高考數學重難點培優(yōu)全攻略(新高考專用)微重點05數列的遞推關系(2大考點+強化訓練)(原卷版+解析)

微重點05數列的遞推關系（2大考點+強化訓練）數列的遞推關系是高考重點考查內容，作為兩類特殊數列——等差數列、等比數列，可直接根據它們的通項公式求解，但也有一些數列要通過構造轉化為等差數列或等比數列，再利用公式求解，體現化歸思想在數列中的應用．知識導圖考點分類講解考點一：構造輔助數列規(guī)律方法(1)形如an＋1－an＝f(n)的數列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數列{an}的通項公式．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數列，常令n分別為1,2,3，…，n－1，代入eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)個等式相乘，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求數列{an}的通項公式．(3)形如an＋1＝eq\f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的數列，取倒數可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(p,q)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(p,q)，構造等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))求通項公式．(4)若數列{an}滿足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，構造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．(5)若數列{an}滿足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，構造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．【例1】（2024·陜西·二模）已知正項數列滿足對任意正整數n，均有，，則（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三下·陜西安康·階段練習）各項均為正數的數列，滿足，，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·廣東佛山·二模）設數列的前項之積為，滿足（），則（

）A． B． C． D．【變式3】(2023·呂梁模擬)已知Sn為數列{an}的前n項和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，則S100等于()A．2100－3 B．2100－2C．2101－3 D．2101－2考點二:利用an與Sn的關系規(guī)律方法在處理Sn，an的式子時，一般情況下，如果要證明f(an)為等差(等比)數列，就消去Sn，如果要證明f(Sn)為等差(等比)數列，就消去an；但有些題目要求求{an}的通項公式，表面上看應該消去Sn，但這會導致解題陷入死胡同，這時需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．【例2】（2024·山西呂梁·一模）設各項均為正數的數列的前項和為，前項積為，若，則．【變式1】（2024·福建漳州·一模）已知各項均不為0的數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）記數列的前n項和為，若是等差數列，，則（

）A． B． C．0 D．4【變式3】已知Sn是數列{an}的前n項和，a1＝3，且當n≥2時，Sn，eq\f(nan,2)，Sn－1成等差數列．(1)求數列{an}的通項公式；(2)設數列{bn}滿足bn＝1－eq\f(9,a\o\al(2,n))，若b2·b3·…·bn＝eq\f(89,176)，求正整數n的值．強化訓練一、單選題1．（2024·河南開封·二模）已知數列的前n項和為，則（

）A．81 B．162 C．243 D．4862．（2024高三·全國·專題練習）若數列滿足且，則的值為（）A．3 B．2 C． D．3．（23-24高三上·廣東湛江·期末）在數列中，，且，當時，，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西西安·一模）記數列的前n項積為，且，若數列滿足，則數列的前20項和為（

）A． B． C． D．5．（2024·山西臨汾·一模）已知數列滿足：，設，則（

）A． B． C． D．6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知數列，滿足，，，則（

）A． B． C． D．7．（23-24高三上·江蘇·階段練習）設數列的前項和為，且，記為數列中能使成立的最小項，則數列的前2023項和為（

）A． B． C． D．8．（23-24高三下·浙江·開學考試）已知數列滿足，且對任意均有.記的前項和為，則（

）A．28 B．140 C．256 D．784二、多選題1．（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前項和公式為，則下列說法正確的是（）A．數列的首項為B．數列的通項公式為C．數列為遞減數列D．數列為遞增數列2．（23-24高三上·山東·期中）已知數列滿足，，則的值可能為（）A．1 B． C． D．3．（23-24高三上·浙江溫州·期末）已知數列滿足，，若，，，則的值可能為（

）A．－1 B．2 C． D．－2三、填空題1．（2024高三·全國·專題練習）已知在正項數列中，，則數列的通項公式為.2．（2024高三下·全國·專題練習）數列滿足，則．3．（2024·廣東廣州·一模）已知數列的前項和，當取最小值時，.四、解答題1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知數列的前項和為且．(1)求的值；(2)求數列的通項公式．2．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習）設各項都不為0的數列的前項積為，，.(1)求數列的通項公式；(2)保持數列中的各項順序不變，在每兩項與之間插入一項（其中），組成新的數列，記數列的前項和為，若，求的最小值.3．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習）設為數列的前項和，已知，且為等差數列．(1)求證：數列為等差數列；(2)若數列滿足，且，求數列的前項和．4.（2024·云南·一模）已知為等比數列，記分別為數列的前項和，，.(1)求的通項公式；(2)是否存在整數，使對任意正整數都成立？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由.5．（23-24高三上·山西·期末）已知數列的首項，且.(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前項和.微重點05數列的遞推關系（2大考點+強化訓練）數列的遞推關系是高考重點考查內容，作為兩類特殊數列——等差數列、等比數列，可直接根據它們的通項公式求解，但也有一些數列要通過構造轉化為等差數列或等比數列，再利用公式求解，體現化歸思想在數列中的應用．知識導圖考點分類講解考點一：構造輔助數列規(guī)律方法(1)形如an＋1－an＝f(n)的數列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數列{an}的通項公式．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數列，常令n分別為1,2,3，…，n－1，代入eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)個等式相乘，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求數列{an}的通項公式．(3)形如an＋1＝eq\f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的數列，取倒數可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(p,q)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(p,q)，構造等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))求通項公式．(4)若數列{an}滿足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，構造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．(5)若數列{an}滿足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，構造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．【例1】（2024·陜西·二模）已知正項數列滿足對任意正整數n，均有，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據數列遞推式推出，以及，由此即可求得答案.【詳解】由題意知正項數列滿足對任意正整數n，均有，，故，，故，故，故選：B【變式1】（23-24高三下·陜西安康·階段練習）各項均為正數的數列，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用累加法可得數列的通項公式，進而可得與.【詳解】由已知，可得，，，，，，等式左右分別相加可得，又，即，所以，又數列的各項均為正數，所以，所以，故選：A.【變式2】（2024·廣東佛山·二模）設數列的前項之積為，滿足（），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知遞推式可得數列是等差數列，從而可得，進而可得的值．【詳解】因為，所以，即，所以，所以，所以，所以數列是首項為，公差為2的等差數列，所以，即，所以．故選：C．【變式3】(2023·呂梁模擬)已知Sn為數列{an}的前n項和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，則S100等于()A．2100－3 B．2100－2C．2101－3 D．2101－2【答案】D【解析】由an＋1＋an＝3×2n得，an＋1－2n＋1＝－(an－2n)．又a1－21＝－1，所以{an－2n}是首項為－1，公比為－1的等比數列，所以an－2n＝(－1)n，即an＝2n＋(－1)n，所以S100＝21＋22＋…＋299＋2100＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)99＋(－1)100＝eq\f(21－2100,1－2)＋0＝2101－2.考點二:利用an與Sn的關系規(guī)律方法在處理Sn，an的式子時，一般情況下，如果要證明f(an)為等差(等比)數列，就消去Sn，如果要證明f(Sn)為等差(等比)數列，就消去an；但有些題目要求求{an}的通項公式，表面上看應該消去Sn，但這會導致解題陷入死胡同，這時需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．【例2】（2024·山西呂梁·一模）設各項均為正數的數列的前項和為，前項積為，若，則．【答案】【分析】根據題意化簡可得數列的遞推公式，構造法求出其通項公式，從而求解.【詳解】由得即是以2為首項，2為公比的等比數列.故答案為：【點睛】由遞推公式求通項公式的常用方法：1、累加法求通項

適用于：2、累乘法求通項

適用于：3、構造法求通項

適用于：形如型形如：（其中是常數，且）型形如（其中是常數，且）型【變式1】（2024·福建漳州·一模）已知各項均不為0的數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據與之間的關系分析可得，令即可得結果.【詳解】因為，則，兩式相減可得：，即，令，可得，且，所以.故選：A.【變式2】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）記數列的前n項和為，若是等差數列，，則（

）A． B． C．0 D．4【答案】C【分析】由已知是等差數列，可求得的公差，進而求得的通項公式，可得，利用，計算可得結果.【詳解】因為是等差數列，，所以的公差，所以，所以，所以，故選:C.【變式3】已知Sn是數列{an}的前n項和，a1＝3，且當n≥2時，Sn，eq\f(nan,2)，Sn－1成等差數列．(1)求數列{an}的通項公式；(2)設數列{bn}滿足bn＝1－eq\f(9,a\o\al(2,n))，若b2·b3·…·bn＝eq\f(89,176)，求正整數n的值．【解析】解(1)方法一由題意知當n≥2時，Sn＋Sn－1＝nan，∴Sn＋Sn－1＝n(Sn－Sn－1)，整理得Sn＝eq\f(n＋1,n－1)Sn－1，由S1＝a1＝3，∴Sn＝eq\f(n＋1,n－1)×eq\f(n,n－2)×eq\f(n－1,n－3)×eq\f(n－2,n－4)×…×eq\f(4,2)×eq\f(3,1)×3＝eq\f(3,2)(n2＋n)，經檢驗S1＝3也符合Sn＝eq\f(3,2)(n2＋n)．∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(3,2)(n2＋n)－eq\f(3,2)[(n－1)2＋(n－1)]＝3n.a1＝3也滿足an＝3n，∴數列{an}的通項公式為an＝3n.方法二由題意知當n≥2時，Sn＋Sn－1＝nan，∴當n≥3時，Sn－1＋Sn－2＝(n－1)an－1，兩式相減得an＋an－1＝nan－(n－1)an－1(n≥3)，即(n－1)an＝nan－1，∴eq\f(an,n)＝eq\f(an－1,n－1)(n≥3)，∴當n≥3時，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))為常數列，又由S2＋S1＝2a2得a2＝6，同理可得a3＝9，∴eq\f(a3,3)＝eq\f(a2,2)＝eq\f(a1,1)＝3，∴eq\f(an,n)＝eq\f(a1,1)＝3，即an＝3n，∴數列{an}的通項公式為an＝3n.(2)由(1)得bn＝1－eq\f(9,a\o\al(2,n))＝1－eq\f(1,n2)＝eq\f(n2－1,n2)＝eq\f(n－1,n)×eq\f(n＋1,n)，∴b2·b3·…·bn＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×eq\f(2,3)×eq\f(4,3)×eq\f(3,4)×eq\f(5,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n＋1,n)＝eq\f(n＋1,2n).由eq\f(n＋1,2n)＝eq\f(89,176)，得n＝88.強化訓練一、單選題1．（2024·河南開封·二模）已知數列的前n項和為，則（

）A．81 B．162 C．243 D．486【答案】B【分析】根據給定條件，利用列式計算即得.【詳解】數列的前n項和為，所以.故選：B2．（2024高三·全國·專題練習）若數列滿足且，則的值為（）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據題意依次求得的前若干項，推得為周期數列，從而得解.【詳解】因為且，所以，所以數列具有周期性，且，所以.故選：C.3．（23-24高三上·廣東湛江·期末）在數列中，，且，當時，，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據遞推關系得到，把條件轉化為，從而可得答案.【詳解】因為，，所以，且當時，，所以，所以，所以.因為，所以，所以，故.故選：A.4．（2024·陜西西安·一模）記數列的前n項積為，且，若數列滿足，則數列的前20項和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用遞推公式及前n項積可得，再由累加法可求得，可知數列的通項公式為，即可計算出前20項和為.【詳解】根據題意由可得，所以，兩式相除可得，整理可得，即，所以，，，累加可得，由可得；所以；結合可得，所以；易知符合上式，所以可得；即數列為等差數列，前項和為，因此數列的前20項和為.故選：C5．（2024·山西臨汾·一模）已知數列滿足：，設，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算得出，可求出的通項公式，即可求得的值.【詳解】因為數列滿足：，且，對任意的，為偶數，則，所以，，所以，.故選：A.6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知數列，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據遞推關系，歸納出數列的奇數項與偶數項分別為公比為的等比數列，進而可得數列的通項公式.【詳解】因為，，則，又，則，所以數列的奇數項與偶數項分別為公比為的等比數列，由可得，則數列的各項為，其中奇數項的通項公式為，偶數項的通項公式為，所以數列的通項公式為.故選：D7．（23-24高三上·江蘇·階段練習）設數列的前項和為，且，記為數列中能使成立的最小項，則數列的前2023項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據與的關系，得到數列的通項公式，再根據規(guī)律找到滿足條件能使成立的最小項，并對于不同的值，計算滿足條件的個數，從而求和得解.【詳解】因為，則，兩式相減，得，又當時，，故，所以是以，的等比數列，則，顯然遞減，要使得最小，即要使得最大，令，得.若，則;若，則;若，則若，則;若，則，則，，故選：D.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是推得，從而分類討論的取值范圍，求得對應的值，從而得解.8．（23-24高三下·浙江·開學考試）已知數列滿足，且對任意均有.記的前項和為，則（

）A．28 B．140 C．256 D．784【答案】B【分析】令，得到，令，求得，得出為等差數列，求得，利用累加法求得，再令，得到，求得，得出，即可求解.【詳解】由數列滿足，且，令，可得，即，再令，可得，即數列是公差為的等差數列，又由，可得，即，又由即，所以及，令，可得，代入可得，解得，所以，即數列的通項公式為，所以.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是證明數列是公差為的等差數列，再結合累加法并求出，從而得到，最后計算即可.二、多選題1．（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前項和公式為，則下列說法正確的是（）A．數列的首項為B．數列的通項公式為C．數列為遞減數列D．數列為遞增數列【答案】ABC【分析】利用的關系式，分類討論與兩種情況，求得，從而得解.【詳解】對于A，因為，所以當時，，知A正確；對于B，當時，，當時，也滿足上式，故數列的通項公式為，故B正確；對于CD，，所以數列為遞減數列，故C正確，D錯誤.故選：ABC.2．（23-24高三上·山東·期中）已知數列滿足，，則的值可能為（）A．1 B． C． D．【答案】AD【分析】化簡原式得到的兩種對應關系，然后分類討論的通項公式，由此可得結果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以或，當時，是首項為公比為的等比數列，所以；當時，可得，下面用數學歸納法證明：當時，，成立，當，假設成立，當時，因為，所以，成立，由上可知，成立，此時；當，均在數列中出現時，由可得，B選項不可能；當，時，最大，此時，，故C不可能.故選：AD.3．（23-24高三上·浙江溫州·期末）已知數列滿足，，若，，，則的值可能為（

）A．－1 B．2 C． D．－2【答案】BCD【分析】由題意，結合選項根據的取值，得出對應的遞推公式，利用歸納法求出對應的通項公式，依次驗證即可.【詳解】A：當時，，得，所以數列是以3為周期的周期數列，則，不符合題意，故A錯誤；B：當時，，得，所以，符合題意，故B正確；C：當時，，得，所以，符合題意，故C正確；D：當時，，得，所以，符合題意，故D正確.故選：BCD三、填空題1．（2024高三·全國·專題練習）已知在正項數列中，，則數列的通項公式為.【答案】【分析】依題意易得，即可求得數列的通項公式為.【詳解】根據題意由可得；兩式相減可得，所以，即可得；易知當時，符合上式；所以數列的通項公式為.故答案為：2．（2024高三下·全國·專題練習）數列滿足，則．【答案】【分析】令，得到，結合與的關系，求得，進而求得，得到答案.【詳解】令，的前項和為，因為，可得，當時，；當時，，將代入上式可得，綜上可得，即，所以.故答案為：.3．（2024·廣東廣州·一模）已知數列的前項和，當取最小值時，.【答案】3【分析】根據求得，再結合對勾函數的單調性，即可求得結果.【詳解】因為，則當時，，又當時，，滿足，故；則，又在單調遞減，在單調遞增；故當時，取得最小值，也即時，取得最小值.故答案為：.四、解答題1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知數列的前項和為且．(1)求的值；(2)求數列的通項公式．【答案】(1)99；(2)．【分析】（1）根據的關系，化為，根據并項法求；（2）由遞推關系可得，據此分為奇數、偶數求通項公式，再合并即可得解.【詳解】（1）因為，所以．兩式相減，得．所以；（2）由（1）知①，可得②，．因為，所以，又，所以又由①②得．所以，即為偶數，則當，且為奇數時，，又符合上式，綜合得．2．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習）設各項都不為0的數列的