村人口比重大,但人口城市化快速發(fā)展(三)人口老齡化加劇男女性別比偏高有所回落①目前生育率經過近二十年的控制已達到了較低水平，自然增長率已由1974年22.2%。下降到1983年的11.5%,幾乎降低了一半，這是世界人口史上罕見的，②由于20世紀60—70年代生育高潮形成的人口年齡結構的影響，在1995年前后形成一個生育高峰，平均每年進入婚育年齡的人數(shù)在1100萬對以上，生育率村的人口生育率仍然較為困難。綜上所述，以目前13億人口為基礎，人口增長率能繼續(xù)得到控制，到21世紀中期將達到16億。人口學家普遍認為，這是中國人口的極限，即中國土地佳人口數(shù)而穩(wěn)定下來。八參考文獻[1]王能超，數(shù)值分析簡明教程，北京：高等教育出版社，1999[2]廉慶榮，線性代數(shù)與解析幾何，北京：高等教育出版社，2002[4]張興永，數(shù)學建模簡明教材，江蘇：中國礦業(yè)大學出版社，2004[5]華東師大數(shù)學系，數(shù)學分析(第三版),北京：高等教育出版社，1998[6]/(中國國家統(tǒng)計局%%%此程序解決長期預測問題ht=1.2121;total_person_05=130756;kind=%total_person_05表示05年的總人數(shù)%ht表示05年的男比女的比率；%a5表示2005年所有人口分年齡段的占的比率%A表示第t時間段時內各年齡段人口總數(shù)占總人口的比例向量A=bili*total_person_05/100;%各年齡段的人口數(shù)forsum=1:9%預測45年，5年為一個周期0.0002159100000000]%城市生育率0.00100.00000000000]%農村生育率b=ShengYu*5/1000;%為附錄二.組合模型預測程序：%%組合模型%%一元非線性回歸yt=[96259.000098705.0000105851.0000112704.0000114333.000015823.00001118517.0000119850.0000121121.0000122389.0000123626.00126743.0000127627.0000128453.0000129227.000117159.2664119206.2898120962.7665122462.41125729.2541126497.3789127142.9323127684.4757128138.06118517.0000119850.0000121121.0000122389.00125786.0000126743.0000127627.0000128453.0000129227116342.0107117702.3046119078.5