《數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)》8100字

數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)綜述目錄TOC\o"1-2"\h\u22950數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)綜述 129001.1IIR數(shù)字濾波器基本理論 160681.2IIR數(shù)字濾波器的幅頻特性與相頻特性 227273如果T=1，則HejωT可以表示為 3137271.3IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 3182581.4IIR數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu) 4164571.4.1直接型 4303051.4.2級(jí)聯(lián)型 6121791.4.3并聯(lián)型 7302731.5IIR數(shù)字濾波器間接法中模擬濾波器設(shè)計(jì)所需的濾波器模型 8320911.5.1巴特沃斯濾波器 92051.5.2切比雪夫Ⅰ型濾波器 10280671.5.3切比雪夫Ⅱ型濾波器 11156951.5.4橢圓濾波器 12227051.6基于四種模擬濾波器模型設(shè)計(jì)IIR濾波器的變換方法 13165241.6.1脈沖響應(yīng)不變法 1339411.6.2雙線性變換法 15128801.6.3匹配Z變換法 161.1IIR數(shù)字濾波器基本理論根據(jù)數(shù)字信號(hào)處理理論，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是關(guān)于Z的有理函數(shù)，所以可以寫成如下形式：Hz其中未知數(shù)z是Z變換的變量z，分子分母的權(quán)重全為實(shí)數(shù)。設(shè)IIR數(shù)字濾波器的以X(z)為采樣信號(hào),Y(z)為輸出信號(hào),有：Yz=X再假設(shè)濾波器的采樣周期為T，對(duì)2-2式進(jìn)行z逆變換可以得到：ykT=?式2-3中，當(dāng)k<0時(shí)令x(kT)=y(kT)=0。對(duì)采樣周期進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（即令T=1），則在t=kT處，將X(kT)、Y(kT)相應(yīng)地表示成x(t)、y(t)。所以式2-3可以改寫成：yt通常情況下，采樣周期一般是不確定的，所以我們總是采用公式2-4，反之，則采用2-3。在時(shí)域中，可以改寫為：z?1對(duì)式2-4進(jìn)行化簡，得：yt分析公式2-1，如果令分母的多項(xiàng)式其中一個(gè)（或以上）的系數(shù)不為0，則稱這種存在分母多項(xiàng)式系數(shù)不為零的濾波器為遞歸型濾波器。以遞歸型濾波器為主的數(shù)字濾波器，它的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中一定含有反饋回路，優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)算速度很快。如果分母多項(xiàng)式的所有系數(shù)都是0，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)中便不存在反饋回路，我們稱這種相應(yīng)的濾波器為非遞歸濾波器?？偨Y(jié)下來，系統(tǒng)內(nèi)部無反饋回路決定了非遞歸濾波器的系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，因?yàn)樗臉O點(diǎn)總是處于零點(diǎn)處。由于數(shù)字濾波器一般采用線性時(shí)不變系統(tǒng)，故可以利用有限精度的算法來實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際的設(shè)計(jì)中，工程師總是在頻域中通過幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)特性來確定它們的各種設(shè)計(jì)指標(biāo)。最后，根據(jù)濾波器脈沖響應(yīng)的長度不同，將其分為兩類：一、無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIR）；二、有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器(IIR)。IIR濾波器的選擇性比FIR濾波器要更好，這是因?yàn)镮IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)可以出現(xiàn)在單位圓內(nèi)的任意位置。因此IIR濾波器所占用的存儲(chǔ)單元少，大大降低了資源的消耗，提高了效率。但是IIR濾波器的高效率卻是建立在非線性的基礎(chǔ)上。如果一個(gè)濾波器的選擇性越好，那么它的相位非線性就越嚴(yán)重。在這方面，F(xiàn)IR濾波器雖然選擇性很差，但它卻擁有理想的線性相位。因此IIR濾波器多應(yīng)用于相位要求不嚴(yán)格的情況下。因?yàn)镮IR濾波器需要的階數(shù)更少，需要的內(nèi)存更少，計(jì)算過程簡潔明了。1.2IIR數(shù)字濾波器的幅頻特性與相頻特性令輸入信號(hào)的采樣周期為T，z=jωT,則H(z)可改寫成：HejωT其中HejωT代表IIR數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)特性，∠此外，He如果T=1，則HejωT可以表示為He由于ejω是周期為2π的函數(shù)，則由函數(shù)的周期性，可以只在0≤ω≤2π或綜上所述，對(duì)于IIR數(shù)字濾波器，在討論它的特性時(shí)只需考慮0≤ω對(duì)于幅頻特性，它在0~π內(nèi)分為通帶，過渡帶和阻帶三個(gè)區(qū)間，通帶是指信號(hào)中通過濾波器后基本保持無衰減的頻率范圍，阻帶是指輸入信號(hào)中被濾波器濾除的無用頻率范圍。因?yàn)樵趯?shí)際中系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)條件有限制，所以在通帶到阻帶中有一個(gè)過渡帶。過渡帶的幅頻特性應(yīng)該盡量平滑地從通帶下降到阻帶。這個(gè)區(qū)域也被稱為過渡區(qū)。對(duì)于相頻特性，因?yàn)槭峭ㄟ^降低階數(shù)來提高效率的，使得IIR數(shù)字濾波器的相位非線性比FIR更加嚴(yán)重。雖然通過FIR濾波器我們可以輕易獲得理想的線性相位，但是IIR數(shù)字濾波器也可以通過相位均衡器等方法獲得接近線性的相位。因此在實(shí)際設(shè)計(jì)過程中，為了獲得低階數(shù)下的高效率，仍可采用IIR數(shù)字濾波器。但是對(duì)濾波器的相位線性要求嚴(yán)格或者高階濾波器的設(shè)計(jì)，還是采取FIR濾波器更為科學(xué)。1.3IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法目前，主流的IIR設(shè)計(jì)方法分為兩種：直接設(shè)計(jì)法以及間接設(shè)計(jì)法[6]。直接設(shè)計(jì)法是直接在時(shí)域或頻域中設(shè)計(jì)濾波器。這種設(shè)計(jì)方法的核心在于先確定最優(yōu)準(zhǔn)則，比如最小均方誤差準(zhǔn)則或絕對(duì)誤差準(zhǔn)則等；其次便是基于最優(yōu)準(zhǔn)則計(jì)算出使系統(tǒng)誤差最小的濾波器系統(tǒng)函數(shù)。間接設(shè)計(jì)法是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)的。第一步確定是確定IIR濾波器的性能指標(biāo)；第二步是將數(shù)字濾波器相應(yīng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)；第三步由模擬濾波器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出所采用的的四種原型模擬濾波器之一；第四步通過模數(shù)轉(zhuǎn)換方法得到需要的IIR濾波器。如今模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法已較為成熟，而且借助MATLAB的FDATool工具箱，我們可以簡便快速的設(shè)計(jì)IIR濾波器并且對(duì)設(shè)計(jì)好的濾波器性能進(jìn)行仿真檢驗(yàn)。所以本文主要研究間接設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器一般分三步：基于實(shí)際產(chǎn)品的設(shè)計(jì)要求，按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的指標(biāo)；確定一個(gè)因果穩(wěn)定的離散型線性時(shí)不變系統(tǒng)，用其系統(tǒng)函數(shù)去近似設(shè)計(jì)所需的理想濾波器性能指標(biāo)。根據(jù)實(shí)際要求即可以選擇IIR系統(tǒng)函數(shù)也可以選擇FIR系統(tǒng)函數(shù)。數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)，主要工作還包括：選擇合適的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，確定運(yùn)算和系數(shù)存儲(chǔ)所需的字長，選用合適的通用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件或?qū)Ｓ玫挠布脚_(tái)實(shí)現(xiàn)這一系統(tǒng)。1.4IIR數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)由于IIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)可以表示為：H根據(jù)濾波器傳輸函數(shù)表達(dá)式的不同形式，我們可以得出以下三種不同的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)[6]：直接型，級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型。1.4.1直接型直接型又可分為直接Ⅰ型和直接Ⅱ型。由于數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)本質(zhì)上是離散時(shí)間系統(tǒng)，所以既可用差分方程來描述，也可用系統(tǒng)函數(shù)來表述，即yn或：Hz對(duì)于直接Ⅰ型來說，y[n]是兩部分表達(dá)式的求和并相加：第一部分的和i=0Mb綜上所述，這組成了一個(gè)反饋網(wǎng)絡(luò)。下圖1.1給出了當(dāng)M=N時(shí)的結(jié)構(gòu)框圖：圖2-1直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)框圖對(duì)于直接Ⅱ型，我們可以將式2-8改寫為以下形式（當(dāng)M=N時(shí)）：Hz再令：H1z=Y(z)可得：Yz=改寫為時(shí)域表示方法，則分別為：yn=通過上述推導(dǎo)，可以畫出不同于圖1.1所示系統(tǒng)的另一種形式的直接型結(jié)構(gòu)框圖，如圖1.2所示，這種結(jié)構(gòu)也被稱作直接Ⅱ型。當(dāng)M≠N，對(duì)于直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)，一個(gè)N階濾波器最少需要max(M,N)個(gè)延時(shí)單元。由于是從M,N中取最大值作為設(shè)計(jì)濾波器所需的延時(shí)單元，故比直接Ⅰ型所需的延時(shí)單元要少，同時(shí)也是所有實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中所需延時(shí)器最少的一種結(jié)構(gòu)。我們稱這樣具有最少延時(shí)器數(shù)目的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為規(guī)范性結(jié)構(gòu)。但直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)中的加法器和乘法器的數(shù)目與直接Ⅰ型相同，而且直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)中仍然存在反饋單元。圖2-2直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)框圖1.4.2級(jí)聯(lián)型將式2-9的分子，分母分別進(jìn)行因式分解，改寫成零極點(diǎn)因子表達(dá)的形式：Hz=式中，A是常數(shù)。由于系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)ai和bi都是實(shí)數(shù)，故零點(diǎn)ciHz式2-12中，M=M1+2M2，N=N1+2N2，gi為實(shí)零點(diǎn)，pi為實(shí)極點(diǎn)，Hz由式子2-13我們發(fā)現(xiàn)：任意的高階系統(tǒng)均可以由一階或者二階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)構(gòu)成。此時(shí)假設(shè)實(shí)數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)已經(jīng)成對(duì)組合出現(xiàn)，并把單實(shí)根因子看成是二階因子的特例，即二次項(xiàng)系數(shù)α2i，Hz式中，L>=(N+1)/2,且為最小整數(shù)；Hiz=圖2-3級(jí)聯(lián)型的二階基本節(jié)圖2-4級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)型的優(yōu)勢(shì)在于它的每一個(gè)基本節(jié)都只和濾波器的一對(duì)零點(diǎn)、極點(diǎn)有關(guān)，所以對(duì)系數(shù)β1i，同理，調(diào)整系數(shù)α1i，所以這種結(jié)構(gòu)非常利于準(zhǔn)確的表達(dá)濾波器的零極點(diǎn)，也十分方便調(diào)整濾波器的頻響特性。注意，H(z)的前后級(jí)的級(jí)聯(lián)順序是可以變換的，而且零極點(diǎn)因子的搭配也可以任意組合，因此一個(gè)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)并不唯一。在實(shí)際中，考慮到量化效應(yīng)，不同組合、不同次序的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的量化誤差是不同的，所以還存在最優(yōu)化的問題。1.4.3并聯(lián)型如果將2-9的式子進(jìn)行部分分式展開，可以得到：Hz在式2-15中，N=N1+2N2，di?是di的共軛復(fù)數(shù)，由于系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)ai和bi都是實(shí)數(shù)，所以gi，Ai，Bi，所以，當(dāng)我們用式2-15來表示系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)可解釋為各個(gè)子系統(tǒng)的并聯(lián)，也即是并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。若M=N，我們可以將式2-15改寫為：Hz每一個(gè)一階或者二階的子系統(tǒng)都可以由直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，如下圖所示，也可以將式2-16中的實(shí)根部分兩兩合并，形成二階形式，構(gòu)成二階基本節(jié)，則系統(tǒng)就可全部由二階形式并聯(lián)而成。圖2-5并聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖2-6并聯(lián)型的二階子系統(tǒng)并聯(lián)結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是效率高，運(yùn)算速度快，而且也可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)；缺點(diǎn)是不能控制零點(diǎn)。此外，并聯(lián)型各個(gè)基本節(jié)的誤差是相互獨(dú)立，互不干擾的。1.5IIR數(shù)字濾波器間接法中模擬濾波器設(shè)計(jì)所需的濾波器模型由1.3節(jié)提到的間接設(shè)計(jì)法可知，完成IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第一步就是要設(shè)計(jì)好與之相匹配的原型模擬濾波器。而一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的實(shí)際濾波器，它的頻響特性只能用逼近函數(shù)去近似理想濾波器的頻響特性。因此設(shè)計(jì)原型模擬濾波器，其關(guān)鍵所在是要找到一種逼近函數(shù)來逼近理想濾波器的頻響特性。根據(jù)所需要的逼近函數(shù)的不同，我們有以下四種濾波器模型的選擇[9]。1.5.1巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器又被稱作最大平坦濾波器，它的幅頻特性表達(dá)式具有如下形式：|H巴特沃斯濾波器具有最大平坦特性，即濾波器的幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)呈最大限度平坦，沒有波紋，且下降緩慢。由表達(dá)式所繪出的幅頻特性曲線如圖所示：圖2-7巴特沃斯濾波器幅頻響應(yīng)圖我們一般取Ω=Ωc的點(diǎn)，即|HajΩ|=1/所以巴特沃斯濾波器的頻響特性實(shí)際是由其階數(shù)n所決定。當(dāng)n增大時(shí)濾波器的幅頻特性曲線變得更陡峭。盡管由式2-17決定了在Ω=Ωc處的幅頻特性總是1/2以上的特點(diǎn)決定了巴特沃斯濾波器的幅頻特性更接近于理想的矩形頻響特性（階數(shù)越高越接近）。另一個(gè)特點(diǎn)就是其相頻特性近似線性相位，線性特性良好。所以，巴特沃斯濾波器適用于高階濾波器。1.5.2切比雪夫Ⅰ型濾波器由于巴特沃斯濾波器的幅頻特性函數(shù)在通帶和阻帶內(nèi)都是和頻率有關(guān)的單調(diào)函數(shù)。所以，巴特沃斯濾波器的階數(shù)一般很高。為了降低階數(shù)，我們可以采取將精確度均勻地分布在整個(gè)通帶或者阻帶內(nèi)，也可以同時(shí)分布在兩者內(nèi)的等波紋函數(shù)來設(shè)計(jì)。切比雪夫?yàn)V波器的幅頻響應(yīng)特性便滿足這種等波紋特性。切比雪夫?yàn)V波器也分為兩類，如果其幅頻特性不僅在通帶內(nèi)是等波紋的，而且在阻帶內(nèi)是單調(diào)的全極點(diǎn)濾波器，便稱為切比雪夫Ⅰ型濾波器。該濾波器的幅頻特性為：Ha其中，ε是與通帶波紋有關(guān)的參數(shù)，Ωp則是通帶的邊界頻率，而TTn切比雪夫多項(xiàng)式可以用下式的遞推方程產(chǎn)生：Tn+1其中T0x=1當(dāng)|x|≤1時(shí)，Tn對(duì)所有n來說，Tn多項(xiàng)式Tnx的所有根都在區(qū)間-1注意，根據(jù)n的奇偶性的不同，切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻特性也會(huì)有所差別。下圖給出了n=3和n=4時(shí)的切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻特性圖n=3的幅頻特性曲線n=4的幅頻特性曲線圖2-8切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻特性曲線1.5.3切比雪夫Ⅱ型濾波器第二類切比雪夫?yàn)V波器，即切比雪夫Ⅱ型濾波器，由其系統(tǒng)函數(shù)所得出的幅頻特性如下：Ha根據(jù)式2-21可以畫出切比雪夫Ⅱ型濾波器的幅頻特性響應(yīng)圖。如下圖所示：圖2-9切比雪夫Ⅱ型濾波器的幅頻特性曲線圖由曲線圖我們可以看出，與Ⅰ型濾波器不同，切比雪夫Ⅱ型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)不是全極點(diǎn)函數(shù)，它既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)而且是在阻帶內(nèi)等波紋。以n=4為例（四階濾波器），其零極點(diǎn)圖如下：圖2-10切比雪夫Ⅱ型濾波器的零極點(diǎn)圖由于切比雪夫Ⅰ型和Ⅱ型在設(shè)計(jì)過程中，有大量十分繁瑣的計(jì)算公式，所以通常都是在MATLAB中直接調(diào)用信號(hào)處理工具箱中的函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。切比雪夫?yàn)V波器的優(yōu)勢(shì)在于階數(shù)更少了，更接近理想濾波器的幅頻特性曲線，缺點(diǎn)在于通頻帶內(nèi)存在幅度波動(dòng)，而且計(jì)算過程較為繁瑣，實(shí)際設(shè)計(jì)中存在諸多不便。1.5.4橢圓濾波器如果濾波器的幅頻特性在通帶和阻帶內(nèi)都等波紋，那么所需要的階數(shù)就是最少的，這樣的濾波器被稱為橢圓濾波器。對(duì)比前面提到的三種濾波器，橢圓濾波器在階數(shù)相同的條件下有著最小的通帶和阻帶波動(dòng)且在通帶和阻帶內(nèi)波動(dòng)相同。所以橢圓濾波器的幅頻特性曲線最接近理想濾波器。橢圓濾波器是一種零點(diǎn)極點(diǎn)都存在的濾波器，它的濾波器階數(shù)越大，則通帶與阻帶的起伏次數(shù)就越多。它的階數(shù)等于濾波器幅頻特性在通帶(或阻帶中)極大值個(gè)數(shù)與極小值個(gè)數(shù)之和。另外，橢圓濾波器的相位非線性失真最嚴(yán)重。其幅頻特性為：Hj由上式2-22我們可以總結(jié)出橢圓濾波器的特點(diǎn)：橢圓濾波器是零極點(diǎn)共存的濾波器，因此在有限的頻率約束下存在系統(tǒng)零點(diǎn)和極點(diǎn)。橢圓濾波器的通帶和阻帶都具有等波紋特性，因此它的幅頻特性最接近理想濾波器，對(duì)于同樣的性能需求，它所用的階數(shù)最低，且它的過渡帶比較窄。下圖是橢圓濾波器的幅頻特性曲線圖：圖2-11橢圓濾波器的幅頻特性曲線圖1.6基于四種模擬濾波器模型設(shè)計(jì)IIR濾波器的變換方法上節(jié)我們了解了四種用于設(shè)計(jì)IIR濾波器的模擬濾波器，接下來的問題在于如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為IIR數(shù)字濾波器。模數(shù)轉(zhuǎn)換的原理，其核心就是把s平面映射到z平面，使得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)變換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)由信號(hào)與系統(tǒng)理論，映射關(guān)系必須滿足兩個(gè)基本要求：1、H(z)的頻響特性與Ha(s)的頻響特性高度近似，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是s平面的虛軸必須映射到z平面的單位圓上。2、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)Ha(s)1.6.1脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法是以濾波器的脈沖響應(yīng)為基礎(chǔ)，用一串?dāng)?shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h[n]來近似模擬濾波器的單位沖擊響應(yīng)?a(t),使得h[n]正好等于?a脈沖響應(yīng)不變法的變換原理為：假設(shè)Ha(s)和H(z)分別表示?a(t)的拉普拉斯變換和h[n]的z變換，Ha(jHe令z=ejΩTHz其中，H(z)=n=0∞z=e并用s=σ+jΩ來代替s，然后按照極坐標(biāo)的形式將復(fù)變量z表示成z=rere因此，s平面上每一條寬為2πT的橫帶部分，都會(huì)重疊地映射到整個(gè)z平面上。而橫帶內(nèi)s平面的左半部分，也就是jΩ軸左側(cè)部分，會(huì)映射到z平面的單位圓內(nèi)。橫帶內(nèi)s平面的右半部分，也就是jΩ軸右側(cè)部分，會(huì)映射到z