黑龍江省哈爾濱市第七十三中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁哈田中（哈73中）2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高二學(xué)年開學(xué)測試數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘卷面分值：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須將答案書寫在專設(shè)答題頁規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答.在試題卷上答題無效.5.考試結(jié)束后，只交試卷答題頁.第I卷選擇題（共60分）一?單項(xiàng)選擇題（本題含8小題，每題5分，共40分.每題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.在古典概型中，若A，B為互斥但不對立事件，則（）1.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，即可求解.【詳解】由題意，事件A，B為互斥事件，但不對立事件，根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，可得，故ABC錯(cuò)誤；D正確.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，.故選：B3.已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】A：根據(jù)線面平行的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；B：舉特例進(jìn)行判斷即可；C：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合平行線的性質(zhì)、面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷即可；D：舉特例進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：因?yàn)槠叫杏谕黄矫娴膬蓷l直線可以平行、相交、異面，所以本選項(xiàng)說法不正確；B：設(shè)，當(dāng)，時(shí)，有，顯然不成立，因此本選項(xiàng)說法不正確；C：因?yàn)?，所存在過的平面與相交，設(shè)，因此有，而，所以，而，所以，故本選項(xiàng)說法正確；D：當(dāng)時(shí)，，也可成立，故本選項(xiàng)說法不正確，故選：C4.在中，角，，的對邊分別為，，，向量與平行．若，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和正弦定理的邊角互化，求得，得到，再由余弦定理列出方程，即可求解，得到答案．【詳解】由題意知，向量，所以，由正弦定理可得，又，則，即，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，由余弦定理，即，即，解得（?fù)根舍去），故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及合理應(yīng)用正弦定理的“邊角互化”，以及余弦定理列方程是解答的關(guān)鍵著重考查了轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算、求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5.隨著互聯(lián)網(wǎng)和物流行業(yè)的快速發(fā)展，快遞業(yè)務(wù)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中不可或缺的重要組成部分.下圖是2012-2020年我國快遞業(yè)務(wù)量變化情況統(tǒng)計(jì)圖，則關(guān)于這年的統(tǒng)計(jì)信息，下列說法正確的是（）2012-2020年我國快遞業(yè)務(wù)量變化情況A這年我國快遞業(yè)務(wù)量有增有減B.這年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的中位數(shù)為C.這年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的極差未超過D.這年我國快遞業(yè)務(wù)量平均數(shù)超過億件【答案】D【解析】【分析】對于A，由條形圖有變化進(jìn)行判斷即可；對于B，先對這9年的增速排列，找到第5個(gè)數(shù)就是中位數(shù)；對于C，求出極差進(jìn)行判斷；對于D，從條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務(wù)量遠(yuǎn)超過億件，從而可得平均數(shù)超過億件【詳解】由條形圖可知，這年我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，故錯(cuò)誤；將各年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速按從小到大排列得：，，，，，，，，，故中位數(shù)為第個(gè)數(shù)，故錯(cuò)誤；這年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的極差為，故錯(cuò)誤；由條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務(wù)量遠(yuǎn)超過億件，故快遞業(yè)務(wù)量的平均數(shù)超過億件，正確.故選：D6.已知向量，則“”是“與夾角為銳角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示，由題設(shè)條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要條件即可得答案.【詳解】由題設(shè)：當(dāng)時(shí)，，，注意當(dāng)時(shí)，，故充分性不成立.當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，，解得，故必要性成立.故選：B.7.在中，，則是（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法，可得答案.【詳解】由題意可得，則為等邊三角形.故選：B.8.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺?掇球壺?石飄壺?潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)．如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的容積約接近于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)R為圓臺(tái)下底面圓半徑，r為上底面圓半徑，高為，則，，，，故選：B．二?多項(xiàng)選擇題（本題含4小題，每題5分，共20分.每題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意）9.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事件是A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義逐一對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】“至少有一個(gè)黑球”中包含“都是黑球，A正確；“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”可能同時(shí)發(fā)生，B正確；“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，C不正確；“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，D不正確.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件，解題關(guān)鍵是要理解互斥事件的定義，側(cè)重考查對基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.10.在中，角，，的對邊分別為，，，則下列各組條件中使得有唯一解的是（）A.B.C.D.，，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)所給條件，結(jié)合正弦定理、余弦定理，求得其余的邊長或角，判斷三角形是否唯一即可.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，結(jié)合，唯一確定；對于B，由正弦定理得，.因?yàn)椋?，所以此時(shí)B只有一個(gè)解，唯一確定；對于C，由正弦定理得，.因?yàn)?，所以，且，所以此時(shí)B在中有兩個(gè)解，不唯一；對于D，由余弦定理知，，代入得，解得或（舍），唯一確定；故選：ABD11.下列說法中錯(cuò)誤的有（）A.兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向B.已知不能作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底C.已知向量，向量在向量上的投影向量是D.若非零向量滿足，則與的夾角是【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解A，根據(jù)共線以及基底的定義即可求解B，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解C，根據(jù)模長以及夾角公式即可求解的D.【詳解】對于A,兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向,正確，對于B，由于，故，則與共線，故不能作為基底，B正確，對于C,在向量上的投影向量是，故C錯(cuò)誤，對于D,非零向量滿足：，故，故與夾角是，D錯(cuò)誤，故選：CD12.如圖，在長方體中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面截長方體所得截面為等腰梯形B.平面平面C.直線與所成的角為D.平面【答案】ABC【解析】【分析】利用空間中的直線與平面的位置關(guān)系的判定定理，以及異面直線所成角的概念與計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，可得，且，又因?yàn)?，所以，且，所以過平面截長方體所得截面為等腰梯形，所以A正確；對于B中，在長方體中，平面，且平面，所以平面平面，所以B正確；對于C中，取的中點(diǎn)，連接，可得，所以為直線與所成的角，因?yàn)椋傻?，即為等邊三角形，所以，所以C正確；對于D中，若平面，又由平面，則平面平面，而平面平面，矛盾，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.第II卷非選擇題（共90分）三?填空題（本題含4小題，每題5分，共20分）13.從三男三女6名學(xué)生中任選2名（每名同學(xué)被選中的概率均相等），則2名都是女同學(xué)的概率等于_________．【答案】【解析】【分析】利用組合知識(shí)求出基本事件總數(shù)以及符合條件的基本事件，再由古典概型可得結(jié)果.【詳解】從3男3女共6名同學(xué)中任選2名,有15種基本事件，2名都是女同學(xué)有種基本事件，故其概率為.【點(diǎn)睛】在求解有關(guān)古典概型概率的問題時(shí)，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個(gè)基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.14.在中，，，，則________；________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；再利用誘導(dǎo)公式可得出的值.【詳解】在中，，，，由余弦定理可得，因?yàn)?，則，故.故答案為：；.15.如圖所示，某炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面C處和D處，已知CD＝6000m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時(shí)測得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，則炮兵陣地到目標(biāo)的距離是________m．(結(jié)果保留根號(hào))．【答案】1000m【解析】【分析】先在、中利用正弦定理求出、值，再在中利用勾股定理進(jìn)行求解．【詳解】∵∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∴∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理可得，∴AD＝.在△BCD中，由正弦定理得，∴BD＝.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2＝BD2＋AD2，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力和基本運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.為了研究問題方便,有時(shí)將余弦定理寫成:,利用這個(gè)結(jié)構(gòu)解決如下問題:若三個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足,，，則_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)ΔABC的角、、的對邊分別為、、，在ΔABC內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，利用余弦定理得出ΔABC的三邊長，由此計(jì)算出ΔABC的面積，再利用可得出的值.【詳解】設(shè)ΔABC的角、、的對邊分別為、、，在ΔABC內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，ΔABC的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，問題的關(guān)鍵在于將題中的等式轉(zhuǎn)化為余弦定理，并轉(zhuǎn)化為三角形的面積來進(jìn)行計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題.四?解答題（本題含6小題，17題10分，18-22題12分，共70分）17.為了更好地制定今年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入，力爭早日脫貧的工作計(jì)劃，某地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了去年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）【答案】17.4【解析】【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，列式計(jì)算年平均收入.【詳解】由頻率分布直方圖，得，所以這50位農(nóng)民的年平均收入千元.18.某學(xué)生語、數(shù)、英三科考試成績，在一次考試中排名全班第一的概率：語文為，數(shù)學(xué)為，英語為，問一次考試中（Ⅰ）三科成績均未獲得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少【答案】（Ⅰ）三科成績均未獲得第一名的概率是（Ⅱ）恰有一科成績未獲得第一名的概率是【解析】【詳解】試題分析：解：分別記該生語、數(shù)、英考試成績排名全班第一的事件為，則（Ⅰ）答：三科成績均未獲得第一名的概率是（Ⅱ）（）答：恰有一科成績未獲得第一名的概率是考點(diǎn)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的概率計(jì)算．點(diǎn)評(píng)：注意事件的相互獨(dú)立性，利用公式加以計(jì)算．19.已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.（1）若，且，求；（2）若，且與垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量平行的坐標(biāo)表示求得，進(jìn)而得到，再利用向量的模長公式即可得解；（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到與，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示列式即可得解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，，所以，，，所?【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，，又與垂直，所以，即，則.20.如圖，是邊長為3的正方形，平面與平面所成的角為.（1）求證：平面；（2）求與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理即可得證；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，得到所需各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量的夾角公式即可得解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槭钦叫?，所以，又，平面，所以平面，【小?詳解】因?yàn)槭钦叫?，所以，又平面，故建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榕c平面所成角為，平面，所以是與平面所成角，則，所以，因?yàn)椋瑒t，故，，則，，，，所以，，則，所以與所成角的余弦值為.21.在中，，，分別是角，，的對邊，，.（1）求角的大小及外接圓的半徑的值；（2）若是的內(nèi)角平分線，當(dāng)面積最大時(shí)，求的長，【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出，最后由正弦定理求出外接圓的半徑.（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得到面積最大值，從而求出與，再由正弦定理計(jì)算可得.【小問1詳解】在中，由正弦定理及，得，由余弦定理得，又，所以，由正弦定理得，所以.【小問2詳解】在中，由（1）知，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)時(shí)，，，此