上海高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《考法全歸納》專(zhuān)題01集合不等式復(fù)數(shù)15種考法解析

2025上海高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《考法全歸納》專(zhuān)題專(zhuān)題01集合不等式復(fù)數(shù)15種考法考法1：元素與集合關(guān)系【例1】（2024?寶山區(qū)二模）已知集合，，，且，則實(shí)數(shù)的值為．【分析】由已知結(jié)合元素與集合的關(guān)系即可求解．【解答】解：因?yàn)榧?，，，且，所以或，所以或，?dāng)時(shí)，，1，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，1，，與集合元素的互異性矛盾．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了元素與集合關(guān)系及集合元素的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2023·控江中學(xué)高三練習(xí)）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，且，解得，故選：B【例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由橢圓的性質(zhì)得，又,所以集合共有11個(gè)元素.【例4】（2019·上海市金山中學(xué)高三期中）已知非空集合M滿足，若存在非負(fù)整數(shù)k（），使得對(duì)任意，均有，則稱(chēng)集合M具有性質(zhì)P，則具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____________.【答案】8【分析】分的取值進(jìn)行分情況計(jì)算討論滿足條件的集合，從而得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，為.當(dāng)時(shí)，為當(dāng)時(shí)，為當(dāng)時(shí)，為.所以滿足條件的集合有8個(gè).故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)、元素與集合之間的關(guān)系、新定義，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．考法2：集合與集合的關(guān)系【例5】（2023?上海高考）已知集合，，，，且，則．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合相等的定義，即可求解．【解答】解：集合，，，，且，則．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合相等的定義，屬于基礎(chǔ)題．【例6】（2020?上海高考）集合，，，2，，若，則．【分析】利用集合的包含關(guān)系即可求出的值．【解答】解：，且，，，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的包含關(guān)系，是基礎(chǔ)題．【例7】（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）集合或，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，分和兩種情況討論，建立不等關(guān)系即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，①當(dāng)時(shí)，即無(wú)解，此時(shí)，滿足題意．②當(dāng)時(shí)，即有解，當(dāng)時(shí)，可得，要使，則需要，解得．當(dāng)時(shí)，可得，要使，則需要，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：研究集合間的關(guān)系，不要忽略討論集合是否為.【例8】（2024·上海嘉定·二模）若規(guī)定集合的子集為的第個(gè)子集，其中，則的第211個(gè)子集是．【答案】【分析】正確理解的含義，時(shí)，即要先求出滿足的，即的第211個(gè)子集應(yīng)含有的元素，計(jì)算出，再要求滿足的，即的第211個(gè)子集應(yīng)含有的元素，如此類(lèi)推即得.【詳解】因，則的第211個(gè)子集必包含7，此時(shí)；又因則的第211個(gè)子集必包含6，此時(shí)；又則的第211個(gè)子集必包含4，此時(shí)；又則的第211個(gè)子集必包含1；而.綜上所述，的第211個(gè)子集是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于仔細(xì)閱讀題目所提供的信息，正確理解集合的新定義的含義，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言.考法3：集合的交并補(bǔ)運(yùn)算【例9】（2024·上海閔行·二模）集合，，則.【答案】【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】，所以.故答案為：.【例10】（2024·上海徐匯·二模）已知集合，集合，那么.【答案】【分析】先求出集合，，然后結(jié)合集合的交集運(yùn)算即可求解．【詳解】因?yàn)榧?，集合或，那么,．故答案為：,．【例11】（2024·上海虹口·二模）已知集合，則.【答案】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】，，所以.故答案為：.【例12】（2024·上海黃浦·二模）若集合，，則.【答案】【分析】由交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧希瑒t.故答案為：.【例13】（2020·上海松江·模擬預(yù)測(cè)）已知，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)并集的結(jié)果，可得集合B，進(jìn)而得到參數(shù)的取值范圍；【解析】解：∵，，∴∴．故選：D．【例14】（上海市格致中學(xué)2023屆高三三模）若全集為QUOTE，集合QUOTE，QUOTE，則QUOTE．（答案）QUOTE（詳解）因?yàn)镼UOTE，由QUOTE，得到QUOTE，即QUOTE，又QUOTE，易知QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，故答案為：QUOTE【例15】（上海市金山區(qū)2023屆高三上學(xué)期一模）若集合QUOTE，QUOTE，且QUOTE，則實(shí)數(shù)QUOTE的取值范圍是.（答案）QUOTE（詳解）因?yàn)镼UOTE，所以集合QUOTE是被兩條平行直線QUOTE夾在其中的區(qū)域，如圖所示，QUOTE，其中QUOTE由QUOTE，解得QUOTE或QUOTE，當(dāng)QUOTE時(shí)，B表示點(diǎn)QUOTE或QUOTE，當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE表示以QUOTE為圓心，QUOTE為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，其圓心在直線QUOTE上，依題意QUOTE，即表示圓QUOTE應(yīng)與陰影部分相切或者相交，當(dāng)QUOTE時(shí)，顯然滿足題意，當(dāng)QUOTE時(shí)，不滿足題意，當(dāng)QUOTE時(shí)，因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE，即QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE；當(dāng)QUOTE時(shí)，因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE，即QUOTE，所以QUOTE，無(wú)解；綜上，頭數(shù)QUOTE的取值范圍足QUOTE.故答案為：QUOTE【例16】（上海市靜安區(qū)2023屆高三上學(xué)期一模）已知全集為實(shí)數(shù)集R，集合QUOTE，N=QUOTE，則QUOTE=．（答案）QUOTE（詳解）不等式QUOTE可整理為QUOTE，所以QUOTE，解得QUOTE，所以QUOTE，QUOTE或QUOTE，不等式QUOTE可整理為QUOTE，所以QUOTE，即QUOTE，解得QUOTE或QUOTE，所以QUOTE或QUOTE，QUOTE.故答案為：QUOTE.【例17】（2023七寶中學(xué)高三模擬）已知集合，，，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)值域?yàn)?，所以，不等式的解集為或，所以或，∴或，則．故選：B．【例18】（2024上行知中學(xué)高三期末）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榛?，則，又，所以.故選：B【例19】（2023上海中學(xué)高三模擬）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，故選：B考法4：集合的新定義【例20】（2019·上海市市北中學(xué)高三期中）設(shè)集合是的兩個(gè)非空子集,如果存在一個(gè)從到的函數(shù)滿足:對(duì)任意當(dāng)時(shí),恒有,那么稱(chēng)這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”.以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是A．B．C．D．【答案】D試題分析：對(duì)于集合A,存在；對(duì)于集合B,存在；對(duì)于集合C,存在因此選D.考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性，新定義【例21】（2024·上海靜安·二模）如果一個(gè)非空集合上定義了一個(gè)運(yùn)算，滿足如下性質(zhì)，則稱(chēng)關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群.（1）封閉性，即對(duì)于任意的，有；（2）結(jié)合律，即對(duì)于任意的，有；（3）對(duì)于任意的，方程與在中都有解．例如，整數(shù)集關(guān)于整數(shù)的加法（）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對(duì)于任意的，方程與都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集關(guān)于實(shí)數(shù)的乘法（）不構(gòu)成群，因?yàn)榉匠虥](méi)有實(shí)數(shù)解.以下關(guān)于“群”的真命題有（

）①自然數(shù)集關(guān)于自然數(shù)的加法（）構(gòu)成群；②有理數(shù)集關(guān)于有理數(shù)的乘法（）構(gòu)成群；③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積（）構(gòu)成群；④復(fù)數(shù)集關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（）構(gòu)成群.A．0個(gè)； B．1個(gè)； C．2個(gè)； D．3個(gè).【答案】B【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個(gè)條件逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于①，，在自然數(shù)集中無(wú)解，錯(cuò)誤；對(duì)于②，，在有理數(shù)集中無(wú)解，錯(cuò)誤；對(duì)于③，是一個(gè)數(shù)量，不屬于平面向量集，錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，且對(duì)任意的，方程與有復(fù)數(shù)解，正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據(jù)新定義的3個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論.【例22】（2020·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）向量集合,對(duì)于任意,以及任意,都有,則稱(chēng)為“類(lèi)集”,現(xiàn)有四個(gè)命題:①若為“類(lèi)集”,則集合也是“類(lèi)集”;②若,都是“類(lèi)集”,則集合也是“類(lèi)集”;③若都是“類(lèi)集”,則也是“類(lèi)集”;④若都是“類(lèi)集”,且交集非空,則也是“類(lèi)集”.其中正確的命題有________(填所有正確命題的序號(hào))【答案】①②④【解析】因?yàn)榧?對(duì)于任意,且任意,都有,可以把這個(gè)“類(lèi)集”理解成,任意兩個(gè)中的向量所表示的點(diǎn)的連線段上所表示的點(diǎn)都在上,因此可以理解它的圖象成直線,逐項(xiàng)判斷,即可求得答案.【詳解】集合,對(duì)于任意,且任意,都有可以把這個(gè)“類(lèi)集”理解成,任意兩個(gè)中的向量所表示的點(diǎn)的連線段上所表示的點(diǎn)都在上,因此可以理解它的圖象成直線對(duì)于①,,向量整體倍,還是表示的是直線,故①正確;對(duì)于②,因?yàn)?都是“類(lèi)集”,故還是表示的是直線,故②正確;對(duì)于③,因?yàn)槎际恰邦?lèi)集”,可得是表示兩條直線,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,都是“類(lèi)集”,且交集非空,可得表示一個(gè)點(diǎn)或者兩直線共線時(shí)還是一條直線.綜上所述,正確的是①②④.故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的新定義,解題關(guān)鍵是要充分理解新定義,結(jié)合向量和集合知識(shí)求解,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.考法6：命題的真假判斷與應(yīng)用【例23】（2016·上海師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________．【答案】【分析】命題“”是假命題,等價(jià)于“”是真命題，利用絕對(duì)值三角不等式求得的最小值，進(jìn)而可得結(jié)果.【解析】命題“”是假命題,等價(jià)于“”是真命題，因?yàn)?，所以，或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱(chēng)命題與全稱(chēng)命題的判斷，考查的絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.【例24】（2020·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知、、是任意實(shí)數(shù)，能夠說(shuō)明“若，則”是假命題的一個(gè)有序整數(shù)組可以是________【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行賦值驗(yàn)算即可求解【解析】根據(jù)題意，要說(shuō)明其為假命題，可以令，，，此時(shí)滿足，但不成立，故原命題為假命題.故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查命題及其關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.【例25】若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)槊}“，”是真命題，當(dāng)，即時(shí)，不等式為，顯然不滿足題意，；當(dāng)，即時(shí)，所以，解得．故答案為：．【例26】（2024·上海崇明·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋}：若當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)是D上的奇函數(shù)．命題：若當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)是D上的增函數(shù)．下列說(shuō)法正確的是（

）A．p、q都是真命題 B．p是真命題，q是假命題C．p是假命題，q是真命題 D．p、q都是假命題【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義及判定方法，即可求解.【詳解】對(duì)于命題，令函數(shù)，則，此時(shí)，當(dāng)函數(shù)不是奇函數(shù)，所以命題為假命題，對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，都有，即，不可能，即當(dāng)時(shí)，可得，滿足增函數(shù)的定義，所以命題為真命題.故選：C.考法7：充分條件與必要條件【例27】（2024·上海閔行·二模）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】判斷“”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，或，不能推出有成立；當(dāng)時(shí)，則，必有成立，故“”是“”的必要非充分條件，故選：B【例28】（2021·上海市崇明中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要不充分條件 D．既非充分又非必要條件【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式和充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【解析】因?yàn)椋鶕?jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，反之：若，根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C.【例29】已知集合，，若“”是“”的必要非充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可得，，若“”是“”的必要非充分條件，則集合B是集合A的真子集，則，且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.【例30】（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）若不等式成立的充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】計(jì)算不等式，然后得出且等號(hào)不能同時(shí)取得，計(jì)算即可.【詳解】由得，因?yàn)槭遣坏仁匠闪⒌某浞植槐匾獥l件，∴滿足且等號(hào)不能同時(shí)取得，即，解得．故答案為：考法8：不等式與不等式的性質(zhì)【例31】（2024?崇明區(qū)二模）若，，則下列不等式成立的是A． B． C． D．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出正誤．【解答】解：，，，與大小關(guān)系不確定，，與的大小關(guān)系不確定．則下列不等式成立的是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【例32】（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若，，，，則下列不等式成立的是A． B． C． D．【分析】利用不等式的性質(zhì)，和通過(guò)取特殊值即可得出．【解答】解：．，不成立，．，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，，，故正確．，，不成立，．時(shí)，，不成立．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【例33】（上海市2023屆高三上學(xué)期二模暨秋考模擬1）已知x,y∈R，且A．1x-1y>0（答案）C（詳解）試題分析：A：由，得，即，A不正確；B：由及正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知不一定成立；C：由，，得，故，C正確；D：由，得，但xy的值不一定大于1，故lnx+lny考法9：解不等式【例34】（上海市金山區(qū)2023屆高三二模）若實(shí)數(shù)x滿足不等式x2-3x+2（答案）1,2（詳解）不等式x2-3x+2<0，即x-故答案為：1,2.【例35】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可以轉(zhuǎn)化為：，當(dāng)時(shí)，可知，對(duì)應(yīng)的方程的兩根為1，，根據(jù)一元二次不等式的解集的特點(diǎn)，可知不等式的解集為：.故選：A.【例36】（上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2023屆高三沖刺模擬4）設(shè)關(guān)于x的不等式x2-ax+b<0的解集為-1,2（答案）-（詳解）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2-ax+b<0所以一元二次方程x2-ax+b=0所以根據(jù)韋達(dá)定理可得-1+2所以a+b=-1故答案為:-1【例37】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）不等式的的解集是______【答案】：【解析】則或【考點(diǎn)定位】本題考查將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為高次不等式、考查高次不等式的解法【例38】（2020?上海高考）不等式的解集為．【分析】將不等式化簡(jiǎn)后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．【解答】解：由得，則，即，解得，所以不等式的解集是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．【例39】（2021?上海高考）不等式的解集為．【分析】由已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)行可求．【解答】解：，解得，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．【例40】（2023?上海高考）不等式的解集為．【分析】原不等式可化為，從而求出的范圍．【解答】解：由可得，，解得，即不等式的解集為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．【例41】（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）不等式的解集是__________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，當(dāng)時(shí)，，即，符合要求，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，綜上：不等式的解集為.故答案為：【例42】（2024·上海虹口·二模）已知集合，則.（答案）（分析）先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.（詳解），，所以.故答案為：.【例43】（上海交通大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三三模）已知函數(shù)fx=ax2+A．? B．-C．-1,1 D．（答案）B（詳解）因?yàn)閒x為偶函數(shù)，所以f-解之得a=-1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.則由-x2故fx=-x故選：B.考法10：基本不等式【例44】（2024·上海靜安·二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù)的四個(gè)不等式中，恒成立的是．（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）①；②；③；④．【答案】②③④【分析】取特值可判斷①；作差法可判斷②④；要證即證可判斷③.【詳解】對(duì)于①，取，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)，要證，即證，即，即證，而恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以，故③正確.對(duì)于④，，所以，故④正確.故答案為：②③④.【例45】下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，的最小值是C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，的最小值為1【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤，故選：C【例46】（2024·上海普陀·二模）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.【例47】（2024·上海徐匯·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)基本不等式求解．【詳解】由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故所求最小值是．故答案為：．【例48】（2024·上海徐匯·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為.（答案）/（分析）根據(jù)基本不等式求解．（詳解）由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故所求最小值是．故答案為：．【例49】（上海市崇明區(qū)2023屆高三4月二模）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足QUOTE，則QUOTE的最小值等于．（答案）4（詳解）QUOTE，當(dāng)QUOTE，即QUOTE，QUOTE時(shí)等號(hào)成立，則QUOTE的最小值為4．故答案為：4．【例50】（上海市金山區(qū)2023屆高三二模）已知正實(shí)數(shù)QUOTE滿足QUOTE,則QUOTE的最小值為.（答案）QUOTE（詳解）因?yàn)檎龑?shí)數(shù)QUOTE滿足QUOTE,所以QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE即QUOTE時(shí)等號(hào)成立,所以QUOTE的最小值為QUOTE.故答案為:QUOTE.【例51】（上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)2023屆高三適應(yīng)性練習(xí)）已知QUOTE，則QUOTE的最小值為．（答案）4（詳解）由QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE，即QUOTE時(shí)等號(hào)成立，故最小值為4，故答案為：4．【例52】（上海市西外外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023屆高三預(yù)測(cè)）已知定義在QUOTE上的偶函數(shù)QUOTE，若正實(shí)數(shù)a、b滿足QUOTE，則QUOTE的最小值為．（答案）QUOTE（詳解）因?yàn)镼UOTE是定義在QUOTE上的偶函數(shù)，所以QUOTE，即QUOTE，所以QUOTE，因?yàn)槿粽龑?shí)數(shù)a、b滿足QUOTE，所以QUOTE，即QUOTE，則QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE，即QUOTE時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：QUOTE．【例53】（上海市南洋模范中學(xué)2023屆高三三模）已知QUOTE，則QUOTE的最小值是．（答案）QUOTE（詳解）QUOTE，QUOTE，QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE，即QUOTE時(shí)等號(hào)成立，QUOTE的最小值是QUOTE.故答案為：QUOTE.【例54】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為．（答案）（分析）根據(jù)條件推理得到在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，，故可以作出圖形，設(shè)出，將所求轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)形式，利用基本不等式即可求得.（詳解）因，由可得，即在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，又由可得，不妨設(shè)，則，，于是，因，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.（點(diǎn)睛）關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和投影向量的數(shù)量理解的相互關(guān)系,設(shè)出夾角，將所求化成關(guān)于的函數(shù)形式.考法12：復(fù)數(shù)的概念【例55】（2024·上海青浦·二模）已知復(fù)數(shù)，則．【答案】/2.5【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，再寫(xiě)出復(fù)數(shù)的虛部即可.【詳解】∵，∴，故答案為：.【例56】（閔行2023二模）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為_(kāi)________．答案：【例57】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）復(fù)數(shù)的虛部是______【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡(jiǎn)即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以虛部?故答案為：【例58】（寶山2023二模）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）,則實(shí)數(shù)答案：1【例59】（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的定義求解即可.【詳解】設(shè)，則，由可得，所以，充分性成立，當(dāng)時(shí)，即，則，滿足，故“”是“”的充要條件.故選：C.考法13：復(fù)數(shù)的運(yùn)算【例60】（2023浦東新區(qū)）若復(fù)數(shù)z滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)．答案：【例61】（2020?山東）A．1 B． C． D．(解析)，故選：．【例62】