專題21 球的切與接問題【一題一專題 技巧全突破】熱點題型專項突破（解析版）

球的切與接問題高考定位球作為立體幾何中重要的旋轉(zhuǎn)體之一，成為考查的重點，基本屬于必考題目．而且球相關(guān)的特殊距離，即球面距離是一個備考的重點，要熟練掌握基本的解題技巧．還有球的截面的性質(zhì)的運用，特別是其它幾何體的內(nèi)切球與外接球類組合體問題，更應(yīng)特別加以關(guān)注的．題目一般屬于中檔難度，往往單獨成題，或者在解答題中以小問的形式出現(xiàn)．專題解析（1）補形（2）找球心（3）作球心（4）平面化（5）動態(tài)切接專項突破類型一、補形例1-1．《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，，，，若三棱錐的所有頂點都在球上，則球的半徑為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】補成長方體【詳解】由題意,將鱉臑補形為長方體如圖,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球.外接球的半徑為故選：A練．空間四面體中，，，，則該四面體的外接球的表面積為_________【答案】【分析】補成長方體【詳解】如圖所示，構(gòu)造對角線長分別為，，的長方體，則該長方體的外接球即為四面體的外接球不妨設(shè)從A點出發(fā)的三條棱長分別為，外接球半徑為，如圖所示則解得，即外接球的表面積為故答案為：練、（廣東省七校聯(lián)合體2021屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考16）．如圖，在四棱錐中，，平面，底面為正方形，且.若四棱錐的每個頂點都在球的球面上，則當(dāng)時，球的表面積為___________；當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時，二面角的正切值為___________.【答案】【分析】（1）推導(dǎo)出，，，從而平面，則四棱錐可補形成一個長方體，球的球心為的中點，由此能求出球的表面積．（2）設(shè)，則，四棱錐的體積，則，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出，此時，．過作于，連接，則為二面角的平面角．由此能求出二面角的正切值．【詳解】詳解：（1）因為，則，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，則四棱錐可補形成一個長方體，球的球心為的中點，從而球的表面積為.（2）設(shè)，則，四棱錐的體積，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故，此時，.過作于，連接，則為二面角的平面角.∵，∴.故答案為：；．例1-2.【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A． B． C． D．【答案】D分析：補成正方體解：為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為，的中點，，，又，平面，∴平面，，為正方體的一部分，，即，故選D．練．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】補成正方體利用勾股定理判斷平面，過正方形的中心作垂線，再過中點作此垂線的垂線，交點即為外接球的球心，求出外接球半徑，由表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，，又，所以平面，過正方形的中心作垂線，再過中點作此垂線的垂線，交點為，此點即為外接球的球心，則外接球半徑，所以四棱錐外接球的表面積.故選：C練．（2019?新課標Ⅰ，理12）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點，，則球的體積為A． B． C． D．【答案】D【分析】補成正方體【解析】如圖，由，是邊長為2的正三角形，可知三棱錐為正三棱錐，則頂點在底面的射影為底面三角形的中心，連接并延長，交于，則，又，，可得平面，則，，分別是，的中點，，又，即，，得平面，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑為，半徑為，則球的體積為，故選．例1-3、（廣東省梅州市2021屆高三下學(xué)期3月總復(fù)習(xí)質(zhì)檢T16）．已知球是三棱錐的外接球，，，點是的中點，且，則球的表面積為____________.【答案】【分析】先證明平面，再將三棱錐以為底面，為側(cè)棱補成一個直三棱柱，結(jié)合三棱柱的性質(zhì)，以及球的截面圓的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由，，可得，所以，由點是的中點，且，可求得，又由，可得，所以，又且平面，所以平面，以為底面，為側(cè)棱補成一個直三棱柱，如圖所示，則三棱錐的外接球即為該三棱柱的外接球，球心到底面的距離為,由正弦定理，可得的外接圓的半徑為，所以球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：.【點睛】解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球半徑的方程，并求解.練．已知三棱錐SABC中，SA平面ABC，且SA＝4，AB＝AC＝2，BAC＝120，則三棱錐SABC的外接球的表面積為_____．【答案】【分析】把三棱錐SABC中補形成一個直三棱柱，找出球心，求出球的半徑即可求解.【詳解】如圖，把三棱錐SABC中補形成一個直三棱柱，設(shè)上、下底面外接圓的圓心分別為，球的半徑為，則外接球的球心O為的中點，由正弦定理，又，則其外接球的表面積為．故答案為：.例1-4.（廣東省湛江市湛江一中2021屆高三下學(xué)期3月模擬T8）．四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面，底面為梯形，，且，則此球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】補成正六棱柱【詳解】解：如圖，由已知可得，底面四邊形為等腰梯形，設(shè)底面外接圓的圓心為，連接，則，，又，設(shè)四棱錐外接球的球心為，則，即四棱錐外接球的半徑為．此球的表面積等于．故選C．【點睛】本題考查多面體外接球表面積與體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．練.【2020年高考全國Ⅰ卷理T10】已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.例1-5．（2021?泉州二模）如圖是一個由6個正方形和8個正三角形圍成的十四面體，其所有頂點都在球的球面上，若十四面體的棱長為1，則球的表面積為A． B． C． D．【分析】補成正方體【解答】解：根據(jù)圖形可知，該十四面體是由一個正方體切去八個角得到的，如圖所示，十四面體的外接球球心與正方體的外接球球心相同，建立空間直角坐標系，該十四面體的棱長為1，正方體的棱長為，該正方體的外接球球心坐標為，設(shè)十四面體上一點，則，故十四面體的外接球的半徑為，球的表面積為．故選：．練.（多選）(2021揚州一檢T12）我們把所有棱長都相等的正棱柱（錐）叫“等長正棱柱（錐）”，而與其所有棱都相切的稱為棱切球，設(shè)下列“等長正棱柱（錐）”的棱長都為1，則下列說法中正確的有（）A．正方體的棱切球的半徑為 B．正四面體的棱切球的表面積為C．等長正六棱柱的棱切球的體積為 D．等長正四棱錐的棱切球被棱錐5個面（側(cè)面和底面）截得的截面面積之和為答案：BCD例1-6.在四棱錐中，已知底面，且，則該四棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】補成對稱體【解析】如圖所示，連接，設(shè)的中點為G，因為，所以是底面外接圓的直徑，又，所以，又，得，又底面，則，所以，即是球的直徑，則的中點Q為球心，連接，易知，所以，且底面.在中，，則，又在中，球半徑，則該四棱錐外接球的體積.故選：C例1-7．（2021春?鹿城區(qū)校級月考）單位正方體內(nèi)部或邊界上不共面的四個點構(gòu)成的四面體體積的最大值為A． B． C． D．【解答】補成球解：要使四面體的體積最大，則四面體的四個頂點應(yīng)該在正方體的表面上，了敘述方便，把此時的四面體稱為正方體的內(nèi)接四面體，記正方體的外接球為球，由題意知正方體的內(nèi)接四面體體積的最大值不大于球的內(nèi)接四面體的體積的最大值，球的內(nèi)接四面體以正四面體的體積最大，此時正四面體恰好是正方體的內(nèi)接四面體，正方體為1時，內(nèi)接正四面體的體積為．故選：．例1-8．在一次綜合實踐活動中，某手工制作小組利用硬紙板做了一個如圖所示的幾何模型，底面為邊長是4的正方形，半圓面底面．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點在半圓弧上（不含，點）運動時，三棱錐的外接球始終保持不變，則該外接球的表面積為______．【來源】山東省煙臺市2021屆高三二模數(shù)學(xué)試題【答案】【分析】【分析】補成圓柱由題設(shè)易知中點為三棱錐的外接球的球心，進而求外接球半徑，由球體表面積公式求表面積即可.【詳解】若為中點，半圓面底面，面為邊長是4的正方形，∴為三棱錐的外接球的球心，故外接球半徑，∴該外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由面面垂直及三棱錐各側(cè)面外接圓圓心與球心的關(guān)系，確定球心的位置，進而求球體的半徑，再求表面積.類型二、找球心例2-1．三棱錐中，，，的面積為，則此三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形全等和三角形的面積公式求出高，求解直角三角形得，利用余弦定理得出，可得為三棱錐外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】，，，又，，則，取中點，連接，又由的面積為，可得的高，則可得，在中，由余弦定理，，解得，則，可得，，，根據(jù)球的性質(zhì)可得為三棱錐外接球的直徑，則半徑為1，故外接球的表面積為.故選：A.練．在三棱錐中，平面平面，，，，的面積為，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，過作于，連接，則由已知條件可得為三棱錐的外接球的球心，則為半徑，從而可求出三棱錐的外接球體積【詳解】取的中點，則為的外心，過作于，連接，在中，，，，所以，所以，，因為平面平面，平面平面，，所以平面，因為平面，所以，因為的面積為，，，所以，得，所以，在中由余弦定理得，，所以，所以，所以,所以為三棱錐的外接球的球心，且球的半徑為所以三棱錐的外接球體積為，故選：C練．如圖，在四棱錐中，已知底面，且，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，連接先證明點就是四棱錐外接球的球心，再求出外接球的半徑即得解.【詳解】取中點，連接由題得，又，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，又.同理,所以，所以點就是四棱錐外接球的球心.因為，所以.所以所以外接球的半徑為.所以該四棱錐外接球的表面積．故選：B練．已知邊長為的菱形中，，現(xiàn)沿對角線折起，使得，此時點在同一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，再利用球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，則，因為，在中，所以，過點作面交的延長線于點可得，所以，，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，則面，設(shè)，因為，所以，過點作于點，在中，，，由勾股定理可得：，解得：，，所以該球的表面積為，故選：C練．已知點???都在球的球面上，，△是邊長為1的等邊三角形，與平面所成角的正弦值為，若，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若是的中點，則是△的中心，連接，由線面垂直、面面垂直的判定可得面面，過作面，由面面垂直的性質(zhì)知必在直線上，即為與面所成角，再過作交于，結(jié)合已知可知是中點，為的中點，即可確定球心的位置，進而求表面積.【詳解】由題設(shè)，若是的中點，則是△的中心，連接，如下圖示：由題設(shè)知：，，又，則面，而面，即面面，過作面，則必在直線上，易知：為與平面所成角的平面角，又與平面所成角的正弦值為，，可得.過作交于，易知：，而，即，又，故為的中點，，∴，即是球心，故球的半徑為1，∴球的表面積為.故選：B類型三、作出球心例3-1.已知在三棱錐S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2eq\r(2)，二面角B－AC－S的大小為eq\f(2π,3)，則三棱錐S－ABC的外接球的表面積為()A.eq\f(124π,9)B.eq\f(105π,4)C.eq\f(105π,9)D.eq\f(104π,9)【答案】D【解析】如圖，取AC的中點D，連接BD，SD，則∠BDS＝eq\f(2π,3)，AC＝2eq\r(2)，BD＝eq\r(2)，SD＝eq\r(6).過點D作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，可得OD2＝R2－(eq\r(2))2，在△OSD中，∠ODS＝eq\f(π,6)，利用余弦定理可得R2＝R2－2＋(eq\r(6))2－2×eq\r(R2－2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)，解得R2＝eq\f(26,9)，所以其外接球的表面積為4πR2＝eq\f(104π,9).練.已知四棱錐的頂點都在球的球面上，底面，，，若球的表面積為，則四棱錐的體積為（）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】，，，與全等，，易知、、、四點共圓，則，，所以，四邊形的外接圓直徑為，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，解得，由底面，底面,所以又,且，所以平面,又面PAB，所以同理可證：設(shè)為為的中點,則由直角三角形的性質(zhì)可得：所以四棱錐外接球的球心，即為其直徑，即，所以故選：B練.在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】中，，所以，，設(shè)是中點，則是外心，又是等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱錐外接球的球心，所以球半徑，球體積為．故選：C．例3-2．已知是以為斜邊的直角三角形，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由為直角三角形，可知中點為外接圓的圓心，又平面平面，所以球心在過與平面垂直的直線上，且球心為的外心.利用正余弦定理求出外接圓的半徑即為球的半徑，從而求出球的體積.【詳解】解：取中點，過點做直線垂直，因為為直角三角形，所以點為外接圓的圓心，又平面平面，所以平面，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線上，且球心為的外心.在中，，所以，則外接圓的半徑為即外接球的半徑為，所以體積為.故選：D練．在邊長為6的菱形中，，將菱形沿對角線折起成直二面角，則所得三棱錐外接球的表面積等于___________.【答案】【分析】過的外心作平面的垂線，過的外心作平面的垂線，兩垂線交于，則點為三棱錐外接球的球心，然后根據(jù)已知的數(shù)據(jù)求出球的半徑，從而可求得球的表面積【詳解】解：如圖，取的中點，連接，因為邊長為6的菱形中，，所以和均為正三角形，所以,因為二面角為直二面角，所以，設(shè)，分別是和的外心，過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線交于，則到的距離相等，所以點為三棱錐外接球的球心，因為,，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故答案為：練．已知，分別是邊長為2的等邊邊，的中點，現(xiàn)將沿翻折使得平面平面，則棱錐外接球的表面積為_________．【答案】【分析】取的中點，連接，可得為等腰梯形的外接圓的圓心，再過折起后的的外心作平面的垂線，得出兩垂線的交點為棱錐外接球的球心，求出半徑，利用球的表面積公式即可求解.【詳解】取的中點，連接，可知，則為等腰梯形的外接圓的圓心，過作平面的垂線，再過折起后的的外心作平面的垂線，設(shè)兩垂線的交點為，則為四棱錐外接球的球心，的邊長為，，則四棱錐外接球的半徑，四棱錐外接球的表面積為.故答案為：練．已知四面體中和是等邊三角形，二面角為直二面角．若，則四面體外接球的體積為_______．【答案】【分析】設(shè)為的中心，O為四面體的外接球的球心，過O作，然后在中，由求解.【詳解】如圖所示：設(shè)為的中心，O為四面體的外接球的球心，則平面．設(shè)M為線段的中點，外接球的半徑為R，連接，過O作于點G，易知G為的中心，則，因為，故，在中，，故，則．所以外接球的體積為，故答案為：練．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（）A． B．100π C． D．20π【答案】D【分析】由題知，，，設(shè)為三角形的外心，進而得，過作三角形的垂線，球心在上，且，進而得外接球半徑，再計算表面積即可得答案.【詳解】如圖：因為平面，，所以，，因為，由余弦定理可解得，設(shè)為三角形的外心，則由正弦定理得三角形外接圓半徑為2，即，過作三角形的垂線，球心在上，則，可求外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積是，故選：D.練．已知四棱錐的側(cè)棱均相等，其各個頂點都在球的球面上，，，，，三棱錐的體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由四點共圓，可得出，進而求出截面圓的直徑，再根據(jù)體積可求出四棱錐的高，然后根據(jù)勾股定理，可求出外接球的半徑，最后直接套表面積公式，可求得答案.【詳解】如圖，F(xiàn)為AC中點，由題意可知PF為四棱錐的高，∵各個頂點都在球的球面上，，∴四點共圓，且為直徑，∴，又∵，，∴在，解得，同理可得.∵三棱錐的體積為,∴，解得，設(shè)，則，在中，，解得.球的表面積為.故選：A練．已知四棱錐，平面，，，，，二面角的大小為.若四面體的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定出三角形外接圓的圓心，然后過作垂直于平面的垂線，再過中點向作垂線，垂足即為球心，根據(jù)線段長度可求解出球的半徑，則球的體積可求.【詳解】因為，，所以，所以，所以外接圓的圓心為的中點，記為，過作直線使得平面，取中點，過作垂足為，則，所以為四面體外接球的球心，因為，所以平面，，又，所以二面角的平面角為，所以，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以四面體外接球的體積為，故選：A.練．已知菱形的邊長為，，若沿對角線將折起，所得的二面角為鈍二面角，且A，，，四點所在球的表面積為，則四面體的體積為________．【答案】【分析】以等邊三角形，的中心，分別作兩個平面的垂線，交點為外接球球心，求得各個長度，根據(jù)外接球表面積，求得外接球半徑，即可求得的值，進而可得，即可得，即可求得點到平面的距離，代入椎體體積公式，即可得答案.【詳解】由已知可得，，均為等邊三角形．以等邊三角形，的中心，分別作兩個平面的垂線，交點為外接球球心，如圖所示，由已知得，則，，又外接球的表面積，所以外接球的半徑，所以在中，由勾股定理得，所以在中，，所以，同理可得，所以，則點到平面的距離．因為．所以四面體的體積．故答案為：練．已知三棱錐中，底面，，，則三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【分析】由球的性質(zhì)可得三棱錐外接球的球心在過且與平面垂直的直線上.求出外接圓半徑，從而可得答案.【詳解】設(shè)三棱錐外接球半徑為.設(shè)為的外接圓的圓心，則三棱錐外接球的球心在過且與平面垂直的直線上.即設(shè)球心為,則平面，又底面，則連接結(jié),過作,由,則為的中點.因為外接圓半徑，即所以三棱錐外接球半徑，所以三棱錐外接球的表面積.故答案為：練．已知三棱錐，平面ABC，，，直線SB和平面ABC所成的角大小為.若三棱錐的四個頂點都在同一球面上，則該球的表面積為________.【答案】【分析】由于平面，則為直線SB和平面所成的角，從而由已知條件可求出，設(shè)為三棱錐外接球的球心，G為外接圓圓心，在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即的長，然后利用勾股定理可求出球的半徑，進而求出球的表面積【詳解】如圖：平面，則為直線SB和平面所成的角，即在中：，如圖，設(shè)為三棱錐外接球的球心，G為外接圓圓心，連結(jié)，則必有面在，，則其外接圓半徑，又，所以三棱錐外接球半徑為該球的表面積為，故答案為：.練．如圖，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，是邊長為6的正三角形，二面角的大小為120°，則球的體積為______．【答案】/【分析】因為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，其中的外心就是其中心，的外心是的中點，由此可構(gòu)造直角三角形求解的長，再利用球的體積公式求解即可．【詳解】解：取的中點，連接，設(shè)為的外心，則點在上且，因為，則為的外心，根據(jù)球的幾何性質(zhì)，則平面，平面，因為二面角的大小為，平面平面，則二面角的大小為，所以，因為是邊長為6的正三角形，則，所以，在中，，在中，因為，則，所以球的半徑，表面積為．故答案為：．練．在三棱錐中，，，，，則該三棱錐外接球的半徑為___________.【答案】【分析】由已知求解三角形可得為等邊三角形，取的外心為，連接，可得，設(shè)垂足為，連接，可得平面，確定三棱錐外接球的球心，利用勾股定理求半徑【詳解】如圖，在中，由余弦定理可得，所以，因為，所以為等邊三角形，設(shè)的外心為，連接，，，連接，由題意可得，，，，因為，所以，因為，所以平面，設(shè)為三棱錐外接球的球心，連接，過作于，則外接球的半徑滿足，將，代入得，所以，所以故答案為：練．已知四棱錐中，側(cè)面底面，，且，則此四棱錐外接球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分別找出等腰梯形和等邊三角形ABC外接圓的圓心N，G；根據(jù)來求外接球的半徑OA，從而求四棱錐外接球的表面積.【詳解】易知四邊形為等腰梯形，又，所以梯形的高為，所以，，所以，即為直角三角形，取ED的中點，則為梯形外接圓的圓心.設(shè)等邊三角形ABC外接圓的圓心為，則，因為側(cè)面底面，所以四棱錐外接球的，所以四棱錐外接球的表面積為.故選：D.類型四、平面化例3-1.（2020高考全國新課標Ⅲ卷）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中，且點M為BC邊上的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.練、（廣東省東莞市光明中學(xué)2021屆高三下學(xué)期期初T4）．打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)（即“積層造型法”．過去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價值應(yīng)用（比如髖關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機零部件等）．已知利用打印技術(shù)制作如圖所示的模型，該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個正方體后的剩余部分（正方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上），圓錐底面直徑為，母線與底面所成角的正切值為．打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（取，精確到A． B． C． D．【答案】C【分析】作出幾何體的截面圖，由已知求得圓錐的高，再由三角形相似對應(yīng)邊成比例求出正方體的棱長，運用圓錐與正方體的體積公式求解．【詳解】解：如圖，是幾何體的軸截面圓錐底面直徑為，半徑為，母線與底面所成角的正切值為，圓錐的高為，設(shè)正方體的棱長為，則，解得．該模型的體積．制作該模型所需原料的質(zhì)量約為．故選：．練.在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知是正三棱錐，設(shè)是正棱錐的高，由外接球球心在上，如圖，設(shè)外接球半徑為，又，則，由得，解得，所以表面積為．故選：D．練．如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合球的幾何性質(zhì)、球體積進行求解即可.【詳解】設(shè)的中點分別為，連接，如下圖所示：顯然，因為平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1⊥平面ABC，所以平面ABC，顯然該三棱臺外接球的球心在直線上，設(shè)球心為因為AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝，所以，因此，當(dāng)在線段上時，如下圖所示：設(shè)，由勾股定理可知：，所以球的體積為：，當(dāng)不在線段上時，如下圖所示：，由勾股定理可知：，方程組無實數(shù)解，故選：A練．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的邊長為2，則半球的表面積為____________.【答案】【分析】過正方體與半球底面垂直的對角面作截面，將問題轉(zhuǎn)化為半圓與矩形的內(nèi)接問題，進而求出半球的半徑，再利用球的表面積公式進行求解.【詳解】設(shè)該半球的半徑為，過正方體與半球底面垂直的對角面作截面，則面截半球面得半圓，截正方體得一個矩形，且矩形內(nèi)接于半圓（如圖所示），在矩形中，，,則，所以半球的表面積為.故答案為：.練．已知圓錐的底面半徑為母線長為則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積與圓錐外接球的表面積之比為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】圓錐內(nèi)半徑最大的球即圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為利用面積的等量關(guān)系求出，再求出圓錐外接球的半徑，即得解.【詳解】圓錐內(nèi)半徑最大的球即圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為設(shè)圓錐的一個軸截面為如圖所示，則內(nèi)切圓的半徑為圓錐內(nèi)切球的半徑．在中，為的中點，所以為等邊三角形．由，得解得．又外接圓的直徑，所以外接球的半徑所以該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積與圓錐外接球的表面積之比為.故選：B練．如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為_____________.【答案】【分析】結(jié)合圖形，由題意可知大球的半徑為，設(shè)小球的半徑為，利用已知條件，結(jié)合勾股定理，推出結(jié)果即可．【詳解】解：由題意可知大球的半徑為，設(shè)小球的半徑為，如圖，設(shè)大圓的圓心為O，小圓的圓心為C，E為小圓與上底面的切點，作交于點D，由題意可知，，，，所以，即，，解得，故答案為：．練．在一個棱長為的正方體內(nèi)部有一個大球和小球，大球與正方體的六個面都相切，小球可以在正方體和大球之間的空隙自由滑動，則小球的表面積最大值是___________.【來源】2021屆高三數(shù)學(xué)臨考沖刺原創(chuàng)卷（一）【答案】【分析】如圖所示，為組合體的中截面，易知當(dāng)小球的表面積最大時大球半徑和小球半徑滿足，計算即可.【詳解】如圖所示，為組合體的中截面，易知當(dāng)小球的表面積最大時大球半徑和小球半徑滿足，，解得，故小球表面積的最大值為.故答案為：類型五、動態(tài)切接例5．球的球面上有四點、、、，其中、、、四點共面，是邊長為的正三角形，平面平面，則棱錐體積的最大值為___________【答案】3【分析】由于面面，所以點在平面上的射影落在上，根據(jù)球體的對稱性可知，當(dāng)在“最高點”，也就是說為中點時，最大，棱錐的體積最大．【詳解】解：由題意畫出幾何體的圖形如圖由于面面，所以點在平面上的射影落在上，根據(jù)球體的對稱性可知，當(dāng)在“最高點”，也就是說為中點時，最大，棱錐的體積最大．是邊長為的正三角形，球的半徑，在中，，，求得，體積．故答案為：3.練．在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為_________.【答案】【分析】設(shè)中點為，可證明，設(shè)和的外心分別為和，過和分別作兩個平面的垂線交于點即為三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑的長，到平面的距離即可求解.【詳解】設(shè)中點為，的外心為，的外心為，過點作面的垂線，過點作直線面的垂線，兩條垂線的交點即為三棱錐外接球的球心，因為和都是邊長為的正三角形，可得，又，所以，所以，又因為，，所以面，因為平面，所以平面平面，且，所以四邊形是邊長為的正方形，所以外接球半徑，到平面的距離，故答案為：.練．三棱錐的頂點均在一個半徑為4的球面上，為等邊三角形且其邊長為6，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、三棱錐的體積公式進行求解即可.【詳解】如圖所示：點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，此時，，因為，所以，點M為三角形ABC的中心，，中，有，，，故選：B.練（廣東省河源市2021屆高三下學(xué)期3月第一次聯(lián)考T16）．三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為2的球面上，已知△ABC是邊長為2的正三角形，PA=PB，則△PAB面積的最大值為________.【答案】.【分析】要使的面積最大，即AB邊上的高最大，做底面的垂線，則高、垂線應(yīng)在同一個三角形中，再根據(jù)邊長與球的半徑可得答案.【詳解】由于三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為2的球面上，設(shè)球心為，過做平面的垂線交平面于，則為的中心，延長交于點，則為的中點，連接，因為，所以，，要使的面積最大，則最大，即點、、在一條直線上，即，在中，，，所以，在中，，所以，在中，，所以，在中，，即，故答案為：.【點睛】本題考查求內(nèi)接三棱錐的問題，關(guān)鍵是找到棱錐與球的共同的量.練（廣東省七校聯(lián)合體2021屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考16）．如圖，在四棱錐中，，平面，底面為正方形，且.若四棱錐的每個頂點都在球的球面上，則當(dāng)時，球的表面積為___________；當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時，二面角的正切值為___________.【答案】【分析】（1）推導(dǎo)出，，，從而平面，則四棱錐可補形成一個長方體，球的球心為的中點，由此能求出球的表面積．（2）設(shè)，則，四棱錐的體積，則，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出，此時，．過作于，連接，則為二面角的平面角．由此能求出二面角的正切值．【詳解】詳解：（1）因為，則，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，則四棱錐可補形成一個長方體，球的球心為的中點，從而球的表面積為.（2）設(shè)，則，四棱錐的體積，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故，此時，.過作于，連接，則為二面角的平面角.∵，∴.故答案為：；．練．已知球面上有四個點A，B，C，D，球心為點O，O在CD上，若三棱錐的體積的最大值為，則該球O的體積為________．【答案】【分析】易知為該球的直徑，由頂點在底面的射影為球心，且底面為等腰直角三角形時，三棱錐體積最大求解.【詳解】如圖所示：因為球心O在CD上，所以為該球的直徑，由此易知，當(dāng)頂點在底面的射影為球心時，且底面為等腰直角三角形時，三棱錐體積最大，所以，解得，故所求球的體積為.故答案為：.練．已知三棱錐S-ABC的外接球O的表面積為，SA=2，SA⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，點P在球O的表面上運動，則三棱錐P-ABC體積的最大值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件求出球O半徑和線段AC長，進而求出△ABC面積最大值，點P到平面ABC的最大距離即可得解.【詳解】因SA⊥平面ABC，平面ABC，則SA⊥BC，又AB⊥BC，于是得BC⊥平面SAB，而平面SAB，則有SB⊥BC，SC中點為O，連OB，OA，如圖，于是得OB=OA=OC=OS，即點S，A，B，C在給定的球O的表面上，OA長為該球半徑，由得，，而SA⊥AC，SA=2，則AC=2，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，又，于是得，取AC中點O1，連OO1，則O1為外接圓圓心，OO1⊥平面ABC，，而球O表面上的點P到平面ABC的距離最大值為，所以三棱錐體積最大值為.故選：A練．正方體的棱長為2，的中點分別是P，Q，直線與正方體的外接球O相交于M，N兩點點G是球O上的動點則面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，設(shè)正方體外接球球O的半徑為r，過球心O作，垂足為H，可得H為的中點，由已知數(shù)據(jù)可求得的長是定值，而點G是球O上的動點，所以當(dāng)點G到的距離最大時，面積的面積最大，而點G到的最大距離為，從而利用三角形的面積公式可求得結(jié)果【詳解】如圖，設(shè)正方體外接球球O的半徑為r，過球心O作，垂足為H，易知H為的中點．因為正方體的棱長為2，所以，所以，，所以．因為點G是球O上的動點，所以點G到的最大距離為，故面積的最大值為．故選：A練．已知直四棱柱，其底面是平行四邊形，外接球體積為，若，則其外接球被平面截得圖形面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件可得為矩形，進而可得平面，所以，則四邊形為正方形，所以直四棱柱為正四棱柱，設(shè)，由余弦定理可得的值，求出的值，由正弦定理可得的外接圓的半徑為，由均值不等式可得的最小值，從而得出答案.【詳解】由直四棱柱內(nèi)接于球，則四點在球面上，所以四邊形為球的一截面圓的內(nèi)接四邊形，所以對角互補.又四邊形是平行四邊形，所以為矩形.在直四棱柱中，平面，所以又，，所以平面，所以所以四邊形為正方形，所以直四棱柱為正四棱柱.由外接球體積為，則球的半徑為,由為該外接球的直徑，則設(shè)，則，則在中,，由余弦定理可得所以設(shè)的外接圓的半徑為，由