第七講離散型隨機(jī)變量的分布列期望和方差-重點(diǎn)強(qiáng)化提升講義-習(xí)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第七講離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差知識知識歸納1.隨機(jī)事件、基本事件、隨機(jī)試驗(yàn)在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件。試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為基本事件。如果試驗(yàn)具有下述特點(diǎn)：試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是明確可知的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。它被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。簡稱試驗(yàn)。2．隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，（或隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量），那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用希臘字母X、Y、ξ、η等表示。離散型隨機(jī)變量在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量可能取的值是某個(gè)區(qū)間的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.3.分布列(1)定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.(2)表示：定義表示：P(xi)＝pi，i＝1，2，…，n.表格表示Xx1x2…xnPp1p2…pn圖形表示(3)性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.4.求離散型隨機(jī)變量的分布列的一般步驟(1)確定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每個(gè)取值所表示的意義.(2)利用概率的相關(guān)知識，求出每個(gè)取值相應(yīng)的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…).(3)寫出分布列.(5)離散型隨機(jī)變量有特征：(1)可用數(shù)值表示.(2)試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值.(3)在試驗(yàn)之前不能確定取何值.(4)試驗(yàn)結(jié)果能一一列出.作用：離散型隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一個(gè)值的概率的大小，從而反映出隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況，是進(jìn)一步研究隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)量特征的基礎(chǔ).5.兩點(diǎn)分布列像上面這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列。如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱p=P(X=1)為成功概率。X01P1－pp6.離散型隨機(jī)變量的期望若離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．．若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且.若服從兩點(diǎn)分布，則；7，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………則描述了()相對于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機(jī)變量的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．若服從兩點(diǎn)分布，則8，六條性質(zhì)(1)(為常數(shù))(2)(為常數(shù))(3)(4)如果相互獨(dú)立，則(5)(6)考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解題型一：寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列1．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個(gè)數(shù)為，則的分布列為（

）X01PX12PA．B．X012PC．

X012P

D．

【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列，即可寫出答案.【詳解】因?yàn)槊棵恩蛔优紨?shù)點(diǎn)朝上的概率為，且相互獨(dú)立，的取值可能為0，1，2.，，，所以的分布列為：XP故選：C.2．袋中裝有一些大小相同的球，其中標(biāo)號為1號的球1個(gè)，標(biāo)號為2號的球2個(gè)，標(biāo)號為3號的球3個(gè)，，標(biāo)號為號的球個(gè).現(xiàn)從袋中任取一球，所得號數(shù)為隨機(jī)變量，若，則.【答案】9【分析】本題為古典概型，求出袋中求的總數(shù)量，即可表示出，根據(jù)即可計(jì)算出n的值﹒【詳解】由題意可知，所有球的個(gè)數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，解得n＝9．故答案為：9．3．一袋中裝有4只同樣大小的球，編號分別為1，2，3，4，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，以X表示取出球的最大號碼，則X的分布列為【答案】X234P【分析】由題意隨機(jī)變量X所有可能取值為2，3，4，然后求出各自對應(yīng)的概率，即可求出X的分布列【詳解】由題意隨機(jī)變量X所有可能取值為2，3，4.且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.因此X的分布列為：X234P故答案為：X234P4．全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)012345人數(shù)01312204現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績，求隨機(jī)變量X的分布列．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)古典概率公式求，然后可得分布列.【詳解】解：由題意可得，，，，，．因此，隨機(jī)變量X的分布列是X012345P00.0250.0750.30.50.1題型二：利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題1．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分布列的性質(zhì)，列式計(jì)算即得.【詳解】由，得，所以.故選：D2．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】＋＋＋＝，A錯(cuò)誤；＋＝，B錯(cuò)誤；，C正確；＋＝，D錯(cuò)誤.故選：C3．已知隨機(jī)變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即概率和等于1，可求得的值，又由，計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)，則有，解得，故..故選：C.4．（多選）如果ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則真命題是（

）A．ξ取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)實(shí)數(shù)B．ξ取所有可能值的概率之和為1C．ξ取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和D．ξ在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和【答案】ABC【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，以及概率的求法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，隨機(jī)變量ξ取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)實(shí)數(shù)，所以A正確；對于B中，根據(jù)分布列的性質(zhì)，則隨機(jī)變量ξ取所有可能值的概率之和為1，所以B正確；對于C中，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得隨機(jī)變量ξ取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和，所以C正確；對于D中，根據(jù)分布列的性質(zhì)，隨機(jī)變量ξ在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和，所以D不正確.故選：ABC.題型三：由隨機(jī)變量的分布列求概率1．已知一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X1234Pp則p的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查分布列性質(zhì)，根據(jù)隨機(jī)變量取值概率和為1運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，解得.故選：C.2．已知隨機(jī)變量的分布列如表：則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題知，解得．故選：A3．（多選）已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10【答案】ABC【分析】根據(jù)隨機(jī)變量ξ的分布列，求出隨機(jī)變量的分布列，再找出滿足的即可.【詳解】由隨機(jī)變量的分布列，知：的可能取值為，且，，，，則，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：ABC.4．隨機(jī)變量Y的概率分布如下：Y123456P0.1x0.350.10.150.2則x＝；＝.【答案】0.1/0.45【分析】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得,解得x＝0.1.故答案為：；.題型四：兩點(diǎn)分布1．設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則成功概率（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可得解.【詳解】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可知：，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．（多選）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（

）．A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)XB．某射手射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分，射手的得分XC．從裝有5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋子中取1個(gè)球，定義：“取出白球”，“取出紅球”D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X【答案】CD【分析】利用兩點(diǎn)分布的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可作答.【詳解】兩點(diǎn)分布又叫01分布，試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)，并且隨機(jī)變量的取值只有0，1兩個(gè)，C，D滿足題意；拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)X可能的結(jié)果為1，2，3，4，5，6，共6個(gè)，不是兩點(diǎn)分布，A不滿足題意；某射手射擊一次的試驗(yàn)結(jié)果有兩個(gè)，但隨機(jī)變量X的取值是0，2，B不滿足題意．故選：CD3．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，那么．【答案】/0.5【分析】根據(jù)概率之和為1即可求解.【詳解】由題意可知或，由于，所以，故答案為：4．已知服從兩點(diǎn)分布，且，則．【答案】0.7【分析】利用兩點(diǎn)分布的性質(zhì)解答.【詳解】解：因?yàn)榉膬牲c(diǎn)分布，所以．故答案為：0.7題型五：求離散型隨機(jī)變量的均值1．（2024·湖南長沙·一模）已知隨機(jī)變量的分布列如下：1230.10.70.2則數(shù)學(xué)期望.【答案】2.1【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，即可求得答案.【詳解】由題意得數(shù)學(xué)期望，故答案為：2.12．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測）已知，隨機(jī)變量X的分布列為Ｘ1234Pab的最小值為，此時(shí)X的數(shù)學(xué)期望為．【答案】/【分析】根據(jù)分布列性質(zhì)求得，然后由基本不等式求得最小值，并求得值，再由期望公式計(jì)算出期望．【詳解】依題意可得．則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為．此時(shí)．故答案為：；．3．（2025·陜西咸陽·一模）小明和小王進(jìn)行乒乓球比賽，其中小明每局贏的概率為，小王每局贏的概率為，且每局比賽之間互不影響．(1)若采用3局2勝制，求小王最終贏得比賽的概率；(2)若采用5局3勝制，在小明贏得比賽的條件下，求比賽需要的局?jǐn)?shù)的期望．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題設(shè)，分析出小王最終贏得比賽的可能情況，應(yīng)用獨(dú)立乘法公式及互斥事件加法求概率；（2）由題意有并求出對應(yīng)概率，進(jìn)而求期望.【詳解】（1）小王最終贏得比賽的情況有：小王連續(xù)贏2局，小王前2局贏1局輸1局且第3局贏，所以小王最終贏得比賽的概率.（2）由題意，，且，，，所以.4．（2024·重慶·一模）近年來，開盲盒深受年輕人的喜愛.甲商店推出一款售價(jià)為1元/個(gè)且外觀相同的盲盒，每開一個(gè)盲盒，會等可能地開出3款玩偶（分別記為款?款?款）中的某一款.乙商店出售與甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售價(jià)為3元/個(gè).(1)若小明一次性購買了甲商店的3個(gè)盲盒，求他至少開出2個(gè)款玩偶的概率；(2)若小明只想要款玩偶，方案一：直接去乙商店購買；方案二：在甲商店以開盲盒的方式購買，并與老板協(xié)商一致，每次開一個(gè)盲盒，如果開出款玩偶則停止，否則再開一個(gè)盲盒，若連續(xù)四次均未開出款玩偶，老板就贈(zèng)送一個(gè)款玩偶給他.為了得到款玩偶，你認(rèn)為小明應(yīng)該選擇去哪家商店購買更劃算，請說明理由.【答案】(1)(2)去甲家商店購買更劃算，理由見解析.【分析】（1）首先設(shè)至少開出2個(gè)款玩偶為事件，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)事件概率公式，即可求解概率；（2）根據(jù)方案二的結(jié)果求分布列及，再根據(jù)方案一平均花費(fèi)為元，即可比較判斷.【詳解】（1）設(shè)至少開出2個(gè)款玩偶為事件故；（2）方案一：直接去乙商店購買花費(fèi)3元；方案二：設(shè)表示開盲盒的次數(shù)，即花費(fèi)為,故的所有可能取值為1，2，3，4，，，，，，則的分布列如表所示：1234．方案二平均花費(fèi)為元，方案一平均花費(fèi)為元，故小明應(yīng)該選擇去甲家商店購買更劃算.題型六：均值的性質(zhì)1．（2024·四川南充·一模）某一隨機(jī)變量X的分布列如下表，且，則.X0123P0.1m0.2n【答案】8【分析】根據(jù)題意可得，即可求得的值，進(jìn)而結(jié)合期望公式可求得，進(jìn)而得到.【詳解】由題意，得，解得，所以，所以.故答案為：8.2．（2024·上海·模擬預(yù)測）隨機(jī)變量的分布列如下列表格所示，其中為的數(shù)學(xué)期望，則.123450.10.20.30.1【答案】0【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望公式求解即可.【詳解】根據(jù)概率的性質(zhì)可得解得，所以，所以.故答案為:0.3．（2024·江蘇鹽城·一模）某學(xué)習(xí)平臺中“挑戰(zhàn)答題”積分規(guī)則如下：選手每天可參加一局“挑戰(zhàn)答題”活動(dòng).每局中選手需依次回答若干問題，當(dāng)累計(jì)回答正確3道題時(shí)，答題活動(dòng)停止，選手獲得10個(gè)積分；或者當(dāng)累計(jì)回答錯(cuò)誤2道題時(shí)，答題活動(dòng)停止，選手獲得8個(gè)積分.已知選手甲正確回答每一道題的概率均為.(1)記X為“甲完成一局‘挑戰(zhàn)答題’活動(dòng)時(shí)回答的題數(shù)”，求的概率；(2)記Y為“甲連續(xù)9天參加‘挑戰(zhàn)答題’活動(dòng)獲得的積分”，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，計(jì)算得結(jié)論；（2）記Z為“1天中參加‘挑戰(zhàn)答題’活動(dòng)獲得的積分”，利用離散型隨機(jī)變量的分布列和均值得，再利用均值的性質(zhì)，計(jì)算得結(jié)論.【詳解】（1）記為“第個(gè)題目回答正確”，為“第個(gè)題目回答不正確”.因?yàn)檫x手甲正確回答每一道題的概率均為，X為“甲完成一局‘挑戰(zhàn)答題’活動(dòng)時(shí)回答的題數(shù)”，所以.（2）記Z為“1天中參加‘挑戰(zhàn)答題’活動(dòng)獲得的積分”，則Z所有可能的取值為8，10.因?yàn)檫x手甲正確回答每一道題的概率均為，所以，，因此，而，所以.4．（2024·重慶·三模）已知是二維離散型隨機(jī)變量，其中X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量，的分布列用表格表示如下：X03605(1)求和；(2)“”表示在條件下的的取值，求“”的分布列；(3)為的數(shù)學(xué)期望，為“”的分布的期望，證明：.【答案】(1).(2)分布列見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題目所給分布列直接求解即可；（2）法一：“”可取的值為，再結(jié)合條件概率和分布列表即可求出每個(gè)取值對應(yīng)的概率，即可求解分布列；法二：“”可取的值為，由隨機(jī)變量相互獨(dú)立得，其中，即可求出概率和分布列；（3）法一：由題分別求出和，即可得證；法二：利用期望定義和求和運(yùn)算性質(zhì)化簡證明.【詳解】（1）由已知.（2）法一：“”可取的值為，因?yàn)樗?，，，所以“”分布列?36法二：“”可取的值為，由已知，隨機(jī)變量相互獨(dú)立，故，其中，由已知，，所以得“”分布列為036（3）法一：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?法二：.題型七：兩點(diǎn)分布的均值1．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則其成功概率為（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的期望即可求解.【詳解】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，設(shè)成功的概率為，．故選:D．2．拋擲一枚硬幣，記，則（

）A．0 B． C．1 D．1【答案】A【分析】依題意可得，再根據(jù)期望公式計(jì)算可得.【詳解】解：依題意，，所以；故選：A.3．若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，則以下正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩點(diǎn)分布的定義，利用期望計(jì)算公式和性質(zhì)可判斷.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則，故，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.4．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么．【答案】【解析】先求出，再由隨機(jī)變量的線性關(guān)系的期望性質(zhì)，即可求解.【詳解】，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)分布的期望和期望的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.題型八：由離散型隨機(jī)變的均值求參數(shù)1．（2024·陜西寶雞·二模）已知隨機(jī)變量X，Y滿足，Y的期望，X的分布列為：X01Pab則a，b的值分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)期望的性質(zhì)可求得，再根據(jù)期望公式及概率之和為1，列出方程組，解之即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則有，解得.故選：C.2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X的分布列為：X1234Pp其中，隨機(jī)變量X的期望為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，．【答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的均值計(jì)算公式可得，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，令，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值，即當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為：.3．（2024·江西·模擬預(yù)測）某數(shù)學(xué)興趣小組模擬“刮刮樂”彩票游戲，每張彩票的刮獎(jiǎng)區(qū)印有從10個(gè)數(shù)字1，2，3，……，10中隨機(jī)抽取的3個(gè)不同數(shù)字，刮開涂層即可兌獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)規(guī)則為：每張彩票只能中獎(jiǎng)一次（按照最高獎(jiǎng)勵(lì)算）若3個(gè)數(shù)的積為2的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時(shí)，中三等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時(shí)，中二等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時(shí)，中一等獎(jiǎng)；其他情況不中獎(jiǎng)．(1)在一張彩票中獎(jiǎng)的前提下，求這張彩票是一等獎(jiǎng)的概率；(2)假設(shè)每張彩票售價(jià)為元，且獲得三、二、一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金分別為2元，3元，10元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．【答案】(1)；(2)2．【分析】（1）分析題目，分別得到三等獎(jiǎng)項(xiàng)發(fā)生的情況：三等獎(jiǎng)需要至少1個(gè)偶數(shù)，不包含5，10，且3個(gè)數(shù)都不是3的倍數(shù)；二等獎(jiǎng)需要至少一個(gè)5的倍數(shù)，且三個(gè)數(shù)都不為3的倍數(shù)；一等獎(jiǎng)需要1個(gè)7、一個(gè)3的倍數(shù)，且當(dāng)3的倍數(shù)為6時(shí)，只需要再有一個(gè)2的倍數(shù)，當(dāng)3的倍數(shù)為3或9時(shí)，需要再有一個(gè)4的倍數(shù).計(jì)算得到三等獎(jiǎng)項(xiàng)中獎(jiǎng)的概率，利用條件概率公式得到結(jié)果.（2）根據(jù)（1）獎(jiǎng)金分別為2元，3元，10元對應(yīng)獲得三、二、一等獎(jiǎng)的概率，計(jì)算得到獲獎(jiǎng)期望為元，為了盈利售價(jià)應(yīng)當(dāng)高于獲獎(jiǎng)期望，因此單價(jià)正整數(shù)，所以的最小值為2.【詳解】（1）若獲得三等獎(jiǎng)則可能是出現(xiàn)：①2，4，8中出現(xiàn)3個(gè)；②2，4，8中出現(xiàn)2個(gè)，1，7出現(xiàn)1個(gè)；③2，4，8中出現(xiàn)1個(gè)，1，7出現(xiàn)2個(gè)；則獲得三等獎(jiǎng)的概率；若獲得二等獎(jiǎng)則可能是出現(xiàn)：①5、10中出現(xiàn)1個(gè)，1、2、4、7、8出現(xiàn)2個(gè)；②5、10中出現(xiàn)2個(gè)，1、2、4、7、8出現(xiàn)1個(gè)；則獲得二等獎(jiǎng)的概率；若獲得一等獎(jiǎng)則可能是出現(xiàn)：①一個(gè)7，3、9中出現(xiàn)1個(gè)，4、8出現(xiàn)1個(gè)；②一個(gè)7，一個(gè)6，2、4、8、10中出現(xiàn)1個(gè)，則獲得一等獎(jiǎng)的概率；所以隨機(jī)抽取一張彩票，則這張彩票中獎(jiǎng)的概率．所以已知一張彩票中獎(jiǎng)，且是一等獎(jiǎng)的概率為.（2）一張彩票的獎(jiǎng)金的取值可能為0、2、3、10元，由題可知不中獎(jiǎng)的概率為，，，.其分布列為：02310所以，所以要盈利，則；又，所以的最小值為2．4．（2024·安徽·一模）高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿分6分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有2個(gè)或者3個(gè)選項(xiàng)是正確的.若正確選項(xiàng)有2個(gè)，則選對其中1個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，則選對其中1個(gè)得2分，選對其中2個(gè)得4分，答案中有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；(2)小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè).共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè)，共選3個(gè).若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？【答案】(1)(2)②【分析】（1）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望公式計(jì)算即可，（2）分別求解三種情況下的期望，即可比較期望大小求解.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，，若該題有2個(gè)選項(xiàng)正確，則，若該題有3個(gè)選項(xiàng)正確，則，則分布列如下：X046P所以，解之得；（2）不妨記一道多選題“有2個(gè)選項(xiàng)正確”為事件，“有3個(gè)選項(xiàng)正確”為事件，若小明選擇方案①，記小明該題得分為，則的可能取值為2，3，對應(yīng)概率為：，故；若小明選擇方案②，記小明該題得分為，則的可能取值為，對應(yīng)概率為：，，故，若小明選擇方案③，記小明該題得分為Z，則Z的可能取值為，對應(yīng)概率為：，.故，，故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇方案②.題型九：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若隨機(jī)變量的可能取值為，且（），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)概率之和等于1得到方程，求出，計(jì)算出期望，進(jìn)而計(jì)算出方差.【詳解】由題意得，解得，故，.故選：A2．（2024·全國·模擬預(yù)測）隨機(jī)變量的分布列如下：012若，則．【答案】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望公式，列出方程求出、的值，進(jìn)而利用方差公式求出方差即可.【詳解】由題意知，解得，所以.故答案為：.3．（2024·上海徐匯·二模）同時(shí)拋擲三枚相同的均勻硬幣，設(shè)隨機(jī)變量表示結(jié)果中有正面朝上，表示結(jié)果中沒有正面朝上，則.【答案】【分析】先利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出，，再利用期望和方差公式求解．【詳解】由題意可知，，，所以，所以．故答案為：.4．（2025·河南洛陽·模擬預(yù)測）為慶祝新中國成立75周年，國慶長假期間，某小型景區(qū)對游客開展抽獎(jiǎng)免門票活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：盒子里有5個(gè)一模一樣的小球，只有一個(gè)小球上寫著免門票．游客從盒子里摸出一個(gè)小球，若該小球上寫有免門票，則景區(qū)免掉該游客的門票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽獎(jiǎng)．(1)小王家一共有4口人來到該景區(qū)旅游，記這4人中免門票的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；(2)當(dāng)小王選好一個(gè)小球后（此時(shí)小王還不知道小球上是否寫著免門票），景區(qū)工作人員（他知道小球上是否寫著免門票）會從盒子里取出一個(gè)沒有寫著免門票的小球給小王看，此后小王選擇是否重新從盒子里余下的球中摸出一個(gè)球換取開始選好的球，再看是否能免門票．請問小王作出哪種選擇更容易免門票？請說明理由．【答案】(1)分布列見解析，(2)小王重新摸球后更容易免門票，理由見解析【分析】（1）求出的可能取值和對應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望；（2）計(jì)算兩種選擇下獲取免門票的概率并比較即可解答.【詳解】（1）的取值可能為0，1，2，3，4，由，有，，，，，隨機(jī)變量的分布列為：01234有；（2）小王不重新摸球免門票的概率為，設(shè)這5個(gè)球分別記為，小球上面寫有免門票，若小王開始摸到小球，小王換球免門票的概率為0；若小王開始摸到小球或或或，小王換球免門票的概率為．可得小王換球后免門票的概率為，又由，可知小王重新摸球后更容易免門票．題型十：方差的性質(zhì)1．（多選）（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如表，若離散型隨機(jī)變量滿足，則（

）012340.10.40.20.2A． B．，C．， D．，【答案】BD【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)計(jì)算q的值，然后根據(jù)期望、方差公式及性質(zhì)計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，故，因此選項(xiàng)B正確；又，所以，，，故C錯(cuò)D對.故選：BD2．（多選）（2024·遼寧沈陽·一模）下圖是離散型隨機(jī)變量的概率分布直觀圖，其中，則（

）

A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由所有取值頻率之和為1，結(jié)合已知條件，解出，利用期望和方差公式計(jì)算數(shù)據(jù)，驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由題知解得，A選項(xiàng)正確；所以，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.3．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，滿足，則.【答案】8【分析】利用離散型隨機(jī)變量的方差公式及性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】易知.故答案為：8.4．（2024·湖南長沙·三模）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長、幫助家長解決接送學(xué)生困難的重要舉措是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對這兩個(gè)方案的支持情況，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表:男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差與的大小.【答案】(1)分布列見解析，(2).【分析】（1）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件，根據(jù)已知條件求出，的可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列與數(shù)學(xué)期望;（2）根據(jù)方差的性質(zhì)判斷即可.【詳解】（1）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件.則，則的可能取值為.所以，，，所以的分布列為:012所以.（2）依題意可得，所以,即.題型十一：方差的期望表示1．（2024·浙江溫州·三模）已知隨機(jī)變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算出，然后可得答案.【詳解】，，，，，.故選：D.2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）隨機(jī)變量的分布列如表所示，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，滿足（

）01A．先增大后減小 B．先減小后增大 C．增大 D．減小【答案】A【分析】根據(jù)分布列計(jì)算隨機(jī)變量的期望、方差后，利用二次函數(shù)求解.【詳解】由分布列可得：，所以，因?yàn)閷ΨQ軸方程為，所以當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先增大后減小.故選：A3．（多選）（2024·山東·三模）中華人民共和國第十四屆運(yùn)動(dòng)會將于2021年9月在陜西省舉辦．為了組建一支朝氣蓬勃、訓(xùn)練有素的賽會志愿者隊(duì)伍，向全國人民奉獻(xiàn)一場精彩圓滿的體育盛會，第十四屆全國運(yùn)動(dòng)會組織委員會欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長．下列說法正確的有（

）A．設(shè)事件：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，則B．設(shè)事件：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的3人中全是男志愿者”，則C．用表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則D．用表示抽取的三人中男志愿者的人數(shù)，則【答案】ABD【分析】對A，求得所有可能的情況和既有男志愿者，也有女志愿者的情況即可求得概率；對B，求得，，即可根據(jù)求得；對C，可得的可能取值為0，1，2，3，求得取不同值概率即可得出均值；對D，可得的可能取值為0，1，2，3，求得取不同值概率即可得出均值，求得方差.【詳解】對A，所有可能的情況有種，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情況有種，故，故A正確；對B，，，所以，故B正確；對C，可得的可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以，故C錯(cuò)誤.對D，可得的可能取值為0，1，2，3，則，，，，則，，則，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的均值求解，解題的關(guān)鍵是求得變量取不同值時(shí)的概率.4．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）某機(jī)構(gòu)要對某職業(yè)的月收入水平做一個(gè)調(diào)研，選擇了，，三個(gè)城市，三個(gè)城市從業(yè)人數(shù)分別為10萬，20萬，20萬，該機(jī)構(gòu)決定用分層抽樣的方法從三個(gè)城市中抽取1000個(gè)樣本進(jìn)行調(diào)查，并分析、城市的樣本數(shù)據(jù)后得到以下頻率分布直方圖：

（1），，三個(gè)城市應(yīng)各抽取多少個(gè)樣本？并估計(jì)城市從業(yè)人員月收入的平均值；（2）用頻率估計(jì)概率，，城市從業(yè)人數(shù)視為無限大，若從，兩城市從業(yè)人員中各隨機(jī)抽取2人，表示這抽取的4人中月收入在3000元以上的人數(shù)，求的分布列和期望．（用分?jǐn)?shù)作答）【答案】（1）城市應(yīng)抽取200人，城市應(yīng)抽取400人，城市應(yīng)抽取400人，城市月收入平均值約為2900元；（2）分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)，，三個(gè)城市人數(shù)比,用分成抽樣得出各城市因抽取的人數(shù).再根據(jù)頻率分布直方圖求出城市月收入平均值；（2）設(shè)可能取值有0，1，2，3，4，求出概率，，，，，列出隨機(jī)變量的分布列再求數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】解:（1）由題，，，三個(gè)城市人數(shù)比為，所以城市應(yīng)抽取200人，城市應(yīng)抽取400人，城市應(yīng)抽取400人，因?yàn)榘僭?，所以城市月收入平均值約為2900元；（2）可能取值有0，1，2，3，4，從城從業(yè)人員中隨機(jī)抽取一人，月收入在3000元以上的概率為，從城從業(yè)人員中隨機(jī)抽取一人，月收入在3000元以上的概率為，所以：，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：01234所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（或者）【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù),以及求分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.鞏固提升鞏固提升1．隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且，則（

）01230.10.1A．0.2 B．0.4 C．0.2 D．0【答案】D【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，，即，，故選：D.2．若隨機(jī)變量的分布列如下表，表中數(shù)列為等差數(shù)列，則的取值是（

）34567A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，再根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，則.故選：D3．已知隨機(jī)變量的分布列如表：02其中成等差數(shù)列，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用成等差數(shù)列、隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：，所以，所以.故選：A.4．設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列如下表，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）12A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【分析】由方差的運(yùn)算公式，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】，，該二次函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大，故選：D.5．已知在所有礦石中含有某種稀有元素的概率約為0.1，小郅與小祥同學(xué)有一把探測器可識別該稀有元素且準(zhǔn)確率高達(dá)0.9（即有0.1的概率對不含有該稀土元素的礦石作出反應(yīng)）.在某次探索實(shí)踐任務(wù)中，他們共同發(fā)現(xiàn)了一堆由探測器檢驗(yàn)含有該元素的礦石，但是否真的含有該元素則需進(jìn)一步檢驗(yàn)，再回實(shí)驗(yàn)室途中，小祥提出用2000元向小郅賣出所有礦石，若礦石中真實(shí)含有該元素，則價(jià)值約10000元，否則將一文不值.若小郅同學(xué)出錢購買，則他獲得利潤的均值約為：（

）元.A．2200 B．1100 C．2200 D．7000【答案】B【分析】分別計(jì)算小郅同學(xué)盈利和虧損的概率，再根據(jù)均值公式求解.【詳解】由題意可知：小郅同學(xué)要想盈利，必須在所有礦石含有稀有元素的條件下，探測器還能檢測出來，所以小郅同學(xué)盈利的概率，且盈利額為元，小郅同學(xué)虧損的概率，且虧損額為元，所以利潤的均值元.故選：B6．盒中裝有3個(gè)黃球和1個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中每次隨機(jī)取出1個(gè)球且不放回，直至取出紅球．設(shè)在此過程中，取到黃球的個(gè)數(shù)為，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】分析的所有可能取值并計(jì)算對應(yīng)的概率，根據(jù)公式計(jì)算的期望進(jìn)而計(jì)算.【詳解】由題意得，的所有可能取值為，，，所以的期望為，所以．故選：B.7．若某科技小制作課的模型制作規(guī)則是：每位學(xué)生最多制作3次，一旦制作成功，則停止制作，否則可制作3次.設(shè)某學(xué)生一次制作成功的概率為，制作次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意計(jì)算的概率，再由期望列出不等式求解即可.【詳解】由題意，的取值可能為1，2，3，則，，，則，解得或，又，所以故選：C8．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是每名學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為X，若X的均值，則p的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得關(guān)于的表達(dá)式，然后由可得答案.【詳解】由題意，X的所有取值為1，2，3．，，即，解得或（舍），所以p的取值范圍是．故選：A9．（多選）某學(xué)校舉行文藝比賽，比賽現(xiàn)場有5名專家教師評委給每位參賽選手評分，每位選手的最終得分由專家教師評分和觀看學(xué)生評分確定.某選手參與比賽后，現(xiàn)場專家教師評分情況如下表.觀看學(xué)生全部參與評分，所有評分均在7～10之間，將評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如圖，則下列說法正確的是（

）現(xiàn)場專家教師評分表專家教師ABCDE評分9.69.59.68.99.7A．B．用頻率估計(jì)概率，估計(jì)觀看學(xué)生評分不小于9分的概率為C．從5名專家教師中隨機(jī)選取3人，X表示評分不小于9分的人數(shù)，則D．從5名專家教師中隨機(jī)選取3人，X表示評分不小于9分的人數(shù)，則【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求概率建立方程，可得答案；對于B，利用頻率分布直方圖的定義，可得答案；對于C、D，利用古典概型的概率的計(jì)算公式以及組合數(shù)的計(jì)算過，可得答案.【詳解】由頻率分布直方圖知，，得，所以選項(xiàng)A正確；由頻率分布直方圖知，觀看學(xué)生評分不小于9分的頻率為，所以估計(jì)觀看學(xué)生評分不小于9分的概率為，所以選項(xiàng)B正確；X的可能取值為2，3，，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.10．（多選）某地質(zhì)考察隊(duì)在一片區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)了五處具有研究價(jià)值的地質(zhì)構(gòu)造點(diǎn)，依照初步判斷的研究價(jià)值高低，分別標(biāo)記為1，2，3，4，5號點(diǎn)位，每次考察時(shí)，隨機(jī)選擇一處地質(zhì)構(gòu)造點(diǎn)進(jìn)行深入研究，選擇各點(diǎn)位的概率與該點(diǎn)標(biāo)記的序號成正比，比例系數(shù)為k，設(shè)隨機(jī)變量G表示選擇的地質(zhì)構(gòu)造點(diǎn)編號，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正比關(guān)系可得，即可利用概率之和為1求解，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】依題意可得選擇各點(diǎn)位的概率與該點(diǎn)標(biāo)記的序號成正比，故，，解得，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，，故D正確．故選:ACD．11．（多選）下列說法正確的有（

）A．的展開式中，的系數(shù)是B．的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)和為C．從名男生，名女生中選名學(xué)生參加志愿者服務(wù)，表示參加志愿服務(wù)的男生人數(shù)，則D．有個(gè)不同的正因數(shù)【答案】BCD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)和判斷A、B；根據(jù)隨機(jī)變量的取值及其對應(yīng)概率求期望判斷C；由即可判斷D.【詳解】由展開式的通項(xiàng)公式為，令時(shí)，展開式中的系數(shù)為，A錯(cuò)誤；由的展開式中，可得各二項(xiàng)式系數(shù)和為，B正確；由題意，從名男生和名女生中任選名參加活動(dòng)，共有種不同選法，的取值為、、，，，，所以，C正確；因?yàn)?，所以有個(gè)不同的正因數(shù)，D正確．故選：BCD12．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為012則.【答案】/0.9【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)得，，且，解得，.故答案為：.13．某種資格證考試，每位考生一年內(nèi)最多有3次考試機(jī)會.一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次機(jī)會.小王決定參加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.5，0.6，0.7，且每次考試是否通過相互獨(dú)立，則小王在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書的概率為；他在一年內(nèi)參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.【答案】0.941.7【分析】利用概率的乘法與加法，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】，設(shè)一年內(nèi)參加考試次數(shù)為，則的可能取值為，，，，所以數(shù)學(xué)期望.故答案為：；.14．已知一組數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，2，1的第60百分位數(shù)為，且隨機(jī)變量的分布列為0.50.40.30.3則，．【答案】22【分析】先求的值，再求的期望.【詳解】將數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，2，1按照從小到大的順序排列為1，1，1，2，2，3，5，因?yàn)?，所以故答案為?；2.15．某趣味運(yùn)動(dòng)設(shè)置了“謎語競猜”活動(dòng)，在活動(dòng)中設(shè)置①、②、③三道謎語題，猜謎者按照一定的順序猜謎，只有猜對當(dāng)前謎語才能繼續(xù)競猜下一道謎語，并且獲得本謎語的獎(jiǎng)金．每次猜謎的結(jié)果相互獨(dú)立．猜對三道謎語的概率及獲得的相應(yīng)獎(jiǎng)金如下表：謎語①②③猜對的概率0.80.5獲得的獎(jiǎng)金（元）102030(1)若，按“①、②、③”的順序猜謎，求所獲獎(jiǎng)金至少為30元的概率；(2)假設(shè)只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎．若以猜謎所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，按哪種順序猜謎所獲獎(jiǎng)金更多？【答案】(1)0.4(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)事件,依題，根據(jù)事件與事件的互斥與的相互獨(dú)立，利用概率公式計(jì)算即得；（2）分兩種方案分別計(jì)算隨機(jī)變量對應(yīng)取值的概率，列出分布列，計(jì)算期望值，作差比較即得.【詳解】（1）設(shè)“猜謎者①猜對”為事件A；“猜謎者②猜對”為事件B；“猜謎者③猜對”為事件C．記“所獲得獎(jiǎng)金至少為30元”為事件，則包括獲得獎(jiǎng)金30元或60元．獎(jiǎng)金30元指①、②猜對，③猜錯(cuò)，即事件發(fā)生；獎(jiǎng)金60元指①、②猜對，③猜對，即事件發(fā)生.因事件與事件互斥，且相互獨(dú)立，則.即所獲得獎(jiǎng)金至少為30元的概率為0.4;（2）若猜謎者按“①、②、③”的順序猜謎語．則他所獲獎(jiǎng)金的所有可能取值為0，10，30，60（元），，，，，列出的分布列為：01030600.2故；若猜謎者按“③、②、①”順序猜謎語．則他所獲獎(jiǎng)金的所有可能取值為0，30，50，60（元），，，，，列出的分布列為：03050600.5故.由，當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)按①、②、③順序猜謎所獲得獎(jiǎng)金更多；當(dāng)，即時(shí)，按①、②、③和③、②、①順序猜謎所獲獎(jiǎng)金一樣多；當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)按③、②、①順序猜謎所獲得獎(jiǎng)金更多．16．已知正四棱錐的體積為，高為.(1)現(xiàn)有一螞蟻從點(diǎn)處等可能地沿各條棱向底面勻速移動(dòng)，已知該螞蟻每秒移動(dòng)個(gè)單位，求秒后該螞蟻與點(diǎn)的距離的分布列及期望.(2)假設(shè)有若干只螞蟻，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中的螞蟻計(jì)劃只可能從點(diǎn)出發(fā)，另外的螞蟻計(jì)劃既可能從點(diǎn)出發(fā)，又可能從點(diǎn)出發(fā).

若螞蟻只可能從點(diǎn)出發(fā)，則記分；若既既可能從點(diǎn)出發(fā)，又可能從點(diǎn)出發(fā)，則記分.

假設(shè)每只螞蟻計(jì)劃從哪個(gè)點(diǎn)出發(fā)相互獨(dú)立，視頻率為概率.（i）從螞蟻中隨機(jī)抽取只螞蟻，記這只螞蟻的合計(jì)得分恰為分的概率為，求；（ii）從若干螞蟻中隨機(jī)抽取一些螞蟻，記這些螞蟻的合計(jì)得分恰為分的概率為，隨著抽取螞蟻的無限增加，是否趨近于某個(gè)常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請說明理由.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）（ii）是，該常數(shù)為.【分析】（1）先確定該四棱錐的各個(gè)參量，再利用分布列和期望的定義得到答案；（2）（i）計(jì)算出，并證明；（ii）根據(jù)題意，利用對立事件概率公式得到遞推關(guān)系，進(jìn)而利用數(shù)列知識湊項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）該正四棱錐的底面面積，故底面邊長，側(cè)棱長.若該螞蟻沿著移動(dòng)，則秒后該螞蟻與點(diǎn)的距離；若該螞蟻沿著或移動(dòng)，則秒后該螞蟻與點(diǎn)的距離；若該螞蟻沿著移動(dòng)，則秒后該螞蟻與點(diǎn)的距離.所以的分布列為.（2）（i）每只螞蟻有的概率得分，有的概率得分.從而只螞蟻的總得分為當(dāng)且僅當(dāng)恰有一只螞蟻得分.故，所以.設(shè)，則，作差即得.所以.（ii）由于每只螞蟻至少記分1分，所以抽取的這些螞蟻的總得分恰為分，必然是至多抽取了只螞蟻.在得分為分的前提下，再抽取一只螞蟻，只能得到分或分，這兩者是對立事件，抽取若干螞蟻得分分，記為事件，得分分的事件記為，，由對立事件的概率關(guān)系可得：，，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對概率相關(guān)性質(zhì)的熟練運(yùn)用.走進(jìn)高考走進(jìn)高考1．（2013·湖北·高考真題）如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E（X）=（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知X可能的取值為0,1,2,3故有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.2．（2017·浙江·高考真題）已知隨機(jī)變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>【答案】A【詳解】∵，∴，∵，∴，故選A．【名師點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求出取各個(gè)值時(shí)的概率．對于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．由已知本題隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，由兩點(diǎn)分布數(shù)學(xué)期望與方差的公式可得A正確．3．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.【答案】/0.5【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.4．（2022·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則，．【答案】，/【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，

所以,故答案為：，.5．（2021·浙江·高考真題）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則，.【答案】1【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可求出．【詳解】，所以，,所以,則．由于．故答案為：1；．6．（2013·天津·高考真題）一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1，2，3，4；白色卡片3張，編號分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片（假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同）.（1）求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率.（2）在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）先計(jì)算不含編號為3的卡片的概率，再用得到答案.（2）隨機(jī)變量X的可能取值為：，計(jì)算概率得到分布列.【詳解】（1）不含編號為3的卡片的概率，故.（2）隨機(jī)變量X的可能取值為：.；；；.分布列為：【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，分布列，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.7．（2024·北京·高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(i)0.122萬元；(ii)這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值大于（i）中估計(jì)值【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，用頻率估計(jì)概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求.（ⅱ）先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求，從而即可比較大小得解.【詳解】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故（萬元），從而.8．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？【答案】(1)(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；【分析】（1）根據(jù)對立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計(jì)算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計(jì)算出各自期望，再次作差比較大小即可.【詳解】（1）甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為，，，，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因?yàn)椋瑒t，，則，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是計(jì)算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關(guān)系，最后得到結(jié)論.9．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，故．【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．10．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計(jì)算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．【詳解】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.11．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計(jì)概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)

計(jì)算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.12．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分