高等數(shù)學(xué) 課件全套 陳玉清 ch01-10函數(shù)、極限和函數(shù)的連續(xù)性-無(wú)窮級(jí)數(shù)

函數(shù)、極限和函數(shù)的連續(xù)性第一章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01函數(shù)一、數(shù)集與區(qū)間高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)集包括自然數(shù)集（記為N）、整數(shù)集（記為Z）、有理數(shù)集（記為Q）和實(shí)數(shù)集（記為R）。數(shù)值范圍通常用區(qū)間表示。區(qū)間包括四種有限區(qū)間和五種無(wú)限區(qū)間。函數(shù)函數(shù)有限區(qū)間a、b都是有限數(shù)，因此以上四種區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間。無(wú)限區(qū)間引入記號(hào)+∞（讀作“正無(wú)窮大”）及-∞（讀作“負(fù)無(wú)窮大”），則可類似地表示無(wú)限區(qū)間。二、鄰域三、函數(shù)的概念函數(shù)是指集合上的一種基礎(chǔ)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。函數(shù)的定義：我們?cè)谟^察或研究某種自然現(xiàn)象或技術(shù)的過(guò)程中，常會(huì)遇到兩種不同的量。一種是在某過(guò)程中保持不變的量，稱為常量，如圓周率、重力加速度、北京至南京的直線距離等。另一種是在某過(guò)程中可在一定范圍內(nèi)取不同數(shù)值的量，稱為變量，如自然界中的溫度、變速運(yùn)動(dòng)物體的速度、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的商品的價(jià)格等，通常用字母x、y、z等表示。函數(shù)010302函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域就是使式子有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域。函數(shù)值在函數(shù)的表達(dá)式中，自變量x用數(shù)代入所得到的數(shù)值就是函數(shù)值。函數(shù)的表示法函數(shù)f（x）的具體表達(dá)方式是不盡相同的，這就產(chǎn)生了函數(shù)的不同表示法。函數(shù)函數(shù)四、函數(shù)的幾種特性奇偶性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。有界性：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集，若存在一個(gè)正數(shù)M，使得對(duì)于任意的，恒有。單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)增加的函數(shù)和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，并稱區(qū)間I是該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。周期性：對(duì)于每個(gè)周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，定義中的T有無(wú)窮多個(gè)，通常所說(shuō)的周期函數(shù)的周期都是指它的最小正周期。函數(shù)五、初等函數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)：我們將常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。復(fù)合函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=（u）的定義域?yàn)镈，函數(shù)

的值域?yàn)镸，如果，則通過(guò)中間變量u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為由和構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。函數(shù)其中，x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量。通常又將y=f（u）稱為外層函數(shù)，簡(jiǎn)稱外函數(shù)；u=φ（x）稱為內(nèi)層函數(shù)，簡(jiǎn)稱內(nèi)函數(shù)。初等函數(shù)：將由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算（加、減、乘、除），且可以用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。六、函數(shù)關(guān)系的建立建立函數(shù)關(guān)系舉例：要把實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系正確抽象出來(lái)，首先應(yīng)分析哪些是常量、哪些是變量。然后確定選取哪個(gè)為自變量、哪個(gè)為因變量，最后根據(jù)題意建立它們之間的函數(shù)關(guān)系，同時(shí)給出函數(shù)的定義域。函數(shù)函數(shù)常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)：（1）需求函數(shù)與供給函數(shù)在研究市場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)設(shè)計(jì)兩個(gè)重要的函數(shù)，即需求函數(shù)和供給函數(shù)。（2）成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)在產(chǎn)品的生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，人們總希望盡可能降低成本、提高收入和增加利潤(rùn)，而成本、收入和利潤(rùn)這些經(jīng)濟(jì)變量都與產(chǎn)品的產(chǎn)量或銷售量Q密切相關(guān)。02極限的概念一、數(shù)列的極限古人云：“一尺之槌，日取其半，萬(wàn)世不竭。”意思是說(shuō)：一尺長(zhǎng)的木槌，每天取它的一半，永遠(yuǎn)取不盡。我們把每天取后剩下的部分記為像這樣按一定規(guī)律排列的一列數(shù)稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。極限的概念極限的概念數(shù)列可以看作自變量定義在正整數(shù)集上的函數(shù)。當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)的變化趨勢(shì)有兩種情況，要么無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)，要么無(wú)法趨近于一個(gè)常數(shù)。將此現(xiàn)象抽象，便可以得到數(shù)列極限的描述性定義。二、函數(shù)的極限極限的概念數(shù)列可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，yn=f（n）。數(shù)列{yn}的極限為常數(shù)A，即當(dāng)自變量n取正整數(shù)且無(wú)限增大（n→∞）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（n）無(wú)限接近常數(shù)A。若將數(shù)列極限概念中自變量n和函數(shù)值f（n）的特殊性撇開(kāi)，則可以引出函數(shù)極限的一般概念。在自變量x的某個(gè)變化過(guò)程中，若其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則常數(shù)A就為x在該變化過(guò)程中函數(shù)f（x）的極限。極限的概念極限的概念自變量趨向于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限：如果當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f（x）當(dāng)（x→∞）時(shí)的極限。自變量趨向于某一實(shí)數(shù)時(shí)函數(shù)的極限：現(xiàn)在研究自變量x趨向于某一實(shí)數(shù)x0(x→x0)時(shí)，函數(shù)f（x）的變化趨勢(shì)。三、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量無(wú)窮大量：在x→α?xí)r，函數(shù)f（x）的絕對(duì)值無(wú)限地增大，那么稱函數(shù)f（x）在x→α?xí)r為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。說(shuō)明：在本段討論中，記號(hào)“

”中的α是指有限數(shù)

中的任意一種。極限的概念極限的概念無(wú)窮小量：無(wú)窮小的概念：如果

，那么稱函數(shù)f（x）在x→α?xí)r為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。注：（1）無(wú)窮小是以零為極限的變量（函數(shù)），不要把一個(gè)絕對(duì)值很小的數(shù)誤認(rèn)為是無(wú)窮小。極限的概念無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系：在同一變化過(guò)程中，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小，非零無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。無(wú)窮小的比較：兩個(gè)無(wú)窮小之商的極限存在很大差異，這種情況反映了兩個(gè)無(wú)窮小趨于零的“快慢”程度的不同，其中x2比x快些。03極限的運(yùn)算一、極限的運(yùn)算法則當(dāng)遇到求分母的極限為零、分子的極限不為零的分式函數(shù)的極限時(shí)，可利用倒數(shù)的極限及無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系來(lái)確定原式的極限。當(dāng)遇到求分子、分母的極限都為零（這類極限常稱為型未定式極限）的有理分式函數(shù)極限時(shí)，應(yīng)先將分子、分母因式分解，約去趨于零的公因式，再求極限。極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算當(dāng)遇到求0/0型非有理函數(shù)未定式極限時(shí)，若分子或分母中含有根式，可以先將分子或分母進(jìn)行有理化，約去趨于零的公因式，再求極限。當(dāng)遇到求這種分子、分母都是多項(xiàng)式的∞/∞型未定式極限時(shí)，可以先將分子、分母同除以它們的最高次冪，再求極限。二、兩個(gè)重要極限極限的運(yùn)算當(dāng)遇到求兩個(gè)根式差的極限時(shí)，若這兩個(gè)根式都是無(wú)窮大，則可以先將它們看作分母為1的分式進(jìn)行分子有理化，再求極限。

特別強(qiáng)調(diào)的是，應(yīng)用該重要極限時(shí)應(yīng)注意它的格式。

特別強(qiáng)調(diào)的是應(yīng)用該重要極限時(shí)應(yīng)注意它的格式：在某一變化過(guò)程中，底的極限為1，指數(shù)是無(wú)窮大（稱為1∞型），且底中1加的部分與指數(shù)是倒數(shù)關(guān)系。極限的運(yùn)算04函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性在客觀世界中，許多現(xiàn)象和運(yùn)動(dòng)都是連續(xù)不斷變化的，如一天中氣溫是隨時(shí)間連續(xù)變化的、植物生長(zhǎng)過(guò)程是連續(xù)且有序變化的、曲線y=lnx是連續(xù)變化的。為了確切地描述一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化情況，在這一節(jié)中引入函數(shù)的連續(xù)性概念。一、函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的概念：為了描述函數(shù)的連續(xù)性，先引入函數(shù)增量的概念。函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)的直觀意義是自變量的改變量△x為無(wú)窮小時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的改變量△y也為無(wú)窮小。函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性左連續(xù)與右連續(xù)：類似于左極限與右極限，也有左連續(xù)與右連續(xù)的概念。函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處既左連續(xù)又右連續(xù)。連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間：若函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的每點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義f（x）可知，若函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的三個(gè)條件中的任一條件不成立，則點(diǎn)x0是函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)。函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)又可分為可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)通常又可分為無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性若已知函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則由定義16可得

。這為求函數(shù)的極限開(kāi)辟了一條新的途徑。我們已經(jīng)知道六類基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。其次還可以證明兩個(gè)函數(shù)經(jīng)過(guò)和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合運(yùn)算后仍是連續(xù)函數(shù)，因此再由初等函數(shù)的定義可以得到下面的定理。一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。函數(shù)的連續(xù)性四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的連續(xù)性在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，由于它們的證明涉及嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論，因此我們不加證明地予以介紹。（最大值最小值定理）設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)f（x）在[a，b]上一定有最大值M和最小值m。感謝觀看導(dǎo)數(shù)與微分第二章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01導(dǎo)數(shù)的概念一、引例第一章討論了函數(shù)與極限，二者反映了變量之間的依賴關(guān)系與變量變化的趨勢(shì)。在許多實(shí)際問(wèn)題中，需要進(jìn)一步研究變量之間相對(duì)變化的快慢程度，如人口的增長(zhǎng)率、成本的變化率等。導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題：假設(shè)一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，在[0,T]這段時(shí)間所經(jīng)過(guò)的路程（距離）為s，則s是時(shí)間t的函數(shù)：s=s（t）。首先考慮問(wèn)題在時(shí)刻t0附近很短一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體在t0到t0+△t這段時(shí)間間隔內(nèi)路程從s（t0）變化到s（t0+△t）。導(dǎo)數(shù)的概念平面曲線的切線斜率問(wèn)題：在自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域中，還有很多非均勻變化的問(wèn)題。如物質(zhì)的比熱容、電流、電流線密度等，盡管它們有著不同的實(shí)際意義，但最終都可歸結(jié)為形如上述兩例中出現(xiàn)的函數(shù)的增量與自變量的增量之比當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)的極限問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有增量△x（△x且x0+△x在該鄰域內(nèi)）時(shí)，函數(shù)y=f（x）有增量△y=f(x0+△x)-f（x0）。函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)有時(shí)也稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在。導(dǎo)數(shù)的定義還可以采用其他不同的表達(dá)形式導(dǎo)函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f（x）在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)y=f（x）在I內(nèi)可導(dǎo)。設(shè)函數(shù)y=f（x）在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)于I內(nèi)的每個(gè)x值，都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值y=f‘（x）與之對(duì)應(yīng)，因此y=f’（x）仍是x的函數(shù)。導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)：在第一章中，我們定義了左極限和右極限，因此還可以定義函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是f（x）在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)且導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，那么曲線y=f（x）在點(diǎn)[x0，f（x0）]處的切線方程為x=x0。法線方程為y=y0。導(dǎo)數(shù)的概念四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則y=f（x）在點(diǎn)x0處必連續(xù)。應(yīng)該注意的是，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)，是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件。02函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的變化率——導(dǎo)數(shù)，是理論研究和實(shí)踐應(yīng)用中經(jīng)常遇到的一個(gè)問(wèn)題，但根據(jù)定義求導(dǎo)往往非常復(fù)雜，有時(shí)甚至無(wú)法求導(dǎo)。本節(jié)將建立一系列的求導(dǎo)法則來(lái)幫助大家較為簡(jiǎn)便地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、導(dǎo)數(shù)的基本公式首先可以利用導(dǎo)數(shù)的定義求得一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)，f’（x）≠0，則它的反函數(shù)x=φ（y）在相應(yīng)區(qū)間（c，d）內(nèi)也可導(dǎo)，且

，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。函數(shù)的求導(dǎo)法則二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則函數(shù)的求導(dǎo)法則我們知道，一些初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算（加、減、乘、除）得到的，下面給出導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。設(shè)函數(shù)u=u（x）和v=v（x）都在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)。函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)是由函數(shù)和復(fù)合而成的，如果函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)在與點(diǎn)x處相應(yīng)的點(diǎn)u處可導(dǎo)。那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有或

或

。四、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則到目前為止，我們遇到的函數(shù)表達(dá)式都是把因變量y寫成自變量的顯式表達(dá)式，這種形式的函數(shù)稱作顯函數(shù)。然而，在實(shí)際問(wèn)題中，我們可能還會(huì)遇到另外一種形式的函數(shù)，如也確定著y與x之間的函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則我們將這種由二元方程

在一定條件下確定的y為x的函數(shù)

［或x為y的函數(shù)

］稱為隱函數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出，有的隱函數(shù)可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)來(lái)求導(dǎo)數(shù)，但是要從方程中解出函數(shù)

或

通常很難，甚至不可能。函數(shù)的求導(dǎo)法則五、對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則形如

的函數(shù)稱作冪指函數(shù)，其中

、

不恒為常數(shù)。我們可以先對(duì)

兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)

，再通過(guò)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出其導(dǎo)數(shù)，這種方法稱為對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則。六、由參數(shù)方程表示的函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，若方程

（t為參數(shù)）確定了y是x的函數(shù)（或x是y的函數(shù)），則稱該函數(shù)為參數(shù)方程表示的函數(shù)。函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則我們將這種由二元方程

在一定條件下確定的y為x的函數(shù)

［或x為y的函數(shù)

］稱為隱函數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出，有的隱函數(shù)可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)來(lái)求導(dǎo)數(shù)，但是要從方程中解出函數(shù)

或

通常很難，甚至不可能。03高階導(dǎo)數(shù)由本章第一節(jié)引例1可知，在物體作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其瞬時(shí)速度v（t）就是路程函數(shù)s=s（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)s’（t），即，它仍然是時(shí)間t的函數(shù)。根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，加速度a（t）是速度v（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，也就是說(shuō)加速度a（t）是路程函數(shù)s（t）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

。高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)像這種需多次對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)的情況在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)經(jīng)常遇到，我們將連續(xù)兩次或兩次以上對(duì)某一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)所得的結(jié)果稱為這個(gè)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。若函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f’（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱f’（x）的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)。04函數(shù)的微分函數(shù)的微分在許多問(wèn)題中，都需要計(jì)算自變量有一個(gè)很小的改變量△x時(shí)函數(shù)的微小改變量

。然而，當(dāng)函數(shù)f（x）比較復(fù)雜時(shí)，差值

將是一個(gè)更加復(fù)雜的表達(dá)式，不易求解。一、微分的概念先看一個(gè)具體問(wèn)題：一個(gè)正方形金屬薄片受熱膨脹，其邊長(zhǎng)由x0變到x0+△x（見(jiàn)圖2-4），面積s相應(yīng)地有一個(gè)改變量，即函數(shù)的微分二、微分的幾何意義函數(shù)的微分在平面上取定直角坐標(biāo)系后，函數(shù)y=f（x）的圖形通常是一條曲線。由于f’（x）是切線MT斜率，因此PQ/MQ=f’（x）。函數(shù)的微分函數(shù)y=f（x）的圖形通常是一條曲線（見(jiàn)圖2-5）。三、微分的基本公式與運(yùn)算法則根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，可以得到微分的基本公式與運(yùn)算法則。1.基本初等函數(shù)的微分公式；2.微分的四則運(yùn)算法則；3.復(fù)合函數(shù)的微分法則。函數(shù)的微分函數(shù)的微分四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用近似計(jì)算是科技工作中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。一般地，對(duì)近似公式的要求有兩條：一是有足夠高的精度，二是計(jì)算簡(jiǎn)便。利用微分進(jìn)行近似計(jì)算常常能夠滿足這些要求。感謝觀看導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01微分中值定理微分中值定理本節(jié)將介紹羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，這三個(gè)定理統(tǒng)稱為微分中值定理。它們揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)及函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)與某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。微分中值定理微分中值定理既是用微分學(xué)知識(shí)解決應(yīng)用問(wèn)題的理論基礎(chǔ)，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展問(wèn)題的一種理論模型。它們?cè)谝辉瘮?shù)微分學(xué)的理論及應(yīng)用中都有十分重要的作用。一、羅爾定理如果函數(shù)y=f（x）滿足如下三個(gè)條件：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等f(wàn)(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得

。微分中值定理微分中值定理對(duì)于定理1，這里不做證明。為了方便理解，可借助圖形加以說(shuō)明。微分中值定理一條在閉區(qū)間

上的連續(xù)曲線

，如果其上每點(diǎn)（端點(diǎn)除外）都有不垂直于x軸的切線（曲線光滑），并且在曲線兩個(gè)端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相同。那么在該曲線上至少有一點(diǎn)的切線平行于x軸。這就是羅爾定理的幾何意義。二、拉格朗日中值定理在羅爾定理中，

這個(gè)條件相當(dāng)特殊，限制了該定理的應(yīng)用。拉格朗日在羅爾定理的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步研究，取消了羅爾定理

中這個(gè)條件，提出了微分學(xué)中具有重要地位的拉格朗日中值定理。微分中值定理微分中值定理定理2（拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù)

滿足：（1）在閉區(qū)間

上連續(xù)，（2）在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)，那么在

內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得。上式也可表示成

。微分中值定理顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理在

時(shí)的特殊情形。推論1如果函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)恒有

，那么函數(shù)

在

內(nèi)是一個(gè)常數(shù)，即

（C為常數(shù)）。證明在區(qū)間（a，b）內(nèi)任取兩點(diǎn)x1、x2，且x1<x2，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1，x2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在

，使得

。微分中值定理微分中值定理三、柯西中值定理將拉格朗日中值定理加以推廣，就得到了柯西中值定理。定理3（柯西中值定理）

設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。02洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則在第一章中，我們計(jì)算過(guò)0/0型或∞/∞型未定式的極限，但往往需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化。為可運(yùn)用極限的運(yùn)算法則或重要極限的形式才可以進(jìn)行計(jì)算，且轉(zhuǎn)化時(shí)沒(méi)有統(tǒng)一的變形方法，增加了求極限的難度。一、0/0型和∞/∞型未定式定理4（洛必達(dá)法則）

如果函數(shù)f（x）與g（x）滿足如下條件:洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則這個(gè)法則告訴我們，如果為0/0型或∞/∞型未定式極限，那么在上述條件下

可轉(zhuǎn)化為

。在運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限的過(guò)程中，若

仍是未定式，且

、

仍滿足洛必達(dá)法則的條件，則

。洛必達(dá)法則每次在運(yùn)用洛必達(dá)法則之前都必須判斷極限是否是0/0型或∞/∞型，否則會(huì)出錯(cuò)。例如，根據(jù)洛必達(dá)法則，可以得到

。并不是所有的0/0型或∞/∞型未定式極限都可以運(yùn)用洛必達(dá)法則求解。例如，

是0/0型未定式極限，但分子分母分別求導(dǎo)后得到

，這個(gè)極限不存在，故洛必達(dá)法則失效，不能使用。洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則其實(shí)原極限是存在的，正確解法是

。每次運(yùn)用洛必達(dá)法則后，都需要整理簡(jiǎn)化極限式，并將存在極限且不影響未定式的因式分離出來(lái)，以簡(jiǎn)化后面的計(jì)算。03函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值我們已經(jīng)會(huì)用初等數(shù)學(xué)的方法研究一些函數(shù)的單調(diào)性，但這些方法的適用范圍小、技巧性強(qiáng)，因此不具有一般性。本節(jié)將以導(dǎo)數(shù)為工具，介紹判定函數(shù)單調(diào)性與極值的一般方法。函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)的單調(diào)性從函數(shù)的幾何圖形來(lái)看，如果函數(shù)y=f（x）是單調(diào)增加的，那么這條曲線沿軸正向是上升的。函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)的單調(diào)性曲線上每點(diǎn)的切線斜率都是負(fù)的，f’（x）<0。函數(shù)的單調(diào)性與極值可見(jiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的聯(lián)系，反之能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。注：定理5中的開(kāi)區(qū)間（a，b）若改為閉區(qū)間或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論同樣成立。函數(shù)的單調(diào)性與極值若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則稱該區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅在個(gè)別點(diǎn)處為零，而在其余的點(diǎn)處均滿足定理5的條件，那么定理5的結(jié)論仍然成立。函數(shù)的單調(diào)性與極值為簡(jiǎn)便直觀起見(jiàn)，通常將上述討論歸納為如表3-1所示的表格。函數(shù)的單調(diào)性與極值例14

討論見(jiàn)表3-2。函數(shù)的單調(diào)性與極值例15

討論見(jiàn)表3-3。函數(shù)的單調(diào)性與極值例16

討論見(jiàn)表3-4。二、函數(shù)的極值函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)極值的定義：極值是函數(shù)的一種局部性態(tài)，它能幫助我們進(jìn)一步把握函數(shù)的變化情況，為準(zhǔn)確描繪函數(shù)圖形提供不可缺少的信息。函數(shù)的極值也是研究函數(shù)最大值問(wèn)題和最小值問(wèn)題的關(guān)鍵所在。函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。函數(shù)的極值與函數(shù)的最值是兩個(gè)不同的概念。極值是一個(gè)局部性的概念，它僅限于與點(diǎn)x0處的某個(gè)鄰域內(nèi)的函數(shù)值進(jìn)行比較。而最值是一個(gè)整體性的概念，它對(duì)整個(gè)區(qū)間的函數(shù)值進(jìn)行比較。函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，函數(shù)的極小值也不一定是函數(shù)的最小值。一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上可能有若干個(gè)極值點(diǎn)，在這些點(diǎn)中，有些極小值可能大于極大值。函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值圖3-6所示的函數(shù)圖形，它有f（x2）和f（x5）兩個(gè)極大值。函數(shù)的單調(diào)性與極值由定義1還可以看出，函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，區(qū)間端點(diǎn)不可能成為極值點(diǎn)。函數(shù)極值的判定方法：從幾何圖形上看，在函數(shù)f（x）可導(dǎo)的前提下，取得極值的點(diǎn)處的曲線切線是水平的。綜上所述，函數(shù)可能在其駐點(diǎn)或連續(xù)且不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得極值。那么如何判定這些可能的極值點(diǎn)到底是不是極值點(diǎn)呢？根據(jù)函數(shù)極值的定義和函數(shù)單調(diào)性的判別方法可知，如果函數(shù)在其極值點(diǎn)鄰近兩側(cè)的單調(diào)性改變，那么函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)會(huì)改變。函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值例18

見(jiàn)表3-5。函數(shù)的單調(diào)性與極值例19

討論見(jiàn)表3-6。函數(shù)的單調(diào)性與極值例20

討論見(jiàn)表3-7。函數(shù)的單調(diào)性與極值例22

討論結(jié)果見(jiàn)表3-8。04函數(shù)的最值函數(shù)的最值由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在上必取得最大值和最小值。根據(jù)最值和極值的定義可知，在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值只能在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和端點(diǎn)處取得。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大值和最小值的問(wèn)題，如怎樣使用料最省、容量最大、花錢最少、效率最高、利潤(rùn)最大等。這類問(wèn)題往往首先要根據(jù)問(wèn)題的具體意義建立函數(shù)關(guān)系式（通常稱為目標(biāo)函數(shù)），并確定函數(shù)的定義域；然后求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。函數(shù)的最值05曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)如圖3-7所示的函數(shù)y=（x）的圖形（a，b）在內(nèi)雖然一直上升，但P點(diǎn)前后圖形有著明顯的不同。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪曲線在y=f（x）區(qū)間（a，b）內(nèi)是凹的（見(jiàn)圖3-8）。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪曲線在y=f（x）區(qū)間（a，b）內(nèi)是凸的（見(jiàn)圖3-9）。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪從幾何圖形上看，凹曲線上切線的斜率隨著x的增大而變大（一階導(dǎo)數(shù)遞增），凸曲線上切線的斜率隨著x的增大而變?。ㄒ浑A導(dǎo)數(shù)遞減）。某些函數(shù)曲線可能在某些區(qū)間內(nèi)是凹的而在另一些區(qū)間內(nèi)是凸的。所以，我們要考慮曲線由凹變凸或由凸變凹的分界點(diǎn)。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪例27討論見(jiàn)表3-9。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪例28討論見(jiàn)表3-10。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪二、函數(shù)圖形的描繪函數(shù)的圖形具有直觀明了的特點(diǎn)，因此，研究函數(shù)圖形的意義重大，其應(yīng)用也非常廣泛。函數(shù)曲線的水平漸近線和垂直漸近線：為了完整地描繪函數(shù)的圖形，除應(yīng)當(dāng)知道其凹凸性、極值和拐點(diǎn)等性態(tài)外，還應(yīng)當(dāng)了解曲線無(wú)限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的變化情況。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪：對(duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，若能作出其圖形，就能從圖形上直觀地了解該函數(shù)的變化趨勢(shì)。在中學(xué)階段，我們?cè)妹椟c(diǎn)法來(lái)作函數(shù)的圖形，但這種方法常常會(huì)遺漏曲線的一些關(guān)鍵點(diǎn)，如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等，因此難以準(zhǔn)確把握函數(shù)的變化趨勢(shì)。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪例30討論見(jiàn)表3-11。感謝觀看不定積分第四章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)在微分學(xué)中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)怎樣求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分，但在許多實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常需要解決與此相反的問(wèn)題，即已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分求原來(lái)的函數(shù)，亦即求一個(gè)未知函數(shù)。這種已知導(dǎo)數(shù)或微分求原來(lái)函數(shù)的運(yùn)算稱為不定積分。本章將介紹不定積分的概念及其計(jì)算方法。一、原函數(shù)的概念函數(shù)f（x）若有一個(gè)原函數(shù)F（x），則它必有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)；任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。關(guān)于原函數(shù)，一個(gè)函數(shù)具備什么條件時(shí)它的原函數(shù)一定存在？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的回答，有下面的定理。不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)定理1若函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，則f（x）在區(qū)間I內(nèi)存在原函數(shù)。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。定理2若函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)有原函數(shù)F（x），則f（x）的所有原函數(shù)都可以表示為F（x）+C（C為任意常數(shù)）。二、不定積分不定積分的概念與性質(zhì)定義

2若F（x）是在f（x）區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）的所有原函數(shù)F（x）+C（C為任意常數(shù)）稱為f（x）在I內(nèi)的不定積分，記作

。即

。不定積分的概念與性質(zhì)三、積分與導(dǎo)數(shù)（或微分）的互逆運(yùn)算性質(zhì)由不定積分的定義容易得到如下的積分與導(dǎo)數(shù)（或微分）的互逆運(yùn)算性質(zhì)。性質(zhì)1說(shuō)明不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，或者說(shuō)，先積分后微分則積分符號(hào)與導(dǎo)數(shù)符號(hào)相互抵消了；性質(zhì)

2

說(shuō)明對(duì)一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）求不定積分，其結(jié)果與該函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。四、基本積分公式根據(jù)原函數(shù)的定義，由導(dǎo)數(shù)和微分基本公式容易推導(dǎo)得到下面的基本積分公式：

（k為常數(shù)）

（

）

不定積分的概念與性質(zhì)四、基本積分公式根據(jù)原函數(shù)的定義，由導(dǎo)數(shù)和微分基本公式容易推導(dǎo)得到下面的基本積分公式：

不定積分的概念與性質(zhì)四、基本積分公式根據(jù)原函數(shù)的定義，由導(dǎo)數(shù)和微分基本公式容易推導(dǎo)得到下面的基本積分公式：

不定積分的概念與性質(zhì)四、基本積分公式根據(jù)原函數(shù)的定義，由導(dǎo)數(shù)和微分基本公式容易推導(dǎo)得到下面的基本積分公式：

不定積分的概念與性質(zhì)五、不定積分的性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在我們應(yīng)用不定積分的基本運(yùn)算法則和基本積分公式來(lái)計(jì)算不定積分，這種計(jì)算不定積分的方法稱為直接積分法。被積函數(shù)中的非零常數(shù)因子可以提到積分號(hào)之前，即

（常數(shù)k≠0）

02換元積分法換元積分法可以利用基本積分公式和積分的性質(zhì)來(lái)計(jì)算的不定積分非常有限，因此有必要進(jìn)一步研究不定積分的求法。本節(jié)把求復(fù)合函數(shù)微分的方法反過(guò)來(lái)用于求不定積分，利用中間變量的代換得到復(fù)合函數(shù)，這種求積分的方法稱為換元積分法。換元積分法根據(jù)換元方式的不同，換元積分法通常分為以下兩類。一、第一類換元積分法（湊微分法）根據(jù)不定積分的定義得

。二、第二類換元積分法（變量代換法）此方法通常稱為第二類換元積分法，也稱為變量代換法。

上述公式稱為第二類換元積分公式。換元積分法換元積分法一般來(lái)說(shuō)，在處理含有以下根式的被積函數(shù)的不定積分時(shí)，常用三角函數(shù)代換，如表4-1所示。03分部積分法分部積分法除換元積分法外，還有一個(gè)重要的方法，即分部積分法。分部積分法是利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則來(lái)推得另一個(gè)積分的方法。分部積分法注：（1）從上例可見(jiàn)，積分運(yùn)算有時(shí)需要多次使用分部積分法，當(dāng)出現(xiàn)“循環(huán)現(xiàn)象”時(shí)，還需要通過(guò)移項(xiàng)求解。（2）在積分過(guò)程中，有時(shí)需要同時(shí)使用換元積分法和分部積分法才能求出不定積分。例子如下。例33

求不定積分分部積分法分部積分法例34

求不定積分分部積分法例35求不定積分例36

求不定積分分部積分法分部積分法例37

求不定積分04簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的不定積分。通常需要利用代數(shù)恒等式進(jìn)行拆項(xiàng)，然后對(duì)部分分式進(jìn)行積分，如其中A、B、M、N、a、p、q都是常數(shù)。例40求不定積分簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分例41

求不定積分簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分例42求不定積分例43求不定積分簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分例44

求不定積分感謝觀看定積分及其應(yīng)用第五章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)本章討論積分學(xué)的另一個(gè)問(wèn)題—定積分。定積分用于計(jì)算平面上封閉曲線圍成的圖形的面積，計(jì)算這類圖形的面積，最后都可以歸結(jié)為計(jì)算具有特定結(jié)構(gòu)的和式的極限。在實(shí)踐中，人們逐漸認(rèn)識(shí)到，這種特定結(jié)構(gòu)的和式的極限，不僅是計(jì)算圖形面積的數(shù)學(xué)形式，而且也是解決許多實(shí)際問(wèn)題（如變力做功、水的壓力等）的數(shù)學(xué)形式。定積分的概念與性質(zhì)因此，無(wú)論在理論上還是在實(shí)踐中，求解特定結(jié)構(gòu)的和式的極限—定積分具有普遍的意義。本章先從兩個(gè)實(shí)例出發(fā)，引入定積分的概念；然后討論定積分的性質(zhì)與計(jì)算方法；最后討論定積分的應(yīng)用。一、實(shí)例曲邊梯形的面積：由于曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f（x）在區(qū)間[a，b]上是變動(dòng)的，因此面積A不能直接用矩形或梯形的面積公式計(jì)算。由于曲邊梯形的高f（x）在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)變化的，如果曲邊梯形的底邊很短，那么f（x）的變化很小，可以近似地看作不變，因此可以考慮用小矩形面積的和來(lái)逼近曲邊梯形的面積A。定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)由曲線y=f（x）、x軸、直線x=a及x=b所圍成的圖形稱為曲邊梯形，如圖5-1所示。定積分的概念與性質(zhì)過(guò)每個(gè)分點(diǎn)

作平行于y軸的直線，將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形。如圖5-2所示。定積分的概念與性質(zhì)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：在本問(wèn)題中，物體做的是變速直線運(yùn)動(dòng)，速度是變化的。但是，由于速度是連續(xù)變化的，因此當(dāng)時(shí)間間隔很小時(shí)，物體速度的變化也很小，也就是說(shuō)在很小的時(shí)間間隔內(nèi)可近似地將物體的運(yùn)動(dòng)看作勻速直線運(yùn)動(dòng)。定積分的概念與性質(zhì)以上兩個(gè)例子雖然具有不同的實(shí)際意義，但解決問(wèn)題的方法是相同的，且最后得到的結(jié)果都是和式的極限。在科學(xué)技術(shù)中還有許多實(shí)際問(wèn)題的解決也可以歸結(jié)為求解這類和式的極限。拋開(kāi)這些實(shí)際問(wèn)題的具體意義，把這類和式的極限用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以概括、抽象，便可以得到定積分的概念。二、定積分的概念定義1設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，各分點(diǎn)次序?yàn)?/p>

定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)三、定積分的幾何意義

，如圖5-3所示。定積分的概念與性質(zhì)位于x軸下方的面積前加負(fù)號(hào)，如圖5-4所示。四、定積分的性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)由定積分的定義及極限的運(yùn)算法則，可以推出定積分具有以下性質(zhì)。為敘述方便，假設(shè)下面各性質(zhì)中所涉及的函數(shù)都是可積的。兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的定積分等于它們定積分的和（或差），即定積分的概念與性質(zhì)分別以m和M為高的兩個(gè)矩形面積之間，如圖5-5所示。定積分的概念與性質(zhì)[a，b]中一點(diǎn)

的函數(shù)值為高的矩形面積，如圖5-6所示。02微積分基本公式微積分基本公式在上一節(jié)中，我們舉過(guò)利用定積分的定義計(jì)算定積分的例子。從這個(gè)例子可以看出，即使被積函數(shù)很簡(jiǎn)單，計(jì)算起來(lái)也會(huì)很復(fù)雜，且難度較大。所以，必須尋找一種簡(jiǎn)單方便的計(jì)算定積分的新方法。下面先從實(shí)際問(wèn)題中尋找解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。微積分基本公式上述分析不但說(shuō)明了定積分與不定積分（原函數(shù)）之間有密切的關(guān)系，更重要的是提供了由原函數(shù)計(jì)算定積分的方法。下面先介紹積分上限函數(shù)，再揭示定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，并證明微積分基本公式—牛頓—萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式。一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)因?yàn)槎ǚe分與積分變量的記法無(wú)關(guān)，所以，為了明確起見(jiàn)，可將積分變量改成其他符號(hào)。二、微積分基本公式該公式把計(jì)算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問(wèn)題，揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系。微積分基本公式03定積分的換元積分法與分部積分法一、定積分的換元積分法定積分的換元積分法與分部積分法用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算定積分，需要求被積函數(shù)的原函數(shù)，所以由不定積分的積分法可得到相應(yīng)的定積分的積分法。上式稱為定積分的換元公式，簡(jiǎn)稱換元公式。定積分的換元積分法與分部積分法定積分的換元積分法與不定積分的換元積分法的不同之處在于前者在換元后，積分的上、下限也要進(jìn)行相應(yīng)的變換，并按新的積分變量進(jìn)行定積分運(yùn)算，不必再還原為原變量。新變?cè)姆e分限可能α>β，也可能α<β，但一定要滿足φ（α）=a，φ（β）=b，即t=α對(duì)應(yīng)x=a，t=β對(duì)應(yīng)x=b。例24計(jì)算定積分的換元積分法與分部積分法04廣義積分廣義積分前面討論的定積分

的積分區(qū)間[a，b]是有限的，被積函數(shù)f（x）也是有界的。但在一些實(shí)際問(wèn)題中常遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，或者被積函數(shù)是無(wú)界函數(shù)的積分，這樣的積分已經(jīng)不是通常意義上的定積分了。廣義積分因此，我們將定積分的概念做如下兩種延伸形成廣義積分，（或反常積分）的概念，相對(duì)地把前面討論的定積分稱為常義積分。一、無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分上述三種積分統(tǒng)稱為無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分（或反常積分）?？梢?jiàn)，計(jì)算廣義積分的步驟是先求定積分，再取極限。廣義積分例26如圖5-7所示。二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分廣義積分現(xiàn)在把定積分的概念延伸至被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)的情形。定義五、定義六、定義七統(tǒng)稱為無(wú)界函數(shù)的廣義積分。05定積分的應(yīng)用本節(jié)主要介紹定積分在幾何和物理中的一些應(yīng)用，包括幾何量和物理量的具體計(jì)算公式，以及微元法在分析和解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。一、定積分的微元法在定積分的應(yīng)用中，經(jīng)常用到所謂的微元法。為了說(shuō)明這種方法，先回顧一下本章第一節(jié)中討論過(guò)的曲邊梯形的面積問(wèn)題。定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用任取一個(gè)子區(qū)間

，如圖5-8所示。定積分的應(yīng)用二、定積分的幾何應(yīng)用假設(shè)定積分的幾何應(yīng)用中所討論的函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，以下不再一一說(shuō)明。平面圖形的面積：1）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積；2）極坐標(biāo)系中平面圖形的面積。定積分的應(yīng)用若f（x）在區(qū)間[a，b]上有正有負(fù)，則面積A的微元是以|f（x）|為高、dx為底的矩形（見(jiàn)圖5-9）的面積，即

。定積分的應(yīng)用2）極坐標(biāo)系中平面圖形的面積：當(dāng)一個(gè)圖形的邊界曲線用極坐標(biāo)方程

表示時(shí)，若能在極坐標(biāo)系中求它的面積，則不必將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系。為了闡明這種方法的實(shí)質(zhì)，下面介紹曲邊扇形面積的求法。定積分的應(yīng)用心形線的圖形如圖5-16所示。定積分的應(yīng)用2.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而得到的立體圖形。該直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體都是旋轉(zhuǎn)體。感謝觀看微分方程第六章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01微分方程的基本概念微分方程的基本概念函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映，利用函數(shù)關(guān)系可以對(duì)客觀事物的變化規(guī)律進(jìn)行研究。因此尋求變量之間的函數(shù)關(guān)系在實(shí)踐中具有重要意義。在許多實(shí)際問(wèn)題中，往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系。微分方程的基本概念但是根據(jù)問(wèn)題所提供的條件，有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即所謂的微分方程。微分方程建立后，對(duì)它進(jìn)行研究，找出未知函數(shù)，這就是解微分方程。本章主要介紹微分方程的一些基本概念和幾種較簡(jiǎn)單的解法。已知直角坐標(biāo)系中的一條曲線通過(guò)點(diǎn)（1,2），且在該曲線上任一點(diǎn)P（x，y）處的切線斜率等于該點(diǎn)縱坐標(biāo)的平方，求此曲線的方程。設(shè)所求曲線的方程為y=y（x），這是待求的未知函數(shù)。微分方程的基本概念微分方程的基本概念設(shè)一物體從A點(diǎn)出發(fā)做直線運(yùn)動(dòng)，在任一時(shí)刻的速度為運(yùn)動(dòng)時(shí)間的兩倍，求物體的運(yùn)動(dòng)方程。首先建立坐標(biāo)系。取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向，并設(shè)物體在t時(shí)刻到達(dá)M點(diǎn)，其坐標(biāo)為s（t）。微分方程的基本概念上述兩例的方程都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般地，含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。若微分方程中的未知函數(shù)為一元函數(shù)，則稱為常微分方程。由于我們僅研究常微分方程，因此將常微分方程簡(jiǎn)稱為微分方程，有時(shí)簡(jiǎn)稱為方程。若微分方程解中所含獨(dú)立的（不能合并的）任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為該微分方程的通解。若在微分方程通解中的任意常數(shù)中取定一組固定常數(shù)，則得到的解稱為該微分方程的特解。一個(gè)微分方程與其初始條件構(gòu)成的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題。求解某初值問(wèn)題，就是求微分方程的特解。微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地，微分方程的一個(gè)解的圖形是一條平面曲線，稱為微分方程的積分曲線。通解的圖形是平面上的一簇曲線，稱為微分方程的積分曲線簇。特解的圖形是積分曲線簇中的一條確定的曲線。這就是微分方程解的幾何意義。02一階微分方程一、可分離變量的一階微分方程因?yàn)榉匠讨械淖兞靠梢酝耆胤蛛x到等式兩邊，所以對(duì)于這樣的方程可以兩邊同時(shí)積分。注：由于方程是一階微分方程，通解中含有一個(gè)任意常數(shù)C，因此不必在求兩個(gè)積分時(shí)都加C；而只要先寫出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，再在等式的某一邊明顯地加上C，即得方程的通解。一階微分方程一階微分方程由此例可以看出，積分后的對(duì)數(shù)中雖然出現(xiàn)了絕對(duì)值，但是可以合并到任意常數(shù)中，這與積分后沒(méi)加絕對(duì)值的效果一樣。因此，為方便起見(jiàn)，今后凡遇到積分后是對(duì)數(shù)的情形，一律不加絕對(duì)值，僅作如下簡(jiǎn)化處理：分離變量得

。二、齊次方程一階微分方程形式為的微分方程稱為齊次方程。求解這類方程可令，則，原方程化為。三、一階線性微分方程形式為

的微分方程稱為一階線性微分方程。若

，則稱方程為一階齊次線性微分方程。一階微分方程一階齊次線性微分方程的解法一階微分方程不難看出，一階齊次線性微分方程是可分離變量的方程。分離變量得

，兩邊積分得

。一階非齊次線性微分方程的解法一階非齊次線性微分方程

。

與其對(duì)應(yīng)的一階齊次線性微分方程

。一階微分方程03可降階的微分方程可降階的微分方程二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。對(duì)于有些高階微分方程，可以通過(guò)代換轉(zhuǎn)換為低階微分方程求解。這種類型的微分方程稱為可降階的微分方程，相應(yīng)的求解方法稱為降階法。一、型微分方程可降階的微分方程對(duì)這類微分方程只需要進(jìn)行n次積分就可得到含有n個(gè)任意常數(shù)的通解。二、

型微分方程因方程中不顯含y，故令

，則

。原方程化為

。

可降階的微分方程可降階的微分方程三、

型微分方程因方程中不顯含x，故令，則。原方程化為

。04二階線性微分方程二階線性微分方程一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。為了更清楚地闡述二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，我們引入一個(gè)新的概念，即函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)。二階線性微分方程二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

中也含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。由通解的定義知，

是二階非齊次線性微分方程的通解。二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程由定理2知，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程［見(jiàn)式（6-10）］通解的關(guān)鍵是找出其兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解。由于

中的p和q均為常數(shù)，而形如y=erx的指數(shù)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是自身的倍數(shù)，故設(shè)想方程

有y=erx的解（其中r為待定常數(shù)）。二階線性微分方程感謝觀看空間解析幾何與向量代數(shù)第七章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系空間解析幾何是用代數(shù)的方法研究空間圖形的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它在其他學(xué)科特別是工程技術(shù)上的應(yīng)用比較廣泛。此外，我們?cè)谟懻摱嘣瘮?shù)微積分時(shí)，空間解析幾何也能給多元函數(shù)提供直觀的幾何解釋。空間直角坐標(biāo)系因此在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分之前，先介紹空間解析幾何的知識(shí)。本章首先引入在工程技術(shù)上有著廣泛應(yīng)用的空間直角坐標(biāo)系及向量的概念。然后介紹向量的線性運(yùn)算（將向量線性運(yùn)算代數(shù)化），以及向量的乘法（向量的數(shù)量積與向量積）；接著以向量為工具介紹空間平面和直線；最后介紹空間曲面和空間曲線?？臻g直角坐標(biāo)系過(guò)空間一定點(diǎn)O作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)，具有相同的單位長(zhǎng)度。這三條數(shù)軸分別稱為x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸?？臻g直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系各軸正向之間的順序要求符合右手法則（見(jiàn)圖7-1）?？臻g直角坐標(biāo)系即用右手握住z軸，讓右手的四指從x軸的正向以π/2的角度轉(zhuǎn)向y軸的正向，這時(shí)大拇指所指的方向就是z軸的正向。這樣的三個(gè)坐標(biāo)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為右手空間直角坐標(biāo)系。與之相對(duì)應(yīng)的是左手空間直角坐標(biāo)系?？臻g直角坐標(biāo)系這三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分稱為一個(gè)卦限（見(jiàn)圖7-2）?？臻g直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法這樣，空間的點(diǎn)M就與一有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（見(jiàn)圖7-3）。空間直角坐標(biāo)系三、空間內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式這六個(gè)平面圍成了一個(gè)以M1M2為對(duì)角線的長(zhǎng)方體，如圖7-4所示。02向量及其坐標(biāo)表示法一、向量的概念向量及其坐標(biāo)表示法客觀世界有各種各樣的量，一類如時(shí)間、質(zhì)量、長(zhǎng)度、距離等，它們只有大小沒(méi)有方向。另一類如力、速度、位移、加速度等，它們不僅有大小而且有方向。對(duì)于后者需要引進(jìn)向量的概念。向量及其坐標(biāo)表示法既有大小又有方向的量稱為向量。向量通常用一條有方向的線段即有向線段來(lái)表示。有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。向量及其坐標(biāo)表示法記法：以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作

（見(jiàn)圖7-5）。在研究向量時(shí)，一般只考慮大小與方向，即這時(shí)向量只與大小、方向有關(guān)，而與起點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，我們稱這種向量為自由向量。在這種情況下，若兩個(gè)向量的方向相同且長(zhǎng)度相等，則稱它們相同。本章討論的向量都是自由向量。向量及其坐標(biāo)表示法向量及其坐標(biāo)表示法二、向量的線性運(yùn)算由于向量與我們以前在數(shù)學(xué)課程中所學(xué)的量完全不同，因此必須定義它的運(yùn)算。向量的加法滿足下列運(yùn)算律：（1）交換律，

；（2）結(jié)合律，

。向量及其坐標(biāo)表示法向量的加減法：定義1，如圖7-6所示。向量及其坐標(biāo)表示法向量的加法也可以按如下的平行四邊形法則定義：如圖7-7所示。向量及其坐標(biāo)表示法這個(gè)向量即為所求的和，如圖7-8所示。向量及其坐標(biāo)表示法若把向量a與b移到同一起點(diǎn)O，則從a的終點(diǎn)A向的b終點(diǎn)B所引的向量

便是b-a（見(jiàn)圖7-9）。三、向量的坐標(biāo)表示向量的運(yùn)算僅靠幾何方法研究有些不便，為此需將向量的運(yùn)算代數(shù)化。下面先介紹向量的坐標(biāo)表示法。在空間直角坐標(biāo)系中，將與x軸、y軸、z軸的正向同向的單位向量分別記為i、j、k，它們統(tǒng)稱為基本單位向量。向量及其坐標(biāo)表示法向量及其坐標(biāo)表示法任給一向量a，三個(gè)平面分別垂直于三條坐標(biāo)軸，，如圖7-10所示。向量及其坐標(biāo)表示法例2

如圖7-11所示。向量及其坐標(biāo)表示法四、向量的模、方向角、投影向量的模的坐標(biāo)表示，如圖7-12所示。向量及其坐標(biāo)表示法方向角與方向余弦，如圖7-13所示。03向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積一、兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，如圖7-14所示。向量的數(shù)量積與向量積定義4，如圖7-15所示。兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算式向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積二、兩向量的向量積兩向量的向量積的定義及其性質(zhì)，如圖7-16所示。向量的數(shù)量積與向量積由兩個(gè)向量的向量積定義可知，a*b的模等于以a、b為鄰邊的平行四邊形面積（見(jiàn)圖7-17）。兩向量的向量積的坐標(biāo)計(jì)算式向量的數(shù)量積與向量積04平面及其方程平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程如果一非零向量垂直于一平面，這個(gè)向量就稱為該平面的法線向量，簡(jiǎn)稱為法向量。顯然，平面的法向量垂直于平面內(nèi)的任一向量并且任一平面都有無(wú)窮多法向量，從方向上分為兩組。平面及其方程（見(jiàn)圖7-18）?，F(xiàn)在來(lái)建立平面π的方程。平面及其方程三、兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角（通常指銳角）稱為兩平面的夾角，如圖7-19所示。05空間直線及其方程空間直線方程與直線平行的非零向量稱為該直線的方向向量。顯然一條直線的方向向量有無(wú)窮多個(gè)，它們互相平行，從方向上可以分成兩組。直線上任一向量都平行于該直線的方向向量。由立體幾何學(xué)知識(shí)可知，過(guò)空間一點(diǎn)可以作而且只能作一條平行于已知直線的直線?？臻g直線及其方程空間直線及其方程下面我們將利用這個(gè)結(jié)論來(lái)建立空間直線的方程，（見(jiàn)圖7-20）?？臻g直線及其方程二、空間直線的一般方程該直線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)都應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面方程，而不在該直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)不能同時(shí)滿足這兩個(gè)方程。就是這兩個(gè)平面交線的方程。三、兩直線的夾角空間直線及其方程兩直線方向向量的夾角稱為兩直線的夾角（通常指銳角）。設(shè)直線L1、L2分別為

、

?？臻g直線及其方程四、直線與平面的夾角已知直線L的方程為

。平面π的方程為

。06二次曲面與空間曲線一、曲面方程的概念我們把任何曲面都理解為滿足一定條件的點(diǎn)的幾何軌跡。平面是曲面的特殊情形，平面方程是關(guān)于x，y，z的三元一次方程

。二次曲面與空間曲線二次曲面與空間曲線二、常見(jiàn)的二次曲面及其方程母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程：動(dòng)直線L沿給定曲線C平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面，動(dòng)直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線（見(jiàn)圖7-21）。二次曲面與空間曲線現(xiàn)在建立以xOy坐標(biāo)面上的曲線C[f（x，y）=0]為準(zhǔn)線，以平行于z軸的直線L為母線的柱面（見(jiàn)圖7-22）方程。二次曲面與空間曲線以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程：現(xiàn)在建立yOZ面上以曲線C[f（y，z）=0]繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面（見(jiàn)圖7-26）的方程。二次曲面與空間曲線三、空間曲線的方程空間曲線的一般方程：例23，（見(jiàn)圖7-31）。二次曲面與空間曲線四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影例25，（見(jiàn)圖7-34）。感謝觀看多元微分學(xué)第八章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念在前面已經(jīng)討論了含有一個(gè)自變量的函數(shù)（一元函數(shù)），但在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，經(jīng)常會(huì)遇到含有兩個(gè)及兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，即多元函數(shù)。二元函數(shù)與一元函數(shù)有許多相似之處，但在某些方面存在本質(zhì)區(qū)別，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意它們的聯(lián)系與區(qū)別。一、平面區(qū)域平面上由幾條曲線圍成的部分平面稱為平面區(qū)域，一般用D表示。圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界線。多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念它們對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域見(jiàn)圖8-1～圖8-4。多元函數(shù)的基本概念它們對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域見(jiàn)圖8-1～圖8-4。多元函數(shù)的基本概念它們對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域見(jiàn)圖8-1～圖8-4。多元函數(shù)的基本概念它們對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域見(jiàn)圖8-1～圖8-4。二、多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的基本概念上面兩個(gè)例子，雖然是來(lái)自不同領(lǐng)域的問(wèn)題，但是都說(shuō)明了三個(gè)變量之間的關(guān)系。這種關(guān)系給出了一個(gè)變量與兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)法則。依照這個(gè)法則，當(dāng)這兩個(gè)變量在允許的范圍內(nèi)取定一組數(shù)時(shí)，另一個(gè)變量有唯一確定值與之對(duì)應(yīng)。多元函數(shù)的基本概念類似地，可以定義三元函數(shù)、四元函數(shù)等。二元及二元以上的函數(shù)，統(tǒng)稱為多元函數(shù)。多元函數(shù)的定義域、函數(shù)值和對(duì)應(yīng)法則的求法與一元函數(shù)的定義域、函數(shù)值和對(duì)應(yīng)法則的求法基本相似。多元函數(shù)的基本概念【例1】（1）如圖8-5所示。多元函數(shù)的基本概念【例1】（2）如圖8-6所示。多元函數(shù)的基本概念【例1】（3）如圖8-7所示。多元函數(shù)的基本概念以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心、以4為半徑的上半球面，如圖8-8所示。多元函數(shù)的基本概念三、二元函數(shù)的極限點(diǎn)（x，y）趨于點(diǎn)（x0，y0）的方式是任意的（見(jiàn)圖8-9）。四、二元函數(shù)的連續(xù)多元函數(shù)的基本概念根據(jù)極限四則運(yùn)算法則及有關(guān)復(fù)合函數(shù)的極限定理，可以證明，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合函數(shù)都是連續(xù)的。由此可以得出，二元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)。02偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們研究過(guò)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)y對(duì)于自變量x的變化率。對(duì)于多元函數(shù)，我們也常常需要研究它對(duì)某個(gè)自變量的變化率的問(wèn)題，這就有了偏導(dǎo)數(shù)的概念。根據(jù)以上定義，可以發(fā)現(xiàn)：二元函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是將y看成常量，只把x看成變量的一元函數(shù)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)對(duì)求y偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是將x看成常量，只把y看成變量的一元函數(shù)對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)，但對(duì)于二元函數(shù)，由本例和本章第一節(jié)的例5可知，即使兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在（也稱可導(dǎo)）也不能保證二元函數(shù)的連續(xù)性。類似于一元函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義，可以定義二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)。03全微分全微分類似于一元函數(shù)微分的概念，引入二元函數(shù)全微分的概念。在一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，但在多元函數(shù)里，這個(gè)結(jié)論并不成立。因此，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在只是函數(shù)可微的必要條件。04多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在第二章里，我們學(xué)過(guò)一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題比較復(fù)雜，我們先從一種特殊情況開(kāi)始討論。多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法為方便記住復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，可以先畫出各變量之間的關(guān)系圖，如式（8-8）中復(fù)合函數(shù)各個(gè)變量之間的依賴關(guān)系可用圖8-10表示。多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法（1）多元復(fù)合函數(shù)各變量之間的關(guān)系如圖8-11所示。多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法（2）多元復(fù)合函數(shù)各變量之間的關(guān)系如圖8-12所示。多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法式（8-7）中各變量之間的關(guān)系可用圖8-13表示。多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法二、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)方程

確定了函數(shù)

，則將它代入方程變?yōu)楹愕仁?/p>

。

兩端對(duì)x求導(dǎo)得

。05多元函數(shù)的極值和最值一、二元函數(shù)的極值定義

6設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)

處的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于點(diǎn)

的點(diǎn)P（x，y）。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值定義

6，（見(jiàn)圖8-14）。多元函數(shù)的極值和最值

，如圖8-15。多元函數(shù)的極值和最值二、二元函數(shù)的最值由本章定理1可知，有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。與一元函數(shù)類似，函數(shù)的最大值或最小值可能在區(qū)域D內(nèi)部的駐點(diǎn)或是在一階偏導(dǎo)數(shù)中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)處取得，也可能在該區(qū)域的邊界上取得。多元函數(shù)的極值和最值因此，求有界閉區(qū)域上二元函數(shù)的最值的方法是：求出函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的駐點(diǎn)、一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值及該函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大值和最小值。比較這些值，其中最大者就是該函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值，最小者就是該函數(shù)在閉區(qū)域D上的最小值。求多元函數(shù)的最值一般比較復(fù)雜，但是若根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，已知函數(shù)在區(qū)域內(nèi)存在最大值（最小值），又知函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可微。且只有唯一的駐點(diǎn)，則該點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最大值（最小值）。多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值三、條件極值將這種對(duì)自變量有附加條件的極值問(wèn)題稱為條件極值問(wèn)題。在有些情況下，可將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題。但在很多情況下，條件極值并不容易轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值，為此我們介紹一種直接求解條件極值的方法—拉格朗日乘數(shù)法。感謝觀看二重積分第九章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)在一元函數(shù)積分學(xué)中，定積分是某種確定形式的和式極限。若將這種和式極限的概念推廣到定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)，則得到二重積分的概念。本章將介紹二重積分的概念、計(jì)算方法及應(yīng)用。一、二重積分的概念引例曲頂柱體的體積：由于f（x，y）在區(qū)域D上連續(xù)，因此它在每個(gè)小區(qū)域上的變化很小，就可以用每個(gè)小區(qū)域上的平頂柱體的體積來(lái)近似替代小曲頂柱體的體積。二重積分的概念與性質(zhì)且區(qū)域D分割得越細(xì)，近似值的精度就越高。于是就可以像求曲邊梯形的面積一樣，用“分割、取近似、求和、取極限”四個(gè)步驟來(lái)求曲頂柱體的體積。二重積分的概念與性質(zhì)引例曲頂柱體的體積，如圖9-1所示。二重積分的概念與性質(zhì)取近似，（見(jiàn)圖9-2）。二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的定義：上面這個(gè)例子可看作二元函數(shù)在平面區(qū)域上的一個(gè)和式的極限。在物理、力學(xué)、幾何及工程技術(shù)中，有很多量的計(jì)算都可以歸結(jié)為上述特定和式的極限，拋開(kāi)其具體意義，可以抽象出二重積分的定義。二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1

，k為常數(shù)。性質(zhì)202二重積分的計(jì)算一、在直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算與定積分的定義類似，根據(jù)定義計(jì)算二重積分顯然很困難，需要找到一種實(shí)際可行的計(jì)算方法。本節(jié)先介紹在直角坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分，再介紹在極坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分。二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式組表示為，如圖9-3所示。二重積分的計(jì)算截面面積A（x）又如何確定呢？由圖9-4可見(jiàn)。二重積分的計(jì)算設(shè)積分區(qū)