海南省三亞市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)機(jī)密★啟用前三亞市2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)學(xué)業(yè)水平診斷考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識(shí)確定正確答案.【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到是否定結(jié)論而不是否定條件，所以命題“，”的否定為“，”，A選項(xiàng)正確.故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可判斷其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A3若向量，，且，則（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】【分析】借助向量的線性運(yùn)算及共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，由，可得，故，即，則.故選：C4.已知隨機(jī)事件和互斥，且，.則（）A.0.2 B.0.3 C.0.8 D.0.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式可求得，利用對(duì)立事件概率公式求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)榕c互斥，則，可得，所以.故選：C．5.函數(shù)的最小正周期和最大值分別為（）A.，1 B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式以及輔助公式可得，再利用正弦函數(shù)的周期公式，結(jié)合正弦函數(shù)的最值即可得答案.【詳解】，故的最小正周期為，最大值為.故選：C6.已知過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線與圓交于，兩點(diǎn)（為圓心），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式求得面積的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的面積最大時(shí)直線的斜率.【詳解】設(shè)直線l的方程為：，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)，所以，當(dāng)時(shí)，面積S最大，這時(shí)，整理得，解得，所以直線的斜率為．故選：B7.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】由在上單調(diào)遞增及在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，滿足在上單調(diào)遞增，且，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由題意需滿足，解得；當(dāng)時(shí)，由題意需滿足，解得；綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A8.在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線的左頂點(diǎn)，為雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，記，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由點(diǎn)在雙曲線上得到，再由圖中角度關(guān)系結(jié)合兩角差的正切展開(kāi)式得到，然后結(jié)合已知得到，最后由離心率的齊次式得到結(jié)果；【詳解】設(shè)，則，，，則，①則，所以，，所以，②將①代入②得，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率（或正切值）為，再結(jié)合兩角差的正切展開(kāi)式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為夯實(shí)科技支撐，打造高水平“天府糧倉(cāng)”，推動(dòng)農(nóng)業(yè)科技園區(qū)高質(zhì)量發(fā)展，遂寧國(guó)家農(nóng)業(yè)科技園區(qū)在射洪市青崗鎮(zhèn)文化村建設(shè)釀酒專用糧品種繁育中試熟化基地，在高產(chǎn)示范片中選擇3個(gè)高粱品種代表性地塊進(jìn)行挖方測(cè)產(chǎn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)了解得到該優(yōu)良品種高粱的畝產(chǎn)量的樣本期望（單位：千克），樣本標(biāo)準(zhǔn)差，已知該園區(qū)未改良前原品種高粱的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，假設(shè)改良后新品種高粱的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，[若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則]，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性分別判斷各選項(xiàng).【詳解】由題意可知，服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，，所以，，故A正確，B正確；，所以C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則（）A.是的極小值點(diǎn)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，【答案】BD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值點(diǎn)判斷選項(xiàng)A；通過(guò)證明得函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn)判斷選項(xiàng)B；利用函數(shù)單調(diào)性判斷選項(xiàng)C；利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小判斷選項(xiàng)D．【詳解】函數(shù)，，令，解得或，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；對(duì)B．，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)D．當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞增，故，故D正確．故選：BD11.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)用的門(mén)把手，其造型可以看作圖中的曲線的一部分，則（）A.點(diǎn)在上B.將在軸上方的部分看作函數(shù)的曲線，則是的極小值點(diǎn)C.過(guò)作的切線，其與的交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)D.在軸左邊的部分到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均大于【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)將代入曲線方程可判斷A的正誤，通過(guò)的導(dǎo)數(shù)f′x，然后求解的解，可判斷B的正誤，求出切線方程與曲線方程聯(lián)立，可判斷C的正誤，設(shè)曲線上的點(diǎn)為，則到原點(diǎn)的距離可化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)求出最小值與比較,可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A，將點(diǎn)代入曲線方程中，得到，即，所以點(diǎn)在上，因此，選項(xiàng)A正確;對(duì)于B，由于曲線在軸上方的部分是函數(shù)的曲線，則，當(dāng)時(shí)，得到，因此，不是的極小值點(diǎn)，所以，選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；對(duì)于C，由B中可知，設(shè)切線方程為，即.將切線方程代入曲線方程中，得到：，即，顯然x=1是方程的根，，.解得：或，因此，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)的解為，，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，g(?2)=?2，g63所以，設(shè)曲線上的點(diǎn)為，設(shè)的解為，則，則，到原點(diǎn)的距離為，由可得，令，，令，解得：，因?yàn)?，所以取，?dāng)時(shí)，，?x單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，?x單調(diào)遞減，?x0=所以當(dāng)時(shí)，，,選項(xiàng)D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】利用通項(xiàng)中的指數(shù)確定，然后可得.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)，所以含的項(xiàng)為第4項(xiàng)，即，所以的系數(shù)是.故答案為：13.若正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】由得，則有，利用基本不等式可求最小值.【詳解】由得，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案：214.光學(xué)是物理學(xué)的重要研究領(lǐng)域，點(diǎn)光源是抽象化的物理概念，指從一個(gè)點(diǎn)向周圍空間均勻發(fā)光的光源.如圖1所示，有一點(diǎn)光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出長(zhǎng)方形的影像，此時(shí)點(diǎn)光源發(fā)光所形成的空間圖形是以為頂點(diǎn)，以長(zhǎng)方形為底面的四棱錐.已知，，，直線平行于屏幕邊界.如圖2所示，將圖1的屏幕以直線為旋轉(zhuǎn)軸向箭頭方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，屏幕上映出的影像從長(zhǎng)方形變成了梯形，則四棱錐的體積為_(kāi)_____.【答案】72【解析】【分析】重新作出棱錐，如圖，平面與平面所成二面角是，，再取取中點(diǎn)，中點(diǎn)，記，可證明，平面，求出四邊形的面積，并求得到平面的距離（先說(shuō)明在平面上的射影在上）后由體積公式計(jì)算．【詳解】重新作出棱錐，如圖，分別在上且，平面與平面所成二面角是，，因?yàn)?，是矩形，則是中點(diǎn)，也是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，，，，又因?yàn)椋矫?，所以平面，而平面，所以，設(shè)，連接，所以是平面與平面所成二面角的平面角，即，易得，，，，，所以，，即，，所以，從而，中由正弦定理有，，所以，解得，同理得，所以是中點(diǎn)，所以是的中位線，，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，過(guò)作平面的垂直，則垂足在上，，所以，從而到平面的距離為，，所以，故答案為：72．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，.（1）求；（2）求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角得，利用輔助角公式得，根據(jù)角的范圍即可求解.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理及基本不等式求出最大值.【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理，得，而，則，即，即，又，所以，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）及余弦定理，得，而，則，即，又，于是，整理得，解得，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即周長(zhǎng)的最大值為6.16.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有極大值，且極大值大于，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并分類討論參數(shù)，即可得出的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論得出極大值的表達(dá)式，解不等式即可得的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】，①當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，無(wú)遞減區(qū)間，②當(dāng)時(shí)，，可得f′x>0，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，無(wú)遞減區(qū)間，當(dāng)a>0時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橛袠O大值，且極大值大于，故，且在處取極大值，，即，令，恒成立，在0,+∞上單調(diào)遞增，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，因此的取值范圍是．17.如圖，四棱錐中，在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，底面為等腰梯形.其中，，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）過(guò)作，垂足為，建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算可得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，即可證線面垂直；（2）根據(jù)題意分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的投影為點(diǎn)，則平面，過(guò)作，垂足為，則，因?yàn)椋瑒t，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因，則，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，且，平面，可得平面.【小問(wèn)2詳解】若，由（1）可知：，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面法向量為，則，令，則，可得，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，直線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，均在軸上方，且，求證：的值為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸以及直線的傾斜角即可得橢圓方程；（2）找出點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，利用對(duì)稱性聯(lián)立直線和橢圓方程整理表達(dá)式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，可得，，因?yàn)辄c(diǎn)上頂點(diǎn)，直線的傾斜角為，所以中，，則，又，則

，橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，，，設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，如下圖所示：

由對(duì)稱性可知三點(diǎn)共線，且，設(shè)代入橢圓方程整理可得，易知，且，，所以，又，所以，即的值為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．19.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（?。┣螅唬áⅲ┳C明：．【答案】（1）；（2）（?。唬áⅲ┳C明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系，利用關(guān)系及等比數(shù)列定義寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）法一：（ⅰ）由，得，應(yīng)用累加求，（ⅱ）再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)證明不等式；