人力資源規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

-問題描述

公司有以下三種工作人員：不熟練工、半熟練工和熟練工。公司目前已經(jīng)擁

有一批工作一年以上的職員，通過對(duì)未來三年的工作量預(yù)測(cè)得到了未來幾年的各

類職員的需求表格（如下表）。

類別不熟練半熟練熟練

當(dāng)前擁有200015001000

第一年100014001000

第二年50020001500

第三年025002000

表1當(dāng)前擁有的各類職員數(shù)量及后三年需要的數(shù)量（人）

為滿足這些需求，公司可以考慮以下四種人事變動(dòng)途徑：（1）招聘職員；（2）

培訓(xùn)職員；（3）辭退多余職員（4）用暫時(shí)工。公司出于對(duì)不同公司目標(biāo)的前提

下，提出問題：

問題一：如果公司的目標(biāo)是盡量減少辭退職員。提出相應(yīng)的招聘和培訓(xùn)計(jì)劃。

問題二：如果公司的政策是盡量減少費(fèi)用，則額外費(fèi)用和辭退的職員人數(shù)將

會(huì)怎樣變化。

二問題分析

公司為了滿足公司職員的帚要，將考慮一下四種途徑：招聘職員、培訓(xùn)職員、

辭退職員、招暫時(shí)工。然而由于人材具有流動(dòng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，每年都會(huì)存在員工自

然跳槽的事件發(fā)生。公司可與根據(jù)職員的發(fā)展?jié)摿Χ鴮?duì)職員進(jìn)行培訓(xùn)，也可以把

一些能力不足的職員進(jìn)行將等處理，而對(duì)于那些能力太差的職員，公司將采取辭

退職員的措施。由于員工跳槽具有隨機(jī)性，所以公司可以在任意時(shí)刻針對(duì)員工跳

槽后采取額外招聘來填充缺少的職員。

對(duì)于問題一，公司的目的是盡量減少辭退公司職員。而我們先分析三類職員

在未來幾年的需求情況:不熟練員工逐年減少，半熟練和熟練員工具有逐年增加

的趨勢(shì)。公司為了減少辭退職員，也就是說三類職員中辭退的職員總數(shù)應(yīng)該取最

小值。而為了達(dá)到公司的目的，就應(yīng)該充分利用公司內(nèi)部職員，不進(jìn)行額外招聘、

不招暫時(shí)工，而且要盡量不從公司外招聘職員。

對(duì)于某一個(gè)崗位來說，原有的職員中會(huì)有職員進(jìn)行跳槽，在招進(jìn)來的新人中

也有一些人會(huì)跳槽，同公司會(huì)對(duì)一些比較有發(fā)展?jié)摿Φ穆殕T進(jìn)行培訓(xùn)，同樣，

公司也可能對(duì)一些職員進(jìn)行降等處理和辭退處理。正是有了這些人事變動(dòng)才構(gòu)成

了這一崗位職員人數(shù)的變化。

此時(shí)對(duì)于每一類職員，都有這樣一個(gè)數(shù)量關(guān)系：前一年的所有職員中除去跳

槽的人數(shù)+招聘的新人中除去跳槽的人數(shù)-本級(jí)培訓(xùn)到上一級(jí)職員的人數(shù)+下一級(jí)

職員培訓(xùn)到本級(jí)的人數(shù)-辭退職員的人數(shù)-本級(jí)降等到下一級(jí)的職員人數(shù)+上一級(jí)

降等到本級(jí)的職員人數(shù);下一年的總工作職員數(shù)。

而有一些崗位上的人事變動(dòng)是有一定限制的。公司根據(jù)未來幾年工作量的預(yù)

測(cè)而設(shè)置的一些條件，比如：需求量限制，招聘限制，培訓(xùn)限制。還有一些是隱

含的限制條件，比如：辭退和降等的人數(shù)不能超過原有崗位人數(shù)，所有參預(yù)人事

變動(dòng)的崗位都必須至少為0.

通過對(duì)問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的挖掘，便可以得出問題一的盡量減少辭

退員工方案模型。

對(duì)于問題二，公司的目的是盡量減少費(fèi)用，此時(shí)再也不考慮職員的多少，最

終目標(biāo)是盡可能減少費(fèi)用。為達(dá)到這樣的目的，我們可以把額外招聘和暫時(shí)工

考慮

在內(nèi)。而減少費(fèi)用也可以認(rèn)為是減少額外費(fèi)用，而額外費(fèi)用的構(gòu)成主要有培訓(xùn)費(fèi)、

辭退費(fèi)、額外招聘附加費(fèi)、暫時(shí)工的工資。相對(duì)于問題一來說，問題二增加了額

外招聘和暫時(shí)工兩個(gè)崗位，目標(biāo)函數(shù)和約束條件也需要做相應(yīng)的改變。

此時(shí)對(duì)于每一個(gè)崗位上的職員來說，都有這樣一個(gè)數(shù)量關(guān)系：前一年所有職

員中除去跳槽的人數(shù)+招聘的新人中除去跳槽的人數(shù)-本級(jí)培訓(xùn)到上一級(jí)職員的

人數(shù)+下一級(jí)職員培訓(xùn)到本級(jí)的人數(shù)-辭退職員的人數(shù)-本級(jí)降等到下一級(jí)的職員

人數(shù)+上一級(jí)降等到木級(jí)的職員人數(shù)+額外招聘中除去跳槽的職員人數(shù)+衍時(shí)工人

數(shù)二下一年的總工作人數(shù)。

同樣，在某些崗位上的人事變動(dòng)也是有一定限制的。第一種是公司根據(jù)未來

幾年工作量的預(yù)測(cè)而設(shè)置的一些條件，比如：需求量限制，招聘限制，培訓(xùn)限制，

額外招聘限制、暫時(shí)工招聘限制等。第二種是隱含的限制條件，比如：辭退和降

等的人數(shù)不能超過原有崗位人數(shù)，所有參預(yù)人事變動(dòng)的崗位都必須至少為0.

通過對(duì)問題二的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的挖掘，便可以得出問題二的盡量減少

費(fèi)用方案模型。

三問題假設(shè)

1、初始狀態(tài)假定。將當(dāng)前擁有員工狀況認(rèn)定是為第一年擁有員工的起始狀

態(tài)，對(duì)以后兩年采取相同的方式處理。

2、工資假定。假定公司對(duì)未來三年的人材需求量是根據(jù)對(duì)工作量多少的預(yù)

期而參照制定的；公司新招聘的各類員工（包括正常招聘和額外招聘）與工作一

年以上的員工的基本年薪相同。

3、招聘、辭退計(jì)劃假定。公司的年度招聘、辭退計(jì)劃時(shí)間是相對(duì)固定，不

能隨意變動(dòng)（額外招聘除外）。比如招聘計(jì)劃可采取分年度的年初招聘方式，也

可以采用分季（月）度的季（月）初招聘新員工。同樣，辭退多余職工而采取的

辭退計(jì)劃將隨著招聘計(jì)劃的改變而改變。

4、跳槽假定。公司所有的員工都有可能跳槽，但暫時(shí)工除外。

5、培訓(xùn)假定。假定公司對(duì)員工的培訓(xùn)時(shí)間在一年中的可以忽稍不計(jì)；假定

公司培訓(xùn)員工計(jì)劃也是相對(duì)固定的；根據(jù)企業(yè)的不同追求目標(biāo)，培訓(xùn)員工計(jì)劃與

降等使用員工計(jì)劃這一對(duì)相矛盾的人事變動(dòng)方案在一年中不能同時(shí)浮現(xiàn)。

6、降等假定。假定公司降等使用員工是為滿足因員工的隨機(jī)跳槽，而采用

的一種人事變動(dòng)措施；假定公司對(duì)降等使用的員工和辭退的員工都是工作一年以

上的員工，招聘的新人不參預(yù)降等；在對(duì)熟練員工的降等使用中，公司不會(huì)安排

越兩級(jí)降等使用。

7、額外招聘假定。額外召聘是為應(yīng)對(duì)因員工的隨機(jī)跳槽，而采取彌補(bǔ)職位

空缺的一種方式，這一舉措與公司相對(duì)固定的招聘計(jì)劃時(shí)期不同，即額外招聘與

正常招聘不產(chǎn)生沖突。

說明：以上各種假設(shè)在本文中都合用。

1

四符號(hào)說明

X：計(jì)劃招聘職員數(shù)

X：培訓(xùn)員工數(shù)

21

X：辭退員工數(shù)

31

X：額外招聘員工數(shù)

4i

X：招用暫時(shí)員工數(shù)

Si

X：跳槽員工數(shù)

6i

X：降等使用員工數(shù)

7i

(1=1,2,3,分別表示不熟練工，半熟練，熟練工)

M：第n年不熟練工人數(shù)

(n)

N：第n年半熟練的人數(shù)

(n)

K；第n年熟練的人數(shù)

(n)

(n0,1,2時(shí)分別表示初始年及第n年)

F(x)：公司目標(biāo)為盡量減少辭退職員時(shí)的辭退員工總數(shù)之和

1

Y(x)：公司目標(biāo)為盡量減少辭退職員時(shí)的額外費(fèi)用之和

1

F(x)：公司目標(biāo)為盡量減少費(fèi)用時(shí)的辭退員工總數(shù)之和

2

Y(x):公司目標(biāo)為盡量減少費(fèi)用時(shí)的額外費(fèi)用之和

2

五模型建立

1、盡量減少辭退員工方案

通過對(duì)問題的分析，為達(dá)到公司關(guān)于盡量減少辭退員工的目的，充分挖掘約

束條件，得出以下目標(biāo)函數(shù)與約束條件。

目標(biāo)函數(shù)為：

minx31+x32+x33

約束條件為：

s.t

2

M(n)*(1-10%)+xl1(1-25%)-x2l-x31+x72*50%=M(n+l);

N(n)木(1-5%)+xl2(1-20%)+x21-x22-x32-x72+x73木50%=N(n+1);

K(n)*(1-5%)+xl3(l-10%)+x22-x33-x73=K(n+1);

0<=xll<=500,0<=xl2<=800,0<=xl3<=500;

0<=x21<=200,0<=x22<=K(n)*l/4;

0<=x3K=M(n),0<=x32<=N(n),0<=x33<=K(n);

0<=x72<=N(n),0<=x73<=K(n)

招聘人員為：xll+xl24-xl3;

培訓(xùn)人員為：x21+x22;

辭退員工數(shù)為：Fl(x)=x31+x32+x33；

辭退的額外總費(fèi)用為：

Y1(x)=x21*400+x22*500-x31*200+x32*500+x33*500；

2、盡量減少費(fèi)用方案

通過對(duì)問題的分析，為達(dá)到公司關(guān)于盡量減少費(fèi)用的目的，充分挖掘約束條

件，得出以下目標(biāo)函數(shù)與約束條件。

目標(biāo)函數(shù)為：

minY2(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500

+x41*1500+x42*2000+x43*3000+x51*500+x32*400+x52*400

約束條件為：

s.t

M(n)*(l-10%)+xl1(1-25%)-x2l-x31+x72*50%+x41(1-25%)+x51=M(n+l);

N(n)*(1-5%)+xl2(1-20%)+x21-x22-x32-x72+x73*50%_x42(1-20%)+x52=N(n

+1)；

K(n)*(1-5%)+x13(1-10%)+x22-x33-x73+x43(1-10%)+x53=K(n+1);

0<=x41+x42+x43<=150;

0<=xll<=500,0<=xl2<=800,0<=xl3<=500;

0<=x21<=200,0<=x22<=K：n)*l/4;

0<=x31<=M(n),0<=x32<=N(n),0<=x33<=K(n);

0<=x41<=150,0<=x42<=150,0<=x43<=150;

0<=x52<=50,0<=x52<=50,0<=x53<=5

0<=x72<=N(n),0<=x73<=K(n);

辭退員工數(shù)為：Fl(x)=x31+x32+x33；

額外費(fèi)用為：

Y2(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500

+x41*1500+x42*2000+x43*30004-x51*500+x32*400+x52*400

六模型求解

1、盡量減少辭退員工方案模型求解

把所得的模型化成標(biāo)準(zhǔn)形式：

minFl(x)=x31+x32+x33=(l,1,1)(x31,x32,x33)T

xll*0.75-x21-x31=x72*0.5=M(n+l)-M(n)*0.9;

xl2*0.8+x21-x22-x72+x73*0.5=N(n+l)-N(n)*0.95;

xl3*0.9+x22-x33-x73=K(n+1)-K(n)*0.95;

3

xll<=500,xl2<=800,xl3<=500;

x21<-20,x22<-K(n)*l/4:

x31<=M(n),x32<=N(n),x33<=K(n);

x72<=N(n),x73<=K(n);

xli,x2i,x3i,x7i>=0;

應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)上式進(jìn)行求解(軟件程序見附錄)，可以建立線性

規(guī)劃問題的計(jì)算結(jié)果(表1)。

1=1i=2i=3

人數(shù)不熟練半熟練熟練

n=0n=1n=2n=0n=1n=2n=0n=1n=2

X招聘0000771.152711.1520487.982498.536

1i

X培訓(xùn)200200200250183.026211.526

21

X辭退637.5200.000250.000000000

3i

額外

X

4i招聘

暫時(shí)

X

5i工

X胃等750020072.21085.208

7i

表1（注：表中橫4F表示不考慮的情況，n洞）

2、盡量減少費(fèi)用方案模型求解

把所得的模型改寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：

min

Y2(x)=x21*400+x22*500+x31*200+x32*500+x33*500+x41*1500+x42*2000+x43*3

000+x51*500+x52*400+x53*400;

xll*O.75-x21-x31=x72*0.5=M(n+l)-M(n)*0.9;

xl2*0.8+x21-x22-x72+x73*0.5=N(n+l)-N(n)*0.95;

xl3*0.9+x22-x33-x73=K(n+1)-K(n)*0.95;

0<=x41+x42+x43<=150;

0<=xll<=500,0<=xl2<=800,0<=xl3<=500;

0<=x21<=200,0<=x22<=K(n)*l/4;

0<=x3l<=M(n),0<=x32<=N(n),0<=x33<=K(n);

0<=x41<=150,0<=x42<=150,0<=x43<=150;

0<=x52<=50,0<=x52<=50,0<=x53<=5

0<=x72<=N(n),0<=x73<=K(n);

xli,x2i,x3i,x4i,x5i,x7i>=0;

4

應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)上式進(jìn)行求解（軟件程序見附錄），可以建立線性

規(guī)劃問題的計(jì)算結(jié)果（表2）o

1=1i=2i=3

人數(shù)不熟練半熟練熟練

n=0n='n=2r=0n=In=2n：0n=1n=2

X招聘(00080)8005556500500

1i

X培訓(xùn)(8035.0005C75.00)

21

X辭退81250032C415000(00

3i

額外

X(00000(00

4i招聘

暫時(shí)

X(00000(5050

Si工

X降等?500CI00

7i

表2

七模型結(jié)果分析與檢驗(yàn)

1、盡量減少辭退員工方案模型分析與檢驗(yàn)

公司的目的是為了盡量減少辭退員工。如果要減少辭退人員，就必須在其他

方面盡量少用人，可以采取以下措施：減少招聘人員，增加培訓(xùn)人員，增加降等

人員。而人數(shù)必須是整數(shù)，考慮到需要的人數(shù)是有限的，根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)和上

面的討論，可得以下結(jié)果。

模型最優(yōu)解為：

第一年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、0、0,培訓(xùn)人數(shù)

分別為200、250、0,辭退人數(shù)分別為637、0、0,降等人數(shù)分別為0、75、200。

第二年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、771、488,培訓(xùn)

人數(shù)分別為200、183、0,辭退人數(shù)分別為200、0、0,降等人數(shù)分別為0、0、

72o

第三年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、711、499,培訓(xùn)

人數(shù)分別為200、212、0,辭退人數(shù)分別為250、0、0,降等人數(shù)分別為0、0、

85o

總辭退員工人數(shù)為：Fl（X）=x31+x32+x33=637+200+250=1087

辭退的額外總費(fèi)用為：

Yl（x）=x21*400+x22*500-x31*200+x32*500+x33*500=600*400+645*500+108

7*200=779900

2、盡量減少總費(fèi)用方案模型分析與檢驗(yàn)

公司的目的是為了盡量減少總費(fèi)用，費(fèi)用的構(gòu)成主要有培訓(xùn)費(fèi)、辭退費(fèi)、額

外招聘附加費(fèi)、暫時(shí)工的工資。根據(jù)公司提供的培訓(xùn)費(fèi)用資料，盡量多培訓(xùn)程序

5

員，少培訓(xùn)高級(jí)程序員；再根據(jù)辭退政策及公司目標(biāo)，應(yīng)該盡量多辭不熟練，少

辭半熟練和熟練員工；額外招聘的收費(fèi)較高，在招收范圍內(nèi)盡量少招；由于暫時(shí)

工的工資較低，可以在招收范圍內(nèi)盡量多招。同樣人數(shù)必須是整數(shù)，考慮到需要

的人數(shù)是有限的，根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)和上面的討論，可得以下結(jié)果。

模型最優(yōu)解為：

第一年：不熟練、半熟練、熟練工人的招聘人數(shù)分別為0、0、56,培訓(xùn)人

數(shù)分別為0、0、0,辭退人數(shù)分別