高等數(shù)學(xué) 課件【ch07】空間解析幾何與向量代數(shù)

空間解析幾何與向量代數(shù)第七章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系空間解析幾何是用代數(shù)的方法研究空間圖形的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它在其他學(xué)科特別是工程技術(shù)上的應(yīng)用比較廣泛。此外，我們在討論多元函數(shù)微積分時，空間解析幾何也能給多元函數(shù)提供直觀的幾何解釋?？臻g直角坐標(biāo)系因此在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分之前，先介紹空間解析幾何的知識。本章首先引入在工程技術(shù)上有著廣泛應(yīng)用的空間直角坐標(biāo)系及向量的概念。然后介紹向量的線性運算（將向量線性運算代數(shù)化），以及向量的乘法（向量的數(shù)量積與向量積）；接著以向量為工具介紹空間平面和直線；最后介紹空間曲面和空間曲線?？臻g直角坐標(biāo)系過空間一定點O作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點，具有相同的單位長度。這三條數(shù)軸分別稱為x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸?？臻g直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系各軸正向之間的順序要求符合右手法則（見圖7-1）?？臻g直角坐標(biāo)系即用右手握住z軸，讓右手的四指從x軸的正向以π/2的角度轉(zhuǎn)向y軸的正向，這時大拇指所指的方向就是z軸的正向。這樣的三個坐標(biāo)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為右手空間直角坐標(biāo)系。與之相對應(yīng)的是左手空間直角坐標(biāo)系?？臻g直角坐標(biāo)系這三個相互垂直的坐標(biāo)面把空間分成八個部分，每一部分稱為一個卦限（見圖7-2）。空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)表示方法這樣，空間的點M就與一有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）建立了一一對應(yīng)關(guān)系（見圖7-3）?？臻g直角坐標(biāo)系三、空間內(nèi)兩點之間的距離公式這六個平面圍成了一個以M1M2為對角線的長方體，如圖7-4所示。02向量及其坐標(biāo)表示法一、向量的概念向量及其坐標(biāo)表示法客觀世界有各種各樣的量，一類如時間、質(zhì)量、長度、距離等，它們只有大小沒有方向。另一類如力、速度、位移、加速度等，它們不僅有大小而且有方向。對于后者需要引進(jìn)向量的概念。向量及其坐標(biāo)表示法既有大小又有方向的量稱為向量。向量通常用一條有方向的線段即有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。向量及其坐標(biāo)表示法記法：以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作

（見圖7-5）。在研究向量時，一般只考慮大小與方向，即這時向量只與大小、方向有關(guān)，而與起點位置無關(guān)，我們稱這種向量為自由向量。在這種情況下，若兩個向量的方向相同且長度相等，則稱它們相同。本章討論的向量都是自由向量。向量及其坐標(biāo)表示法向量及其坐標(biāo)表示法二、向量的線性運算由于向量與我們以前在數(shù)學(xué)課程中所學(xué)的量完全不同，因此必須定義它的運算。向量的加法滿足下列運算律：（1）交換律，

；（2）結(jié)合律，

。向量及其坐標(biāo)表示法向量的加減法：定義1，如圖7-6所示。向量及其坐標(biāo)表示法向量的加法也可以按如下的平行四邊形法則定義：如圖7-7所示。向量及其坐標(biāo)表示法這個向量即為所求的和，如圖7-8所示。向量及其坐標(biāo)表示法若把向量a與b移到同一起點O，則從a的終點A向的b終點B所引的向量

便是b-a（見圖7-9）。三、向量的坐標(biāo)表示向量的運算僅靠幾何方法研究有些不便，為此需將向量的運算代數(shù)化。下面先介紹向量的坐標(biāo)表示法。在空間直角坐標(biāo)系中，將與x軸、y軸、z軸的正向同向的單位向量分別記為i、j、k，它們統(tǒng)稱為基本單位向量。向量及其坐標(biāo)表示法向量及其坐標(biāo)表示法任給一向量a，三個平面分別垂直于三條坐標(biāo)軸，，如圖7-10所示。向量及其坐標(biāo)表示法例2

如圖7-11所示。向量及其坐標(biāo)表示法四、向量的模、方向角、投影向量的模的坐標(biāo)表示，如圖7-12所示。向量及其坐標(biāo)表示法方向角與方向余弦，如圖7-13所示。03向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積一、兩向量的數(shù)量積兩向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，如圖7-14所示。向量的數(shù)量積與向量積定義4，如圖7-15所示。兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)計算式向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積二、兩向量的向量積兩向量的向量積的定義及其性質(zhì)，如圖7-16所示。向量的數(shù)量積與向量積由兩個向量的向量積定義可知，a*b的模等于以a、b為鄰邊的平行四邊形面積（見圖7-17）。兩向量的向量積的坐標(biāo)計算式向量的數(shù)量積與向量積04平面及其方程平面及其方程一、平面的點法式方程如果一非零向量垂直于一平面，這個向量就稱為該平面的法線向量，簡稱為法向量。顯然，平面的法向量垂直于平面內(nèi)的任一向量并且任一平面都有無窮多法向量，從方向上分為兩組。平面及其方程（見圖7-18）?，F(xiàn)在來建立平面π的方程。平面及其方程三、兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角（通常指銳角）稱為兩平面的夾角，如圖7-19所示。05空間直線及其方程空間直線方程與直線平行的非零向量稱為該直線的方向向量。顯然一條直線的方向向量有無窮多個，它們互相平行，從方向上可以分成兩組。直線上任一向量都平行于該直線的方向向量。由立體幾何學(xué)知識可知，過空間一點可以作而且只能作一條平行于已知直線的直線?？臻g直線及其方程空間直線及其方程下面我們將利用這個結(jié)論來建立空間直線的方程，（見圖7-20）?？臻g直線及其方程二、空間直線的一般方程該直線上任何一點的坐標(biāo)都應(yīng)同時滿足這兩個平面方程，而不在該直線上的點的坐標(biāo)不能同時滿足這兩個方程。就是這兩個平面交線的方程。三、兩直線的夾角空間直線及其方程兩直線方向向量的夾角稱為兩直線的夾角（通常指銳角）。設(shè)直線L1、L2分別為

、

?？臻g直線及其方程四、直線與平面的夾角已知直線L的方程為

。平面π的方程為

。06二次曲面與空間曲線一、曲面方程的概念我們把任何曲面都理解為滿足一定條件的點的幾何軌跡。平面是曲面的特殊情形，平面方程是關(guān)于x，y，z的三元一次方程

。二次曲面與空間曲線二次曲面與空間曲線二、常見的二次曲面及其方程母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程：動直線L沿給定曲線C平行移動所形成的曲面稱為柱面，動直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線（見圖7-21）。二次曲面與空間曲線現(xiàn)在建立以xOy坐標(biāo)面上的曲線C[f（x，y）=0]為準(zhǔn)線，以平行于z軸的直線L為母線的柱面（見圖7-22）方程。二次曲面與空間曲線以坐