2021屆福建省福州市高三數(shù)學(xué)10月調(diào)研A卷試題(教師版含解析)

福州市2021屆高三10月調(diào)研A卷數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則()．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由交集的運算求解即可.【詳解】.故選：D【點睛】本題考查交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則＝()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)，得到，進而得到，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，可得，則.故選：B.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，以及共軛復(fù)數(shù)的概念及應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法運算的法則，以及熟記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.3.設(shè)，則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，再根據(jù)兩個解集包含關(guān)系得結(jié)果.【詳解】,又，所以“”是“”的充分不必要條件，選A.【點睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．4.十六世紀中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，則下列結(jié)論錯誤的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值驗證，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，則，故A正確；若，，滿足，但此時，故B錯；因為，由不等式的可開方性，可得，故C正確；因為函數(shù)為增函數(shù)，由可得，故D正確.故選：B.【點睛】本題主要考查由不等式性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題型.5.已知兩條直線，和兩個平面，，下列命題正確的是()A.若，，且，則B.若，，且，則C.若，，且，則D.若，，且，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線、面垂直平行的關(guān)系，利用空間想象和相關(guān)定理作出注意逐一即可.【詳解】解：若，，且，則，故A正確；若，，且，則與平行或相交，故B錯誤；若，，且，則與平行或相交，所以C錯誤；若，，則，又由，則，故D錯誤.故選A.【點睛】本題考查面面平行、垂直的判定，屬基礎(chǔ)題.關(guān)鍵是要考慮到關(guān)系的各種情況，采用直觀加定理論證相結(jié)合的方式，可以快速作答.6.某校在一次月考中共有800人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分．現(xiàn)已知同學(xué)甲的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，學(xué)校排名為720，同學(xué)乙的數(shù)學(xué)成績?yōu)?20分，那么他的學(xué)校排名約為()A.60 B.70 C.80 D.90【答案】C【解析】【分析】先由題意，求出數(shù)學(xué)成績小于等于90分對應(yīng)的概率，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即可求出數(shù)學(xué)成績大于等于120分的概率，從而可得出排名.【詳解】因為同學(xué)甲的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，學(xué)校排名為720，則數(shù)學(xué)成績小于等于90分對應(yīng)的概率約為，又數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，所以，則成績數(shù)學(xué)成績大于等于120分的學(xué)生約為人，因此若同學(xué)乙的數(shù)學(xué)成績?yōu)?20分，那么他的學(xué)校排名約為80名.故選：C.【點睛】本題主要考查正態(tài)分布對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.7.在邊長為2的等邊中，，則=()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，判定N為BC的靠近C的四等分點，得到在上的投影向量的數(shù)量，進而根據(jù)向量的數(shù)量積與向量的投影的數(shù)量的關(guān)系的到所求向量的數(shù)量積.【詳解】，∴N為BC的靠近C的四等分點，如圖所示，取BC的中點O,連接AO,則AO⊥BC,∴在上的投影向量為,∴，故選：C【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，涉及平面向量的投影，屬基礎(chǔ)題.8.若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．9.已知雙曲線，則下列說法正確的是()A.雙曲線的離心率 B.雙曲線的漸近線方程為C.雙曲線的焦距為 D.雙曲線的焦點到漸近線的距離為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程得到a,b的值，并根據(jù)a,b,c的平方關(guān)系求得c的值，根據(jù)離心率的定義求得e的值，根據(jù)a,b的值寫出漸近線方程，根據(jù)c的值計算焦距2c的值，利用點到直線的距離公式求得焦點到漸近線的距離，然后與各選擇支對照，得出正確答案.【詳解】由雙曲線的方程可得，這是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線，,漸近線方程為,整理得,雙曲線的焦距為,焦點,焦點到漸近線的距離為,故AB正確，CD錯誤，故選：AB.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.10.已知曲線：，：，則下面結(jié)論正確的是()A.把曲線向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到曲線B.把曲線向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到曲線C.把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線D.把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線【答案】AD【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式把化簡得，，然后利用三角函數(shù)圖像變換規(guī)律求解即可詳解】解：，所以將曲線：向左平移個單位長度，得，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到曲線；或?qū)⑶€：上各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到，故選：AD【點睛】此題考查三角函數(shù)圖像變換規(guī)律的應(yīng)用，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11.一盒中有8個乒乓球，其中6個未使用過，2個已使用過．現(xiàn)從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中．記盒中已使用過的球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是()A.X的所有可能取值是3，4，5 B.X最有可能的取值是5C.X等于3的概率為 D.X的數(shù)學(xué)期望是【答案】ACD【解析】【分析】記未使用過的乒乓球為A，已使用過的為B，任取3個球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A；A使用后成為B，故X的所有可能取值是3，4，5，然后求出其對應(yīng)的概率，從而可求出數(shù)學(xué)期望，進而可得結(jié)果【詳解】記未使用過的乒乓球為A，已使用過的為B，任取3個球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A；A使用后成為B，故X的所有可能取值是3，4，5；，，又X最有可能的取值是4，．故選：ACD．【點睛】此題考查離散型隨機變量的概率和數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題12.已知函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)結(jié)論正確的是()A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.的一個周期是C.的最大值為2 D.是區(qū)間上的增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】利用以及誘導(dǎo)公式即可判斷A；利用可判斷B；利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】由，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，所以的最大值為，當時，，取得最大值，所以的最大值為，故C不正確；對于D，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)，且，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，故D正確；故選：ABD【點睛】本題考查了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式，掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.數(shù)列中，，，則的前21項和=_________．【答案】651【解析】【分析】由題意可得數(shù)列是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列求和公式求解即可【詳解】解：因為數(shù)列中，，，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以，故答案為：651【點睛】此題考查等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14.拋物線的準線截圓所得弦長為2，則拋物線的焦點坐標為_________．【答案】(1，0)【解析】【分析】根據(jù)標準方程寫出準線方程，化圓的一般方程為標準形式，得出圓心和半徑，利用弦長公式得到關(guān)于p的方程，求得p的值，進而得到焦點坐標.【詳解】拋物線的準線為，把圓化成標準方程為，得圓心，半徑，圓心到準線的距離為，所以，即，所以焦點坐標．【點睛】本題考查求拋物線的標準方程中的參數(shù)問題進而求焦點坐標，涉及拋物線的準線和圓的弦長問題，難度較易.15.已知，且，則=_________．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式可求得，結(jié)合，即可求得，利用即可求解.【詳解】由，得，即，所以，因為，解得，又，所以，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查了二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.16.在三棱錐中，，，若該三棱錐的體積為，則其外接球表面積的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件底面面積最大時得到高的范圍，再根據(jù)得到，利用單調(diào)性可求得最值.【詳解】，，故底面三角形外接圓半徑為，，，當時等號成立，由，，，當離平面最遠時，外接球表面積最小，此時，在平面的投影為中點，設(shè)球心為，則在上，故，化簡得到，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以．故答案為：.【點睛】本題考查了求內(nèi)接幾何體的問題，球的表面積最小的問題，要有好的空間想象力，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．問題：設(shè)是數(shù)列的前n項和，且，______________，求的通項公式，并判斷是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．【答案】選①，，存在最大值，且最大值為4；選②，，存在最大值，且最大值為50；選③，，不存在最大值，理由見解析．【解析】【分析】選①先判斷是首項為4，公比為的等比數(shù)列，再求，最后分為奇數(shù)和為偶討論，分別判斷存在最大值并求出最大值即可；選②先判斷是首項為4，公差為的等差數(shù)列，再求出，最后判斷存在最大值并求出的最大值；選③先求出，再判斷不存在最大值．【詳解】解：選①：因為，，所以是首項為4，公比為的等比數(shù)列．所以．當為奇數(shù)時，，因為隨著的增大而減小，所以此時的最大值為；當為偶數(shù)時，，且，綜上，存在最大值，且最大值為4．選②：因為，，所以是首項為4，公差為的等差數(shù)列．所以，由于，得，所以存在最大值，且最大值為或，因為，所以的最大值為50．選③：因為，所以，所以，，…，，所以，又，所以，當時，，故不存在最大值．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定、由定義求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、由遞推關(guān)系求通項公式、數(shù)列的前n項和的最值問題，還考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．18.中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)記BC邊上的高為h，求；(2)若，，求．【答案】(1)2；(2)，或．【解析】【分析】(1)利用正弦定理和兩角和的正弦公式即可求得，再利用正弦定理和三角形的面積公式，即可求解.(2)由(1)得，的面積，可得，再利用余弦定理可得，兩式平方相加即可得關(guān)于的方程，解方程即可求出的值.【詳解】(1)由已知及正弦定理得，，即，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，即．(2)由(1)得，的面積，所以，即①，又由余弦定理，得，即②，所以，即，解得，或【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.19.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到改善．為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積(單位：公頃)和某種野生動物的數(shù)量的關(guān)系，將該地區(qū)分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，．(1)求樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并用相關(guān)系數(shù)說明各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積的相關(guān)性．(2)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】(1)，由于0.94接近1，說明各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性；(2)更合理的抽樣方法是分層抽樣．理由見解析．【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)，利用相關(guān)系數(shù)公式計算相關(guān)系數(shù)，與1比較接近，進而得到強正相關(guān)的結(jié)論；(2)根據(jù)實際差異情況，決定采用何種抽樣方式.【詳解】(1)樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為，由于0.94接近1，說明各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性．(2)更合理的抽樣方法是分層抽樣．理由如下：由(1)知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法能較好地保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計．【點睛】本小題主要考查相關(guān)系數(shù)計算與應(yīng)用、根據(jù)實際情況決定抽樣方法的選擇.屬基礎(chǔ)題.20.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，M，N分別為A1C1，AB1中點．(1)求證：MN//平面B1BCC1；(2)若P是B1B的中點，AP⊥MN，求二面角A1-PN-M的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明平面，要注意步驟的完整性；(2)建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間向量的坐標運算求得二面角的余弦值.【詳解】解析：(1)證法一：連接A1B，因為四邊形A1B1BA是平行四邊形，所以A1B與AB1交于點N，連接BC1，在△A1BC1中，N是A1B中點，M是A1C1中點，所以MN//BC1，又平面，平面，所以平面．證法二：取的中點，連接，則有，且，，且，又，，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．(2)在平面內(nèi)過點作射線垂直于，易知，，兩兩垂直，如圖，以A為原點，分別以AB，l，AA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)，則，因為，所以，解得，又因為，所以，解得(舍去負值)，所以．設(shè)為平面的一個法向量，因為，所以取，則，又為平面的一個法向量，所以，所以二面角的余弦值為．【點睛】本題考查線面平行的判定定理，利用空間向量求面面角問題，屬基礎(chǔ)題，難度一般，關(guān)鍵是要嚴格準確掌握線面平行的判定定理，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并進行認真細致準確的運算．21.設(shè)函數(shù)．(1)若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；(2)若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．【答案】(1)，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；(2)的取值范圍為；證明見解析．【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究極值的條件，求得a的值，并將導(dǎo)函數(shù)通分和分解因式，得到導(dǎo)函數(shù)的正負區(qū)間，進而得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)利用導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系，采用分類討論的方法，求得a的取值范圍，根據(jù)極值點滿足的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合對數(shù)的運算，得到，進而求得極值之和，根據(jù)極值存在的條件證得最終的結(jié)論.【詳解】(1)，依題意有，故．經(jīng)檢驗滿足題意．，的定義域為，，當時，；當時，；當時，．所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．(2)的定義域為，．方程的判別式．若，即，在的定義域內(nèi)，故無極值．若，則或．當，，，當時，，當時，，所以無極值．當，，，也無極值．若，即或，則有兩個不同的實根，．當時，，從而在的定義域內(nèi)沒有零點，故無極值．當時，，，在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，可知在取得極