湖北省襄陽市2025屆高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁襄陽市優(yōu)質(zhì)高中2025屆高三聯(lián)考試題數(shù)學(xué)命題人：覃凌霄學(xué)校：宜城一中審題人：陳新學(xué)校：老河口一中審題人：包晏東學(xué)校：曾都一中考試時(shí)間：2025年1月22日下午14：30—16：30試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號等在答題卷上填寫清楚．選擇題答案用2B鉛筆在答題卷上把對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，非選擇題用0.5mm的黑色簽字筆在每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)做答，答在試題卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先對等式進(jìn)行變形，將用已知式子表示出來，然后化簡式子得到的最簡形式，最后從最簡形式中找出虛部.【詳解】已知，那么.化簡的表達(dá)式即：因?yàn)椋裕涸谥?，虛部?故選：D.2.已知x∈R，則“”是“”的（）條件A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】先求解分式不等式，再結(jié)合充要條件定義判斷即可.【詳解】解不等式，得，由，可得，所以“”是“”的充要條件.故選：A.3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由題意，根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得、，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為；等比數(shù)列的公比為.由，得，即，所以；由，得，即，所以，所以.故選：B4.已知，則（）A. B.5 C. D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，先運(yùn)用二倍角公式，可得，再結(jié)合正切函數(shù)的兩角差公式，即可求解．【詳解】因?yàn)椋郧?，所以﹔又，所以.故選：D5.某學(xué)校在一次調(diào)查“籃球迷”的活動(dòng)中，獲得了如下數(shù)據(jù)，以下結(jié)論最準(zhǔn)確的是（）男生女生籃球迷9020非籃球迷60300.100.050.010.0052.7063.8416.6357.789附：A.有99.5%的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)B.有99%的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷.【詳解】依題意可得列聯(lián)表如下：

男生女生合計(jì)籃球迷9020110非籃球迷603090合計(jì)15050200所以，所以沒有99%的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)，進(jìn)而沒有99.5%的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)，A,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，最準(zhǔn)確的是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)，D選項(xiàng)正確.故選：D.6.已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為在方向上的投影向量為，且，則（）A.2 B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義，即可求解.【詳解】在方向上的投影向量為，即，①在方向上的投影向量為，即，②由①②得，又，所以.故選：C7.已知直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出兩直線交點(diǎn)的軌跡方程，然后根據(jù)圓的性質(zhì)，計(jì)算圓心到軌跡上點(diǎn)的距離，進(jìn)而得出的最大值.【詳解】對于直線，可變形為.令，解得，所以直線恒過定點(diǎn).對于直線，可變形為.令，解得，所以直線恒過定點(diǎn).直線的斜率（，時(shí)垂直于軸），直線的斜率.因?yàn)椋?，那么點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，，則點(diǎn)軌跡圓的半徑.圓，其圓心，半徑.圓心到點(diǎn)軌跡圓圓心的距離.最大值為圓心距加上兩個(gè)圓的半徑，即.故選：C.8.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.254 D.2025【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性和所給等式推出函數(shù)的周期，再結(jié)合已知區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式求出一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)值的和，最后利用周期計(jì)算所給式子的和.【詳解】由是偶函數(shù)推出的性質(zhì)，因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，即，對于任意都成立，那么.用代替，可得，即.又因?yàn)椋瑒t關(guān)于直線對稱，所以.由和可得，再用代替，得到，即，而，所以，進(jìn)而，所以函數(shù)的周期是.已知當(dāng)時(shí)，...因?yàn)閳D象關(guān)于直線對稱，所以，...，，.則.因?yàn)?，其中是余?shù).所以.，故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格．某校學(xué)生參加體育測試，其中甲班女生的成績X與乙班女生的成績Y均服從正態(tài)分布，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】運(yùn)用正態(tài)分布的概念，概率性質(zhì)，逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對于正態(tài)分布，方差，則.已知，這里，那么，而不是，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對于正態(tài)分布，期望.已知，這里，所以，選項(xiàng)B正確.因?yàn)檎龖B(tài)分布，則，.根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，，，，即，那么，選項(xiàng)C正確.對于，；對于，.對應(yīng)的，對應(yīng)的.根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，值越大，對應(yīng)的概率越大，因，所以，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.有最小值B.當(dāng)時(shí)，的圖象在點(diǎn)處的切線方程是C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)D.若，則【答案】AD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可判斷B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值，討論，即可判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，可得在區(qū)間恒成立，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可判斷D.【詳解】，得，當(dāng)時(shí)，f′x<0，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f′x>0所以函數(shù)的最小值為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，即，故B錯(cuò)誤；由A可知，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，x>?2?x?ex>e?2?x，所以，F(xiàn)所以時(shí)，，即，，若，，不妨設(shè)，即，，且由A可知，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，即，故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是D選項(xiàng)，屬于極值點(diǎn)偏移問題，問題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.11.已知曲線上的點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為，則下列說法正確的是（）A.恰好經(jīng)過個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）B.當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，C.上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為D.上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的取值范圍為【答案】ABC【解析】【分析】由兩點(diǎn)間距離公式得到分段函數(shù)的解析式，再作圖象，由解析式中的范圍可得B錯(cuò)誤；由的取值范圍代入表達(dá)式可得A正確；由點(diǎn)到直線的距離公式可得C正確；由曲線C的性質(zhì)可得D正確.【詳解】設(shè)曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)F0,1的距離與到定直線的距離之和為，則，即，整理或，畫出曲線的圖象如下圖所示：對于B選項(xiàng)，當(dāng)即；當(dāng)即，故B正確；對于A選項(xiàng)，由B可得可取、、、，當(dāng)時(shí)，或，無整點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，或，整點(diǎn)為、2,1；當(dāng)時(shí)，或，無整點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，或，整點(diǎn)為、0,4.所以共有個(gè)整點(diǎn)，故A正確；對于C選項(xiàng)，作直線的平行線，當(dāng)平行線過點(diǎn)，兩平行線間距離最大，即，故C正確；對于D選項(xiàng)，上的點(diǎn)到定直線的距離范圍為，則上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)的取值范圍去掉絕對值符號，得到分段函數(shù).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，則雙曲線的離心率為______．【答案】2【解析】【分析】由得，根據(jù)雙曲線的定義得，結(jié)合離心率的概念即可求解.【詳解】由，，得，又，所以.故答案為：213.已知展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，現(xiàn)將展開式中的各項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率為______．【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出，再求出展開式的有理項(xiàng)項(xiàng)數(shù)，利用不相鄰的排列問題求解即得.【詳解】依題意，，解得，因此二項(xiàng)式的展開式共7項(xiàng)，展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，是有理項(xiàng)，則展開式的有理項(xiàng)共4項(xiàng)，所以將展開式中的各項(xiàng)重新排列，其中有理項(xiàng)互不相鄰的概率.故答案為：14.如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，若，則四面體體積的最大值為______．【答案】4【解析】【分析】先確定點(diǎn)的軌跡，確定四面體體積最大時(shí)，點(diǎn)的位置，再利用錐體的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，且，所以平?又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.又在正方形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)軌跡是如圖所示的以為直徑的半圓，作于，則是三棱錐的高.所以當(dāng)?shù)拿娣e和都取得最大值時(shí)，四面體的體積最大.此時(shí)點(diǎn)應(yīng)該與或重合，為正方形的中心.當(dāng)點(diǎn)與重合，為正方形的中心時(shí)，如圖：此時(shí)，，所以；當(dāng)點(diǎn)與重合，為正方形的中心時(shí)，如圖：此時(shí)，，.綜上可知，當(dāng)四面體的體積的最大值為4.故答案為：4【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)得到點(diǎn)在以為直徑的球面上，又點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)軌跡就是球面與平面的交線上，即以為直徑的半圓上.明確點(diǎn)軌跡是解決問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是菱形，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可.【小問1詳解】連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又因?yàn)?，所以是正三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，又平面平面，平面平面平面，所以平面平面，所以，又因?yàn)?，，所以又，平面，所以平面，又平面，所以．【小?詳解】連接，因?yàn)?，所以，則兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值．16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）若，求；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)正弦定理計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)余弦定理可得，則，進(jìn)而，求得，結(jié)合兩角和的正弦公式和二倍角公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理得，又，所以，得．又，所以；【小問2詳解】，由余弦定理得所以或，當(dāng)時(shí)，，解得，則，與已知矛盾，故，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，解得，由于在上單調(diào)遞減，故，所以，．所以的取值范圍為．17.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與坐標(biāo)軸不垂直，在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在點(diǎn)【解析】【分析】（1）先確定的值，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上和的關(guān)系，可求的值，確定橢圓的方程.（2）先設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，得到與，再設(shè)，利用可化簡求出的值，得到點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由，則，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.小問2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)直線的方程為，設(shè)Ax1,如圖：聯(lián)立，得，易知，則，，由，則，即，即，即整理得則整理得，解得，所以存在點(diǎn)，使得．18.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為（2）（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，求出?x在上的單調(diào)性可得答案；（3）求出，令，分、討論函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】由函數(shù)，可得，，當(dāng)x∈?1,1時(shí)，在?1,1上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，在1,+故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為1,+∞；【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)不同的變號零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．，令，開口向下，對稱軸為，?x在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，所以；【小問3詳解】由函數(shù)，可得，令，當(dāng)時(shí)，gx>0，即在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，所以函?shù)區(qū)間0,1上沒有零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為直線，由，解得，當(dāng)時(shí)，gx<0在區(qū)間0,1即在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間0,1上沒有零點(diǎn)，不符合題意．綜上可得，，設(shè)使得gx0當(dāng)x∈0,x0當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，要使得函?shù)在區(qū)間0,1上存在唯一零點(diǎn)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第三問函數(shù)在區(qū)間0,1上存在唯一零點(diǎn)，需要結(jié)合