山東省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)山東名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得答案.【詳解】由題意得，所以其共軛復(fù)數(shù)為.故選：B2.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】∵，∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線的斜率．設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線的傾斜角為，則，∴．故選：D.3.定義區(qū)間的長(zhǎng)度為，設(shè)，若對(duì)于任意，不等式的解集所包含區(qū)間長(zhǎng)度之和恒為3，則k的值為（）．A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】原不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合“三個(gè)”二次的關(guān)系，得到原不等式的解集，由韋達(dá)定理及題意可列出方程求解.【詳解】不妨設(shè)，原不等式等價(jià)于，整理得:，因?yàn)?，可設(shè)方程的兩根為,令,則的零點(diǎn)為，原不等式即.因?yàn)?0,結(jié)合二次函數(shù)圖像，可知：.則不等式的解集為,則此解集的區(qū)間長(zhǎng)度之和為,因?yàn)橛身f達(dá)定理可得，，所以此不等式的解集的區(qū)間長(zhǎng)度之和為,解得k=1，故選：A4.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，且，則的離心率是（A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，再結(jié)合雙曲線的定義可得，設(shè)，在中，利用余弦定理求出，再利用雙余弦定理得出的關(guān)系式，即可得解.【詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，故，在中，由余弦定理得，，解得（舍去），所以，因?yàn)?，所以，即，即，整理得，所以，即的離心率是.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.5.某汽車集團(tuán)從2023年開(kāi)始大力發(fā)展新能源汽車，2023年全年生產(chǎn)新能源汽車2000輛，每輛車?yán)麧?rùn)為1萬(wàn)元.如果在后續(xù)的幾年中，經(jīng)過(guò)技術(shù)不斷創(chuàng)新，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的，每輛車的利潤(rùn)都比前一年增加1000元，則生產(chǎn)新能源汽車6年的時(shí)間內(nèi)，該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)約為（假設(shè)每年生產(chǎn)的新能源汽車都能銷售出去，參考數(shù)據(jù)：）（）A.2.291億 B.2.59億 C.22.91億 D.25.9億【答案】B【解析】【分析】由題意可求得第n年每輛車的利潤(rùn)為萬(wàn)元，第n年新能源汽車的銷量，從而利用錯(cuò)位相減法法求出6年的總利潤(rùn).【詳解】設(shè)第n年每輛車的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則每輛車的利潤(rùn)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，設(shè)第n年新能源汽車的銷量為輛，則該汽車的銷量構(gòu)成首項(xiàng)為2000，公比為的等比數(shù)列，所以，設(shè)該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)為S萬(wàn)元，則①，②，①﹣②得，所以萬(wàn)元即億元，所以該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)約為億元.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)題意抽象出兩個(gè)數(shù)列，再利用錯(cuò)位相減法即可得解.6.函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，分析可得f′x≥0在定義域0,+∞上恒成立，同構(gòu)結(jié)合單調(diào)性可得，構(gòu)建【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?,+∞，，且，若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則f′x≥0在定義域可得，構(gòu)建，則，因?yàn)樵诙x域0,+∞上單調(diào)遞增，可知在定義域0,+∞上單調(diào)遞增，可得，即，構(gòu)建，則，令?′x>0，解得；令?′可知?x在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，則可得，所以實(shí)數(shù)a的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題1.分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．2.函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；7.已知函數(shù)（且），若函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)至少有對(duì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，轉(zhuǎn)化為與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有3對(duì)，分和兩種情況，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到不等式，求出答案.【詳解】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，依題意，與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有3對(duì)，若，畫(huà)出與的圖象，如下：顯然兩函數(shù)圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意；若，畫(huà)出與的圖象，如下：需滿足，解得.綜上，可得實(shí)數(shù)取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)，解題關(guān)鍵在于：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有個(gè)，通過(guò)作圖，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.8.在中，已知為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件依次可求得邊和角的三角函數(shù)值，從而將向量等式化簡(jiǎn)，利用平面向量基本定理得到，最后利用常值代換法即可求得.【詳解】由①，由和正弦定理可得②，把②代入①可得，，又由可得代入①可得，，則角是銳角，，代入①可得，，又由余弦定理，得，于是，，因?yàn)榫€段上的一點(diǎn)，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查正、余弦定理，平面向量基本定理和向量數(shù)量積運(yùn)算，以及基本不等式得應(yīng)用，屬于難題.解決此類題，一般從各個(gè)邊、角的等式轉(zhuǎn)化入手，運(yùn)用相關(guān)公式或定理各個(gè)擊破，得出一系列信息，最后借助于主干條件，如此題的得出，從而使問(wèn)題得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.命題“”的否定是“”B.若不等式的解集為，則C.當(dāng)時(shí)，的最小值是5D.“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定，A正確；B選項(xiàng)，由不等式解集得到的根為，且，由韋達(dá)定理得到方程組，求出，得到B正確；C選項(xiàng)，換元后，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)推出關(guān)系得到D正確.【詳解】選項(xiàng)A，“”的否定是“”，A正確；對(duì)于B：若不等式的解集為，可知的根為，且，則，解得，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，令，可得，由?duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以沒(méi)有最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，能推出，而不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：ABD.10.在正方體中，，，則（）A.若，則點(diǎn)的軌跡為線段B.若，則點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段C.若，則三棱錐的體積為定值D.若，則與平面所成角的余弦值的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷AB選項(xiàng)；利用空間向量法求點(diǎn)到直線的距離與線面角的余弦值可判斷CD選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，因?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，則點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，則點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱錐的體積為定值，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，其中，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，且，則，因此，當(dāng)時(shí)，則與平面所成角的余弦值的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任意一點(diǎn)，稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作A.，則B.為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡為圓C.已知點(diǎn)，直線，則D.定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)切比雪夫距離的定義直接運(yùn)算判斷A；設(shè)，分析得且等號(hào)至少有一個(gè)成立判斷B；設(shè)點(diǎn)可得，討論得對(duì)應(yīng)的距離，再由函數(shù)的性質(zhì)求得最小值判斷C；根據(jù)定義得，再根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行討論，求得軌跡方程，即可判斷D.【詳解】A：由，則，故，對(duì)；B：設(shè)，且，則，等號(hào)至少有一個(gè)成立，故軌跡如下正方形，錯(cuò)；C：設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)最小值為，當(dāng)，即或時(shí)，，無(wú)最小值，綜上，，對(duì)；D：定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，滿足，則，顯然方程所表示曲線關(guān)于原點(diǎn)和對(duì)稱，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，有，得，當(dāng)時(shí)，有，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，有，則，綜上，的軌跡如下圖，以原點(diǎn)為中心的兩支折線，由圖知，點(diǎn)的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，對(duì).故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：B、D中根據(jù)題設(shè)新定義得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并畫(huà)出軌跡草圖，數(shù)形結(jié)合分析判斷為關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知命題p：“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】通過(guò)求解來(lái)確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對(duì)于二次函數(shù)，.根據(jù)題意，令，即得成立，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.在三角形中，點(diǎn)P為邊上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q為直線上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)O和點(diǎn)P不重合），且滿足，則______．【答案】##【解析】【分析】由題意作圖，利用平面向量的線性運(yùn)算，以為基底表示，結(jié)合共線，可得答案.【詳解】由已知，，，共線，所以，．故答案為：.14.已知函數(shù)；在數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的取值范圍為_(kāi)__________【答案】【解析】【分析】首先求，再求乘積，利用裂項(xiàng)相消法，即可求和，再利用單調(diào)性，求和的取值范圍.【詳解】在數(shù)列中，，，即，，即有，，則由于，遞增，可得，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，再利用誘導(dǎo)公式即正弦的和角公式求解；（2）把轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，利用余弦定理及三角函數(shù)單調(diào)性分析的范圍，最后再利用二次函數(shù)的單調(diào)性求范圍.小問(wèn)1詳解】根據(jù)正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，所?【小問(wèn)2詳解】由余弦定理可知：，因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，所以，，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以時(shí)，取得最小值，并且，所以的范圍是.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可；（2）要證，即證，將指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)分離，即證；構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)及中間函數(shù)得證.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，f′x>0；當(dāng)時(shí)，f故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，要證，即證，即證.令函數(shù)，則，令，解得或，當(dāng)時(shí)，?′x<0；當(dāng)時(shí)，?所以?x的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,+則，所以.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則，所以，故，即當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，得證17.如圖，在四棱錐中，且，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，（1）平面平面（2）若直線與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求二面角的正弦值的最小值【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直可得平面，即可根據(jù)面面垂直的判定求證，（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得為直線與平面所成角的平面角且為的重心，即可建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角以及換元法得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn),連接,由于，是的中點(diǎn)，故,又,平面，故平面，平面，故平面平面【小問(wèn)2詳解】過(guò)作于點(diǎn)，由于平面平面，且兩平面的交線為,平面，故平面，因此為直線與平面所成角的平面角，故,平面，平面，故，又平面，故平面，平面，故，結(jié)合可知為的垂心，由于底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，故為等邊三角形，因此為的重心，,以建立軸，過(guò)平面的垂線作為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于，則,故，則設(shè),故，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)二面角的平面角為，則，令則,，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為，因此的最小值為，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來(lái)度量，平面角的作法常見(jiàn)的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；（2）空間向量法：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都有（為非零常數(shù)），則稱數(shù)列為“和等比數(shù)列”，其中為和公比.若是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且是“和等比數(shù)列”，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的和公比;（2）求;（3）若不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）4（2）（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，由題意，化簡(jiǎn)可得值；（2）由（1）得，用錯(cuò)位相減法求和；（3）設(shè)，，按的奇偶性分類求解可得參數(shù)范圍．【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則，所以，因?yàn)槭恰昂偷缺葦?shù)列”，所以，即，對(duì)任意恒成立，所以，解得，所以的和公比為4；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，所以，相減得，所以；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，，是遞增數(shù)列，不等式對(duì)任意的恒成立，即不等式對(duì)任意的恒成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，綜上，的取值范圍是．19.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比.已知橢圓與橢圓：相似.（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)為上異于其左?右頂點(diǎn)，的一點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，過(guò)分別作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值；②當(dāng)時(shí)，若直