第06講第六章計(jì)數(shù)原理章末題型大總結(jié)（4大方法14類高頻題型講練）

第06講第六章計(jì)數(shù)原理章末題型大總結(jié)題型01分類討論思想【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：每一個(gè)比1大的數(shù)每個(gè)比1大的正整數(shù)要么本身是一個(gè)素?cái)?shù)，要么可以寫成一系列素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的，即任何一個(gè)大于1的自然數(shù)不為素?cái)?shù)能唯一地寫成其中是素?cái)?shù)，是正整數(shù)，，，將上式稱為自然數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且N的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有個(gè)素?cái)?shù)．從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，則一共可以組成不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．13 C．19 D．60【答案】B【知識點(diǎn)】代數(shù)中的組合計(jì)數(shù)問題、排列數(shù)的計(jì)算【分析】根據(jù)題意，得出從2，2，2，3，5這5個(gè)素?cái)?shù)中任取3個(gè)組成三位數(shù)，分三種情況，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的公式，即可求解.【詳解】根據(jù)自然數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式可得，故從2，2，2，3，5這5個(gè)素?cái)?shù)中任取3個(gè)組成三位數(shù)，有下列三種情況：①選取3個(gè)2，可以組成1個(gè)三位數(shù)；②選取2個(gè)2后，再從3或5中選一個(gè)，可以組成個(gè)不同的三位數(shù)；③選取2，3，5，可以組成個(gè)不同的三位數(shù)，所以從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，一共可以組成個(gè)不同的三位數(shù)．故選：B.【典例2】（2324高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）甲、乙、丙等5名同學(xué)參加語數(shù)外三科知識競賽，每人隨機(jī)選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為.【答案】【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、排列組合綜合【分析】由排列組合知識結(jié)合概率公式即可得解.【詳解】因?yàn)榧缀鸵也粎⒓油豢疲缀捅麉⒓油豢聘傎?，若每個(gè)同學(xué)可以自由選擇，所以3科的選擇數(shù)有2，2，1和3，1，1兩種分配方案，當(dāng)分配方案為2，2，1時(shí)，共有種不同的選擇方案；當(dāng)分配方案為3，1，1時(shí)，共有種不同的選擇方案；所以滿足要求的不同選擇種數(shù)為，所以甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為，故答案為：【典例3】（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）用1、2、3、4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？其中有多少個(gè)偶數(shù)？【答案】64，32【知識點(diǎn)】排列數(shù)的計(jì)算、分類加法計(jì)數(shù)原理【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理以及排列數(shù)，且注意到奇數(shù)個(gè)數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)一樣，由此即可求解.【詳解】我們可以分以下四種情形來計(jì)算用1、2、3、4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)：情形一：用1、2、3、4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的一位數(shù)有個(gè)；情形二：用1、2、3、4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)有個(gè)；情形三：用1、2、3、4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有個(gè)；情形四：用1、2、3、4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)；因此由分類加法計(jì)數(shù)原理可知用1、2、3、4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)一共有；又注意到這些數(shù)是奇數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)個(gè)位數(shù)是1、3，這些數(shù)是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)個(gè)位數(shù)是2、4，而個(gè)位數(shù)是1、3的概率，同理個(gè)位數(shù)是2、4的概率，這表明了這些數(shù)中奇數(shù)個(gè)數(shù)和偶數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，所以這些數(shù)中的偶數(shù)有個(gè).【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測）某惠民醫(yī)院開展“關(guān)愛健康，守護(hù)生命，服務(wù)老人”的義診活動(dòng)，需要臨時(shí)從某科室中抽調(diào)3名醫(yī)護(hù)人員，已知該科室現(xiàn)共有3名醫(yī)生和4名護(hù)士.為了保障醫(yī)院工作正常運(yùn)作，該科室內(nèi)至少需要留有1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則不同的抽調(diào)方案共有（

）A．72種 B．36種 C．30種 D．18種【答案】C【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題【分析】利用組合知識，對抽調(diào)的3名醫(yī)護(hù)人員分兩類，求出各類情況的方案數(shù)，再相加即可.【詳解】要使科室內(nèi)至少留有1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則有以下兩類情況：①抽調(diào)的3名醫(yī)護(hù)人員由2名醫(yī)生1名護(hù)士組成，則有種;②抽調(diào)的3名醫(yī)護(hù)人員由1名醫(yī)生2名護(hù)士組成，則有種.所以不同的抽調(diào)方案共有種.故選：C.【變式2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一只蜜蜂沿如圖所示的用8個(gè)完全一樣的正方體搭建的幾何體的棱并按照箭頭所指的相互垂直的三個(gè)方向從A點(diǎn)飛行到B點(diǎn)，可能的飛行路徑共有種（用數(shù)字作答）．

【答案】296【知識點(diǎn)】排列組合綜合【分析】從高度為的頂點(diǎn)沿豎直向上的棱飛到高度為的頂點(diǎn)，一共有處，計(jì)算通過這條棱各自的情況總數(shù)，再相加即可.【詳解】

從高度為的頂點(diǎn)沿豎直向上的棱飛到高度為的頂點(diǎn)，一共有處，分別記為，點(diǎn)下方的點(diǎn)記為，點(diǎn)上方的點(diǎn)記為.從到有種路徑，沿豎直的棱向上飛再到有種路徑；從到有種路徑，沿豎直的棱向上飛再到有種路徑；從到到有種路徑，從到到有種路徑，則從到有種路徑，沿豎直的棱向上飛再到有種路徑；從到到有種路徑，從到到有種路徑，從到到有種路徑，則從到有種路徑，再到有種路徑；又到有種路徑，則從到到有種路徑.從到到有種路徑，從到到有種路徑，從到到有種路徑，沿豎直的棱向上飛再到有種路徑，則從到豎直向上再到有種路徑.從到到有種路徑，從到到到有種路徑，沿豎直的棱向上飛再到有種路徑，則從到豎直向上再到有種路徑.從到到有種路徑，從到到有種路徑，從到到到有種路徑，從到到到有種路徑，再到有種路徑，則從到到有種路徑.因此從到可能的飛行路徑共有種.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：排列組合復(fù)雜的問題關(guān)鍵在于做好分類討論，如何找到合適的分類標(biāo)準(zhǔn)非常重要。本題找到高度1飛到高度2的路徑，以此為分類方法去討論，可以找到合適且清晰的思路.【變式3】

（2324高二上·全國·課后作業(yè)）某人需要在一天的上午乘車從A地到B地再轉(zhuǎn)車趕到C地，現(xiàn)已知A地至B地以及B地至C地的汽車時(shí)刻表如下：從A地到B地的汽車時(shí)刻表

從B地到C地的汽車時(shí)刻表車次發(fā)車到站16:308:0027:309:0038:3010:0049:3011:00車次發(fā)車到站17:208:4028:209:4039:2010:40410:2011:40問此人在這天從A地到達(dá)C地有多少種不同的乘車方案？【答案】【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理【分析】分別討論地到到站的時(shí)間，然后判斷從地到乘坐的車次，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】若乘坐從地到的第1班汽車，到站，則從地到有3輛汽車可以乘坐；若乘坐從地到的第2班汽車，到站，則從地到有2輛汽車可以乘坐；若乘坐從地到的第3班汽車，到站，則從地到有1輛汽車可以乘坐；若乘坐從地到的第4班汽車，到站，則從地到?jīng)]有汽車可以乘坐，由分類計(jì)數(shù)原理，可得種不同的乘坐方式.題型02整體思想【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（

）A．1440種 B．1360種C．1282種 D．1128種【答案】D【知識點(diǎn)】排列組合綜合、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】運(yùn)用捆綁法，結(jié)合分類討論和排列組合知識計(jì)算即可.【詳解】采取對丙和甲進(jìn)行捆綁的方法：如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：種，如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：種，若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：種．則不同的安排方案共有(種)．故選：D．【典例2】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）四名男生和兩名女生排一行進(jìn)行合影，若要求男生甲與男生乙不相鄰，且女生A和女生B相鄰，則不同排法的種數(shù)有（

）A．288種 B．144種 C．96種 D．72種【答案】B【知識點(diǎn)】不相鄰排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】利用插空法和捆綁法求解即可.【詳解】第一步：先對2名女生進(jìn)行排隊(duì)，有種排法；第二步：將除甲和乙之外的人進(jìn)行排隊(duì)，有種排法；第三步：甲、乙采用插空的方式，有種排法．所以共有種．故選：B.【變式1】（2425高三上·福建泉州·階段練習(xí)）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚，甲?乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（

）A．96種 B．120種 C．192種 D．240種【答案】C【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】先將甲乙捆綁成一個(gè)單元，再討論其所排位置，運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知，丙排在第4位，則甲乙兩人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，故不同的排法有種.故選：C.【變式2】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）春節(jié)是團(tuán)圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個(gè)自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個(gè)節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（

）A．240種 B．188種 C．144種 D．120種【答案】D【知識點(diǎn)】其他排列模型、相鄰問題的排列問題【分析】先將“相聲”與“小品”排在一起再與其它4個(gè)節(jié)目排序，最后考慮雜技節(jié)目在前三位或在后三位情況一樣,即可得出答案.【詳解】先將“相聲”與“小品”排在一起，有種排法，再與其它4個(gè)節(jié)目排序，有種排法，最后考慮雜技節(jié)目在前三位或在后三位情況一樣，所以有種．故選：D.題型03主元思想【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)排成一排照相，則甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有一名同學(xué)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、相鄰問題的排列問題、元素（位置）有限制的排列問題【分析】需要分甲丙之間是乙和甲丙之間是是丁兩種類型，分別計(jì)算排法數(shù)，可得所求概率.【詳解】所有的排法有（種）.①若甲、丙之間恰好為乙，則有種排法；②若甲、丙之間恰好為丁，則有種排法.故所求的概率.故選：C.【典例2】（2425高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人．甲、乙兩人要在同一個(gè)艙內(nèi)，則不同的安排方案共有.【答案】種【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題、分組分配問題【分析】由題意知：甲、乙兩人一定在天和核心艙內(nèi)，則丙，丁，戊會(huì)被安排在不同的三個(gè)艙內(nèi)，按排列公式求得即可.【詳解】由題意知：甲、乙兩人一定在天和核心艙內(nèi)，則丙，丁，戊會(huì)被安排在不同的三個(gè)艙內(nèi)，得種.故答案為：種.【典例3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？【答案】【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題【分析】先排2盆葵花，再排其他的花種，即可求解.【詳解】先種兩種不同的葵花，在不受限制的四個(gè)花盒中，共有種排列，再種其它葵花有種排列，由分步計(jì)數(shù)原理得（種）．故有種符合要求的種法．【變式1】（2324高二下·內(nèi)蒙古·期中）從6人（包含甲）中選派出3人參加，，這三項(xiàng)不同的活動(dòng)，且每項(xiàng)活動(dòng)有且僅有1人參加，若甲不參加和活動(dòng)，則不同的選派方案有（

）A．60種 B．80種 C．90種 D．150種【答案】B【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題【分析】分甲被選中和甲沒被選中兩種情況，結(jié)合排列數(shù)公式即可求解.【詳解】當(dāng)甲被選中時(shí)，不同的選派方案有種；甲沒被選中時(shí)，不同的選派方案有種.故滿足條件的不同的選派方案有種.故選：B.【變式2】（2425高三·上?！ふn堂例題）七個(gè)人排成一行，則甲在乙左邊（不一定相鄰）的不同排法數(shù)有種.【答案】2520【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】由分步計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】得到一種排法，可分2步：第一步，先排其余5人，從一行7個(gè)位置中任選5個(gè)將5個(gè)按序排列，有種方法；第二步，再排甲乙，剩余2個(gè)位置，甲在乙左邊，只有1種方法.由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種排法.故答案為：.題型04“正難則反”思想【典例1】（2425高三上·重慶涪陵·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．54【答案】B【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3種情況，分類討論結(jié)合組合數(shù)分析求解；解法二：利用間接法，根據(jù)題意先排甲不排首尾，再排除不符合題意的情況，結(jié)合組合數(shù)分析求解.【詳解】解法一：多重限制的排列問題：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲為優(yōu)先元素分類計(jì)數(shù)，甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有種排法，則有；②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有種排法，則有；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排法，余下2人有種排法，則有；綜上，該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.解法二：間接法：甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有種排法，共有種不同的情況；但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況；從而該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.故選：B.【典例2】（多選）（2425高二下·全國·課后作業(yè)）某市文化局組織了一次“送戲下鄉(xiāng)”活動(dòng)，共有個(gè)節(jié)目，且小品和相聲各一個(gè)，若小品不排在第一位，相聲不排在最后一位，則不同的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】AD【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題【分析】根據(jù)直接法和間接法進(jìn)行排列組合，即可得解.【詳解】直接法：若小品排在最后一位，有種不同的排法；若小品排在第二到第六位之間，則相聲可以排在除最后一位和小品占據(jù)以外的任何位置，有種不同的排法；則共有種不同的排法，A正確；間接法：不管條件限制共有種不同的排法；當(dāng)小品在第一位或相聲在最后一位時(shí)，有種不同的排法，當(dāng)小品在第一位且相聲在最后一位時(shí)，有種情況；故共有，D正確；故選：AD.【典例3】（2425高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）5名學(xué)生和1位老師站成一排照相，問老師不排在兩端的排法有多少種？【答案】480【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題【分析】利用特殊位置法或特殊元素法或間接法，結(jié)合排列數(shù)的計(jì)算來求得正確答案.【詳解】方法一

（先滿足特殊位置）由于排頭和排尾兩個(gè)位置有限制要求，因此先從5名學(xué)生中選出2名站在排頭和排尾，有種排法，余下的四人可任意站，有種排法，所以符合要求的排法有（種）．方法二

（先滿足特殊元素）老師既然不能排在兩端，于是可以從中間四個(gè)位置中任選一個(gè)，有種排法．5名學(xué)生在余下的五個(gè)位置中任意排列，有種排法．因此符合題意的排法有（種）．方法三

（間接法）由于六個(gè)人任意排有種排法，但實(shí)際必須減去老師排在排頭的種排法和排在排尾的種排法，因而符合題意的排法有（種）．【變式1】（2425高三上·重慶·開學(xué)考試）第41屆全國青少年信息學(xué)奧林匹克競賽于2024年7月日在重慶市育才中學(xué)成功舉辦．在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接待、咨詢、向?qū)齻€(gè)志愿者服務(wù)項(xiàng)目，每名新教師只參加一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，每個(gè)服務(wù)項(xiàng)目至少有一名新教師參加．若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，則不同的安排方案有（

）種A．108 B．114 C．150 D．240【答案】B【知識點(diǎn)】分組分配問題、實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題、元素（位置）有限制的排列問題【分析】把5名新教師分成3組，利用分組分配及排除法列式計(jì)算即得.【詳解】5名新教師按分組有種方法，按分組有種分法，因此5名新教師的安排方案有種，當(dāng)甲乙在同一組時(shí)，甲乙可視為1個(gè)人，即相當(dāng)于4名教師的安排方案，有種，所以所求不同的安排方案有（種）.故選：B【變式2】（2425高三上·云南昆明·期中）甲口袋中有標(biāo)號為、、的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號為、、、的四張卡片，從兩個(gè)口袋中不放回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個(gè)口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號為偶數(shù)的不同抽法共有種（用數(shù)字作答）【答案】【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題【分析】計(jì)算出從甲、乙兩個(gè)口袋中，每個(gè)口袋至少抽一張卡片，共抽取三張卡片的抽法種數(shù)，以及抽取的三張卡片都是奇數(shù)的抽法種數(shù)，利用間接法可得結(jié)果.【詳解】從甲、乙兩個(gè)口袋中，每個(gè)口袋至少抽一張卡片，共抽取三張卡片，不同的抽法種數(shù)為，其中，抽取的三張卡片都是奇數(shù)的抽法種數(shù)為，因此，抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號為偶數(shù)的不同抽法種數(shù)為.故答案為：.題型05兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典例1】（2425高三上·浙江杭州·階段練習(xí)）現(xiàn)有三對雙胞胎共6人排成一排，則有且只有一對雙胞胎相鄰的排法種數(shù)是（

）A．180 B．240 C．288 D．300【答案】C【知識點(diǎn)】排列組合綜合、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】將6人進(jìn)行編號，先選擇一對雙胞胎令其相鄰，且兩人可內(nèi)部排列，故有種，再就這對雙胞胎分別站的位置進(jìn)行分類求解，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.【詳解】將6人進(jìn)行編號，分別為，其中為雙胞胎，為雙胞胎，為雙胞胎，從左到右站位，分別為，先從3對雙胞胎中選擇一對令兩人相鄰，且兩人可內(nèi)部排列，故有種選擇，再依次進(jìn)行求解，若這對雙胞胎分別站在位，此時(shí)3號位可以從剩余的4人中進(jìn)行選擇，那么4號位可以從剩余的雙胞胎中選擇1人，號位置將固定排剩余2人，此時(shí)共有種選擇，若這對雙胞胎分別站在位，則1號位置有4種選擇，4號位可以從剩余的雙胞胎中選擇1人，位置將固定排剩余2人，此時(shí)共有種選擇，若這對雙胞胎分別站在位，則2號位置有4種選擇，1號位可以從剩余的雙胞胎中選擇1人，位置可將剩余2人進(jìn)行全排列，此時(shí)共有種選擇，若這對雙胞胎分別站在或，可利用同種方法得到共有種選擇，綜上，共有種排法.故選：C【典例2】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）結(jié)合排列組合，解決下列問題．(1)將6封不同的信放到7個(gè)不同的信箱中，有多少種放法？(2)將6封不同的信放到5個(gè)不同的信箱中，每個(gè)信箱至少有一封信，有多少種放法？(3)將6封相同的信放到3個(gè)不同的信箱中，每個(gè)信箱至少有一封信，有多少種放法？(4)將4封標(biāo)有序號A，B，C，D的信放到四個(gè)標(biāo)有A，B，C，D的信箱中，恰有一組序號相同，則有多少種放法？【答案】(1)(2)1800(3)10(4)8【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、分類加法計(jì)數(shù)原理、排列組合綜合【分析】（1）根據(jù)題意，由分步乘法計(jì)數(shù)原理代入計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，先選后排，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，代入計(jì)算，即可求解；（3）根據(jù)題意，由隔板法代入計(jì)算，即可求解；（4）根據(jù)題意，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理與分類加法計(jì)數(shù)原理，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）以信的角度去看第一封信有7個(gè)選擇，第二封信有7個(gè)選擇，…，所以共有種放法；（2）先選后排，必然有一個(gè)信箱放兩封信，則從6封信中選取2個(gè)看成一個(gè)整體，即種，再將其進(jìn)行排列，即種排法．故共有種放法；（3）相同元素隔板法，6封信排成一列，中間有5個(gè)空位，選取其中2個(gè)插入隔板，故有種放法；（4）若組的序號相同，則信封此時(shí)有兩個(gè)選擇（信箱），從而信封只剩下1種信箱的選擇，同理可知其它序號相同時(shí)各有種選擇，故共有種放法．【典例3】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）現(xiàn)有名師生站成一排照相，其中老師人，男學(xué)生人，女學(xué)生人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)老師站在最中間，名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，名男學(xué)生兩邊各人；(2)名男學(xué)生互不相鄰，男學(xué)生甲不能在兩端；(3)名老師之間必要有男女學(xué)生各人．【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】排列組合綜合、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】（1）根據(jù)特殊元素優(yōu)先安排求解即可.（2）利用插空法，先排老師和女學(xué)生，再排男學(xué)生甲，最后排剩余的名男學(xué)生即可.（3）先任選一男學(xué)生一女學(xué)生站兩位老師中間，再排老師，最后利用捆綁法排列即可.【詳解】（1）由題意可得共種不同的站法．（2）先排老師和女學(xué)生共有種站法，再排男學(xué)生甲有種站法，最后排剩余的名男學(xué)生有種站法，所以共有種不同的站法．（3）先任選一男學(xué)生一女學(xué)生站兩位老師中間，有種站法，兩老師的站法有種，再將一男學(xué)生一女學(xué)生兩位老師進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)人進(jìn)行全排列有種，所以共有種不同的站法．【變式1】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）2023年春節(jié)旅游業(yè)回暖，人們紛紛外出游玩，游覽祖國美好河山．現(xiàn)有6名游客去A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)游覽，要求每個(gè)景點(diǎn)都有人游覽，且甲和乙不去同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的游覽方式共有種（用數(shù)字作答）．【答案】1320【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題、元素（位置）有限制的排列問題、排列組合綜合【分析】按景點(diǎn)人數(shù)分為和兩類，再分情況討論由排列組合分別計(jì)算，最后求和即可.【詳解】若景點(diǎn)人數(shù)為，甲乙各自去一個(gè)景點(diǎn)時(shí)有種分組方式，甲乙有一人和其余2人去一個(gè)景點(diǎn)時(shí)，共有種分組方式，所以此時(shí)不同的游覽方式有種；若景點(diǎn)人數(shù)為，先不考慮甲乙去同一個(gè)景點(diǎn)的情況，從6人中選2人，再從剩下4人中選2人，共有種選法，由于選出的2人有重復(fù)組合，還需除以，然后將4組全排，此時(shí)共有種，再考慮甲乙去同一個(gè)景點(diǎn)的情況，從其余4人中選2人，有，然后將4組全排列有種，此時(shí)共有種，所以此時(shí)共有不同的游覽方式有種．所以共有種．故答案為：1320.【變式2】（2425高三·上?！ふn堂例題）4件不同的禮品，按以下各種情況，各有幾種分法？(1)平均分成兩堆；(2)平分給兩人；(3)分成兩堆，一堆3件，一堆1件；(4)分給兩人，一人3件，一人1件．【答案】(1)3；(2)6；(3)4；(4)8【知識點(diǎn)】分組分配問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、排列組合綜合【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分組分配的解法，結(jié)合排列組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）先將4件禮品分成有序的兩堆，先取2件為第1堆，余下2件為第2堆，則有種情況，由于兩堆禮品數(shù)量相同，取件順序不同方法相同．如設(shè)4件禮品為，取余與取余為同一分堆方法，故除以去序，所以不同分法的種數(shù)為．（2）由（1）知，平均分成兩堆的方法數(shù)為，再將兩堆禮品按序分給不同兩人，有種分法．所以不同分法的種數(shù)為．（3）先將4件禮品分成有順序的兩堆，取3件禮品為第1堆，余下1件禮品為第2堆，則有種情況，由于兩堆禮品數(shù)量不同，第一堆取的3件不同，分堆方法也一定不同．如取余與取余為不同分堆方法.故不同分法的種數(shù)為．（4）先將4件禮品分成兩堆，由（3）知有種情況，再將兩堆禮品按序分給兩人，有種分法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同分法的種數(shù)為．題型06數(shù)字排列問題【典例1】（2324高二下·江蘇宿遷·期中）共10個(gè)數(shù)字．(1)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；(2)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；(3)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的大于或等于30000的五位數(shù)；(4)在無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，50124從大到小排第幾．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題、排列數(shù)的計(jì)算、數(shù)字排列問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】（1）0不能排在首位，其他任意排即可求解；（2）分0在首位和0不在首位兩種情況，滿足末位是偶數(shù)即可；（3）大于或等于30000的五位數(shù)，首位從3，4，5，6，7，8，9任選一個(gè)，其它的任意排即可；（4）首先確定比50000大的數(shù)，然后確定比50000大比50124小的只有50123，即可求解.【詳解】（1）先選1個(gè)數(shù)字排在首位，其它任意排，故有個(gè)；（2）當(dāng)0在末位時(shí)，有個(gè)，當(dāng)0不在末位時(shí)，從2，4，6，8，選一個(gè)放在末位，故有個(gè)，故五位偶數(shù)共有個(gè)；（3）大于或等于30000的五位數(shù)，首位從3，4，5，6，7，8，9任選一個(gè)，其它的任意排，故有個(gè)；（4）比50000大的數(shù)，故有個(gè)，比50000大比50124小的有，前四位為5，0，1，2，最后一位為3，只有50123，故在無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，50124從大到小排第個(gè).【典例2】（2024高二·全國·專題練習(xí)）從1到7這7個(gè)數(shù)字中取2個(gè)偶數(shù)、3個(gè)奇數(shù)，排成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．求：(1)共有多少個(gè)五位數(shù)？(2)其中偶數(shù)排在一起的有多少個(gè)？(3)其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有多少個(gè)？(4)其中兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的有多少個(gè)？【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點(diǎn)】不相鄰排列問題、相鄰問題的排列問題、全排列問題、排列數(shù)的計(jì)算【分析】（1）首先計(jì)算取5個(gè)數(shù)字的方法，再根據(jù)排列數(shù)公式，即可計(jì)算結(jié)果；（2）（3）根據(jù)（1），結(jié)合捆綁法，即可求解；（4）根據(jù)（1），結(jié)合插空法，即可求解.【詳解】（1）依題意，從1到7這7個(gè)數(shù)字中取2個(gè)偶數(shù)、3個(gè)奇數(shù)，共有（種）情況，共有（個(gè)）五位數(shù)．（2）把選出的偶數(shù)捆綁在一起，和奇數(shù)進(jìn)行全排列，故其中偶數(shù)排在一起的有（個(gè)）．（3）把選出的偶數(shù)捆綁在一起，把選出的奇數(shù)也捆綁在一起，再全排列，故其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有（個(gè)）．（4）先排3個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)插空，故其中兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的共有（個(gè)）．【典例3】（2425高二·江蘇·課后作業(yè)）已知一個(gè)兩位數(shù)中的每個(gè)數(shù)字都從1，2，3，4中任意選取.(1)如果兩位數(shù)中的數(shù)字不允許重復(fù)使用，那么能得到多少個(gè)不同的兩位數(shù)？(2)如果兩位數(shù)中的數(shù)字允許重復(fù)使用，那么能得到多少個(gè)不同的兩位數(shù)？【答案】(1)12個(gè)(2)16個(gè)【知識點(diǎn)】排列數(shù)的計(jì)算、排列的意義理解、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】（1）因?yàn)閿?shù)字不允許重復(fù)，所以可用排列數(shù)公式求解；（2）因?yàn)閿?shù)字允許重復(fù)，所以用分步相乘計(jì)數(shù)原理計(jì)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閮晌粩?shù)中的數(shù)字不允許重復(fù)使用，所以一個(gè)兩位數(shù)相當(dāng)于從1，2，3，4中任意取2個(gè)數(shù)的排列，故有個(gè)，所以可以得到12個(gè)不同的兩位數(shù).（2）因?yàn)閮晌粩?shù)中的數(shù)字允許重復(fù)使用，所以確定兩位數(shù)分兩步，每步有4種方法，利用分步相乘原理有個(gè)，所以可以得到16個(gè)不同的兩位數(shù).【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）用這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的整數(shù)？(1)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)恰有兩個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)？【答案】(1)300(2)600【知識點(diǎn)】排列數(shù)的計(jì)算、排列組合綜合【分析】（1）由乘法原理可得可以組成300個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)（2）分類討論，數(shù)字0重復(fù)和其他數(shù)字重復(fù)可得可以組成600個(gè)恰有兩個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)．【詳解】（1）首位不能為，有種選法；再從其余的五個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)排在其余三個(gè)位置，有種方法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理得可以組成的四位數(shù)有個(gè)．（2）分兩種情況進(jìn)行討論；第一種：數(shù)字重復(fù)：，第二種：其它數(shù)字重復(fù)：①有時(shí)：個(gè)，②無時(shí)：個(gè)，∴共有（個(gè)）．【變式2】（2324高二下·江蘇·期中）有0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字．(1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)？(3)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比1230大的四位數(shù)？【答案】(1)156(2)108(3)284【知識點(diǎn)】排列數(shù)的計(jì)算、數(shù)字排列問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】（1）考慮個(gè)位數(shù)字的情況，分為三類，分別計(jì)算每種情況的偶數(shù)的個(gè)數(shù)，相加可得答案；（2）考慮個(gè)位數(shù)字分別為0，5時(shí)情況，分別計(jì)算每種情況的數(shù)的個(gè)數(shù)，相加可得答案；（3）從千位數(shù)字百位數(shù)字以及十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字，分類考慮，分別計(jì)算出每種情況的數(shù)的個(gè)數(shù)，相加可得答案.【詳解】（1）由題意組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)分為三類：第一類：0在個(gè)位時(shí)，有個(gè)；第二類：2在個(gè)位時(shí)，首位從1，3，4，5中選定1個(gè)，有種，十位和百位從余下的數(shù)字中選，有種，共有個(gè)；第三類：4在個(gè)位時(shí)，與第二類同理，也有個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．（2）組成無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)分為兩類：個(gè)位上的數(shù)字是0時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有個(gè)；個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是5時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有個(gè)，故滿足條件的四位數(shù)有（個(gè)）．（3）組成無重復(fù)數(shù)字且比1230大的四位數(shù)分為四類：第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共個(gè)；第二類：形如13□□，14□□，15□□，共有個(gè)；第三類：形如124□，125□，共有個(gè)；第四類：形如123□，共有個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有（個(gè)）．題型07涂色問題【典例1】（2425高二上·全國·單元測試）用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，相鄰區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法（

）

A．120種 B．720種 C．840種 D．960種【答案】D【知識點(diǎn)】涂色問題【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】有5種顏色可選，有4種顏色可選，有3種顏色可選，，均有4種顏色可選，故共有涂色方法（種）．故選：D.【典例2】（2425高三上·福建福州·期中）如圖，對某市的個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，現(xiàn)有種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法有種.

【答案】【知識點(diǎn)】涂色問題【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理來求得正確答案.【詳解】按①②③④的順序進(jìn)行著色，按分步計(jì)數(shù)原理可得不同的著色方法有.故答案為：【典例3】（2324高二下·山西臨汾·期中）如圖，這是一面含A，B，C，D，E，F(xiàn)六塊區(qū)域的墻，現(xiàn)有含甲的五種不同顏色的油漆，一位工人要對這面墻涂色，相鄰的區(qū)域不同色，則共有種不同的涂色方法；若區(qū)域D不能涂甲油漆，則共有種不同的涂色方法.

【答案】1200960【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、涂色問題【分析】直接由分類、分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】第一空：若C，E的涂色相同，則共有種方法；若C，E的涂色不相同，則共有種方法.故共有1200種不同的涂色方法.第二空：因?yàn)閰^(qū)域D不能涂甲油漆，所以區(qū)域D的涂色方法有4種.若C，E的涂色相同，則共有種方法；若C，E的涂色不相同，則共有種方法.故共有960種不同的涂色方法.故答案為：1200，960.【變式1】（2425高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）在如圖方格中，用4種不同顏色做涂色游戲，要求相鄰區(qū)域顏色不同，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色.①若區(qū)域涂2種顏色，區(qū)域涂另外2種顏色，則有種不同涂法.②若區(qū)域涂4種顏色（涂的顏色互不相同），區(qū)域也涂這4種顏色（涂的顏色互不相同），則有種不同涂法.【答案】【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、涂色問題【分析】①利用分步計(jì)數(shù)原理可求不同的涂法；②先涂，再就的涂色情況分類計(jì)算即可.【詳解】①先涂，共有種，再涂鴉，共有種，故共有種涂法.②先涂，共有，若所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；若所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；若所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；同理所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；所涂顏色為所用顏色，則共有種涂法；故共有涂法種，故答案為：.【變式2】（2425高三上·重慶長壽·開學(xué)考試）某次文化藝術(shù)展，以體現(xiàn)了中華文化的外圓內(nèi)方經(jīng)典的古錢幣造型作為該活動(dòng)的舉辦標(biāo)志，舉辦方計(jì)劃在入口處設(shè)立一個(gè)如下圖所示的造型現(xiàn)擬在圖中五個(gè)不同的區(qū)域栽種花卉，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的花卉品種不一樣.現(xiàn)有木繡球、玫瑰、廣玉蘭、錦帶花、石竹等5各不同的品種.(1)（i）共有多少種不同的栽種方法；【答案】(1)（i）420種；【知識點(diǎn)】涂色問題、寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列、計(jì)算條件概率、求離散型隨機(jī)變量的均值【分析】（1）（i）規(guī)定涂色順序?yàn)椋孩佟邸凇堋?，分類討論②和④是否同色，進(jìn)而分析求解；【詳解】（1）（i）規(guī)定涂色順序?yàn)椋孩佟邸凇堋?，若②和④同色，方法?shù)為；若②和④不同色，方法數(shù)為；所以共有種不同的栽種方法；題型08全排列問題【典例1】（2324高二下·廣東·期中）某種產(chǎn)品的加上需要經(jīng)過A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，要求A，B兩道工序必須相鄰，C，D兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（

）A．960種 B．836種C．816種 D．720種【答案】A【知識點(diǎn)】全排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】先捆綁，再全排列后插空得出加工順序.【詳解】先捆綁再和排列，然后插入共有種排法．故選：A.【典例2】（2324高二下·甘肅·期末）甲、乙、丙等7名學(xué)生準(zhǔn)備利用暑假時(shí)間從，，三個(gè)社區(qū)中選一個(gè)參加義務(wù)勞動(dòng)，若甲、乙、丙恰好去三個(gè)不同的社區(qū)，則所有不同的選擇種數(shù)為．【答案】486【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、全排列問題【分析】先安排甲、乙、丙去三個(gè)社區(qū)，再讓余下4人選擇所去社區(qū)，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，甲、乙、丙恰好去三個(gè)不同的社區(qū)有種方法，除甲、乙、丙外的余下4人，每個(gè)選擇一個(gè)社區(qū)的方法有3種，4人去社區(qū)的方法種數(shù)為，所以所有不同的選擇種數(shù)為.故答案為：486【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．【典例3】（2324高二下·北京豐臺·期末）2024年春節(jié)期間，全國各大影院熱映《第二十條》、《飛馳人生2》、《熱辣滾燙》、《熊出沒．逆轉(zhuǎn)時(shí)空》4部優(yōu)秀的影片．現(xiàn)有4名同學(xué)，每人選擇這4部影片中的1部觀看．(1)如果這4名同學(xué)選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？(2)如果這4名同學(xué)中的甲、乙2名同學(xué)分別選擇觀看影片《第二十條》、《飛馳人生2》，那么共有多少種不同的選擇方法？(3)如果這4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？【答案】(1)24；(2)16；(3)144.【知識點(diǎn)】全排列問題【分析】（1）直接全排列可得；（2）另外2人觀影4部電影，用乘法原理計(jì)算可得；（3）先選2人觀看同一部電影，然后再安排另外2人觀看其余的3部電影．【詳解】（1）因?yàn)?名同學(xué)觀看的影片均不相同，所以不同的選擇方法共有種．（2）因?yàn)榧?、?名同學(xué)選擇觀看的影片已確定，所以不同的選擇方法共有種．（3）因?yàn)榍∮?名同學(xué)選擇觀看同一部影片，所以不同的選擇方法共有種．【變式1】（2324高二下·安徽安慶·期末）某寢室4名室友拍畢業(yè)照，4位同學(xué)站成一排，其中甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法種數(shù)有（

）A．24種 B．12種 C．8種 D．6種【答案】D【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、全排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】先排甲乙，再根據(jù)全排列結(jié)合分步乘法公式計(jì)算.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①甲，乙必須相鄰且甲在乙的右邊，將甲乙看成一個(gè)整體，有1種順序，②將甲乙整體與丙丁全排列，有種情況，則有種排法.故選：D【變式2】（2324高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）用0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字？（列式并計(jì)算）(1)六位數(shù)；(2)六位奇數(shù)；(3)能被5整除的六位數(shù)；(4)組成的六位數(shù)按從小到大順序排列，第265個(gè)數(shù)是多少？(5)六位數(shù)中數(shù)字1，2始終相鄰的數(shù)【答案】(1)600(2)288(3)216(4)310245(5)192【知識點(diǎn)】數(shù)字排列問題、全排列問題、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】（1）先排個(gè)位，再排其它位的數(shù)字，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果，（2）先在個(gè)位排1個(gè)奇數(shù)，然后排除0之外的數(shù)字，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果，（3）討論個(gè)位數(shù)是0或5，然后進(jìn)行計(jì)算即可．（4）討論首位是1，首位是2和首位是3時(shí)的不同個(gè)數(shù)再結(jié)合第265個(gè)數(shù)求解即可．（5）先將1,2捆綁，再排首位和其它位即可求解.【詳解】（1）先排首數(shù)，有種，最后排其它有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，六位數(shù)有種；（2）先排個(gè)位數(shù)，有種，因?yàn)?不能在首位，再排首位有4種，最后排其它有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，六位奇數(shù)有個(gè)；（3）能被5整除的六位數(shù)，則個(gè)位數(shù)是0或5，個(gè)位數(shù)是0，則有種，個(gè)位數(shù)是5，先排首位，0不作為首位，則有種排法，其余位置有種排法，故共有個(gè)．（4）首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有種，首位數(shù)字為2，有種，首位數(shù)字為3，萬位數(shù)字上為0，有種，此時(shí)所有6位數(shù)有個(gè)，故第264個(gè)數(shù)是，第265個(gè)數(shù)是.（5）先將1,2捆綁看做一個(gè)元素，有種方法，再排首位，除0外均可，有種，再排其它位有種，故共有個(gè)數(shù).題型09元素位置有限制問題【典例1】（2425高三上·重慶·階段練習(xí)）我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì)．其中將五人排成一行形成甲隊(duì)，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（

）A．432 B．864 C．1728 D．2592【答案】C【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】先計(jì)算甲隊(duì)的排列總數(shù)，分別要用上捆綁法和除序法；然后再利用插空法計(jì)算乙隊(duì)的排列總數(shù)，最后利用計(jì)數(shù)原理計(jì)算總的排列方法數(shù)即可.【詳解】甲隊(duì)，先用捆綁法，將與捆綁有種，將與看作一個(gè)整體，再用除序法得種，利用計(jì)數(shù)原理可知，一共為種；乙隊(duì)，利用插空法得種；按照計(jì)數(shù)原理可知，一共種.故選：C【典例2】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）用，，，，，組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，該六位數(shù)是的倍數(shù)且奇數(shù)與偶數(shù)相間，則滿足條件的這樣的六位數(shù)有個(gè)．【答案】【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題【分析】可分為兩類即個(gè)位是或個(gè)位是，分別求得六位數(shù)的個(gè)數(shù)，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】若該六位數(shù)的個(gè)位是，百位和萬位為偶數(shù)有種，其余奇數(shù)位有種，則滿足條件的六位數(shù)有個(gè)；若個(gè)位是，因六位數(shù)要求奇數(shù)與偶數(shù)相間，則首位為偶數(shù)，從，中選一個(gè)在首位有種，其余偶數(shù)位有種，奇數(shù)位有種，滿足條件的六位數(shù)有個(gè)．故共有個(gè)．故答案為：.【典例3】（2425高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）今年暑期旅游旺季，貴州以涼爽的氣候條件和豐富的旅游資源為依托，吸引了各地游客前來游玩.由安順黃果樹瀑布?荔波小七孔?西江千戶苗寨?赤水丹霞?興義萬峰林?銅仁梵凈山6個(gè)景點(diǎn)諧音組成了貴州文旅的拳頭產(chǎn)品“黃小西吃晚飯”.小明和家人計(jì)劃游覽以上6個(gè)景點(diǎn)，若銅仁梵凈山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千戶苗寨安排在相鄰位置，則一共有種不同的游覽順序方案.（用數(shù)字作答）【答案】【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】先將荔波小七孔和西江千戶苗寨看成一個(gè)景點(diǎn)，利用排列有種排法，再利用分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】將荔波小七孔和西江千戶苗寨捆綁到一起，看成一個(gè)景點(diǎn)，有種排法，又銅仁梵凈山不安排在首末位置，有種排法，所以共有種不同的游覽順序方案，故答案為：.【變式1】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）一位語文老師在網(wǎng)上購買了四書五經(jīng)各一套，四書指《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》，五經(jīng)指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經(jīng)必須分別排在一起，且《大學(xué)》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數(shù)為（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472【答案】D【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題、不相鄰排列問題【分析】計(jì)算出所有情況后減去《大學(xué)》和《春秋》相鄰的情況即可得.【詳解】四書、五經(jīng)必須分別排在一起，共有種，若《大學(xué)》和《春秋》相鄰，則不符合條件，共有種，則共有種．故選：D.【變式2】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）從5個(gè)男生和4個(gè)女生中選出5人去擔(dān)任英語、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物的課代表．分別求出符合下列條件的安排方法種數(shù)：(1)有女生但不少于男生；(2)女生甲不擔(dān)任物理課代表；(3)女生乙入選且不擔(dān)任生物課代表，男生甲若入選，只擔(dān)任數(shù)學(xué)或物理課代表．【答案】(1)5400(2)13440(3)4620【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題、實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題【分析】（1）分類討論有3個(gè)女生2個(gè)男生或有4個(gè)女生1個(gè)男生，利用排列組合結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理即可求解；（2）從除女生甲外的其他8人中選取1人擔(dān)任除物理課代表，再從剩下的8個(gè)人中選其余4科課代表，結(jié)合排列組合即可求解；（3）分類討論男生甲入選和不入選，利用排列組合結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】（1）由女生人數(shù)不少于男生可知，有3個(gè)女生2個(gè)男生或有4個(gè)女生1個(gè)男生，①有4個(gè)女生的選法有：種；②有3個(gè)女生的選法有：種；不同的安排方法種數(shù)有種．（2）因?yàn)榕撞粨?dān)任物理課代表，從除女生甲外的其他8人中選取1人擔(dān)任除物理課代表，再從剩下的8個(gè)人中選其余4科課代表，所以不同的安排種數(shù)有種；（3）因?yàn)榕胰诉x且不擔(dān)任生物課代表，男生甲若入選，只擔(dān)任數(shù)學(xué)或物理課代表，①男生甲入選的選法有：種；②男生甲不入選的選法有：種；所以不同的安排方法種數(shù)有種．題型10相鄰與不相鄰問題【典例1】（2324高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）有四名男生，三名女生排隊(duì)照相，七個(gè)人排成一排，則下列說法正確的是（

）A．如果四名男生必須連排在一起，那么有720種不同排法B．如果三名女生必須連排在一起，那么有576種不同排法C．如果女生不能站在兩端，那么有1440種不同排法D．如果三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起，那么有720種不同排法【答案】C【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】根據(jù)捆綁法、特殊位置的排列和插空法計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：如果四名男生必須連排在一起，將這四名男生捆綁，形成一個(gè)“大元素”，此時(shí)，共有種不同的排法，故A錯(cuò)誤；B：如果三名女生必須連排在一起，將這三名女生捆綁，形成一個(gè)“大元素”，此時(shí)，共有種不同的排法種數(shù)，故B錯(cuò)誤；C：如果女生不能站在兩端，則兩端安排男生，其他位置的安排沒有限制，此時(shí)，共有種不同的排法種數(shù)，故C正確；D：如果三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起，將女生插入四名男生所形成的5個(gè)空中，此時(shí)，共有種不同的排法種數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C．【典例2】（2324高二下·陜西西安·期中）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過6道工序．(1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，問有多少種加工順序?(2)若其中某3道工序必須相鄰．問有多少種加工順序?(3)若其中某3道工序兩兩不能相鄰，問有多少種加工順序?【答案】(1)288；(2)144；(3)144.【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用有限制條件的排列問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.（2）根據(jù)給定條件，利用相鄰問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.（3）根據(jù)給定條件，利用不相鄰問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.【詳解】（1）先從另外4道工序中任選2道工序放在最前面與最后面，有種不同的排法，再將其余的4道工序全排列，有種不同的排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有種加工順序．（2）先排這3道工序，有種不同的排法，再將它們看作一個(gè)整體，與其余的3道工序全排列，有種不同的排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有種加工順序.（3）先排其余的3道工序，有種不同的排法，有4個(gè)空檔，再將這3道工序插入空檔，有種不同的排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有種加工順序.【典例3】（2324高二上·遼寧撫順·階段練習(xí)）某次介紹會(huì)需要安排6個(gè)產(chǎn)品的介紹順序，其中3個(gè)產(chǎn)品來自A公司，2個(gè)產(chǎn)品來自B公司，1個(gè)產(chǎn)品來自C公司．(1)求B公司的2個(gè)產(chǎn)品的介紹順序相鄰的方案數(shù);(2)求同一個(gè)公司產(chǎn)品的介紹順序不相鄰，C公司的產(chǎn)品既不是第一個(gè)介紹，也不是最后一個(gè)介紹的方案數(shù)．【答案】(1)240(2)96【知識點(diǎn)】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】（1）將B公司的2個(gè)產(chǎn)品的介紹順序捆綁在一起，進(jìn)行排列；（2）先排A公司的3個(gè)產(chǎn)品有種排法，由于同一個(gè)公司產(chǎn)品的介紹順序不相鄰，故分兩類情況：一是B公司的2個(gè)產(chǎn)品和C公司的1個(gè)產(chǎn)品都在A公司的3個(gè)產(chǎn)品之間，二是B公司的2個(gè)產(chǎn)品中的1個(gè)和C公司的1個(gè)產(chǎn)品在A公司的3個(gè)產(chǎn)品之間，另一個(gè)在第一個(gè)或最后一個(gè),可得解.【詳解】（1）將B公司的2個(gè)產(chǎn)品的介紹順序捆綁在一起，與其他4個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有種，故B公司的2個(gè)產(chǎn)品的介紹順序相鄰的方案數(shù)有240種；（2）先排A公司的3個(gè)產(chǎn)品有種排法，由于同一個(gè)公司產(chǎn)品的介紹順序不相鄰，故分兩類情況：一是B公司的2個(gè)產(chǎn)品和C公司的1個(gè)產(chǎn)品都在A公司的3個(gè)產(chǎn)品之間，即B公司的2個(gè)產(chǎn)品中的1個(gè)和C公司的1個(gè)產(chǎn)品相鄰，共有種排法，二是B公司的2個(gè)產(chǎn)品中的1個(gè)和C公司的1個(gè)產(chǎn)品在A公司的3個(gè)產(chǎn)品之間，另一個(gè)在第一個(gè)或最后一個(gè)，共有，所以共有種方案.【變式1】（多選）（2425高二下·全國·課后作業(yè)）學(xué)校要安排一場文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序，第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定，其余9個(gè)節(jié)目中有4個(gè)音樂節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)曲藝節(jié)目，則（

）A．若要求4個(gè)音樂節(jié)目排在一起，則有種不同的排法B．若要求曲藝節(jié)目甲必須在曲藝節(jié)目乙的前邊，則有種不同的排法C．若要求3個(gè)舞蹈節(jié)目不能排在一起，則有種不同的排法D．若要求音樂節(jié)目、舞蹈節(jié)目、曲藝節(jié)目分別相鄰演出，則有種不同的排法【答案】BC【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】對于排列問題，相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，定序問題倍縮法，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對A：先將4個(gè)音樂節(jié)目全排列，有種排法；再把音樂節(jié)目捆綁和舞蹈、曲藝看作6個(gè)節(jié)目，進(jìn)行全排列，有種排法，所以共有種排法，A錯(cuò)誤；對B：先從9個(gè)位置中選7個(gè)位置排好音樂和舞蹈節(jié)目，有種排法；再排曲藝節(jié)目，只有一種排法，所以共有種排法，B正確；對C：先排音樂和曲藝節(jié)目，有種排法；再把3個(gè)舞蹈節(jié)目排在空位中，有種排法，所以共有種排法，C正確；對D：先把它們各自排列并捆綁，各自有種排法，再把它們看做三個(gè)元素進(jìn)行全排列，有種排法，所以共有種排法，D錯(cuò)誤．故選：BC【變式2】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排．(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？(5)如果男生甲、乙之間必須排兩個(gè)女生，可有多少種不同的排法？【答案】(1)4320(2)14400(3)14400(4)36000(5)1440【知識點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】（1）利用捆綁法進(jìn)行求解；（2）插空法進(jìn)行求解；（3）方法一，先安排兩端的位置，剩余位置進(jìn)行全排列，得到答案；方法二，間接法進(jìn)行求解，先安排三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排的總數(shù)，再減去不合要求的方法數(shù)；方法三，先從中間六個(gè)位置挑選三個(gè)讓三個(gè)女生排入，再考慮其他位置，從而得到答案；（4）分首位排了男生和首位排了女生兩種情況，分別求出方法數(shù)，相加后得到答案‘（5）安排好男生甲、乙，再安排甲和乙之間的兩個(gè)女生，再把甲、乙及中間兩個(gè)女生看成一個(gè)整體捆綁在一起，和另外四人排成一隊(duì)，利用全排列知識求出答案.【詳解】（1）（捆綁法）因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合在一起共有六個(gè)元素，排成一排有種不同的排法，對于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又有種不同的排法．因此共有（種）不同的排法．（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每兩個(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空位，這樣共有四個(gè)空位，加上兩邊男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰，由于五個(gè)男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)讓三個(gè)女生插入都有種排法，因此共有（種）不同的排法．（3）方法一（位置分析法），因?yàn)閮啥硕疾荒芘排?，所以兩端只能挑選五個(gè)男生中的兩個(gè)，有種不同的排法，對于其中的任意一種不同的排法，其余六個(gè)位置都有種不同的排法，所以共有（種）不同的排法．方法二（間接法），三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加回來一次，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有（種）不同的排法．方法三（元素分析法），從中間六個(gè)位置挑選三個(gè)讓三個(gè)女生排入，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余五個(gè)位置又都有種不同的排法，所以共有（種）不同的排法．（4）方法一（位置分析法），因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有種不同的排法，因此共有（種）不同的排法．方法二（間接法），三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除兩端都是女生的排法種，就得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．因此共有（種）不同的排法．（5）男生甲、乙排好有種排法，從三個(gè)女生中選兩人排在甲、乙之間有種排法，再把甲、乙及中間兩個(gè)女生看成一個(gè)整體捆綁在一起，和另外四人排成一隊(duì)有種排法，所以共有（種）不同的排法．題型11分組分配問題【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）將6本不同的書，甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少種不同的分配方式？【答案】360【知識點(diǎn)】分組分配問題【分析】根據(jù)分組分配問題，由排列組合即可求解.【詳解】先將6本不同的書分成1本一份，2本一份，3本一份，共有種方法，由于甲、乙、丙是不同的三人，還應(yīng)考慮再分配，共有（種）分配方式.【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）現(xiàn)在4本不同的書，按以下方式進(jìn)行分配．(1)分成兩堆，每堆2本，則有多少種分法；(2)分成兩堆，一堆3本、一堆1本，則有多少種分法；(3)分給甲、乙兩人，每人2本，則有多少種分法；(4)分給甲、乙兩人，一個(gè)3本、一人1本，則有多少種分法．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點(diǎn)】分組分配問題【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分組、分配的解法，結(jié)合排列組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解．（1）由平均分組計(jì)算；（2）由不平均分組計(jì)算；（3）由平均分組分配計(jì)算（4）由不平均分組分配計(jì)算【詳解】（1）先將4本書分成有順序的2堆，其中第1堆有2本書，第2堆有2本書，則有種情況，由于這兩堆書數(shù)量相同并無實(shí)際的順序，因此需要除以個(gè)來去序，綜上所述，不同分法的種數(shù)為．（2）先將4本書分成有順序的2堆，其中第1堆為3本書，第2堆為1本書，則有種情況，由于這兩堆書數(shù)量不同因此確實(shí)有順序．綜上所述，不同分法的種數(shù)為．（3）先將4本書分成有順序的2堆，其中第1堆為2本書，第2堆為2本書，則有種情況，由于是4本不同的書，因此無需去序．綜上所述，不同分法的種數(shù)為．（4）先將4本書分成有順序的2堆，其中第1堆為3本書，第2堆為1本書，則有種情況，由于甲、乙一個(gè)拿3本書、一個(gè)拿1本書，因此甲和乙有差異，同時(shí)也有順序差異，于是需要乘．綜上所述，不同分法的種數(shù)為．【典例3】（2324高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）五個(gè)不同的小球，全部放入編號為1，2，3，4的四個(gè)盒子中.回答下面幾個(gè)問題（寫出必要的算式，并以數(shù)字作答）:(1)可以有空盒，但球必須都放入盒中的放法有多少種?(2)四個(gè)盒都不空的放法有多少種?(3)恰有一個(gè)空盒的放法有多少種?【答案】(1)1024(2)240(3)600【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、全排列問題、分組分配問題【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合公式即可計(jì)算，【詳解】（1）由于可以隨便放，故每個(gè)小球都有4種放法，所以放法總數(shù)是：種．（2）因?yàn)橛?個(gè)球，4個(gè)盒子，所以四個(gè)盒都不空，必然有且只有一個(gè)盒子放2個(gè)球，所以放法共有種.（3）因?yàn)榍∮幸粋€(gè)空盒，所以取出一個(gè)盒子有種取法，5個(gè)球放入三個(gè)盒子可分和兩類方法，所以共有種.【變式1】（2425高二上·全國·課堂例題）6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組2本（平均分組）；(2)一組1本，一組2本，一組3本（不平均分組）；(3)一組4本，另外兩組各1本（局部平均分組）．【答案】(1)15(2)60(3)15【知識點(diǎn)】分組分配問題【分析】（1）6本不同的書分成3組，書本數(shù)為2本，2本，2本等量分組；（2）將6本不同的書分成3組，書本數(shù)為1本，2本，3本不等量分組；（3）分成3組，只需從6本中選4本一組，其余2本組為2，部分等量分組；【詳解】（1）每組2本，均分為3組的分組種數(shù)為．（2）一組1本，一組2本，一組3本的分組種數(shù)為．（3）一組4本，另外兩組各1本的分組種數(shù)為．【變式2】（2324高二下·安徽六安·期中）6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法？(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．（要求:以上4題最終答案均要用數(shù)字作答）【答案】(1)90(2)15(3)60(4)540【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用、分組分配問題【分析】（1）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可；（2）利用平均分組公式求解即可；（3）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可；（4）按“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”三種情況分類，再用分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】（1）先從6本書中選2本給甲，有種方法；再從剩余4本書中選2本給乙，有種方法；最后從余下的2本書中選2本給丙，有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有種不同分法．（2）分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個(gè)過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)，有種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得，所以，即共有15種不同分法．（3）先從6本書中選1本，有種方法；再從剩余5本書中選2本，有種方法；最后從余下的3本書為一份，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有種不同分法．（4）可以分為三類情況：①“2、2、2型”即（1）中的分配情況，有種分法；②“1、2、3型”即（3）中的分配情況，有種分法；③“1、1、4型”，有種分法，所以一共有種不同分法．題型12二項(xiàng)展開式及其逆應(yīng)用【典例1】（2324高二下·山東臨沂·期中）若實(shí)數(shù)，則等于（

）A． B．32 C． D．64【答案】D【知識點(diǎn)】二項(xiàng)展開式的應(yīng)用【分析】利用二項(xiàng)式定理可求值.【詳解】由題意可得.故選：D.【典例2】（2425高二上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）設(shè)，它等于下式中的（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】二項(xiàng)展開式的應(yīng)用【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的特征即可求解.【詳解】，故選：C【典例3】（2425高二上·全國·隨堂練習(xí)）代數(shù)式可化簡為．【答案】【知識點(diǎn)】二項(xiàng)展開式的應(yīng)用【分析】根據(jù)條件，利用二項(xiàng)展開式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故答案為?【變式1】（2324高二下·河南洛陽·期中）（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】二項(xiàng)展開式的應(yīng)用【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式逆用求解即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選：D.【變式2】（2324高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】二項(xiàng)展開式的應(yīng)用【分析】由二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】．故選：B.題型13特定項(xiàng)（特定項(xiàng)系數(shù)）【典例1】（2324高二下·山東菏澤·期中）的展開式中無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識點(diǎn)】求有理項(xiàng)或其系數(shù)【分析】先將二項(xiàng)式變形為，再通過的展開式的通項(xiàng)公式求出原二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，進(jìn)而結(jié)合無理項(xiàng)的定義即可求解.【詳解】由題，又的展開式，所以的展開式的通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)?shù)闹笖?shù)不為整數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為無理項(xiàng)，而當(dāng)時(shí)，不為整數(shù)，所以展開式中無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為4.故選：B.【典例2】（2425高三上·福建南平·期中）若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則，該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】【知識點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)、由二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和求參數(shù)【分析】采用賦值法，令，可根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)和求得的值；利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，結(jié)合的取值可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】令，則展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，解得：；展開式通項(xiàng)為，令，解得：，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為；令，解得：，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為；展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：；.【典例3】（2324高二下·河南鄭州·期末）已知二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256.(1)求展開式中的系數(shù)；(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).【答案】(1)1792(2)【知識點(diǎn)】二項(xiàng)式的系數(shù)和、求指定項(xiàng)的系數(shù)、求有理項(xiàng)或其系數(shù)【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和的公式建立方程，可求解n的值，從而求出展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為4，即可求解；（2）根據(jù)（1），令x的指數(shù)為整數(shù)，求出r的值，進(jìn)而可以求解.【詳解】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和為，則，解得；則展開式的通項(xiàng)公式為，，令，解得，所以展開式中含的系數(shù)為；（2）由（1）可知，令，且，則，則展開式中的有理項(xiàng)分別為，，.【變式1】（多選）（2425高三上·甘肅白銀·期中）對于二項(xiàng)式，下列說法正確的是（

）A．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 B．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C．展開式中的有理項(xiàng)有3項(xiàng) D．展開式中的有理項(xiàng)有4項(xiàng)【答案】AD【知識點(diǎn)】求二項(xiàng)展開式的第k項(xiàng)、求指定項(xiàng)的系數(shù)、求有理項(xiàng)或其系數(shù)【分析】利用二項(xiàng)式的展開式，根據(jù)要求求出的值即可判斷.【詳解】的展開式的第項(xiàng)，令，則，常數(shù)項(xiàng)為，故正確；當(dāng)，，，，展開式中有有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)有4項(xiàng)，故正確.故選：.【變式2】（2425高三上·四川眉山·階段練習(xí)）將個(gè)班分別從個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，共有種不同的選法，則在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)二項(xiàng)式的第k項(xiàng)求值、求指定項(xiàng)的系數(shù)【分析】根據(jù)題意求出的值，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得：.在的二項(xiàng)展開式中，通項(xiàng)為，由得，該項(xiàng)為，含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.題型14二項(xiàng)式系數(shù)（含最值問題）【典例1】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)分別為（

）A．第1項(xiàng)和第3項(xiàng) B．第2項(xiàng)和第4項(xiàng)C．第3項(xiàng)和第1項(xiàng) D．第4項(xiàng)和第2項(xiàng)【答案】B【知識點(diǎn)】求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、求系數(shù)最大（?。┑捻?xiàng)【分析】寫出的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可知項(xiàng)的系數(shù)為，進(jìn)而可知當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)值，因此分別求出、、時(shí)的項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而可知最小值；因?yàn)榈恼归_式有7項(xiàng)，因此中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以第2項(xiàng)的系數(shù)最??；因?yàn)榈恼归_式有7項(xiàng)，所以中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.故選：B.【典例2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】【知識點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的增減性和最值、求指定項(xiàng)的系數(shù)【分析】根據(jù)條件得到二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，再利用的展開式的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以二?xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，又的展開式的通項(xiàng)公式為，令，得到，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是，故答案為：.【典例3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知的展開式中，第四項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】280或560【知識點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的增減性和最值、求指定項(xiàng)的系數(shù)、由項(xiàng)的系數(shù)確定參數(shù)【分析】寫出通項(xiàng)，根據(jù)第四項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)比求出，然后可確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，進(jìn)而可得所求系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，由題知，，解得，所以，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)或第5項(xiàng)，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為或，即展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為280或560.故答案為：280或560.【變式1】（多選）（2324高二下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，展開式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知識點(diǎn)】二項(xiàng)展開式各項(xiàng)的系數(shù)和、求指定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式的系數(shù)和【分析】由，可判斷A，當(dāng)時(shí)，可判斷B，利用展開式的通項(xiàng)求出，可判斷C，當(dāng)時(shí)，可判斷D．【詳解】因?yàn)檎归_式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，解得，故A錯(cuò)誤；則，令，可得，故B正確；因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，，所以，所以，故C正確；由展開式的通項(xiàng)為，，所以，，所以，令，可得，所以，故D正確.故選：BCD．【變式2】（2324高二下·重慶九龍坡·期中）在的展開式中，若第7項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為，則．【答案】【知識點(diǎn)】求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算【分析】由題意可得，再將組合數(shù)代入即可得出答案.【詳解】的展開式中，第7項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為和，所以，即，解得：.故答案為：.題型15系數(shù)（含系數(shù)最大，小項(xiàng)）【典例1】（2324高二下·江蘇南通·期中）在以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并完成解答.①所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為；②前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22.問題：在的展開式中，__________.(1)證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).【答案】(1)證明見解析(2)，.【知識點(diǎn)】二項(xiàng)式的系數(shù)和、求指定項(xiàng)的系數(shù)、求有理項(xiàng)或其系數(shù)【分析】兩問都是先求出，后運(yùn)用通項(xiàng)公式解題即可.【詳解】（1）若選①，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為；二項(xiàng)式系數(shù)之和為.因?yàn)檎归_式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為，所以，解得.故.若是常數(shù)項(xiàng)，則，得，故展開式?jīng)]有常數(shù)項(xiàng)；若選②，因?yàn)榍叭?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22，所以，整理得，解得.故.若是常數(shù)項(xiàng)，則，得，故展開式中沒有常數(shù)項(xiàng).（2）由（1）得，.是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù).又因?yàn)?，所?故展開式中有3個(gè)有理項(xiàng)，分別為，.【典例2】（2324高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開，(1)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).（用數(shù)字作答）【答案】(1)(2)495【知識點(diǎn)】求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、求指定項(xiàng)的系數(shù)、求系數(shù)最大（?。┑捻?xiàng)【分析】（1）根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式，令的次數(shù)為0，即可解得常數(shù)項(xiàng).（2）根據(jù)通項(xiàng)公式，列出系數(shù)最大項(xiàng)的不等關(guān)系，解出的值，代入即可求出系數(shù)最大項(xiàng).【詳解】（1）展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.（2）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，由于為整數(shù)，所以，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為.【典例3】（2324高二下·河北保定·階段練習(xí)）在的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的4倍.(1)求n的值；(2)求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；(3)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？【答案】(1)(2)(3)7【知識點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)、由項(xiàng)的系數(shù)確定參數(shù)、求系數(shù)最大（?。┑捻?xiàng)【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系求得.（2）根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得常數(shù)項(xiàng).（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，列出不等式組，解出即可.【詳解】（1）依題意，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的4倍，即，即，解得.（2）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，則，即，解得且，則，所以系數(shù)的絕對值最大值的項(xiàng)為第7項(xiàng).【變式1】（2324高二下·浙江杭州·期中）已知的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32.(1)求n的值；(2)若展開式中的系數(shù)為80，求a的值.【答案】(1)5(2)【知識點(diǎn)】由項(xiàng)的系數(shù)確定參數(shù)、求指定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式的系數(shù)和【分析】（1）根據(jù)所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為列式求解；（2）寫出通項(xiàng)，令指數(shù)等于即可求得答案.【詳解】（1）∵所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，∴，∴．（2）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，令，∴展開式中的系數(shù)為，∴則．【變式2】（2324高二下·寧夏石嘴山·期中）已知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第五項(xiàng)．(1)求的值；(2)求該展開式中的常數(shù)項(xiàng)．(3)求其展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)(2)(3)1792【知識點(diǎn)】求系數(shù)最大（?。┑捻?xiàng)、求指定項(xiàng)的系數(shù)、求二項(xiàng)展開式的第k項(xiàng)【分析】（1）由題意可得，求解即可；（2）利用展開式的通項(xiàng)公式，可求常數(shù)項(xiàng)；（3）利用展開式的通項(xiàng)公式，可求系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】（1）因?yàn)檎归_式