（講練篇）第二單元（因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)特征及應(yīng)用8大考點(diǎn)3拓展考點(diǎn)）-度五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高效學(xué)習(xí)講練手冊(cè)（人教版）

五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高效學(xué)習(xí)工具箱（2025年版）——緊貼課本·分層突破·思維升級(jí)·助力滿分各位老師好！備課找資料是不是經(jīng)常遇到這些煩惱？網(wǎng)上資源太多挑花眼，的習(xí)題總是不對(duì)路，好不容易找到合適的又不夠系統(tǒng)...為了解決這些痛點(diǎn)，特推出這套《五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高效學(xué)習(xí)工具箱（2025版）》，專為課堂教學(xué)+課后練習(xí)+階段復(fù)習(xí)量身定制！模塊名稱定位內(nèi)容構(gòu)成核心優(yōu)勢(shì)適用場(chǎng)景課堂法寶·同步講練篇課堂教學(xué)計(jì)算題+應(yīng)用題組合

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題量黃金比作業(yè)布置

薄弱項(xiàng)特訓(xùn)復(fù)習(xí)神器·單元總結(jié)篇復(fù)習(xí)階段思維導(dǎo)圖+易錯(cuò)清單

單元卷+答案解析系統(tǒng)性強(qiáng)

查漏補(bǔ)缺快考前復(fù)習(xí)

假期鞏固思維躍升·素養(yǎng)進(jìn)階篇能力拓展生活應(yīng)用題集

數(shù)學(xué)思想方法論銜接課標(biāo)

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競賽輔導(dǎo)分層檢測(cè)·質(zhì)量評(píng)價(jià)篇教學(xué)評(píng)估A卷（基礎(chǔ)題70%）

B卷（提升題20%）

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快速評(píng)價(jià)報(bào)告隨堂測(cè)驗(yàn)

個(gè)性化作業(yè)在資料整理過程中，因?yàn)閭€(gè)人知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知視角所限，融入了部分主觀見解，可能致使資料出現(xiàn)一些錯(cuò)漏之處。在此，期望大家能夠以敏銳的視角審視資料。如若發(fā)現(xiàn)任何問題，煩請(qǐng)您不吝指出。一旦收到反饋，將立即修正完善。在此，衷心地感謝大家的理解與信任，期待在您的助力下，這份資料能夠更好地服務(wù)于大家的學(xué)習(xí)與工作。2025年2月17日20242025學(xué)年度五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講練篇第二單元因數(shù)和倍數(shù)（因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)、特征及應(yīng)用）單元名稱第二單元因數(shù)和倍數(shù)知識(shí)概覽因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)、特征及應(yīng)用考點(diǎn)數(shù)量8大考點(diǎn)·3拓展考點(diǎn)（考點(diǎn)+例題+練習(xí)）難易程度☆☆☆☆☆備注：拓展考點(diǎn)根據(jù)實(shí)際情況可選擇性運(yùn)用。

TOC\o"11"\h\u【考點(diǎn)1】說出誰是誰的因數(shù)和倍數(shù) 3【考點(diǎn)2】找一個(gè)數(shù)的因數(shù) 4【考點(diǎn)3】找一個(gè)數(shù)的倍數(shù) 6【考點(diǎn)4】列舉法表示因數(shù)和倍數(shù) 7【考點(diǎn)5】集合法表示因數(shù)和倍數(shù) 8【考點(diǎn)6】根據(jù)因數(shù)的特征解決問題 11【考點(diǎn)7】根據(jù)倍數(shù)的特征解決問題 13【考點(diǎn)8】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的特征解決綜合問題 15【拓展考點(diǎn)1】求公因數(shù)和最大公因數(shù) 17【拓展考點(diǎn)2】求公倍數(shù)和最小公倍數(shù) 19【拓展考點(diǎn)3】分解質(zhì)因數(shù) 21

【考點(diǎn)1】說出誰是誰的因數(shù)和倍數(shù)【思路點(diǎn)撥】在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)，被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)說某個(gè)數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)，必須說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。：a、b都是大于0的自然數(shù)，a＝9b。a的因數(shù)最少有()，()，()和()。答案：1a9b分析：a＝9b，說明9和b都是a的因數(shù)，另外一個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身，據(jù)此填空。詳解：a、b都是大于0的自然數(shù)，a＝9b。根據(jù)分析，a的因數(shù)最少有1，a，9和b。1．如果m＝4n（m、n都是非0的自然數(shù)），那么m是n的()數(shù)，n是m的()數(shù)。答案：倍因分析：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。詳解：如果m＝4n（m、n都是非0的自然數(shù)），即m÷n＝4，那么m是n的倍數(shù)，n是m的因數(shù)。2．在7的倍數(shù)中，最大的兩位數(shù)是()；一個(gè)數(shù)只有a、5、7、35四個(gè)因數(shù)，這個(gè)數(shù)是()。答案：9835分析：最大的兩位數(shù)是99，用99除以7求出商和余數(shù)，用99減去余數(shù)即是所求；一個(gè)數(shù)的因數(shù)最小是1，最大是它本身。據(jù)此解答。詳解：因此，在7的倍數(shù)中，最大的兩位數(shù)是98；一個(gè)數(shù)只有a、5、7、35四個(gè)因數(shù)，即該數(shù)最小的因數(shù)是a，最大的因數(shù)是35，因此，這個(gè)數(shù)是35。3．在48÷6＝8中，()是()的因數(shù)，()是()的倍數(shù)。答案：648486分析：根據(jù)題意，結(jié)合倍數(shù)與因數(shù)的定義可知，在整數(shù)除法中，?如果所得的商是自然數(shù)而沒有余數(shù)，?那么被除數(shù)就是除數(shù)的倍數(shù)，?而除數(shù)則是被除數(shù)的因數(shù)。?在這個(gè)特定的例子中，?48除以6的結(jié)果是一個(gè)沒有余數(shù)的除法運(yùn)算，?因此可以確定6是48的因數(shù)，?同時(shí)48是6的倍數(shù)。?詳解：在48÷6＝8中，6是48的因數(shù)，?同時(shí)48是6的倍數(shù)?！究键c(diǎn)2】找一個(gè)數(shù)的因數(shù)【思路點(diǎn)撥】列除法算式找：用所求數(shù)除以大于等于1而小于它本身的整數(shù)，所得的商是整數(shù)而無余數(shù)，這些除數(shù)和商都是該數(shù)的因數(shù)。列乘法算式找：根據(jù)因數(shù)的意義，有序地寫出兩個(gè)整數(shù)相乘得此數(shù)的所有乘法算式，算式中的每個(gè)乘數(shù)都是該數(shù)的因數(shù)。：20的因數(shù)有()，40以內(nèi)12的倍數(shù)有()。答案：1、2、4、5、10、2012、24、36分析：找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，可以一對(duì)一對(duì)的找，把20寫成兩個(gè)數(shù)的乘積，那么每一個(gè)乘積中的因數(shù)都是20的因數(shù)，然后從小到大依次寫出即可；求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法用這個(gè)數(shù)分別乘自然數(shù)：1、2、3、4、5……所得積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)，據(jù)此寫出40以內(nèi)12的倍數(shù)即可。詳解：20＝1×20＝2×10＝4×520的因數(shù)有：1、2、4、5、10、20；12×1＝1212×2＝2412×3＝3612×4＝48（超過40所以排除）40以內(nèi)12的倍數(shù)有：12、24、36。1．20的因數(shù)有()，30的因數(shù)有()，既是20的因數(shù)，又是30的因數(shù)的數(shù)有()。答案：1、2、4、5、10、201、2、3、5、6、10、15、301、2、5、10分析：列乘法算式找因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個(gè)數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個(gè)因數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。據(jù)此先分別求出20和30的因數(shù)，再找到既是20的因數(shù)，又是30的因數(shù)的數(shù)即可。詳解：20＝1×20＝2×10＝4×5；20的因數(shù)有：1，2，4，5，10，20；30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6；30的因數(shù)有：1，2，3，5，6，10，15，30；既是20的因數(shù)，又是30的因數(shù)有：1，2，5，10。20的因數(shù)有1，2，4，5，10，20，30的因數(shù)有1，2，3，5，6，10，15，30，既是20的因數(shù)，又是30的因數(shù)的數(shù)有1，2，5，10。2．黑板上貼著7張數(shù)字卡片，細(xì)心的妙想發(fā)現(xiàn)：這7個(gè)數(shù)字正好是某個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)，這個(gè)自然數(shù)是。答案：64分析：根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，a、b、c是不為0的自然數(shù)，當(dāng)a×b＝c時(shí)，a和b是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。如8＝1×8＝2×4，8的因數(shù)就有1、8、2、4，共4個(gè)。一個(gè)數(shù)的因數(shù)總是成對(duì)出現(xiàn)的，因數(shù)的個(gè)數(shù)一般是偶數(shù)個(gè)；又如16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因數(shù)有1、16、2、8、4共5個(gè)，因?yàn)?6＝4×4＝42，16因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)。當(dāng)一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式時(shí)，它的因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)。據(jù)此解答即可。詳解：16是這個(gè)數(shù)的因數(shù)，16的因數(shù)也一定是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。16的因數(shù)有1、2、4、8、16共5個(gè)。16是這個(gè)數(shù)的因數(shù)，這個(gè)數(shù)就是16的倍數(shù)。當(dāng)16的倍數(shù)中，16×4＝64＝82，64的因數(shù)有1、2、4、8、16、32、64，共7個(gè)因數(shù)。因此這個(gè)自然數(shù)是64。點(diǎn)睛：本題考查的是因數(shù)和倍數(shù)的意義，明確這個(gè)數(shù)是某個(gè)整數(shù)的平方是解題的關(guān)鍵。3．找15的因數(shù)可以想“15除以幾沒有余數(shù)”，因?yàn)?5÷1＝()，15÷3＝()，所以15的因數(shù)有()。答案：1551、15、3、5分析：因，，改寫成除法可以是，。從而確定15的因數(shù)。據(jù)此解答。詳解：找15的因數(shù)可以想“15除以幾沒有余數(shù)”，因?yàn)?5÷1＝（15），15÷3＝（5），所以15的因數(shù)有（1、15、3、5）。【考點(diǎn)3】找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)【思路點(diǎn)撥】列乘法算式找：用這個(gè)數(shù)依次與非0自然數(shù)相乘，所得的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。列除法算式找：看哪些數(shù)除以這個(gè)數(shù)，商是整數(shù)而無余數(shù)，這些數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。：8的最小倍數(shù)是()。答案：8分析：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)就是這個(gè)數(shù)分別乘1、2、3、4……所得的數(shù)。根據(jù)倍數(shù)的定義，一個(gè)數(shù)的最小的倍數(shù)是它本身，據(jù)此解答。詳解：由分析得：8的最小倍數(shù)是8。1．15的因數(shù)有()，50以內(nèi)12的倍數(shù)有()。答案：1、3、5、1512、24、36、48分析：可以利用乘法來一對(duì)一對(duì)的找一個(gè)數(shù)的因數(shù)。求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，就用這個(gè)數(shù)分別乘自然數(shù)1、2、3、4、5…就得到了這個(gè)數(shù)的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍…詳解：1×15＝15、3×5＝1515的因數(shù)有：1、3、5、15；12×1＝12、12×2＝24、12×3＝36、12×4＝4812的倍數(shù)：12、24、36、48。2．24有()個(gè)因數(shù)，17的最小倍數(shù)是()。答案：817分析：根據(jù)找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，先列舉出24的所有因數(shù)，再數(shù)出個(gè)數(shù)即可。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小倍數(shù)是它本身，沒有最大倍數(shù)。詳解：24的因數(shù)有：1，2，3，4，6，8，12，24；共有8個(gè)因數(shù)；17的最小倍數(shù)是17。3．一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是48，這個(gè)數(shù)是()，那么這個(gè)數(shù)的所有因數(shù)是()，這個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是()。答案：481，2，3，4，6，8，12，16，24，4848分析：一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是它本身，最小因數(shù)是它本身；48的最大因數(shù)是48；48的最小倍數(shù)是48；根據(jù)找一個(gè)因數(shù)的方法寫出它的所有因數(shù)；據(jù)此解答即可。詳解：48的最大因數(shù)是48。48的因數(shù)有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。48的最小公倍數(shù)是48?！究键c(diǎn)4】列舉法表示因數(shù)和倍數(shù)【思路點(diǎn)撥】如18的因數(shù)有1，2，3，6，9，18。把因數(shù)按從小到大的順序排列，其中兩個(gè)因數(shù)之間用逗號(hào)隔開，全部寫完后畫上句號(hào)。：一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是15，最小倍數(shù)也是15，這個(gè)數(shù)是()。答案：15分析：根據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，據(jù)此解答。詳解：根據(jù)分析可知，一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是15，最小倍數(shù)也是15，這個(gè)數(shù)是15。1．一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是12，這個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是()。答案：12分析：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小的是它本身，沒有最大的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。所以一個(gè)數(shù)最大的因數(shù)＝最小的倍數(shù)＝這個(gè)數(shù)本身。詳解：一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是12，則這個(gè)數(shù)是12，它的最大因數(shù)是12。點(diǎn)睛：本題考查因數(shù)和倍數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握求一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。2．12的因數(shù)有；請(qǐng)寫出30以內(nèi)所有8的倍數(shù)。答案：1，2，3，4，6，128，16，24分析：找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法：列乘法算式找因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個(gè)數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個(gè)因數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法：列乘法算式找倍數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出這個(gè)數(shù)與非0自然數(shù)的乘法算式，乘法算式中的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。詳解：12＝1×12＝2×6＝3×412的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12。8×1＝88×2＝168×3＝248×4＝3230以內(nèi)所有8的倍數(shù)：8，16，24。3．按要求寫出下列各數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)（寫出40以內(nèi)的倍數(shù)）。12的因數(shù)：()

6的倍數(shù)：()答案：1、2、3、4、6、126、12、18、24、30、36分析：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)（或者說余數(shù)為0），我們就說除數(shù)和商都是被除數(shù)的因數(shù)，被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)；可以列乘法算式找一個(gè)數(shù)的因數(shù)：按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個(gè)數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個(gè)因數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)；也可以列乘法算式找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)：按照從小到大的順序，一組一組地寫出這個(gè)數(shù)與非0自然數(shù)的乘法算式，乘法算式中的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。詳解：由分析可得：12的因數(shù)：1、2、3、4、6、126的倍數(shù)：6、12、18、24、30、36【考點(diǎn)5】集合法表示因數(shù)和倍數(shù)【思路點(diǎn)撥】先畫一個(gè)橢圓，在橢圓上面寫上該數(shù)的名稱，再把因數(shù)或倍數(shù)按一定順序?qū)懺跈E圓里，因數(shù)或倍數(shù)之間用逗號(hào)隔開。：選擇符合條件的數(shù)，填寫在相應(yīng)的圓圈里。答案：14的倍數(shù)：14、28、42、56、70、84；84的因數(shù)：6、7、14、28、42、84分析：列乘法算式找因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個(gè)數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個(gè)因數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。列乘法算式找倍數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出這個(gè)數(shù)與非0自然數(shù)的乘法算式，乘法算式中的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。據(jù)此求出14的倍數(shù)和84的因數(shù)，再對(duì)照給出的數(shù)，填空即可。詳解：14×1＝14、14×2＝28、14×3＝42、14×4＝56、14×5＝70、14×6＝8484＝1×84＝2×42＝3×28＝4×21＝6×14＝7×1214的倍數(shù)：14、28、42、56、70、8484的因數(shù)：1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、841．寫出下面各數(shù)的倍數(shù)。（各寫5個(gè)）7的倍數(shù)

13的倍數(shù)

答案：見詳解分析：根據(jù)找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法，寫出7和13的倍數(shù)，各寫5個(gè)即可。列乘法算式找倍數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出這個(gè)數(shù)與非0自然數(shù)的乘法算式，乘法算式中的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。詳解：（答案不唯一）2．寫出下面各數(shù)的因數(shù)。答案：見詳解分析：根據(jù)找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，列舉出42、36的所有因數(shù)即可。列乘法算式找因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個(gè)數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個(gè)因數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。詳解：3．24和36的最大公因數(shù)是（

）。答案：12分析：利用乘法算式，按因數(shù)從小到大的順序一組一組地找。兩個(gè)乘數(shù)都是積的因數(shù)。找出乘積是24和36的因數(shù)；找出24和36中公有因數(shù)中最大的一個(gè)即可。詳解：24的因數(shù)有1，2，3，4，6，8，12，24；36的因數(shù)有1，2，3，4，6，9，12，18，36；24和36的最大公因數(shù)是12。【考點(diǎn)6】根據(jù)因數(shù)的特征解決問題【思路點(diǎn)撥】一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。：找出5個(gè)互不相同的大于1的自然數(shù)，使得其中兩個(gè)數(shù)的積等于其余三個(gè)數(shù)的積，兩個(gè)數(shù)的和（不一定是剛才的兩個(gè)數(shù)）等于其余三個(gè)數(shù)的和，請(qǐng)寫出滿足條件的式子。答案：見詳解分析：首先考慮數(shù)較小并且因數(shù)比較多的數(shù)，比如36，60等，然后快速地逐步把組合數(shù)放大，進(jìn)行嘗試計(jì)算。詳解：因?yàn)?6＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5個(gè)數(shù)是：2、3、4、6、9；因?yàn)椋?0＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5個(gè)數(shù)是：3、4、5、6、10；120＝2×3×20＝5×24，2＋5＋20＝3＋24，所以5個(gè)數(shù)是：2、3、5、20、24。點(diǎn)睛：本題主要考查了學(xué)生對(duì)計(jì)算的速度和對(duì)數(shù)字的敏感度。1．端午節(jié)媽媽買了35個(gè)鴨蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一個(gè)一個(gè)放的，而是每次放的個(gè)數(shù)相同，放到最后正好一個(gè)不剩。（1）一共有幾種放法？（2）每種放法每次放幾個(gè)，需放幾次才能全部放完？答案：（1）2種（2）每次放5個(gè)放7次全部放完；每次放7個(gè)放5次全部放完分析：每次放的個(gè)數(shù)相同，放到最后正好一個(gè)不剩，說明每次放的數(shù)量是鴨蛋總個(gè)數(shù)的因數(shù)，據(jù)此求出鴨蛋總個(gè)數(shù)的所有因數(shù)，因?yàn)椴皇且淮稳糠胚M(jìn)的，也不是一個(gè)一個(gè)往里放，排除1和本身兩個(gè)因數(shù)；用鴨蛋總個(gè)數(shù)除以每次放的個(gè)數(shù)，求出放的次數(shù)，據(jù)此解答即可。詳解：（1）351和35排除，所以可以5個(gè)一放，或者7個(gè)一放，共2種方法。答：一共有2種放法。（2）5個(gè)一放時(shí)放：（次）7個(gè)一放時(shí)放：（次）答：每次放5個(gè)放7次全部放完；每次放7個(gè)放5次全部放完。2．今年植樹節(jié)，王老師帶五（2）班的同學(xué)去植樹，一共植樹111棵，已知五（2）班人數(shù)多于20且不超過40，王老師植樹的棵數(shù)和平均每位同學(xué)植樹的棵數(shù)一樣。五（2）班有多少位同學(xué)？平均每位同學(xué)植樹多少棵？答案：36位；3棵分析：根據(jù)每人植樹棵數(shù)×總?cè)藬?shù)＝植樹總棵數(shù)（其中總?cè)藬?shù)包含王老師），可知每人植樹棵數(shù)和總?cè)藬?shù)是植樹總棵數(shù)的因數(shù)，結(jié)合題中：五（2）班人數(shù)多于20且不超過40，據(jù)此確定每人植樹棵數(shù)和總?cè)藬?shù)，因?yàn)橥趵蠋熞矃⑴c了植樹，所以總?cè)藬?shù)－1＝學(xué)生人數(shù)，據(jù)此列式解答。詳解：111＝1×111＝3×37學(xué)生人數(shù)多余20且不超過40，結(jié)合實(shí)際情況植樹的總?cè)藬?shù)排除1、3、141。也就是植樹總?cè)藬?shù)為：37人，平均每人植樹：111÷37＝3（棵）學(xué)生人數(shù)為：37－1＝36（人）答：五（2）班有36位同學(xué)，平均每位同學(xué)植樹3棵。3．今年是抗日戰(zhàn)爭勝利75周年，我們應(yīng)銘記歷史。樂樂和爸爸參觀完博物館之后買紀(jì)念獎(jiǎng)?wù)?，已知有四種價(jià)格的紀(jì)念獎(jiǎng)?wù)拢?元/個(gè)；5元/個(gè)；8元/個(gè)；15元/個(gè)。樂樂有30元錢，如果只買一種紀(jì)念獎(jiǎng)?wù)?，買哪種剛好把錢用完？答案：買5元/個(gè)或15元/個(gè)分析：根據(jù)總價(jià)÷單價(jià)＝數(shù)量，用30分別除以四種紀(jì)念獎(jiǎng)?wù)碌膬r(jià)格，若能夠整除，則剛好把錢用完；若不能整除，則說明不能把錢剛好用完。詳解：30÷4＝7（個(gè)）……2（元）30÷5＝6（個(gè)）30÷8＝3（個(gè)）……6（元）30÷15＝2（個(gè)）答：買5元一個(gè)的或15元一個(gè)的獎(jiǎng)?wù)?，剛好把錢用完。點(diǎn)睛：本題考查倍數(shù)的認(rèn)識(shí)，明確總價(jià)、數(shù)量和單價(jià)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。4．把36塊糖裝在小罐子里，每個(gè)小罐子裝同樣多（每小罐里糖的數(shù)量要大于3塊，小于36塊），有幾種裝法？每種裝法個(gè)需要幾個(gè)小罐子？如果有37塊糖呢？答案：5種裝法；每種裝法分別需要9個(gè)、6個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)小罐子；37塊糖不能按要求分裝分析：每小罐里糖的數(shù)量必須是36的因數(shù)，先求出36的所有因數(shù)，找到大于3小于36的因數(shù)，是每個(gè)小罐子裝的個(gè)數(shù)；糖的總數(shù)量÷每個(gè)小罐子裝的個(gè)數(shù)＝需要的小罐子數(shù)量；根據(jù)同樣的想法，先找到37的所有因數(shù)，沒有大于3小于36的因數(shù)，就不能按要求分裝。詳解：36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36所以：36÷4＝9（個(gè)）36÷6＝6（個(gè)）36÷9＝4（個(gè)）36÷12＝3（個(gè)）36÷18＝2（個(gè)）37的因數(shù)有：1、37。答：有5種裝法，每種裝法分別需要9個(gè)、6個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)小罐子，37塊糖不能按要求分裝。點(diǎn)睛：關(guān)鍵是理解因數(shù)的意義，掌握一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法。【考點(diǎn)7】根據(jù)倍數(shù)的特征解決問題【思路點(diǎn)撥】一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。：4月2日城北小學(xué)開展“黨旗飄飄隊(duì)旗紅承古傳今文化行”研學(xué)活動(dòng)。五年級(jí)有526人，若6人一組，至少需要再來多少人就可以正好6人一組？至少減少多少人也正好6人一組？答案：2人；4人分析：根據(jù)題意，五年級(jí)有526人，分成6人一組，如果總?cè)藬?shù)是6的倍數(shù)，則剛好分完；用總?cè)藬?shù)除以6，商是分成的組數(shù)，有余數(shù)，用6減去余數(shù)，即是至少需要再來的人數(shù)，去掉余數(shù)即是至少減少的人數(shù)。詳解：526÷6＝87（組）……4（人）6－4＝2（人）答：至少需要再來2人就可以正好6人一組，至少減少4人也正好6人一組。1．金城小區(qū)開展閑置圖書共享活動(dòng)。參與共享的圖書本數(shù)在100到200之間，并且比24的倍數(shù)多13，參與共享的圖書最多有多少本？答案：181本分析：先找出100到200之間，24的倍數(shù)有哪些，然后分別加上13，找出得數(shù)在100到200之間最大的數(shù)即可解答。詳解：100到200之間24的倍數(shù)有：120，144，168，192；（本）（本）（本）（本）其中，205＞200，100到200之間，181＞157＞133。答：參與共享的圖書最多有181本。2．五（1）班有7位同學(xué)去給樹苗澆水。小樹苗的數(shù)量在40～50棵之間，他們發(fā)現(xiàn)每人澆水的棵數(shù)相同。這些小樹苗可能有多少棵？答案：42、49棵分析：根據(jù)求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，求出7的倍數(shù)，又因?yàn)樾涿绲臄?shù)量在40～50棵之間，結(jié)合題意即可求出這批小樹苗可能有多少棵。詳解：7的倍數(shù)有7、14、21、28、35、42、49、56……其中40～50之間的數(shù)是42、49。答：這些小樹苗可能有42、49棵。3．一根繩子比20米長，比30米短，剪成4米一段的短繩，正好剪成整數(shù)段。這根繩子最多有多少米？（請(qǐng)寫出理由）答案：28米；理由見詳解分析：根據(jù)題意可知，這根繩子的長度是20~30之間的4的倍數(shù)?？梢粤谐朔ㄋ闶秸乙粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)，用這個(gè)數(shù)依次與非0自然數(shù)相乘，所得的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。詳解：4×5＝204×6＝244×7＝284×8＝32所以在20~30之間4的倍數(shù)有24、28。24＜28即這根繩子最多有28米。答：這根繩子最多有28米。點(diǎn)睛：找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)用“列乘法算式”的方法較為簡單。在給出的一些自然數(shù)找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，或判斷一個(gè)數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)倍數(shù)時(shí)，用除法計(jì)算較為簡單。【考點(diǎn)8】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的特征解決綜合問題【思路點(diǎn)撥】結(jié)合因數(shù)和倍數(shù)的特征綜合運(yùn)用解決。：某旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格及優(yōu)惠方法如下表：人數(shù)50人以內(nèi)51~99人100人及以上票價(jià)30元/人28元/人25元/人（例如：60人需要付門票費(fèi)28×60＝1680元。）導(dǎo)游星星和望望各帶一個(gè)旅游團(tuán)，如果分別購票，兩個(gè)團(tuán)共應(yīng)付門票費(fèi)3660元；如果兩個(gè)旅游團(tuán)合并在一起購票，兩個(gè)團(tuán)一共只需門票費(fèi)3200元。若星星帶的團(tuán)人數(shù)多一些，那么星星帶的團(tuán)共有多少人？答案：90人分析：當(dāng)人數(shù)在50以內(nèi)，最大為50時(shí)，需要票價(jià)50×30＝1500（元）；當(dāng)人數(shù)在51～99人時(shí)，最大為99時(shí)，票價(jià)應(yīng)該是99×28＝2772（元）；兩個(gè)旅游團(tuán)合并在一起購票，兩個(gè)團(tuán)一共只需門票費(fèi)3200元，超過了2772元，則兩個(gè)團(tuán)合并在一起超過100人，每人25元，則有128人。如果兩個(gè)班級(jí)帶團(tuán)的人數(shù)都在51～99人之間，總門票付的錢是28的倍數(shù)，顯然3660不是28的倍數(shù)。星星帶的團(tuán)人數(shù)多一些，則星星帶的團(tuán)51~99人，望望帶的團(tuán)50人以內(nèi)。假設(shè)兩個(gè)團(tuán)的人都是30元/人的門票，128人應(yīng)該付128×30＝3840（元），和總門票錢3660元對(duì)比，多了180元，也就是需要將180元的門票錢減去。兩種購票的一張門票的錢可以減2元，就是求180元里面有幾個(gè)2元，用除法。則星星帶的團(tuán)有90人。詳解：3200÷25＝128（人）（128×30－3660）÷（30－28）＝（3840－3660）÷（30－28）＝180÷2＝90（人）答：星星帶的團(tuán)共有90人。1．小強(qiáng)今年的年齡是2和7的倍數(shù)中最小的一個(gè)，爸爸今年的年齡既是小強(qiáng)年齡的倍數(shù)，也是42的因數(shù)。爸爸和小強(qiáng)今年各多少歲？答案：爸爸：42歲；小強(qiáng)：14歲分析：公因數(shù)只有1的兩個(gè)非零自然數(shù)為互質(zhì)數(shù)，所以2和7為互質(zhì)數(shù)，即最小公倍數(shù)為互質(zhì)數(shù)的乘積，所以小強(qiáng)年齡的最小公倍數(shù)就是2和7相乘即14。14的倍數(shù)有14，28，42，56，由于爸爸今年的年齡是小強(qiáng)的倍數(shù)，也是42的因數(shù)，所以爸爸和小強(qiáng)的年齡同時(shí)是2，7的倍數(shù)也是42的因數(shù)，小強(qiáng)的年齡不能比爸爸大，所以42是爸爸的年齡，14是小強(qiáng)的年齡。詳解：因?yàn)?和7的公因數(shù)為1，所以2和7互質(zhì)，所以2和7的最小公倍數(shù)是14，14的倍數(shù)有14，28，42，42也是42因數(shù)，所以爸爸今年42歲，小強(qiáng)今年14歲。答：爸爸今年42歲，小強(qiáng)今年14歲。2．阿呆在文具店看到了一個(gè)特別喜歡的文具盒，文具盒的錢數(shù)既是48的因數(shù)，又是6的倍數(shù)，價(jià)格在15元到25元之間，這個(gè)文具盒的價(jià)格是多少元？答案：24元分析：列乘法算式找因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個(gè)數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個(gè)因數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。列乘法算式找倍數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出這個(gè)數(shù)與非0自然數(shù)的乘法算式，乘法算式中的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。據(jù)此求出48的所有因數(shù)和48以內(nèi)6的倍數(shù)，找到15到25之間的即可。詳解：48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×848的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝4848以內(nèi)6的倍數(shù)有：6、12、18、24、30、36、42、48。既是48的因數(shù)，又是6的倍數(shù)有：6、12、24、48。在15到25之間的是24。答：這個(gè)文具盒的價(jià)格是24元。點(diǎn)睛：關(guān)鍵是理解因數(shù)和倍數(shù)的意義，掌握因數(shù)和倍數(shù)的求法。3．猜號(hào)碼：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍數(shù)；B是最小的自然數(shù)；C是5最大的因數(shù)；D既是6的倍數(shù)，又是6的因數(shù)；E的所有因數(shù)是1，2，4，8；F的所有因數(shù)是1，3；G只有一個(gè)因數(shù)。這個(gè)號(hào)碼是多少？答案：0592－5056831分析：一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身；用來表示物體個(gè)數(shù)的0，1，2，3，4……都叫自然數(shù)，據(jù)此分析。詳解：5的最小倍數(shù)是5；最小的自然數(shù)是0；5的最大因數(shù)是5；既是6的倍數(shù)，又是6的因數(shù)的數(shù)是6；E的最大因數(shù)是8，E就是8；F的最大因數(shù)是3，F(xiàn)就是3；只有一個(gè)因數(shù)的是1。所以這個(gè)號(hào)碼是0592－5056831。點(diǎn)睛：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小的是它本身，沒有最大的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身?！就卣箍键c(diǎn)1】求公因數(shù)和最大公因數(shù)【思路點(diǎn)撥】定義：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。求法：列舉法：分別列出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)，再找出公有的因數(shù)和最大公因數(shù)。篩選法：先找出較小數(shù)的因數(shù)，再從這些因數(shù)中找出能整除較大數(shù)的因數(shù)，其中最大的就是最大公因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)法：將兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，把公有的質(zhì)因數(shù)相乘，所得的積就是最大公因數(shù)。短除法：用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)去除，直到商互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)相乘就是最大公因數(shù)。：花店要用48朵向日葵和72朵康乃馨扎花束，不能有剩余。如果每束花中向日葵的數(shù)量要相等，康乃馨的數(shù)量也要相等，這種花束中至少有()朵花。答案：5分析：由題意可知：求48與72的最大公因數(shù)，就是可以扎成花束的數(shù)量，根據(jù)求最大公因數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；再用向日葵的數(shù)量除以花束數(shù)量，就是每束花中向日葵的數(shù)量，用康乃馨的數(shù)量除以花束的數(shù)量，就是每束花中康乃馨的數(shù)量，再把它們相加，即可解答。詳解：48＝2×2×2×2×372＝2×2×2×3×348和72的最大公因數(shù)是2×2×2×3＝2448÷24＋72÷24＝2＋3＝5（朵）花店要用48朵向日葵和72朵康乃馨扎花束，不能有剩余。如果每束花中向日葵的數(shù)量要相等，康乃馨的數(shù)量也要相等，這種花束中至少有5朵花。1．有一張長60cm、寬36cm的長方形紙，如果把它裁成若干張同樣大小的正方形紙而無剩余，那么正方形紙的邊長最大是()cm。答案：12分析：據(jù)題意可知，找出60與36的最大公因數(shù)，即裁成的正方形的最大邊長。詳解：60與36的最大公因數(shù)是：（cm）正方形紙的邊長最大是12cm。2．廚藝大賽中，選手們刀功熟練，一瞬間就把一塊長12，寬8，高4的豆腐，切成同樣大小的小正方體豆腐丁，剛好切完沒有剩余，小正方體豆腐丁的棱長最大是()，能切成()個(gè)這樣的豆腐丁。答案：46分析：根據(jù)長方體切割正方體的方法可知：要使正方體的邊長最長，又不能有剩余，那么小正方體豆腐丁的棱長應(yīng)該是12、8、4的最大公因數(shù)，根據(jù)求最大公因數(shù)的方法：幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最大公因數(shù)，然后根據(jù)切的總個(gè)數(shù)等于長、寬、高上切成的個(gè)數(shù)的連乘積，由此即可解答。詳解：12＝2×2×38＝2×2×24＝2×212、8、4的最大公因數(shù)是2×2＝4，小正方體豆腐丁的棱長最大是4cm。（12÷4）×（8÷4）×（4÷4）＝3×2×1＝6×1＝6（個(gè)）故，小正方體豆腐丁的棱長最大是4cm，能切成6個(gè)這樣的豆腐丁。3．16的因數(shù)有()，24的因數(shù)有()。16和24的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。答案：1、2、4、8、161、2、3、4、6、8、12、24848分析：（1）根據(jù)求一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法：一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的是1，最大的是它本身，應(yīng)有順序地寫，做到不重復(fù)，不遺漏。（2）根據(jù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的意義可知：最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積，據(jù)此先把16和24分解質(zhì)因數(shù)，然后求出它們的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)即可。詳解：16的因數(shù)有：1、2、4、8、1624的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、2416＝2×2×2×224＝2×2×2×3所以16和24的最大公因數(shù)是：2×2×2＝8最小公倍數(shù)是：2×2×2×2×3＝4816的因數(shù)有1、2、4、8、16，24的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、24。16和24的最大公因數(shù)是8，最小公倍數(shù)是48?！就卣箍键c(diǎn)2】求公倍數(shù)和最小公倍數(shù)【思路點(diǎn)撥】定義：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。求法：列舉法：分別列出兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)，再找出公有的倍數(shù)和最小公倍數(shù)。擴(kuò)大倍數(shù)法（大數(shù)翻倍法）：以較大數(shù)為基礎(chǔ)，依次乘以1、2、3……，直到所得的積是較小數(shù)的倍數(shù)，這個(gè)積就是最小公倍數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)法：先把兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)相乘的積就是最小公倍數(shù)。短除法：用公有的質(zhì)因數(shù)去除，直到商互質(zhì)為止，把除數(shù)和最后的商相乘就是最小公倍數(shù)。：歡歡、樂樂和欣欣三個(gè)小朋友去體育館打籃球，歡歡每2天去一次，樂樂每3天去一次，欣欣每4天去一次。三人在6月17日同時(shí)來到體育館，下一次他們同時(shí)來體育館的日期是6月()日。答案：29分析：求出三人間隔時(shí)間的最小公倍數(shù)是三人同時(shí)來的間隔時(shí)間，根據(jù)最小公倍數(shù)的求法：幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每一個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積；如果幾個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，最小公倍數(shù)為較大的數(shù)；如果幾個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)，最小公倍數(shù)為幾個(gè)數(shù)的乘積；再根據(jù)起點(diǎn)時(shí)間＋經(jīng)過時(shí)間＝終點(diǎn)時(shí)間，推算出下一次同時(shí)來的日期