廣東省東莞市、揭陽市韶關市2024-2025學年高三上學期期末質量檢查數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁東莞市?揭陽市?韶關市2024-2025學年度第一學期期末教學質量檢查高三數(shù)學一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集和補集的定義可求得集合.【詳解】因為，且，因為，則，因此，.故選：B.2.已知向量，若，則（）A. B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據題意可得，再根據向量垂直的坐標運算求解.【詳解】因為向量，則，若，則，解得.故選：C.3.在復平面內，點對應的復數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復數(shù)幾何意義，復數(shù)除法，復數(shù)模定義可得答案.【詳解】點對應的復數(shù)為，則.故選：D4.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式基本量運算以及等差數(shù)列求和公式基本量運算列不等式組求解即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得，故選：A.5.如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動4次，則質點位于原點左側的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算質點移動4次可能的結果，質點質點位于原點左側的可能結果，根據古典概型的概率公式即可求解.【詳解】由題意可得：質點移動次可能的結果有種，質點位于原點左側可能結果為：向左移動4次；向左移動3次，向右移動1次；向左移動4次，共有1種移動情況，為：左左左左；向左移動3次，向右移動1次，共有4種移動情況，為：左左左右，左左右左，左右左左，右左左左；所以質點位于原點左側共5種移動情況，由古典概率公式可得：質點位于原點左側的概率為，故選：A.6.方程在的解的個數(shù)為（）A.10 B.9 C.8 D.4【答案】C【解析】【分析】在同一平面直角坐標系內，作出函數(shù)與函數(shù)圖象，由圖象即可得出結果.【詳解】方程在的解的個數(shù)，即是函數(shù)與函數(shù)圖象在的交點個數(shù)；在同一平面直角坐標系內，作出兩函數(shù)圖象如下：由圖象可得，函數(shù)與函數(shù)圖象在的共8個交點，則方程在的解的個數(shù)為8，故選：C.7.已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過作的兩條漸近線的平行線分別交兩條漸近線于、兩點.若為等腰直角三角形，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出點的坐標，分析可知，結合斜率公式可求出的值，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示：直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點，因為為等腰直角三角形，由對稱性可知，、關于軸，所以，，所以，，所以，，可得，故，故該雙曲線的離心率為，故選：D.8.設函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，可得函數(shù)有相同的零點，由此用表示，再構造函數(shù)并利用導數(shù)求出最小值.【詳解】函數(shù)，令，函數(shù)在定義域上都單調遞增，由，得與同正負，因此函數(shù)與必有相同的零點，由，得，由，得，于是，，，令，求導得，當時，；當時，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，所以的最小值為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：將函數(shù)拆成兩個函數(shù)的積，再由其單調性及不等式可得它們在相同的零點是求解問題的關鍵.二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑.9.已知圓臺上，下底面半徑分別為1，3，母線長為4，則下列正確的有（）A.圓臺的側面積為 B.圓臺的體積為C.母線與底面所成角為 D.存在相互垂直的母線【答案】AC【解析】【分析】利用圓臺的側面積公式即可得到選項A正確；利用圓臺的體積公式得到選項B錯誤；用軸截面的即可得到選項C正確和選項D錯誤.【詳解】設上下半徑和母線長分別為：，對于選項A：利用圓臺的側面積公式，故選項A正確；對于選項B：圓臺的高，再由圓臺的體積公式，故B錯誤.對于選項C：設母線與底面所成角為，則，所以，故C正確.對于選項D：由選項C可知，母線與底面所成角為，因為圓臺是繞著軸截面等腰梯形的對稱軸旋轉得到的，所以任意兩條母線與底面所成角都相等，若兩條母線垂直，則母線與底面所成角為，與前面所求的矛盾，所以不存在互相垂直的母線，故D錯誤.故選：AC10.某同學投擲一枚骰子（一種各個面上分別標有個點的正方體玩具）5次，并將每次向上的點數(shù)記錄下來，計算出平均數(shù)和方差.若這5個點數(shù)的平均數(shù)為2，方差小于4，則關于這5個點數(shù)，下列正確的有（）A.極差小于4 B.一定不會出現(xiàn)6C.眾數(shù)可能為1 D.中位數(shù)可能為3【答案】BC【解析】【分析】根據平均數(shù)和方差可得.對于AC：舉例說明即可；對于B：假設出現(xiàn)6，根據平均數(shù)和方差推出矛盾；對于D：假設中位數(shù)為3，根據平均數(shù)推出矛盾.【詳解】設數(shù)據為，且，因為平均數(shù)，方差，可得.對于選項AB：例如數(shù)據為1，1，1，2，5，則，符合題意，但極差為，眾數(shù)為1，故A錯誤，C正確；對于選項B：假設出現(xiàn)6，由平均數(shù)可知其余4個數(shù)據均為1，但，這與題意相矛盾，假設不成立，所以一定不會出現(xiàn)6，故B正確；對于選項D：假設中位數(shù)為3，則，可得，這與題意相矛盾，假設不成立，所以中位數(shù)不為3，故D錯誤；故選：BC.11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，，且對任意，則下列正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據賦值法，結合原函數(shù)與導函數(shù)的對稱性，奇、偶函數(shù)的定義、函數(shù)周期性進行求解即可.【詳解】由，令，則，因為，所以，故A正確；令，則有①，所以，因為為奇函數(shù)，所以f′x為偶函數(shù)，，所以②，由①—②整理有，即，所以，所以是周期為3的周期函數(shù)，所以，故B正確；因為，所以，故C錯誤；在①中，令，得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填在答題卡的相應位置上.12.已知是拋物線上的一個點，是拋物線的焦點，為坐標原點，若，則__________.【答案】【解析】【分析】先由拋物線的焦半徑公式求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式求出即可.【詳解】拋物線，焦點F1,0，準線方程，設，因為是拋物線上的一個點，所以，又因為，所以.故答案為：.13.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】由兩角差的正弦公式，同角三角函數(shù)關系結合題意可得答案.【詳解】由題，，則，，故故答案為：14.甲，乙，丙，丁4人相互做傳球訓練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一人，經過兩次傳球后，球在乙手中的概率為__________；經過次傳球后，球在甲手中的概率為__________（用含有的式子表示）.【答案】①.②.【解析】【分析】列舉出經2次傳球后的所有可能，再利用古典概率公式計算即可求解第一空，n次傳球后球在甲手上的事件即為，則有，利用全概率公式，結合等比數(shù)列的性質可得第二空.【詳解】第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結果為：甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9個結果，它們等可能，2次傳球后球在乙手中的事件有：甲丙乙，甲丁乙，2個結果，所以概率是，記n次傳球后球在甲手中的事件為，對應的概率為，，，則，于是得，即，而，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，，即，所以n次傳球后球在甲手中的概率是，故答案為：；.【點睛】關鍵點睛：本題第二個空的關鍵點在于設n次傳球后球在甲手上的事件為，則有，利用全概率公式可得，再構造等比數(shù)列求解即可.四?解答題：本大題共5小題，第15題13分，第16?17題各15分，第18?19題各17分，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域內，超出指定區(qū)域的答案無效.15.已知內角的對邊分別為.（1）求的值；（2）若的面積為，且，求的周長.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由二倍角公式結合同角三角函數(shù)關系可得答案；（2）由的面積為，結合余弦定理可得，然后可得答案.【小問1詳解】因為，即，因為，所以，因為，即，所以；【小問2詳解】因為，所以，因為，即，因為，所以，得，所以，所以的周長為.16已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有極小值，且的極小值小于，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）求導，結合導數(shù)的幾何意義求在點處的切線方程；（2）分析和兩種情況，利用導數(shù)判斷單調性和極值，分析可得，構建函數(shù)解不等式即可.【小問1詳解】當時，，所以，.所以在切線，所以切線方程為，即.【小問2詳解】因為，其中，則，①當時，恒成立，此時函數(shù)在上單調遞增，無極小值，②當時，令，可得，列表如下：-0+遞減極小值遞增所以，由題意可得，即，令，則.因為，所以函數(shù)在單調遞增，所以由，得，所以實數(shù)的取值范圍是.17.如圖，已知平面，平面平面.（1）證明：平面；（2）若，且平面與平面的夾角的余弦值為，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）根據面面垂直的性質可得平面，即可得線線垂直，進而根據線面垂直的判定即可求解，（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據向量的夾角公式求解，或者理由線面垂直得，，從而為平面與平面的夾角，利用三角形的邊角關系即可求解.【小問1詳解】證明：過點作，垂足為.因為平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，又因為平面平面，所以，又因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】（方法一）因為平面，所以，又因為平面.所以如圖，以點為坐標原點，分別以，過點且平行的直線，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，因為，所以，則，設平面的法向量為n=x,y,z則，得，令，則平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，得，令，則平面的一個法向量為.設平面與平面的夾角為，則，解得，即的長為1.（方法二）取中點，在中，過點作交于點，連接因為平面平面，所以，因為為中點，所以，又平面平面，所以平面.因為平面平面，所以，又平面平面，所以平面又因為平面，所以，又因為，所以為平面與平面的夾角.在中，為中點，因為，因為平面與平面的夾角的余弦值為，即，所以，所以，在中，，在和中，，所以，即的長為1.18.已知橢圓的左，右焦點分別為，下頂點為A，離心率，是橢圓上的動點，且當時，.（1）求橢圓的方程；（2）若的平分線經過點，①證明：直線恒過定點；②求面積的最大值.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）由離心率可得，然后由可得橢圓方程；（2）①設，由角平分線性質可得，然后設的方程為，由韋達定理結合可得，據此可得答案；②由①結合韋達定理可得面積表達式，，然后由基本不等式可得答案.【小問1詳解】因為離心率，所以，所以，解得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】由的平分線經過點，得到的斜率都存在且不相等，點A的坐標為，設，點的坐標為，所以，化簡得到由已知得直線的不平行于軸，設的方程為，聯(lián)立方程組，得①，由，得到，所以，得，根據韋達定理得，化簡得，即或.又當時，直線經過點A，不符合題意，所以，直線經過定點，②將代入方程①得，由，解得..則，當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值為.【點睛】關鍵點睛：對于角平分線，常見的處理方式為利用斜率，或類似于本題將角平分線條件轉化為角平分線距離到角兩邊距離相等.19.記數(shù)列的前項的最小值為，稱數(shù)列為的“數(shù)列”.（1）若，求由數(shù)列的“數(shù)列”的所有項組成的集合；（2）若數(shù)列都只有4項，是的“數(shù)列”，滿足，且存在，使得，求符合條件的數(shù)列的個數(shù)；（3）若的“數(shù)列”為，記，從，中任取3個，記其中能被2整除且不能被4整除的個數(shù)為，求.【答案】（1）；（2）20個.（3）【解析】【分析】（1）判斷出數(shù)列單調性，結合新定義可得答案；（2）分、且、且討論可得答案；（3）求出、，及、、，，可得中能被2整除，但不能被4整除的有個，再求，可得.【小問1詳解】因為，所以，當時，，當時，，所以，所以，當時，，所以數(shù)列的“數(shù)列”所有項組成的集合為；小問2詳解】①若，則有1個，②若且，則有種可能，有3個，③若且，則兩者相同有種，兩者不同，則共