北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末幾何壓軸題(含答案)

八下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)專題幾何壓軸題專練

1.如圖1,在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)BC重合)，以AD

為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.設(shè)NBAC=a,

ZDCE=p.

(1)求證：△DAB也△EAC.

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

@a=50°,則。=

②猜想a與。之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證明.

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想a與。之間的數(shù)帚關(guān)

系，并對(duì)你的結(jié)論給出證明.

2.如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，將ABE沿AE折疊后得到△AFE,

點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G,AB=3,AD=4.

(1)如圖1,當(dāng)＞DAG=30。時(shí),求BE的長(zhǎng);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段GC的長(zhǎng)；

(3)如圖3,點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)aCFE的周長(zhǎng)最小時(shí)，直接寫出BE的長(zhǎng).

圖1圖2

(1)如圖1,在oABCD中,AE平分/BAD交CD邊于點(diǎn)E,已知AB=5cm,AD=3cm,

則EC等于cm3

(2)如圖2,在DABCD中，若AE,BE分別是NDAB,NCBA的平分線，點(diǎn)E在

DC邊上，且AB=4,則目ABCD的周長(zhǎng)為。

(3)如圖3,已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC,若AF,BE分別是NDAB,

/CBA的平分線。求證：DF=EC

(4)在(3)的條件下，如果AD=3,AB=5,則EF的長(zhǎng)為。

4.已知，在^ABCD中，AB1BD,AB=BD,E為射線BC上一點(diǎn)，連接AE交BD

于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且4F=6，求AB的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，過點(diǎn)。作OG1AE于G，延長(zhǎng)DG交BC于

H，連接FH.求證：AF=DH+FH;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)。作0G14E于G,M為AG

的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC邊上且BN=1,已知AB=5V2，請(qǐng)直接寫出MN的最小值.

5.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=a,BC=b,a>b,點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn),

連接CP,將△ACP沿CP翻折得到△QCP.

(1)若PQ_LAB,由折疊性質(zhì)可得NBPC=°；

(2)若a=8,b=6,且PQ_LAB,求C到AB的距離及BP的長(zhǎng)：

(3)連接BQ,若四辿形BCPQ是平行四邊形，直接寫出a與b之間的關(guān)系式.

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB1AC,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,將直線AC

繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a(0°<a<90°),分別交線段BC,AD于點(diǎn)E,F,連接

(1)如圖1，在旋轉(zhuǎn)的過程中，寫出線段AF與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至90。時(shí)，判斷四邊形ABEF的形狀，并說明理由；

(3)若AB=1,BC=V5,求當(dāng)a等于多少度時(shí)，BF=DF?

7.在Rt△ABC中，乙ABC=90°,=BC=4,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到,其中點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)①，%.連接zb%,BE1交

于點(diǎn)D.

圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)A1落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段ABX的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)△4BC旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)，求證：點(diǎn)D為線段力義中點(diǎn)；

(3)若△4/iC從圖1的位置繞點(diǎn)C繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。<1490。)，當(dāng)

直線AB與直線AB］相交構(gòu)成的4個(gè)角中最小角為30。時(shí)，求a的值.

8.如圖①，在平行四邊形ABCD中，AD=BD=2,BD_LAD,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一

動(dòng)點(diǎn)，連接DE,將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到DF,連接BF.

(1)求證BF=AE；

(2)如圖②，若F點(diǎn)恰好落在AC,求OF的長(zhǎng)；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)F落在AOBC的外部，構(gòu)成四邊形求四邊形DEMF

的面積.

9.如圖

(1)如圖①，在Rt&ABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重

合)，將線段AD繞點(diǎn)Z逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC,證明線段BC,

DC,EC之間滿足的等量關(guān)系；

(2)如圖②，在Rtx/IBC與中，AB=AC,AD=AE,將△4CE繞

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在BC邊上，探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系，

并證明結(jié)論；

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AABC=AACB=^ADC=45°若

8。=12,CD=4,求AD的長(zhǎng).

10.把△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到△ADE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B恰好在ED的延長(zhǎng)線上時(shí)，若。=60。，求/ABC的度數(shù);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C恰好在ED的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：CA平分NBCE；

(3)如圖3,連接CD,如果DE=DC,連接EC與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,直接寫出

NF的度數(shù)(用含a的式子表示).

11.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中.直線y=-1x+3與x軸、y軸相交于A、B兩

點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在線段OA上，將線段CB繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,此時(shí)點(diǎn)D

恰好落在直線AB上時(shí)，過點(diǎn)D作DElx軸于點(diǎn)E.

(1)求證：ABOCg△CED；

(2)如圖2,將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D',當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，

求點(diǎn)D的坐標(biāo)及△BCD平移的距離；

(3)若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在直線AB上.是否存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐;若不存在，請(qǐng)說明理由.

12.在等邊三角形ABC中，AD1BC于D,AB=2,

圖①圖②圖①

(1)如圖①，點(diǎn)、E為AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到AB的距離為

(2)如圖②，點(diǎn)M為AD上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

（3）（問題解決）

如圖③，A,B兩地相距600/cm,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條

鐵路，點(diǎn)B到AC的距離為360km.今計(jì)劃在鐵路線AC上修一個(gè)中轉(zhuǎn)站M,再

在BM間修一條筆直的公路.如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍,

那么為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，中轉(zhuǎn)站

M應(yīng)修在使AM=（千米）處.

13.已知用4A6c中，/6AC=90。，AB=ACf點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接AE,CE,

CELAE,過點(diǎn)8作交4E的延長(zhǎng)線于D.

（fflI）（圖2）（圖3）

（1）如圖1,求證8D=4E；

（2）如圖2,點(diǎn)”為8c中點(diǎn)，分別連接E”，DH,求的度數(shù)；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)M為C77上的一點(diǎn)，連接EM,點(diǎn)產(chǎn)為EM的中

點(diǎn)，連接FH,過點(diǎn)。作。從交尸”的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若GH：FH=6：5,△FHM

的面積為30,/EHB/BHG,求線段E”的長(zhǎng).

14.閱讀下面材料，并儺決問題；

（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,

5,求NAPB的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP，處，此時(shí)△ACP^AABP,

這樣就可以利川旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出

ZAPB=；

（2）基本運(yùn)用

請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題:

已知如圖②，△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點(diǎn)且NEAF=

45°,求證：EF2=BE2+FC2；

（3）能力提升

如圖③，在RSABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點(diǎn)O為RsABC內(nèi)

一點(diǎn)，連接AO,BO,CO,fiZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,求OA+OB+OC的值.

15.在△ABC和△ADE中，Z-BAC=/.DAE=90。，且48=AC,AD=AE.

D

圖

(1)如圖1,如果點(diǎn)D在BC上，且B。=4,CO=3,求DE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,AD與BC相交于點(diǎn)N,點(diǎn)D在BC下方，連接BD,且A。18D,

連接CE并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,點(diǎn)M是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CM=4尸，

求證：CF=AN+MN；

(3)如圖3,若40=4B,LADE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，取DE中點(diǎn)M,連接BM,

取BM中點(diǎn)N,連接AN,點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，連接DN,若DN恰好經(jīng)過點(diǎn)F,請(qǐng)直接寫

出DF-.DN-.AN的值.

16.如圖1,△ABC是直角三角形，NACB=90。，點(diǎn)D在AC上，DEJ_AB于E,連

接BD,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接EF,CF.

(1)EF和CF的數(shù)量關(guān)系為；

(2)如圖2,若4ADE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí)，小明通過作△ABC

和△ADE斜邊上的中線CM和EN,再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的數(shù)

量關(guān)系，請(qǐng)寫出此時(shí)EF和CF的數(shù)量關(guān)系；

(3)若4AED繼續(xù)繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，EF和CF的數(shù)量關(guān)系是什么？

寫出你的猜想，并給予記明.

17.我們定義:如圖1、組2、圖3,在AABC中,把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<

a<180°)得到ABr,把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)￡得到AC,連接B'C',當(dāng)a+

夕=180。時(shí)，我們稱AAB'C是AABC的“旋補(bǔ)三角形"，AAB'C邊B'C上的中線

AD叫做AABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.圖1、圖2、圖3中的AAB'C均

是AABC的“旋補(bǔ)三角形

(1)①如圖2,當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，“旋補(bǔ)中線”40與BC的數(shù)量關(guān)系為:

AD=BC：

②如圖3,當(dāng)Z.BAC=90°,BC=8時(shí)，貝廣旋補(bǔ)中線“4。長(zhǎng)為.

(2)在圖1中，當(dāng)AABC為任意三角形時(shí)，猜想“旋補(bǔ)中線”40與BC的數(shù)量關(guān)

系，并給予證明.

18.在平行四邊形A8CO中，乙BAD的角平分線交直線3c于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)立

圖25-1圖25-2

(1)在(圖25-1)中證明CE=CF；

(2)若/.ABC=90°,G是石戶的中點(diǎn)(如圖25-2),求乙BDG的度數(shù);

(3)若Z.ABC=120°,FG//CE,FG=CE,分別連接80、DG(如圖25—3),

直接寫出乙BDG的度數(shù).

19.在口ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,將過點(diǎn)A的直線1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，交射線

CD于點(diǎn)E,BFJJ于點(diǎn)F,DGJJ于點(diǎn)G,連接OF,OG.

（1）如圖①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段OF,OG的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，OF與OG有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)

（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，上述的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說明理

由.

20.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB±AC,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,將亙線

AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a（0?！葱?0。），分班交線段BC,AD于點(diǎn)E,F,連接

BF.

（1）如圖1,在旋轉(zhuǎn)的過程中，求證：OE=OF；

（2）如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至90。時(shí)，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）若AB=1,BC=V5,且BF=DF,求旋轉(zhuǎn)角度a的大小.

21.如圖1,在RSABC中，ZA=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,

AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).

（1）觀察猜想：

圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；

（2）探究證明：

把AADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷△PMN

的形狀，并說明理由;

（3）拓展延伸：

把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=10,請(qǐng)直接寫出面積

的最大值.

22.如圖，已知函數(shù)y=-1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,與函數(shù)y二x的

圖象交于點(diǎn)M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P（a,0）（其中a>2）,過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交函數(shù)

y=-+b和y=x的圖象于點(diǎn)C、D.

①若OB=2CD,求a的值；

②是否存在這樣的點(diǎn)P,使以B、0、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，

直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案與解析

1.【答案】(1)證明：VZDAE=ZBAC,

/CAD-ZDAE=ZCAD-ZBAC,

AZCAE=ZBAD,

在^DAB和^EAC中，

1/.BAD=^.CAF

(AD=AE

???△DAB^AEAC(SAS)

(2)解：①130；

@a+p=180°,

理由：由(1)知，△DAB^AEAC,

AZABC=ZACE,

在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,

AZABC=ZACB=1(180。-ZBAC)=1(180°-a)=90。-1a,

.,.p=ZACB+ZACE=ZACB+ZABC=90°-1a+90。-1a=180°-a,

.*.a+p=180°

(3)解：p=a；

理由：VZDAE=ZBAC,

ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

???ZCAE=ZBAD,

在^DAB和^EAC中，

(AB=AC

4BAO=/.CAB

(AD=AE

???△DAB^AEAC(SAS),

AZABD=ZACE,

在△ABC中，AB=AC,NBAC=a,

AZABC=ZACB=1(180°-ZBAC)=1(180°-a)=90°-1a,

AZACE=ZABD=180°-ZABC=180°-(90°-ia)=90。+ia,

Ap=ZACE-ZACB=90°+1a-(90°-1a)=a.

2.【答案】(1)解：???匹邊形ABCD是矩形，

AZBAD=90°,

VZDAG=30°,

AZBAG=60°

由折疊知，ZBAE=izBAG=30°,

在RSBAE中，ZBAE=30°,AB=3,

ABE=V3

(2)解：如圖4,連接GE,

圖4

???E是BC的中點(diǎn)，

ABE=EC,

△ABE沿AE折疊后得到△AFE,

???BE=EF,

AEF=EC,

???在矩形ABCD中，

???ZC=90°,

ZEFG=9(r,

??,在RtAGFE和RtAGCE中,

(EG=EG

IFF=EC

ARIAGFE^RtAGCE(HL),

，GF=GC；

設(shè)GC=x,則AG=3+x：DG=3-x,

在RsADG中，4。(3-x)?=(3+x)

解得x=g.

(3)解：BE=5

3.【答案】(1)2

(2)12

(3)證明：?..在團(tuán)ABCD中，CD//AB,

.-.ZDFA=ZFAB.

又，??AF是NDAB的平分線

.-.ZDAF=ZFAB,

.-.ZDAF=ZDFA,

AAD=DF,同理可彳導(dǎo)EC=BC.

VAD=BC,

.-.DF=EC

(4)I

4.【答案】⑴解:如圖1中,

乙ABD=90°,

vAB=BD,

乙BAD=45°,

乙BDA=乙BAD=45°,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???E、C重合時(shí)BF=\AB，

在RtAABF中，

???AF2=AB2+BF2,

:.(V5)2=(28尸產(chǎn)+BF2,

BF=1,AB=2,

:.AB=2;

(2)證明：如圖2中，在AF上截取AK=HD，連接BK,

???AB1BDyDG1AE,

.../.ABF=Z-FGD=90°,

???Z.AFD=Z.ABF+z2=乙FGD+43,乙ABF=Z-FGD=90°,

z2=z3,

[AB=BD

在ABK和ADBH中，z2=z3,

C4K=HD

AABK=ADBH,

...BK=BH,乙6=乙1,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD〃BC,

z4=zl,

由(1)知44=45°,

zZ=Z6=45°,

???45=Z-ABD-Z6=45°,

z5=z.1,

(BF=BF

在AFBK和AFBH+,]Z5=Z1,

\BK=BH

:.AFBK=AFBH,

???KF=FH,

vAF=AK+KF,

???AF=DH+FH；

(3)解：MN的最小值為雪二5.

5.【答案】(1)45

(2)解：如圖，作CH_AB于H

由翻折的性質(zhì)可知：ZAPC=ZQPC

VCH1AB,ZBPC=45°

ACH=PH

在RtAABC中，AB=>JAC2+BC2=回+在=10

??

”BCH=”CBC即SCH=24

ACH=254j

(3)解：如圖:連接BQ

由翻折的性質(zhì)可得：PA=PQ,ZQPC=ZAPC

???四邊形BCPQ是平行四邊形

APQ=BC=PA=b,PQ//BC,

???ZQPC+ZPCB=180°

VZBPC+ZAPC=180°

AZPCB=ZBPC

APB=BC=b

AAP=PB=b,AB=2b,

在RtAABC中,則有(2b)2=a2+b2

a2=3b2

Va>0.b>0,

Aa=V3b.

6.【答案】(1)解：AF=CE.理由如下:

???四邊形ABCD為平行四邊形，

AAD//CB,OA=OC.

，ZFAO=ZECO.

在AAOF和ACOE中，

Z.AOF=乙COE,

:0A=0C,

^FAO=乙ECO,

：?2AOF=△COE{ASA).

AAF=CE.

（2）解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)至90。時(shí)，四邊形ABEF為平行四邊形.理由如下：

VZAOF=90°,ZBAC=90°,

AAB〃EF.

又丁四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,即AF//BE.

???四邊形ABEF為平行四邊形

（3）解：當(dāng)°等丁45度時(shí)，BF=DF.理由如下：

VAB=1,BC=V5,AB1AC,

???AC=y/BC2-AB2=J（V5）2-l2=2-

???四邊形ABCD為平行四邊形，

***OA=*AC=x2=1?BO=DO.

???OA;AB=1.點(diǎn)O在線段BD的垂直平分線上.

???△ABO為等腰直角三用形.

AZAOB=45°.

當(dāng)F在線段BD的垂直平分線上時(shí)，BF=DF,

???FO垂直平分BD.

???ZBOF=90°.

：,Z-AOF=乙BOF-^AOB=90°-45°=45°,即a=45°.

???當(dāng)a等于45度時(shí)，BF-DF.

7.【答案】（1）解：???/^△力口。中，^ABC=90°,BA=BC=4,

=45。，AC=7ABz+8c2=742+42=4&.

???△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△48停，

A=45°,BiC=BC=4.

=180°-44cB-LAXCBX=90°.

22

??AB,-JAC+BLC-J（4偽2+42-473

（2）證明：過點(diǎn)4作A.E//AB交BBi的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

E

圖2

/.ABD=Z.DEA1.

9

：BXC=BC,

:?乙CBB]=乙CB\B.

??"48C==90。，

：.Z.ABD+乙CBBi=乙CB、B+Z-AXBAE=90°.

乙

Z.A1B1E=ABD=Z.DEA1.

=AXE.

\'AB=A1B1,

*?AB=AXE.

,：/.ADB=^DE,

A△ADB=△A1DE.

??AD=Z.A1D.

，點(diǎn)0為線段44i中點(diǎn)

(3)解：如圖3,當(dāng)直線AB與直線A1B1相交于點(diǎn)A上方，延長(zhǎng)BC交于

點(diǎn)E,

*：/-ABC=90°,Z.P=30°,

:,乙PEB=60°.

?.?4。4181=45°,

Az/liCE=Z.PEB-ACA1E=15°.

如圖4,當(dāng)直線AB與直線為當(dāng)相交于點(diǎn)A下方，延長(zhǎng)BC交為81的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E,

A

P

,：Z.ABC=90°,zP=30°,

:,乙PEB=60°.

??241%。=90。，

"BiCE=-乙PEB=30°.

乙

：.LArCE=B\CE+Z.AYCB=75°.

???當(dāng)直線AB與直線AB】相交構(gòu)成的4個(gè)角中最小角為30。時(shí),a的值為15?；?/p>

75°.

2.【答案】(1)證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，DE=DF,ZEDF=90°

VBD1AD

???ZADB=90°

AZADE=ZBDF

VAD=BD

.*.△ADE^ABDF

ABF=AE

(2)過點(diǎn)D作DG_LAC于點(diǎn)G,

VDE=DF,ZEDF=90°

???NDEF=NDFE=45。，ZDEA=I35°

根據(jù)(1)可得，^ADE咨Z\BDF

AZBFD=ZDEA=I35°,AE=BF

ZBFO=90°

???四邊形ABCD為平行四邊形

AOB=OD

???△DGO^ABFO

ADG=BF,OF=OG

ADG=EG=AE=BF

設(shè)DG=a(a>0),貝ijAG=2a

在直角三角形ADG中，?；AG2+DG2=AD2

(2a)2+a2=22

解得a=?V5

???OF=OG*誓叁

/55

(3)過點(diǎn)D作DN_LAC于點(diǎn)N,將^DEN繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△DFH,

ADH=DN,ZDNE=ZDH=90°,ZDEN=ZDFG

???ZDEF=ZFME=90°

.?.ZDEM+ZDFM=180°

???ZDFH+ZDFM=180°

，點(diǎn)H，點(diǎn)F,點(diǎn)M三點(diǎn)共線

ZDHF=ZDNM=ZFMN=90°

???四邊形DNMG為矩形

VDN=DH

二四邊形DNMH為正方形

AS四邊形DEMF=S四邊形DNMH=(竽)2=i

9.【答案】(1)解：???線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE

-RtLABC^AB=AC

???乙BAD=Z.CAE

ABD=△ACE(SAS)

???DB=EC

??.BC=DC+DB=DC+EC

(2)解：連結(jié)CE

vRt△ABC與RtAADE中AB=AC,AD=AE

，4B=^ACE=45°,DE2=AD2+AE2=2AD2,

?.?由(1)同理可得△ABOwaACE

:.DB=EC,LABD=￡.ACE=45°

???乙ECD=90°Rt△ECD中,DE2=EC2+CD2=BD2+CD2

2AD2=BD2+CD2

(3)解：過點(diǎn)A作AE1AD,且4E=40,連結(jié)DE,CE

乙ABC=Z.ACB=45°:.AB1AC,AB=AC

AE1AD,AE=AD

???由(1)同理可得△ABO三△ACE

DB=EC=12

???Z.ADC=45°

...乙EDC=4ADC+4ADE=90°

:.DE=y/CE2-CD2=422-42=8&

，等腰直角△ADE中AD=8

10.【答案】(1)解：Va=60°,△ABC^AADE,

AAD=AB,ZABC=ZADE.

???ZABD=ZDAB=60°.

???ZABC=ZADE=ZDAB+ZABD=120°.

(2)解：VAC=AE,ZEAC=a,

:.ZE=ZACE.

??,△ABC^AADE,

，ZACB=ZE.

???ZACB=ZACE.

CA平分NBCE.

(3)解：ZF=90°-a.

如下圖：延長(zhǎng)AD交EF于點(diǎn)G,則根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ZGAF=a,

VAABC^AADE

AC=AE,

???△AEC為等腰三角形，

在△AED和△ACD中，

(AE=AC

\DE=CD,

U。=AD

：.△AEDg△ACD(SSS),

???NDAE=NDAC,

???AD平分NEAC,

???△AEC為等腰三角形，

AAG±EF,即NAGF=90°,

：-￡.EAF=3Z.CAF=ya,

???乙F=180°-Z.GAF-LAGF=90°-a.

11.【答案】(1)證明：?：(BOC=^BCD=Z.CED=90°,

??.LOCB+乙DCE=90°,乙DCE+Z-CDE=90°,

AZ.BCO=Z-CDE,

---BC-CD，

△BOCg△CED.

(2)解：BOCgACE。，

OC=DE=m,BO=CE=3,

:.0(m+3,m),

把D(?n+3,TTL)代入y=—?x+3得到，m=—^(m+3)+3，

?*.2m=—m-3+6?

???m=1,

???8(0,3),C(l,0),

???直線BC的解析式為y=-3x+3,

設(shè)直線夕C'的解析式為y=—3x+b,把0(4,1)代入得到b=13,

???直線B'C'的解析式為y=-3x+13,

二。得，0)

10

CC=T

BCD平移的距離是竽個(gè)單位.

(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,1)或(5,1)或(一3秘).

12.【答案】(1)字

1

-

(2)解：如圖，作CN1AB,垂足為N,此時(shí)2最小值等于CN,

A

???在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2,乙ANC=90°,

???AN=1,

由勾股定理得，CN=W

由(1)知，MN=^AM

MN+CM=,M+MC=CN=8，即+MC的最小值為V3

(3)(480-120V3)

13.【答案】(1)證明：VCE1AE,BD1AE,

.,.ZAEC=ZADB=90°,

VZBAC=90°,

???ZACE+CAE=ZCAE+ZBAD=90°,

AZACE=ZBAD,

在^CAE-t/AABD中

Z.ACE=^BAD

AAEC=乙ADB

AC=AB

.*.△CAE^AABD(AAS),

?*.AE=BD；

即

(2)解：連接AH

VAB=AC,BH=CH,

AZBAH=1z^C=1x90o=45o，NAHB=90。，

AZABH=ZBAH=45°,

AAH=BH,

VZEAH=ZBAH-ZBAD=45°-ZBAD,

ZDBH=180°-ZADB-ZBAD-ZABH=45°-ZBAD,

，NEAH=NDBH,

在△AEH與4BDH中

AE=BD

/-EAH=Z.DBH

AH=BH

???△AEH^ABDH(SAS),

AEH=DH,NAHE=/BHD,

ZAHE+ZEHB=ZBHD+ZEHB=90°

即/EHD=90。，

180<90

AZEDH=ZDEH=J°=450；

乙

(3)解：過點(diǎn)M作MS_LFH于點(diǎn)S,過點(diǎn)E作ER_LFH,交HF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，過

點(diǎn)E作ET〃BC,交HR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T.

VDG1FH,ER±FH,

AZDGH=ZERH=90°,

.,.ZHDG+ZDHG=90°

VZDHE=90°,

/.ZEHR+ZDHG=90°,

AZHDG=ZHER

在aDHG與AHER中

(Z.HDG=乙HER

乙OGH=乙ERH

(DH=EH

???△DHG^AHER(AAS),

.*.HG=ER,

,?，ET〃BC,

AZETF=ZBHG,ZEHB=ZHET,

ZETF=ZFHM,

VZEHB=ZBHG,

AZHET=ZETF,

，HE=HT,

在4七尸丁與^MFH中

乙ETF=Z.FHM

Z.EFT=Z.MFH，

EF=FM

???△EFT^AMFH(AAS),

???HF=FT,

,HAMS_FTER

—~=~T~'

AER=MS,

AHG=ER=MS,

設(shè)GH=6k,FH=5k,貝JHG=ER=MS=6k,

HF-MS5k?6k

^-=^-=30'

k=V2,

???FH=5V2,

AHE=HT=2HF=10V2.

14.【答案】(1)150°

(2)解：如圖2,把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACE，，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AEf=AE,CEZ=BE,NCAE，=NBAE,ZACEr=ZB,NEAE，=90。,

ZEAF=45°,

，ZErAF=NEAENEAF=45。，

AZEAF=ZE,AF,

/E=

Z_EAF=Z.EAF

(AF=AF

.*.△EAF^AE'AF(SAS),

AET=EF,

VZCAB=90°,AB=AC,

AZB=ZACB=45°,

???ZE,CF=45°+45o=90°,

由勾股定理得，ET2=CE，2+FC2,

B|JEF2=BE2+FC2.

C

BE圖2

(3)解：如圖3,將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至△AXXB處，連接OCT,

???在RsABC中，ZACB=90°,AC=1,ZABC=30°,

??.AB=2,

???BC=^AB2-AC2=>/3，

A△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,ZABC=30°,

???NA'BC=ZABC+600=30°+60°=90°,

VZC=9U0,AC=1,ZABC=30°,

???AB=2AC=2,

VAAOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AOB,

???A'B=AB=2,BO=BO\AV=A0,

???△BOO,是等邊三角形，

.,.BO=OO\ZBOOx=ZBOfO=60°,

???ZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

.??ZCOB+ZBOO^NBO'A'+NBO'O=120o+60°=180°,

???C、O、A\CT四點(diǎn)共線，

在R"ABC中,A，C=JBC?+了解=J(63+22=6，

???OA+OB+OC=AO+O0'+OC=A'C=夕.

又AS=AC,AD=AE,

BD=CE=4,z-ACE=Z.ABC，

???乙ABC+Z-ACB=90°

???/-ACE+^ACB=90°

ACE是直角三角形，

DE=VCD2+CE2=V324-42=5:

(2)解：

???Z.BAD+Z.DAC=90°.LEAC+^DAC=90°

???乙BAD=Z.EAC

AB=AC

???乙BAD=Z.EAC

AD=AE

.*.△BAD=△CAE(SAS)

Z.ABD=Z-ACE

??TO1BD

...LBAD=90°-Z-ABD

???乙BAC=90。

..."AC=90°-乙BAD

???Z.DAC=乙ABD

:.Z.ACF=Z.DAC

???AD//CF

過點(diǎn)A作AP//BC交FC于點(diǎn)P,

???四邊形ANCP是平行四邊形

AAN=CP,NC=AP

,:AP“BC

4FAP=乙ABC=45°

(PA=NC

\^PAF=乙NCM

(AF=CN

PAF=△NUM(SAS)

MN=PF

:.AN+MN=CP+FP=CF；

(3)DF-.DN-.AN=1:2:2

16.【答案】(1)EF=CF

(2)EF=CF

(3)解：猜想，EF=CF,

理由：如圖3中，取AB的中點(diǎn)M,AD的中點(diǎn)N,連接MC,MF,EN,FN.

VBM=MA,BF=FD,

???MF〃AD,MF-iAD,

VAN=ND,

AMF=AN,MF〃AN,

.??四邊形MFNA是平行四邊形，

，NF=AM,ZFMA=ZANF,

在RlAADE中，VAN=ND,NAED=900,

AEN=:AD=AN=ND,同理CM=1AB=AM=MB,

在仆AEN和^ACM中，

NAEN=NEAN,NMCA=NMAC,

VZMAC=ZEAN,

AZAMC=ZANE,

又.??NFMA=NANF,

AZENF=ZFMC,

VAM=FN,AM=CM,

ACM=NF,

MF=EN

在^MFC和^NEF中，Z,FMC=Z.ENF，

MC=NF

???△MFC^ANEF(SAS),

AFE=FC.

17.【答案】(1)1；4

(2)解：結(jié)論：AD=^BC.

理由：如圖1中，延長(zhǎng)AD到M,使得AD=DM,連接B'M,CM,

圖1

°：B'D=DC',AD=DM,

???四邊形A。MB，是平行四邊形，

：.ACB'M=AC,

?：^BAC+匕B'AC'=180°,乙B'AC'+Z.AB'M=180°,

：.^BAC=乙MB'A,9：AB=AB',

：.ABAC=AAB'M,

：.BC=AM,

：-AD=^BC.

18.【答案】(1)證明：在平行四邊形ABCD中，AB〃CD,AD〃BC

AZBAF=ZF,ZDAF=ZCEF

又TAE平分/BAD

AZBAF=ZDAF

AZF=ZCEF

.\CE=CF

(2)如圖，連接CG、BG.

:ABCD是平行四邊形，ZABC=90°

???平行四邊形ABCD是矩形

.\AB=DC,AB>7DC,AD〃BC,ZBAD=ZADC=ZBCD=ZECF=90°

AZF=ZBAE,ZDBC=ZADB

VZBAD=90°,ZBAE=|ZBAD=45O

AAB=BE,ZF=ZBAE=45°

ACE=CF

???BC=BE+EC=AB+CF=CD+CF=DF

又TG是EF的中點(diǎn)，ZECF=90°,CE=CF

:.CG=FG=1EF,ZECG=iZECF=45°

ZECG=ZF

.*.△DFG^ABCG

AZFDG=ZCBG,DG=BG

AZDBG=ZBDG

??,ZDBC=ZADB,ZFDG=ZCBG

???ZDBC+ZCBG=ZADB+ZFDG

即ZDBG=ZADB+ZFDG

ZBDG=ZADB+ZFDG

XVZBDG+(ZADB+ZFDG)=90°

AZBDG=1ZADC=45°

(3)如圖，連接GB、GE、GCo

VAB//DC,ZABC=I2O°

AZECF=ZABC=120°

VFG//CE,FG=CE

???四邊形CEGF是平行四邊形

由(1)得CE=CF

???四邊形CEGF是菱形，

.\EG=EC,ZGCF=ZGCE=ZECF=60°

???△ECG是等邊三角形

AEG=CG,ZGEC=ZEGC=60°

AZGEC=ZGCF

AZBEG=ZDCG

VAD//BC

AZDAE=ZAEB

又?:ZDAE=ZBAE=1ZDAB

AZBAE=ZAEB

AAB=BE

在izABCD中，AB=DC

ABE=DC

.*.△BEG^ADCG,

???BG=DG,ZBGE=ZDGC

/./RGD=/RGF.+/AGD=/DGC+/AGD=/F.GC=60°

VBG=DG

AZBDG=ZDBG=(I80°-ZBGD)=60°。

19.【答案】(1)解：OF=OG,理由如下：

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，OB=OD,

???BFJJ于點(diǎn)F,DGJJ于點(diǎn)G,

.,.ZBFO=ZDGO=90°,

(Z.BFO=Z.DGO

在4OBF和^ODG中，z_BOF=乙DOG，

OB=OD

.*.△OBF^AODG(AAS),

AOF=OG

(2