2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練(人教A版選擇性必修第二冊)51導(dǎo)數(shù)的概念及其意義(精講)(原卷版+解析)

5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（精講）

目錄

第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）

第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶

第三部分，課前自我評估測試

第四部分：典型例題剖析

重點題型一：求物體運(yùn)動的平均速度及瞬時速度

角度L平均速度

角度2：瞬時速度

重點題型二：求解曲線在某點處的切線斜率

重點題型三：函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率

重點題型四：導(dǎo)數(shù)定義的理解與應(yīng)用

重點題型五：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

角度1：求切線方程（在型，過型）

角度2：根據(jù)切線斜率求切點坐標(biāo)

第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局

對于的O設(shè)自變量X從4變化到4+"?相應(yīng)地.的數(shù)例r?t從加＞變化到8+工）?

這時.x的變化■為F的變化■為+我們杷比伍氏.弋

定義叫鍛的微從4Mo?”的平均變化率.

-------0

平

均①先計算A數(shù)值的改麥量3=/（內(nèi)）一心1）.

變②再計算自支量的&雯量2=內(nèi)一』.

化

率③稗”更化學(xué)青誓等.

解步M八

-Z-X-

物理定義「、物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度

。，‘

一般地,設(shè)物體的運(yùn)動猊律是■=”/）?則物體在桁到這段時間內(nèi)的平均速度為

￥=枕吐2二維）.如果“無限箱近于ON,至無限啟近于某個常數(shù)％我in就說當(dāng)"

無限趨近于。時，'，的60男是-這時/就是物體在時刻，=「。時的BW速度，即2時

Ar

數(shù)學(xué)建中S=HEX—ME?r-）r（a）

定義八速度〃眄A/―

―一?€>-------------------------------------------

④氽值%改貫量

②,彳均《”=稱

當(dāng)a無孔?逅于0”.當(dāng)無"遠(yuǎn)于的拿或“中為■用4度.印—曬當(dāng)

蝌翹步舞―aSa

如果當(dāng)V。時,平均變化?當(dāng)JR筵近于T?定的笛,即「玉極狼.則稱尸■（r底*=4處可導(dǎo).

JurAr

并把這個?定的他叫fth，，u滋x，q處的導(dǎo)釉也稱為瞬時變化，）?記作/g）戒》L1.

定義即/u<）?ta言=典

在--------0------------------------------------

某

①聚島做妁發(fā)量■?V=/U?+Ar）—/[X9）.

點

處②泉今均無化學(xué)表人5土著嶼

的

導(dǎo)

致解題思路.⑶泉幄限I㈣第

e

設(shè)訥數(shù),=/U）的圖象如圖所示.R線鉆是

過點，S?/U.?與點218+&r?/Ve-Ax?的

割線一條例線.此制線的智率是“上包3Z2㈣.

---------------------------------------------------------------G>

導(dǎo)數(shù)

的數(shù).>?="*）在點*=4處的與數(shù)的幾何意義給曲線廣后）在點

幾

的

意

何孔口，加。））處的切線的斜率.

義

切線斜率曲線滋點的切線的斜率是「8）?相應(yīng)場?

切線方料為jr-yu。=/u?）cr-x?）.

第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶

知識點一：函數(shù)的平均變化率

r1/。,）一/（西）

】、定義：一般地，函數(shù)/"）在區(qū)間上,々]上的平均變化率為：—~~J」，表示為函數(shù)/（X）從為到

r

W的平均變化率，若設(shè)-二工2-玉，A>=/U2）-/U,）則平均變化率為

2二）*2）-/（內(nèi)）—/（X+八。一/（司）

Axx2-X）Av

2、求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：

①作差：求出△），=/*2）-/（苒）和—二&一%

Avf（X-y）-f（X.）

②作商：對所求得的差作商，.六.

AY

X2-$

3、平均變化率的幾何意義

Ay/（xj-/（x）

平均變化率：-=J-△'如圖：表示直線48的斜率。

"x2-Xj

知識點二：函數(shù)）=/?在］=不處的導(dǎo)數(shù)（瞬時變化率）

1、定義：函數(shù)/（X）在工=/處瞬時變化率是lim"=lim/（X）+闔-/（X。）,我們稱它為函數(shù)），=/（X）

AXArAr-*°Ar

在工二人處的導(dǎo)數(shù)，記作了'&））或M7即f'（與Alim包二lim"/+加）一/（.%）

0&DAEADAX

2、定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：

①求函數(shù)的增量：Ay=/（x0+Ax）-/（x0）；

②求平均變化率：包="%+加）-/（/）；

AxAx

③求極限，得導(dǎo)數(shù)：f'（與）=lim包:lim/（/+2）/（/）.

At->oj\x8->oAx

知識點三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

如圖,在曲線y=/（幻上任取一點P（xf*））P（x,/（冗）），如果當(dāng)點P*,/（x））沿著曲線y=fM無限趨

近于點6*0,/（/））時，割線外尸無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P.T稱為曲線y=f（x）

.f（x）-f（x）

在點外處的切線.則割線P.P的斜率k=-~0

知識點四；曲線的切線問題

1、在型求切線方程

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計算：函數(shù)在x=Z或者（凡J（X。））處的切線方程.

步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)/（?。ǚ椒ǎ喊压?/代入原函數(shù)/"）中），切點（兒,/（兒））.

第二步：計算切線斜率z=/'（x）.

第三步:計算切線方程.切線過切點（%,/（兒）），切線斜率左二尸（%）。

根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：s）=r（x°）d。）.

2、過型求切線方程

已知：函數(shù)/（幻的解析式.計算：過點q（M，y）（無論該點是否在y=/（x）上）的切線方程.

步腺：第一步：設(shè)切點4（%,%）

第二步：計算切線斜率攵二/（%）；計算切線斜率攵二上口；

第三步：令：女=/（%）=上①，解出與，代入％=廠（%）求斜率

王一七

第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-yo=/U）U-^o）.

第三部分：課前自我評估測試

1.（2023?全國?高二課時練習(xí)）某物體的運(yùn)動路程s（單位：〃？）與時間，（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)

s（f）=『+/+］表示，則該物體在/=ls時的瞬時速度為（）

A.Om/sB.lm/sC.2m/sD.3m/s

2.（2023?全國?高二課時練習(xí)）己知函數(shù)），=/（幻，若廣（不）二一3,則］而/"°+〃）_/（-"）=______.

力->oh

3.（2023?全國?高二課時練習(xí)）已知函數(shù)），=/（刈，其中/0）=/-］,此函數(shù)在區(qū)間［1,向上的平均變化率為

3,則實數(shù)〃?的值為.

4.。。八.河南?鄭州四中高三階段練習(xí)（文））如圖，已知直線/是曲線y=/（x）在x=3處的切線，則廣⑶

S.（2023?全國?高二單元測試）試求過點P（L-3）旦與曲線），二Y相切的直線的斜率.

第四部分：典型例題剖析

重點題型一：求物體運(yùn)動的平均速度及瞬時速度

角度L平均速度

典型例題

例題L（2023?全國?高二課時練習(xí)）某物體沿水平方向運(yùn)動，其前進(jìn)距離$（米）與時間/（秒）的關(guān)系

為s（/）=5/+2產(chǎn)，則該物體在運(yùn)動前2秒的平均速度為（）

13

A.18米/秒B.13米/秒C.9米/秒D.方米/秒

例題2.（2023?陜西?寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））一個物體做直線運(yùn)動，位移''（單位：m）

與時間/（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為s（/）=6/+/而，且這一物體在1W2這段時間內(nèi)的平均速度為20m/s,

則實數(shù)〃?的值為（）

A.2B.1C.-1D.-2

例題3.（2023?全國?高二課時練習(xí)）一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離力（單位：相）與時

間〃單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為〃=2產(chǎn)+2,則:

（1）前3s內(nèi)球的平均速度為m/s；

（2）在，￡［2,3］這段時間內(nèi)球的平均速度為m/s.

同類題型歸類練

1.12023?全國?高二課時練習(xí)）汽車行駛的路程5和時間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時間段

上的平均速度分別為W，彩，匕，則三者的大小關(guān)系為（）

A.匕=匕＜匕B.V）＜v2=v3C.匕〈%＜匕D.眩＜匕＜匕

2.（2023?全國?高二期末）已知自由落體的物體的運(yùn)動方程為s=gg/,求：

⑴物體在到4+X這段時間內(nèi)的平均速度；

角度2：瞬時速度

典型例題

7

例題1.（2023?西藏?拉薩中學(xué)高二階段練習(xí)（理））某物體做直線運(yùn)動，其運(yùn)動規(guī)律是$（"=/+：（時

間/的單位：s,位移S的單位：〃7）,則它在4s末的瞬時速度為（).

n125.D.a/s

A.^m/sB.--m/sC.8m/s

6164

例題2.（2023?湖南?高二課時練習(xí)）將原油精煉為汽油、柴油等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和

加熱.如果在第皿時，原油的溫度（單位：七）為=f-7工+15（0WxW8）.計算第2h和第6h時,

原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

例題3.（2023?江蘇?高二課時練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=-2

⑴函數(shù)/*）在區(qū)間[L2],[1,1.5],[1,15上的平均變化率各是多少？

⑵函數(shù)M在x=1處的瞬時變化率是多少？

同類題型歸類練

1.（2023?北京大興?高二期中）一個小球從5m的高處下落，其位移（單位：m）與時間，（單位：s）之

間的關(guān)系為y=-4.9〃，則，=ls時小球的瞬時速度（單位：m/s）為（）

A.-4.9B.—9.8C.4.9D.9.8

2.（2023?全國?高二課時練習(xí)）若一物體運(yùn)動方程如下（位移單位：〃】，時間單位：$）

p（\3t+2,A.3

s=ft=J

J'（'）（29+3（r-3）,\0?r<3求：

⑴物體在/目3,5]內(nèi)的平均速度；

（2）物體的初速度%;

⑶物體在『=1時的瞬時速度.

重點題型二：求解曲線在某點處的切線斜率（傾斜角）

典型例題

O

例題1.（2023?全國-高二課時練習(xí)）曲線==在點（3,3）處的切線的傾斜角為（）

X

itc兀-3九c2兀

A.了B.§C.彳D.7

例題2.（2023?河南開封?高二期末（文））設(shè)lim/仁+詞-/?！?9，貝IJ曲線），=/（x）在點（2J（2））

AsOAx

處的切線的傾斜角是（）

例題3.（2023唆國例二課時練習(xí)）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件管/a+；；/⑴=5,則曲線y=

在點（1，/⑴）處的切線的斜率為（）

A.10B.3C.6D.8

例題4.（2023?湖南?高二課時練習(xí)）設(shè)2（飛,”）是曲線y=3-一上一點，求曲線在點。處切線的斜率.

同類題型歸類練

1.[2023?山東?文登新一中高二期中）設(shè)““存在導(dǎo)函數(shù)且滿足1而,（1）一/°-2'）=_],則曲線），=/（"

公~*02Ar

上的點（1,/。））處的切線的斜率為（）

A.-IB.-2C.1D.2

2.（2023?全國?高二課時練習(xí)）曲線/。）=，在點仁2]處的斜率為（）

A.-4B.-2C.2D.4

3.（2023?全國?高二課時練習(xí)）設(shè)f（x）=or+4,若/'⑴=2,貝J，=（）.

A.2B.-2C.3D.不確定

重點題型三：平均變化率和瞬時變化率

典型例題

例題1.（2023比京豐臺高二期中）當(dāng)自變量x由1變到1.1時，函數(shù)/"）=Y的平均變化率是（）

A.1.21B.0.21C.2.1D.12.1

例題2.（2023?全國?高二課時練習(xí)）函數(shù)），=/（*=/在區(qū)間區(qū),%+△可上的平均變化率為勺，在區(qū)間

&-右,%]上的平均變化率為網(wǎng)，則匕與刈的大小關(guān)系為（）

A.k\>hB.k、<k】C.k1=k?D.不能確定

例題3.（2023?山東?巨野縣實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）若函數(shù)=當(dāng)14工金〃時，平均變化率為

2,則〃?等于（）

A.x/5B.2C.3D.1

例題4.（2023?廣東?南海中學(xué)高二期中）設(shè)/⑴=丁-8%，則1m/（2+尸）一"2）=（）

A.-4B.-8C.4D.8

同類題型歸類練

1.（2023?北京?北理工附中高二階段練習(xí)）已知函數(shù)/。）=/+3,則在以3和3+Dx為端點閉區(qū)間上的平均

變化率為（）

9

A.6+DxB.6+Dx+——C.3+DxD.9+Dx

DA

2.（2023?全國?高二課時練習(xí)）函數(shù)/（x）=Y在區(qū)間⑵句上的平均變化率等于（）

A.2B.4C.6D.8

3.（2023?全國?高二課時練習(xí)）一質(zhì)點做直線運(yùn)動，若它所經(jīng)過的路程與時間的關(guān)系為s（，）=4/-3（S⑺的

單位：m,t的單位：s）,則，=5時的瞬時速度為（）

A.7m/sB.10m/sC.37m/sD.40m/s

4.（2023?河南?南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高二期中（理））函數(shù)/（刈=/在區(qū)間［0,2］上的平均變化率等

于X=用時的瞬時變化率，則加=（）

13

A.-B.1C.2D.-

27

重點題型四：導(dǎo)數(shù)定義的理解與應(yīng)用

典型例題

例題1.（2023?北京市房山區(qū)房山中學(xué)高二期中）函數(shù).、，=/（力的圖象如圖所示，則/'⑴與/'⑶的大小

關(guān)系是（）

B.⑴=八3）

C.AD>/（3）

D.r⑴+廣⑶>0

例題2.（2023?全國?高二課時練習(xí)）函數(shù)），=/（x）的圖象如圖所示，尸（另是函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)，則下

列數(shù)值排序正確的是（）

)4

A.2r(4)<2/(2)</(4)-/(2)

B.2,r(2)</(4)-/(2)<2,r(4)

C.2,f(2)<2,H4)</(4)-/(2)

D./(4)-/(2)<2/*(4)<2/*(2)

例題3.（2023?廣東?廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)），=/（"的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)

的圖象大致形狀為（）

O

同類題型歸類練

1.（2023?江西?贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知函數(shù)/⑺的圖像如圖所示，/'（"是"力的

導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.o<r⑴vre）/。）;/⑴B.053）〈型壯也廣⑴

y（?）ytl）

c.o＜r（3）＜r（i）＜2D.0V“3）”1）＜/W（3）

2.（2023江蘇?高二課時練習(xí)）如圖，求/3）,并估計了'⑷.

重點題型五：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

角度L求切線方程（在型，過型）

典型例題

例題1.（2023?江蘇南通?高二階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=-Y+x圖像上兩點A（2,7（2））、

3（2+ArJ（2+-））.

（1）若割線A3的斜率不大于-1,求Ar的范圍；

⑵用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)八幻=-/在尤=2處的導(dǎo)數(shù)廣（2）,并求在點A處的切線方程.

例題2.(2023?全國?高二課時練習(xí))已知曲線)，=/("=/.求：

(1)曲線。上橫坐標(biāo)為1的點處的切線方程；

例題3.(2023?全國-高三專題練習(xí))己知函數(shù)f(x)=x3

(1)求函數(shù)/(#的圖象在點(1,1)處的切線方程；

2

(2)若函數(shù)/(x)的圖象為曲線C,過點尸(10)作曲線。的切線，求切線的方程.

同類題型歸類練

14

1.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知曲線C：)，=：9+不求曲線C在橫坐標(biāo)為2的點處的切線方程.

JJ

2.(2023?全國?高二課時練習(xí))試求過點P(l,—3)且與曲線y=N相切的直線的斜率以及切線方程.

3.(2023?全國?高二課時練習(xí))求拋物線./W=￡—2r+3在點(1,2)處的切線方程.

4.(2023?全國?高二課時練習(xí))求拋物線人后=如一工在點(2,2)處的切線方程.

5.(2023?全國?高二專題練習(xí))試求過點M(1,D且與曲線y=丁+1相切的直線方程.

角度2：根據(jù)切線斜率求切點坐標(biāo)

典型例題

例題1.（多選）（2023?全國?高二專題練習(xí)）（多選）已知曲線y=/-x+l在點P處的切線平行于直

線y=2x,那么點尸的坐標(biāo)為（）

A.（1,0）B.（1,1）C.（-U）D.（0,1）

同類題型歸類練

2.（2023?全國?高二課時練習(xí)）曲線片/（"=：在點尸處的切線與直線、=%垂直,則點尸的坐標(biāo)為.

5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（精講）

目錄

第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）

第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶

第三部分：課前自我評估測試

第四部分：典型例題剖析

重點題型一：求物體運(yùn)動的平均速度及瞬時速度

角度L平均速度

角度2：瞬時速度

重點題型二：求解曲線在某點處的切線斜率

重點題型三：函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率

重點題型四：導(dǎo)數(shù)定義的理解與應(yīng)用

重點題型五：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

角度1：求切線方程（在型，過型）

角度2：根據(jù)切線斜率求切點坐標(biāo)

第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局

對于的數(shù),一/U）.設(shè)自變從4變化列皿+”?相應(yīng)地.函數(shù)他從幾函＞變化到8+工）.

這時.x的變化?為F的變化量為/們杷比他當(dāng).咤/^,弋出

定義叫部曲數(shù)r”）從4對。+“的平均突化咨

-------0------------------------------------

平

均①先計算房數(shù)值的改支量N=/E）-/ki）.

變②再計算自支量的改堂量2=內(nèi)一』.

化

率③稗，均變化學(xué)或乂叱幽

解步M-Ax**-JH

物理定義物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度

/一般地,設(shè)物體的運(yùn)動猊棒是■=!（/）?則物體在川到這段時間內(nèi)的平均速度為

￥=型》竺:國如果”無限短近于ON.至無限召近于某個需數(shù)入我mat說當(dāng)“

"aa

無限趨近于。時，”的fit!反是匕這時。就是物體在時刻，=”時的UI時速度，即2時

瞬Ar

時

數(shù)學(xué)速用，，彳））

速s=lEZ-|E"+”——2

定義八速度〃^一

度J—一"€>----------------------------------------

①本值%氏貫量4=，?+<V）—|（一）.

②氽4均電<心稱

[③我■”或及.當(dāng)"無山?近千0”.當(dāng)無"近于箝*奴。中為?”速度.即L也1當(dāng)

\*腱步舞八aSa

如JR當(dāng)so時.平均變化，衿1型的近于T*定的供.即￥寺極禮則稱尸y"）在外可導(dǎo).

井杷這個■定的他叫做處的導(dǎo)數(shù)（也稱為闞變化的.記作/仁）或丁lr?

BPrg).g￥.83必土4座2

定義…JkxAx

在------G

某

tA.r=/(J??+Ar)/(.￥?).

點

處②#彳均變化率上乂吐2二㈣

的AxAr

導(dǎo)

致解題思路⑶*極限眄專

e

設(shè)X曲1/U曲圖象如圖所示.R線心是

過點.”g?/u.?與點63+&r?/t*?+Ax））的

割線

—條例線,此制線的和率是若W之一e2o

導(dǎo)數(shù)

的數(shù)F=/U）在點*=4處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義最曲線P=#O在點

幾

的

意

何汽皿，月。））處的切蝶的斜率.

義

切線斜率曲線『=人工>在點網(wǎng)）向的切線的斜率是/*8）.相應(yīng)地.

切線方料為jr-/U?）=/pr?Mr-x?）.

第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶

、_

知識點一：函數(shù)的平均變化率

1、定義：一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間國,巧]上的平均變化率為：/C，表示為

函數(shù)/（X）從占到々的平均變化率，若設(shè)想=%一2，\y=/（W）-fW則平均變化率

Ay_/(工2)一/(芭)_/(玉+&)一/(2)

79-=-------------=-------------------

?x2-x,AK

2、求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：

①作差：求出△)，=/(12)-/(M)和-=々一內(nèi)

②作商：對所求得的差作商，即丁二」~乙」-.

3,平均變化率的幾何意義

Ay/d"1)

平均變化率/=▲—匕―如圖：表示直線AB的斜率。

AYX2-xi

知識點二：函數(shù)產(chǎn)/⑴在Xr。處的導(dǎo)數(shù)(瞬時變化率)

1、定義：函數(shù)/(X)在X=%處瞬時變化率是lim電=lim+.)-"/),我們稱

&->0Ax&->0Ax

它為函數(shù)y=/(6在X=/處的導(dǎo)數(shù)，記作/'(%)或ME。即

/，(公尸如包:如4％+心)—/(?%).

Ar->0AKA，T。AX

2、定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：

④求函數(shù)的增量：Ay=f(x()+^)-f(x())；

⑤求平均變化雙"=/(入。+一)-/6)：

ArAx

⑥求極限，得導(dǎo)數(shù)：/3°)=lim包=lim7"°+二)一.

&—0Ax1-*0AX

知識點三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

如圖,在曲線＞'=f(x)上任取一點P。,/*))P(x,f(x))，如果當(dāng)點P(xJ(x))沿著曲線

y=fM無限趨近于點4(%,/(%))時，割線P.P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位

.f(x)-f(x)

置的直線P.T稱為曲線y=/(A-)在點外處的切線則割線P.P的斜率k=J------0

知識點四：曲線的切線問題

1、在型求切線方程

己知：函數(shù)/(好的解析式.計算：函數(shù)在x=Z或者(凡,"％))處的切線方程.

步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)/(不)(方法：把人=/代入原函數(shù)/(幻中)，切點

(%，/(/)).

第二步：計算切線斜率％=/'").

第三步：計算切線方程.切線過切點(%,/(%)),切線斜率攵=/'(%).

根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-f(xj=7'(&)&一天).

2、過型求切線方程

已知：函數(shù)/(幻的解析式.計算：過點(無論該點是否在丁=/(外上)的切線方

程.

步驟：第一步：設(shè)切點凡(%，％)

第二步：計算切線斜率左=/'(%)：計算切線斜率攵=①也；

占一/

第三步：令：％=/'(%)='二&,解出/,代入々=/(玉))求斜率

第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：)，-%=/'(工0)。-%).

第三部分：課前自我評估測試

1.（2023?全國?高二課時練習(xí)）某物體的運(yùn)動路程s（單位：加）與時間，（單位：s）

的關(guān)系可用函數(shù)5（。=/+，+1表示，則該物體在，=ls時的瞬時速度為（）

A.Om/sB.lm/sC.2m/sD.3m/s

答案：D

【詳解】該物體在時間段［1,1+加］上的平均速度為

生「（1+4）-（1）=（1+4）2+（1+&）+1-（12+1+1）=3+4,當(dāng)。無限趨近于。時，3+4

△/△，△/

無限趨近于3,即該物體在l=ls時的瞬時速度為3m/s.

故選：D

2.（2023?全國?高二課時練習(xí)）已知函數(shù)），=/"）,若廣?。?-3,則］而叢上叫乜?=

Joh

答案：-3

【詳解】依題意，lim小%叫二3=/（%）=一3.

h—Oh7

故答案為：-3

3.（2023?全國?高二課時練習(xí)）已知函數(shù)），=/（?,其中/（幻=/-1,此函數(shù)在區(qū)間［I,間上

的平均變化率為3,則實數(shù)機(jī)的值為.

答案：2

【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間［1,向上的平均變化率為：

△）,_/（6）一/（1）_（〃-一1）一（『一1）_利+］

Axtn-\m-1

"7+1=3

解得：tn=2

故答案為：2.

4.（2023?河南?鄭州四中高三階段練習(xí)（文））如圖，已知直線/是曲線y=/（x）在x=3處

的切線，則（（3）的值為.

【詳解】由已知勺=一;一（1）=_:,所以尸⑶=-?.

3—033

故答案為：-;.

5.（2023?全國?高二單元測試）試求過點p（1,-3）旦與曲線），=/相切的直線的斜率.

答案：-2或6

【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為（為先），則有治=看.

因為y'=lim包=lim=2工,所以氏=2%.

20.Ar-*0Ar

切線方程為y-%=4（x-Xo），將點（1，-3）代入,得-3-片=2/-2片,

所以x：-2x0-3=。，得$=T或%=3.

當(dāng)/=-1時，k=-2；當(dāng)/=3時，k=6.

所以所求直線的斜率為-2或6.

第四部分：典型例題剖析

重點題型一：求物體運(yùn)動的平均速度及瞬時速度

角度L平均速度

典型例題

例題1.（2023?全國?高二課時練習(xí)）某物體沿水平方向運(yùn)動，其前進(jìn)距離s（米）與時

間/（秒）的關(guān)系為s"）=5/+2?,則該物體在運(yùn)動前2秒的平均速度為（）

13

A.18米/秒B.13米/秒C.9米/秒D.5米/秒

答案：C

【詳解】???$（/）=5/+2/2,

該物體在運(yùn)動前2秒的平均速度為s⑵/（°）=罷=9（米/秒）.

22

故選：c.

例題2.(2023?陜西?寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末(理))一個物體做直線運(yùn)動，位移*

(單位：m)與時間，(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為$(/)=6/且這一物體在1WY2

這段時間內(nèi)的平均速度為20m/s,則實數(shù)機(jī)的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

答案：A

【詳解】Av=5(2).y(l)=6x2242m(6xl2+m)=18+m,4=2—1=1,

因為物體在l<r<2這段時間內(nèi)的平均速度為20m/s,

所以丫=包=11也=]8+〃z=20m/s,解得〃=?2,

Ar1

故選：A

例題3.(2023?全國?高二課時練習(xí))一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離//(單

位：血)與時間f(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為萬=2*+2/,則:

(1)前3s內(nèi)球的平均速度為m/s；

(2)在/日2,3]這段時間內(nèi)球的平均速度為m/s.

答案：812

【詳解】第一空：由題設(shè)知，A，=3s,△/z=/?(3)—/?(0)=24(m),

即平均速度為v=—=-^=8{m/s).

A/3

第二空：由題設(shè)知，A/=3—2=l(s),△/z=//(3)—/z(2)=12(m),

即平均速度為尸竺=12(m/s).

A/

故答案為：8；12.

同類題型歸類練

1.(2023?全國?高二課時練習(xí))汽車行駛的路程5和時間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時間段

區(qū)川口山「區(qū)⑷上的平均速度分別為匕，嶺，小則三者的大小關(guān)系為()

A.v2=v3<V)B.v,<v2=v3C.9<%<匕D.v2<v3<V]

答案：C

【詳解】由題意得，匕="3#2=38，匕=心一由題圖易知七4<38<4

.,.匕<V2<v3,

故選：C.

2.（2023,全國?高二期末）已知自由落體的物體的運(yùn)動方程為s=；g/，求：

⑴物體在2到，。+Z這段時間內(nèi)的平均速度；

答案：（1）權(quán)（2/0十△，）

⑴解：物體在到，。+加這段時間內(nèi)路程的增量As=gg（"+加因此，物體在這

段時間內(nèi)的平均速度生二權(quán)"。+旬T-=1Af?0+4）=L⑵+△八

角度2：瞬時速度

典型例題

例題1.（2023?西藏?拉薩中學(xué)高二階段練習(xí)（理））某物體做直線運(yùn)動，其運(yùn)動規(guī)律是

3

s（/）=產(chǎn)+：（時間/的單位：5,位移s的單位：〃？）,則它在4s末的瞬時速度為

().

A.—123m/s

B.累m/sC.8m/sD.—m/s

6Io4

答案：B

(4+Ar)2+———16--

【詳解】氐、)4+Al4，

2Ar

(Ar)2+8A/+-3Ar

4(4+4)。3

--------=△/+8-----------

Ar16+4A/

。3125

?rlim—=8----=----

Az1616-

A/fO

故選：B.

例題2.（2023?湖南-高二課時練習(xí)）將原油精煉為汽油、柴油等各種不同產(chǎn)品，需要對

原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果在第皿時，原油的溫度（單位:C）為f（x）=x2-7x+l5（0GW8）.

計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

答案：答案見解析

【詳解】在第2h時，原油溫度的瞬時變化率為：

LIM/(2+N)―/(2)=而(2+，X)2-7(2+M)+15-(5)

2°AD

=lim---------------=hm(—j+AX)=—3，

Ar-?O-xA