專題05導數(shù)與數(shù)列綜合解析-高考數(shù)學二輪復習壓軸題突破拿高分（導數(shù)篇）

2025年高考數(shù)學二輪復習壓軸題突破拿高分（導數(shù)篇）專題05導數(shù)與數(shù)列綜合【數(shù)列的函數(shù)特性】等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式中共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題．【解題方法點撥】1．在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問題時：（1）要讀懂題意，理解實際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學實質(zhì)，舍棄與解題無關(guān)的非本質(zhì)性東西；（2）準確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學模型；（3）根據(jù)所建立的數(shù)學模型的知識系統(tǒng)，解出數(shù)學模型的結(jié)果；（4）最后再回到實際問題中去，從而得到答案．2．在求數(shù)列的相關(guān)和時，要注意以下幾個方面的問題：（1）直接用公式求和時，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導過程．（2）注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．（3）求一般數(shù)列的前n項和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項和的求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項公式（尤其是在處理客觀題目時）時，要注意適當?shù)馗鶕?jù)具體問題多計算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項，否則會因為所計算的數(shù)列的項數(shù)過少，而歸納出錯誤的通項公式，從而得到錯誤的結(jié)論．題型一：曲線切線與坐標軸交點形成數(shù)列【例1】（2023上海高考）已知函數(shù)，取點，過其作曲線切線交軸于點，取點，過其作曲線作切線交軸于，若，則停止操作，以此類推，得到數(shù)列.(1)若正整數(shù)，證明(2)若正整數(shù)，試比較與大??；(3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列?若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由題意求導得切線方程，令即可得到遞推關(guān)系；（2）由題意作差結(jié)合遞推關(guān)系，構(gòu)造導數(shù)，得出的單調(diào)性，由此即可比較大?。唬?）由題意討論當時，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)以及構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得出單調(diào)性以及零點存在定理即可說明，當時，利用零點存在定理得出唯一性，得出矛盾即可推翻，由此即可得解.【解析】（1）由題意得，故點處的切線方程為：，令，則.（2）由(1)知要比較與大小，只需比較和的大小.設(shè)，求導令，解得，易知在上為嚴格減函數(shù)，在上為嚴格增函數(shù)，所以有，所以，所以，當且僅當時成立.故，即.（3）假設(shè)存在依次成等差數(shù)列,則必有，因為，解得，又，綜上，變形，現(xiàn)在考慮該式是否存在使之成立，設(shè)函數(shù)，求導，因為，所以有，說明嚴格單調(diào)遞增，且，根據(jù)零點存在性定理可以知道，有唯一解使得方程成立，故是成立.下面證明不成立：利用零點唯一性得出矛盾，當時，有上面證明可知，另一方面由第(2)可知，數(shù)列為嚴格遞減數(shù)列，矛盾，所以只有.綜上，滿足題意的只有.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵是得到函數(shù)方程后，要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)單調(diào)性以及零點存在定理即可順利得解.【例2】（2023·上海青浦·一模）已知有窮等差數(shù)列的公差d大于零．(1)證明：不是等比數(shù)列；(2)是否存在指數(shù)函數(shù)滿足：在處的切線的交軸于，在處的切線的交軸于，…，在處的切線的交軸于？若存在，請寫出函數(shù)的表達式，并說明理由；若不存在，也請說明理由；(3)若數(shù)列中所有項按照某種順序排列后可以構(gòu)成等比數(shù)列，求出所有可能的m的取值．【答案】(1)證明見解析(2)存在指數(shù)函數(shù)滿足條件，理由見解析(3)3【分析】（1）計算，得到證明；（2）計算切線方程，令得，即，滿足條件.（3）舉例說明時成立，考慮時，確定不可能所有項均為正數(shù)或均為負數(shù)，的前三項即為中最小的三項，確定，考慮，兩種情況，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，整理得到，，，驗證不成立，得到答案.【解析】（1），故不是等比數(shù)列.（2）在處的切線方程為，令得，因此，欲使?jié)M足條件，只需使，令，則，滿足條件，故存在指數(shù)函數(shù)滿足條件．（3）取，則成等比數(shù)列，故滿足條件．考慮，首先，不可能所有項均為正數(shù)或均為負數(shù)，否則，對應(yīng)的等比數(shù)列的公比為正，等比數(shù)列嚴格增或嚴格減，從而即為等比數(shù)列，不可能．其次，因為是等比數(shù)列，所以也是等比數(shù)列，不妨設(shè)嚴格增，則的前三項即為中最小的三項，則一定對應(yīng)于中的連續(xù)三項，不妨設(shè)，則．①若，則，則成等比數(shù)列，不可能；②若，則，則成等比數(shù)列，，即，得，，，而除了這三項外，最小值為或，但和均無法與構(gòu)成等比數(shù)列，因此不符合條件．綜上所述：所有可能的的值是3．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)特殊例子確定滿足條件，再考慮時不成立，是解題的關(guān)鍵．【例3】（2025上海浦東新區(qū)高三一模）過曲線上一點作其切線，若恰有兩條，則稱為的“類點”；過曲線外一點作其切線，若恰有三條，則稱為的“類點”；若點為的“類點”或“類點”，且過存在兩條相互垂直的切線，則稱為的“類點”．(1)設(shè)，判斷點是否為的“類點”，并說明理由；(2)設(shè)，若點為的“類點”，且過點的三條切線的切點橫坐標可構(gòu)成等差數(shù)列，求實數(shù)的值；(3)設(shè)，證明：軸上不存在的“類點”．【答案】(1)是，理由見解析；(2)2；(3)證明見解析.【分析】（1）判斷點的位置，求出過此點的切線方程，結(jié)合“類點”的定義判斷即可.（2）求出過點的切線方程，并代入的坐標并結(jié)合“類點”的定義求出值，驗證即可得解.（3）假定存在，并設(shè)出點的坐標，由過點的切線方程建立等式，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探討方程根的情況導出矛盾得證.【詳解】（1）函數(shù)，，點在上，求導得，設(shè)切點為，切線方程為，即，由切線過，得，,解得或，因此切線方程為，所以點為的“類點”.（2）函數(shù)，求導得，設(shè)切點為，切線方程為，即，切線過，則，依題意，方程有三個不同解，且成等差數(shù)列，設(shè)為，公差為，，因此，則，，則，當時，，不過，所以的值為2.（3）假設(shè)軸上存在函數(shù)的“類點”，記為，設(shè)坐標為，求導得，設(shè)切點為，切線方程為，即，由切線過，得，此方程至少有兩個不同解，設(shè)，則，由，得或，當時，，函數(shù)是上的嚴格減函數(shù)，當時，為上的嚴格增函數(shù)，函數(shù)的極小值，極大值，又，當或時，方程有兩個不同解，當時，方程有三個不同解，當時，在上，其余情況下在外，則，設(shè)兩垂直切線的斜率為，對應(yīng)方程的兩根為，則，由，得，則有，由，得異號，不妨設(shè)，由均值不等式知，，則，與矛盾，即不存在，所以軸上不存在的“類點”.【點睛】思路點睛：解決過某點的函數(shù)f(x)的切線問題，先設(shè)出切點坐標，求導并求出切線方程，然后將給定點代入切線方程轉(zhuǎn)化為方程根的問題求解.題型二：曲線與直線交點橫坐標形成數(shù)列【例4】（2023·上海嘉定·一模）已知．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)請嚴格證明曲線有唯一交點；(3)對于常數(shù)，若直線和曲線共有三個不同交點，其中，求證：成等比數(shù)列．【答案】(1)答案見解析(2)證明過程見解析(3)證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值的定義進行求解即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)利用導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點存在原理進行求解即可；（3）根據(jù)題意得到，結(jié)合（1）中結(jié)論、等比數(shù)列的定義進行運算證明即可.【解析】（1）由題意可知：的定義域為，的定義域為，，當時，得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，因此函數(shù)極大值為，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，因此函數(shù)極大值為，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)極大值為，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；函數(shù)極大值為，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）設(shè)，設(shè)，設(shè)，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，設(shè)，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，因此有，當時取等號，于是有，因此單調(diào)遞減，而，根據(jù)函數(shù)零點存在原理，當時，函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，因此有唯一實根，因此曲線有唯一交點.（3）由（1）可知兩個函數(shù)的最大值均為，且函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，由（2）可知曲線有唯一交點，且交點在內(nèi)，因為直線和曲線共有三個不同交點，其中，因此兩條曲線必過兩個曲線的交點，所以有，因此有，因為，，在上單調(diào)遞增，所以有，同理，，而函數(shù)在單調(diào)遞減，所以有，而，所以，因此成等比數(shù)列.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)、結(jié)合放縮法進行運算證明.【例5】（2324高三下·上?！るA段練習）已知函數(shù)和(1)若函數(shù)是定義域上的嚴格減函數(shù)，求的取值范圍.(2)若函數(shù)和有相同的最小值，求的值(3)若，是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列【答案】(1)(2)1(3)存在【分析】（1）求導，然后根據(jù)導函數(shù)不大于零恒成立，轉(zhuǎn)化為最值求解即可；（2）分別求出兩函數(shù)的最值，根據(jù)最值相等構(gòu)造函數(shù)，求導研究函數(shù)單調(diào)性，進而可得的值；（3）求導研究函數(shù)和的單調(diào)性，及最值，設(shè)出其交點，進而求出三個不同的交點，根據(jù)等式可證明等差數(shù)列.【解析】（1）恒成立，因為，所以，則的取值范圍為；（2）定義域為，，，若，則，單調(diào)遞增，無最小值，故，當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，的定義域為，，，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，函數(shù)和有相同的最小值，，化為，令，，則，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，僅有此一解，；（3）（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以當時，恒成立，即在時恒成立，所以時，，因為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在上存在唯一交點，設(shè)該交點為,，此時可作出函數(shù)和的大致圖象，由圖象知當直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，直線必經(jīng)過點,，即，因為，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以當直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，從左到右的三個交點的橫坐標依次為，，，因為，所以，所以，，成等差數(shù)列．存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問關(guān)鍵點是找到兩函數(shù)的交點對應(yīng)的相關(guān)等式，才能求出3個交點時的橫坐標.【例6】（2024·上海青浦·一模）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，問:函數(shù)的圖像上是否存在三點，使得它們的橫坐標成等差數(shù)列，且直線的斜率等于在點處的切線的斜率?若存在，求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在，說明理由;(3)證明:函數(shù)圖像上任意一點都不落在函數(shù)圖像的下方【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)不存在，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)導數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用反證法，先假設(shè)存在，化簡后得出矛盾即可證明；（3）構(gòu)造新函數(shù)，原題轉(zhuǎn)化為求證新函數(shù)的最小值不小0即可.【詳解】（1）定義域為，，顯然在上嚴格增，且.所以當時，；當時，.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），假設(shè)存在三點滿足條件，設(shè)三點的橫坐標分別為則，，即，即，令，則，當且僅當時等號成立，所以嚴格增，只有一個零點，矛盾，所以不存在滿足條件的三點.（3）令，只需證明當時，恒成立.由，當時，顯然嚴格增，當是，分兩段，①當時，，所以；②當時，，令，則，再令，則，當時，，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以單調(diào)遞增，所以，所以，，綜上可知，，所以圖像上任意一點都不落在函數(shù)圖像的下方.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問中，圖象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)之差的最小值不小于0即可，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得證.題型三：函數(shù)遞推數(shù)列【例7】（2024·上海奉賢·一模）已知函數(shù)y=fx，其中（常數(shù)且）．(1)若函數(shù)y=fx的圖象過點，求關(guān)于的不等式的解集；(2)若存在，使得數(shù)列是等比數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）點代入函數(shù)解析式求出，再解指數(shù)不等式可得答案；（2）根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列可得，令，利用導數(shù)判斷出在上的單調(diào)性，求出的值域可得答案.【詳解】（1）若函數(shù)y=fx的圖象過點，則，解得，舍去，所以，由得，解得或，所以不等式的解集為或；（2），若存在，使得數(shù)列是等比數(shù)列，則，可得，由可得，令，，當時，，所以，可得在上單調(diào)遞減，所以，則實數(shù)的取值范圍.【例8】已知函數(shù)(1)判斷的單調(diào)性；(2)若有且僅有一個零點，求的取值范圍；(3)若取第（2）問所求范圍的最小值，且數(shù)列滿足，，，求證：，.【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的零點、由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求導，令，分類討論可得的單調(diào)性；（2）利用（1）的結(jié)論可得有且僅有一個零點，求的取值范圍；（3）由（2）可得，令，求導，可得當，則，進而利用放縮法可求結(jié)論.【詳解】（1）因為，令，對稱軸，，，當時，，則，在單調(diào)遞增，當時，，令，得，，所以時，則；時，則；時，則，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增綜上，時，在單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）易知，由（1）可得當時，在單調(diào)遞增，又，所以有且僅有一個零點，當時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又，，所以在上有一個零點；又時，；時，，所以在，上各有有一個零點；所以有三個零點，綜上；（3），，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，即，所以由可得當，則，因此，若存在正整數(shù)，使得，則，從而，重復這一過程有限次后可得，與矛盾，從而，對，，下面我們先證明，當時，，設(shè)，則當時，，所以在單調(diào)遞減，所以，即時，，因為，所以，，即，由于，，所以，故，故當時，，所以，故，.【點睛】難點點睛：數(shù)列是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容之一，也是高考重點考查是考點.第三問求解則是充分借助題設(shè)條件及第二問中的結(jié)論，適當放縮不等式從而使得問題獲證，值得指出的是這一問的縮放一定要縮放得當、恰到好處.【例9】（2025上海黃浦一模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有導函數(shù)，且在區(qū)間I上恒成立，對任意的，有．對于各項均不相同的數(shù)列，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列與均是嚴格增數(shù)列B．數(shù)列與均是嚴格減數(shù)列C．數(shù)列與中的一個是嚴格增數(shù)列，另一個是嚴格減數(shù)列D．數(shù)列與均既不是嚴格增數(shù)列也不是嚴格減數(shù)列【答案】C【分析】由條件易知函數(shù)y=fx在I上嚴格遞減，構(gòu)造，因數(shù)列的各項均不相同，由的大小比較，利用函數(shù)單調(diào)性可得的大小關(guān)系，即得結(jié)論.【詳解】依題意，因f'x<0在區(qū)間I上恒成立，則函數(shù)y=f由，，因數(shù)列的各項均不相同，且，若，則，即，即此時數(shù)列嚴格遞增，數(shù)列嚴格遞減；若，則，即，即此時數(shù)列嚴格遞減，數(shù)列嚴格遞增.綜上所述，數(shù)列與中的一個是嚴格增數(shù)列，另一個是嚴格減數(shù)列.故選：C.【點睛】思路點睛：本題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題.解題思路在于根據(jù)選項信息，考慮數(shù)列中連續(xù)偶數(shù)項的差，通過對應(yīng)的連續(xù)奇數(shù)項的大小比較，借助于函數(shù)單調(diào)性得出偶數(shù)項的大小關(guān)系.【例10】（2024·上海崇明·二模）已知.(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)存在兩個不同的極值點，求證：；(3)若，，數(shù)列滿足，．求證：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）先對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可求切線方程；（2）由已知結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系先表示，然后結(jié)合二次方程根的存在條件即可證明；（3）結(jié)合導數(shù)分析的單調(diào)性，結(jié)合已知遞推關(guān)系及函數(shù)單調(diào)性即可證明.【解析】（1）當時，，所以曲線在點處的切線方程為.；（2）由，得：，令，則，原方程可化為：①，則是方程①的兩個不同的根，所以，解得，所以，因為，所以，所以；（3）由題意可知，，所以，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，因為，所以，，以此類推，當時，，又，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，當時，，所以，所以，即，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義在切線方程求解中的應(yīng)用，還考查了導數(shù)與單調(diào)性在不等式證明中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于根據(jù)定義域判斷導函數(shù)的正負性，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，得到最值進行比較.題型四：新定義數(shù)列【例11】（2324高三上·上海青浦·期中）已知函數(shù)，對于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個“源數(shù)列”.(1)已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，求；(2)已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對任意正整數(shù)，均有；(3)已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列?請說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意確定，，計算得到答案.（2）確定，構(gòu)造，求導得到函數(shù)單調(diào)遞增，計算最值得到證明.（3）確定，，根據(jù)得到，確定，再假設(shè)存在得到，整理得到，無解，得到答案.【解析】（1），，，故，則；（2），，故，構(gòu)造函數(shù)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故在恒成立，單調(diào)遞增，故，即，，當時，，綜上所述：恒成立，即.（3），則，，設(shè)，即，則，設(shè)函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，對于任意，有唯一的與之對應(yīng)，即數(shù)列中每一項，都有中的項與之相等，單調(diào)遞增，故，假設(shè)數(shù)列中存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列，，，，故，整理得到，無正整數(shù)解.故假設(shè)不成立，即不存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了函數(shù)導數(shù)和數(shù)列綜合，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造新函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性得到是解題的關(guān)鍵，這種技巧是?？技记?，需要熟練掌握.【例12】對給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導函數(shù)的函數(shù)，若對在定義域內(nèi)的給定常數(shù)，存在數(shù)列滿足在的定義域內(nèi)且，且對在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個點處的切線平行于和的連線，則稱數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.(1)若函數(shù)，證明：都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；(2)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，且，求的通項公式；(3)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)列的前項和為，證明：當時，.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列分析證明；（2）由題意分析可知：數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式運算求解；（3）構(gòu)建函數(shù)，利用導數(shù)可證，利用累加法分析求解.【解析】（1）因為，則，由題意可得：，則，即，且，可知數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列，顯然這樣的數(shù)列對于給定的是存在的，所以都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.（2）因為，則，設(shè)，即，由題意可知：，則，可得，且，可知數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列，可得，所以數(shù)列通項公式為.（3）先證明，設(shè)函數(shù)，則，，則，定義的導函數(shù)為的導函數(shù)為，則，且，，令，則，，因為，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，同理得，，故，又在內(nèi)單調(diào)遞增，在有有因此取，有，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，當時，，符合題意；當時，，累加可得，整理得，所以；綜上所述：.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式；特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．題型五：數(shù)列“累加型”不等式證明【例13】已知函數(shù).(1)證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求得的最小值為0，進而證得成立；（2）先利用（1）證得，再利用裂項相消法求和即可證明原不等式成立.【詳解】（1），令，解得，當時，解得；當，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在取得最小值，，恒成立，即恒成立.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，且所以在恒成立，即在恒成立.所以在恒成立.則當時，恒成立,令，則，所以.所以，即.所以，故得證.【例14】（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，，．(1)求；(2)若對一切成立，求的最小值；(3)證明：當正整數(shù)時，．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再代入計算即可；（2）設(shè)，求出函數(shù)的導函數(shù)，當時，對一切，，即可得到在成立，再說明當時不符合題意，即可得解；（3）由（2）得對一切時，成立，即可在不等式中取，得，即可得到，再說明，即可得證.【詳解】（1）因為，所以，所以．（2）設(shè)，則，當時，對一切，且僅當時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而由知，對一切，，即對一切成立；當時，取，得，即不成立．綜上，的最小值是．（3）當時，（可用計算器驗證，證明不作要求），由（2）得，對一切，成立，即，顯然當時，，所以，在不等式中取，得（為正整數(shù)），故時，．而當時，，證畢．【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解答的關(guān)鍵是取點說明不成立，第三問關(guān)鍵是結(jié)合（2）的結(jié)論得到，再取，得（為正整數(shù)）.【例15】（2023·上海普陀·曹楊二中?？既＃┮阎瘮?shù)，.(1