江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.4直線與圓的位置關(guān)系教案含解析

PAGEPAGE1§9.4直線與圓的位置關(guān)系考情考向分析考查直線與圓的位置關(guān)系的推斷，依據(jù)位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值、幾何量的大小等．題型以填空題為主．推斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：eq\o(→,\s\up7(判別式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0?相交；,＝0?相切；,<0?相離.))概念方法微思索1．過肯定點作圓的切線，切線條數(shù)可能有幾種狀況．提示三種狀況，若點在圓上則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應(yīng)有兩條；若點在圓內(nèi)，切線為零條．2．求圓的弦長有幾種常用方法．提示三種．(1)用代數(shù)法求出弦的端點坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式．(2)利用半徑、半弦和圓心到直線的垂線段構(gòu)成的直角三角形．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線與圓有公共點，則直線與圓相交．(×)(2)直線y＝kx＋1和圓x2＋y2＝4肯定相交．(√)(3)過圓O：x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(5)假如直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．(√)題組二教材改編2．[P115T1]圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關(guān)系是________．答案相交解析圓心(1，－2)到直線2x＋y－5＝0的距離為eq\f(|2－2－5|,\r(5))＝eq\r(5)<eq\r(6)，故直線與圓相交．3．[P117習(xí)題T2(3)]若過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為eq\r(2)，則直線l的斜率為________．答案1或eq\f(17,7)解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑r＝1，又弦長為eq\r(2)，∴圓心到直線l的距離d＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，設(shè)直線l的斜率為k，又直線l過點(－1，－2)，∴直線l的方程為y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴eq\f(|2k－3|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(2),2)，即(k－1)(7k－17)＝0，解得k＝1或k＝eq\f(17,7)，則直線l的斜率為1或eq\f(17,7).題組三易錯自糾4．若直線l：x－y＋m＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共點，則m的取值范圍是________________．答案[－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1]解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為(2,1)，半徑為2，圓心到直線的距離d＝eq\f(|2－1＋m|,\r(2))，若直線與圓恒有公共點，則eq\f(|2－1＋m|,\r(2))≤2，解得－2eq\r(2)－1≤m≤2eq\r(2)－1.5．過點A(3,5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為__________________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1,2)，∵OA＝eq\r(3－12＋5－22)＝eq\r(13)>2，∴點A(3,5)在圓外．明顯，當(dāng)切線斜率不存在時，直線與圓相切，即切線方程為x－3＝0，當(dāng)切線斜率存在時，可設(shè)所求切線方程為y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圓心為(1,2)，半徑r＝2，而圓心到切線的距離d＝eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，即|3－2k|＝2eq\r(k2＋1)，∴k＝eq\f(5,12)，故所求切線方程為5x－12y＋45＝0或x－3＝0.6．(2024·蘇北四市摸底)若直線ax＋y＋1＝0被圓x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦長為2，則實數(shù)a的值是________．答案－2解析圓x2＋y2－2ax＋a＝0可化為(x－a)2＋y2＝a2－a，∴圓心為(a,0)，半徑為eq\r(a2－a)，圓心到直線的距離為d＝eq\f(a2＋1,\r(a2＋1))＝eq\r(a2＋1).∵直線ax＋y＋1＝0被圓x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦長為2，∴a2＋1＋1＝a2－a，∴a＝－2.題型一直線與圓的位置關(guān)系的推斷1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是________．答案相交解析因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1.所以直線與圓相交．2．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為________．答案相交解析直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴點(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)，直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交．3．在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，則圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0的位置關(guān)系是________．答案相切解析因為asinA＋bsinB－csinC＝0，所以由正弦定理，得a2＋b2－c2＝0.故圓心C(0,0)到直線l：ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1＝r，故圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0相切．4．(2024·蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江三模)若直線3x＋4y－m＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始終有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案[0,10]解析圓的方程x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以圓心為(－1,2)，半徑r＝1，圓心到直線3x＋4y－m＝0的距離d＝eq\f(|－3＋8－m|,\r(9＋16))＝eq\f(|5－m|,5)，∵直線3x＋4y－m＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始終有公共點，∴0≤eq\f(|5－m|,5)≤1，解得0≤m≤10，∴實數(shù)m的取值范圍是[0,10]．思維升華推斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ推斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可推斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．題型二切線問題例1已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿意下列條件的圓的切線方程．(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)過切點A(4，－1)．解(1)設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0，則eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10)，∴b＝1±2eq\r(5)，∴切線方程為x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，則eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10)，∴m＝±5eq\r(2)，∴切線方程為2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3)，∴過切點A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過切點A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.思維升華解決圓的切線問題的關(guān)鍵是抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系求解．跟蹤訓(xùn)練1已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是________．答案2eq\r(2)解析如圖，由題意知，圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圓心是C(1,1)，半徑為1，由PA＝PB易知，四邊形PACB的面積為eq\f(1,2)(PA＋PB)＝PA，故PA最小時，四邊形PACB的面積最?。捎赑A＝eq\r(PC2－1)，故PC最小時PA最小，此時CP垂直于直線3x＋4y＋8＝0，P為垂足，PC＝eq\f(|3＋4＋8|,5)＝3，PA＝eq\r(PC2－1)＝2eq\r(2)，所以四邊形PACB面積的最小值是2eq\r(2).題型三直線與圓相交問題命題點1圓的弦長例2直線x＋eq\r(3)y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則弦AB的長為________．答案2eq\r(3)解析∵圓x2＋y2＝4的圓心為點(0,0)，半徑r＝2，∴圓心到直線x＋eq\r(3)y－2＝0的距離d＝eq\f(|－2|,2)＝1，∴弦長AB＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).命題點2直線與圓相交求參數(shù)范圍例3已知直線l：kx－y－2k＝0，圓C：x2＋y2－2x－2y－2＝0.(1)求證：無論k取何值，直線l與圓C都有兩個交點；(2)若k＝1，求直線l被圓C截得的弦長；(3)是否存在實數(shù)k，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出實數(shù)k的值；若不存在，請說明理由．(1)證明直線l的方程可化為k(x－2)－y＝0，所以直線l過定點(2,0)．由于22＋02－2×2－2×0－2<0，故點(2,0)在圓C內(nèi)，所以直線l與圓C恒有兩個交點．(2)解當(dāng)k＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心C(1,1)，半徑r＝2.圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以直線l被圓C截得的弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).(3)解存在．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由kx－y－2k＝0與x2＋y2－2x－2y－2＝0消元得(k2＋1)x2－(4k2＋2k＋2)x＋4k2＋4k－2＝0，x1,2＝eq\f(4k2＋2k＋2±\r(4k2＋2k＋22－4k2＋14k2＋4k－2),2k2＋1)，所以x1＋x2＝eq\f(4k2＋2k＋2,k2＋1)，x1x2＝eq\f(4k2＋4k－2,k2＋1).因為以線段AB為直徑的圓過原點，所以x1x2＋y1y2＝0，所以(k2＋1)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，所以(k2＋1)·eq\f(4k2＋4k－2,k2＋1)－2k2·eq\f(4k2＋2k＋2,k2＋1)＋4k2＝0，所以k＝－1±eq\r(2).思維升華(1)直線和圓問題的代數(shù)解法就是聯(lián)立直線方程和圓的方程，通過交點坐標(biāo)滿意的關(guān)系式解題，往往“設(shè)而不求”．(2)弦長問題可采納幾何法，利用半弦、半徑和圓心到弦的垂線段構(gòu)成的直角三角形．跟蹤訓(xùn)練2(1)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則MN＝__________.答案4eq\r(6)解析由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AB⊥BC，故過三點A，B，C的圓以AC為直徑，得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2eq\r(6)，y2＝－2＋2eq\r(6)，所以MN＝|y1－y2|＝4eq\r(6).(2)(2024·江蘇省如東高級中學(xué)等四校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2＝2，直線x＋by－2＝0與圓C相交于A，B兩點，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\r(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，則b的取值范圍是________________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(15),3)))解析設(shè)AB中點為M，則|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\r(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，即2OM≥eq\r(3)×2AM，即OM≥eq\f(\r(3),2)OA＝eq\f(\r(6),2).又直線x＋by－2＝0與圓C相交于A，B兩點，所以eq\f(\r(6),2)≤OM<eq\r(2)，而OM＝eq\f(2,\r(1＋b2))，所以eq\f(\r(6),2)≤eq\f(2,\r(1＋b2))<eq\r(2)，解得1<b2≤eq\f(5,3)，即b的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(15),3))).1．(2024·如皋調(diào)研)已知圓x2＋y2＝9被直線mx＋y－2m－1＝0所截得弦長為3eq\r(2)，則實數(shù)m的值為________．答案1或7解析因為圓x2＋y2＝9的圓心是(0,0)，半徑為3，依據(jù)弦長為3eq\r(2)，所以圓心到直線的距離為d＝eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以d＝eq\f(|－2m－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(3\r(2),2)，解得m＝1或m＝7.2．圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－8＝0的最大距離與最小距離的差是________．答案5eq\r(2)解析圓的方程可化為(x－2)2＋(y－2)2＝(3eq\r(2))2，圓心到直線的距離為eq\f(|2＋2－8|,\r(2))＝2eq\r(2)<3eq\r(2)，故直線與圓相交，最小距離為0，最大距離為3eq\r(2)＋2eq\r(2)＝5eq\r(2).綜上可得，圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－8＝0的最大距離與最小距離的差是5eq\r(2)－0＝5eq\r(2).3．過點P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為________．答案2y＋1＝0解析圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1，以PC＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0.4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B兩點，且△ABC為直角三角形，則實數(shù)a的值為________．答案－1解析因為△ABC為直角三角形，所以BC＝AC＝r＝4，所以圓心C到直線AB的距離為2eq\r(2)，從而有eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝2eq\r(2)，解得a＝－1.5．(2024·徐州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝kx被圓x2＋y2－2mx－2eq\r(3)my＋3m2－1＝0截得的弦長是定值(與實數(shù)m無關(guān))，則實數(shù)k的值為________．答案eq\f(\r(3),3)解析由圓的方程可得(x－m)2＋(y－eq\r(3)m)2＝m2＋1，所以圓心為(m，eq\r(3)m)，R＝eq\r(m2＋1)，圓心到直線的距離d＝eq\f(|\r(3)m－km|,\r(1＋k2))，由題意R2－d2＝m2＋1－eq\f(\r(3)－k2m2,1＋k2)，不論m取何值時，此式為定值，所以當(dāng)eq\f(\r(3)－k2,1＋k2)＝1時，R2－d2為定值1，即k＝eq\f(\r(3),3).6．(2024·蘇州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(－2，0)，點B是圓C：(x－2)2＋y2＝4上的點，點M為AB的中點，若直線l：y＝kx－eq\r(5)k上存在點P，使得∠OPM＝30°，則實數(shù)k的取值范圍是________．答案[－2,2]解析因為點M為AB中點，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)CB＝1，即點M的軌跡為以原點為圓心的單位圓，當(dāng)PM為單位圓切線時，∠OPM取得最大值，所以∠OPM≥30°，從而OP＝eq\f(1,sin∠OPM)≤2，因此原點到直線l：y＝kx－eq\r(5)k的距離不大于2，即eq\f(|－\r(5)k|,\r(k2＋1))≤2，解得－2≤k≤2.7．已知圓O：x2＋y2＝1，若直線y＝eq\r(k)x＋2上總存在點P，使得過點P的圓O的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的最小值為________．答案1解析因為過點P的⊙O的兩條切線相互垂直，所以點P到圓心O的距離為eq\r(2)×1＝eq\r(2)，又因為直線y＝eq\r(k)x＋2上總存在這樣的點P，8．(2024·南通、揚州、淮安、宿遷、泰州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若過點P(－2,0)的直線與圓x2＋y2＝1相切于點T，與圓(x－a)2＋(y－eq\r(3))2＝3相交于點R，S，且PT＝RS，則正數(shù)a的值為________．答案4解析設(shè)過點P(－2,0)的直線方程為y＝k(x＋2)，∵過點P(－2,0)的直線與圓x2＋y2＝1相切于點T，∴eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，不妨取k＝eq\f(\r(3),3)，PT＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴PT＝RS＝eq\r(3)，∵直線y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)與圓(x－a)2＋(y－eq\r(3))2＝3相交于R，S，且PT＝RS，∴圓心(a，eq\r(3))到直線y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a－\r(3)＋\f(2\r(3),3))),\r(\f(1,3)＋1))＝eq\r(\r(3)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2).∵a>0，∴a＝4.9．已知圓C的方程為x2＋y2＝1，直線l的方程為x＋y＝2，過圓C上隨意一點P作與l夾角為45°的直線交l于點A，則PA的最小值為________．答案2－eq\r(2)設(shè)P(cosα，sinα)，則A(cosα，2－cosα)，∴PA＝|2－cosα－sinα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))，∴PA的最小值為2－eq\r(2).方法二由題意可知圓心(0,0)到直線x＋y＝2的距離d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，∴圓C上一點到直線x＋y＝2的距離的最小值為eq\r(2)－1.由題意可得PAmin＝eq\r(2)(eq\r(2)－1)＝2－eq\r(2).10．在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為________．答案eq\f(4,5)π解析由題意得AB為直徑的圓C過原點O，圓心C為AB的中點，設(shè)D為切點，要使圓C的面積最小，只需圓的半徑最短，也只需OC＋CD最小，其最小值為OE(過原點O作直線2x＋y－4＝0的垂線，垂足為E)的長度．由點到直線的距離公式得OE＝eq\f(4,\r(5)).∴圓C面積的最小值為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))))2＝eq\f(4,5)π.11．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O為坐標(biāo)原點，動點P在圓C外，過P作圓C的切線，設(shè)切點為M.(1)若點P運動到(1,3)處，求此時切線l的方程；(2)求滿意條件PM＝PO的點P的軌跡方程．解把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圓心為C(－1,2)，半徑r＝2.(1)當(dāng)l的斜率不存在時，此時l的方程為x＝1，C到l的距離d＝2＝r，滿意條件．當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，得l的方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，則eq\f(|－k－2＋3－k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(3,4).∴l(xiāng)的方程為y－3＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－15＝0.綜上，滿意條件的切線l的方程為x＝1或3x＋4y－15＝0.(2)設(shè)P(x，y)，則PM2＝PC2－MC2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，PO2＝x2＋y2，∵PM＝PO，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴點P的軌跡方程為2x－4y＋1＝0.12．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程；(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解(1)設(shè)圓心C(a,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>－\f(5,2)))，則eq\f(|4a＋10|,5)＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．所以圓C的方程為x2＋y2＝4.(2)當(dāng)直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝kx－1，))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，x1,2＝eq\f(2k2±\r(4k2－4k2＋1k2－4),2k2＋1)，所以x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq\f(k2－4,k2＋1).若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN，即eq\f(y1,x1－t)＋eq\f(y2,x2－t)＝0，則eq\f(kx1－1,x1－t)＋eq\f(kx2－1,x2－t)＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，亦即eq\f(2k2－4,k2＋1)－eq\f(2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0，解得t＝4，所以當(dāng)點N坐標(biāo)為(4,0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．13．若a，b是正數(shù)，直線2ax＋by－2＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長為2eq\r(3)，則t＝aeq\r(1＋2b2)取得最大值時a的值為________．答案eq\f(3,4)解析由已知可得圓心(0,0)到直線2ax＋by－2＝0的距離d＝eq\f(2,\r(4a2＋b2))，則直線被圓截得的弦長為2eq\r(4－\f(4,4a2＋b2))＝2eq\r(3)，化簡得4a2＋b2＝4.∴t＝aeq\r(1＋2b2)＝eq\f(1,2\r(2))·(2eq\r(2)a)·eq\r(1＋2b2)≤eq\f(1,4\r(2))[(2eq\r(2)a)2＋(eq\r(1＋2b2))2]＝eq\f(1,4\r(2))(8a2＋2b2＋1)＝eq\f(9,4\r(2))，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8a2＝1＋2b2，,4a2＋b2＝4))時等號成立，即t取最大值，此時a＝eq\f(3,4)(舍負(fù)值)．14．(2024·江蘇鹽城東臺中學(xué)監(jiān)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：(x－4)2＋y2＝4，動點P在直線x＋eq\r(3)y－2＝0上的兩點E，F(xiàn)之間，過點P分別作圓O，C的切線，切點為A，B，若滿意PB≥2PA，則線段EF的長度為________．答案eq\f(2\r(39),3)解析由PB≥2PA，得PB2≥4PA2，所以PC2－4≥4(PO2－1)，所以PC2≥4PO2，設(shè)P(x，y)，所以x2＋y2＋eq\f(8,3)x－eq\f(16,3)≤0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))2＋y2≤eq\f(64,9)，點P在圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))2＋y2＝eq\f(64,9)上及圓內(nèi)，圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，0))到直線x＋eq\r(3)y－2＝0的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)－2)),\r(1＋3))＝eq\f(\f(10,3),2)＝eq\f(5,3)，因為EF為直線截圓所得的弦，所以EF＝2eq\r(\f(64,9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2)＝2eq\r(\f(39,9))＝eq\f(2\r(39),3).15．已知圓O：x2＋y2＝9，點P為直線x＋2y－9＝