第05講解三角形拓展與應(yīng)用（春季講義）（人教A版2019）（原卷版）

第05講解三角形拓展與應(yīng)用【人教A版2019】模塊一模塊一解三角形綜合問(wèn)題1．解三角形中的重要模型——中線模型(1)中線長(zhǎng)定理：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，AD是BC邊上的中線，則.(2)向量法：.2．解三角形中的重要模型——倍角模型，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．推論1：；推論2：.3．解三角形中的重要模型——角平分線模型角平分線張角定理：如圖，為平分線，則.4．三角形中的最值（范圍）問(wèn)題的解題策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或面積的最值（范圍）問(wèn)題的核心，要牢牢掌握并靈活運(yùn)用．解題時(shí)要結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究其最值（范圍）．(2)“坐標(biāo)法”也是解決三角形最值問(wèn)題的一種重要方法.解題時(shí)，要充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊角關(guān)系，建立合適的直角坐標(biāo)系，正確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，將所要求的目標(biāo)式表示出來(lái)并合理化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)、基本不等式等知識(shí)求其最值．【題型1三角形中的邊、角計(jì)算】【例1.1】（2024·江蘇徐州·一模）在△ABC中，已知∠ABC=2∠BAC，3BC=2AB，BD⊥AC，D為垂足，CD=210，則BD=（

A．36 B．66 C．210【例1.2】（2425高一下·山西朔州·階段練習(xí)）在△ABC中，3sinπ2?A=3sinπA．π6 B．π3 C．π2【變式1.1】（2324高一下·吉林·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=6，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD=（

A．3 B．2 C．22 D．【變式1.2】（2324高一下·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AD是∠BAC的角平分線，AB=3，AC=4，E是AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)度為（

）A．2377 B．2177 C．【題型2證明三角形中的恒等式或不等式】【例2.1】（2324高一下·江蘇連云港·期末）在△ABC中，AD是△BAC的角平分線，AE是邊BC上的中線，點(diǎn)D、E在邊BC上．(1)用正弦定理證明ABAC(2)若AB=4，AC=3，【例2.2】（2324高一下·遼寧沈陽(yáng)·期中）在銳角△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)向量m=a+c,a，n=(1)求證：C=2A(2)求ba【變式2.1】（2324高一下·浙江寧波·期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B都是銳角.(1)若∠C=π3，c=2，求(2)若sin2A+sin【變式2.2】（2324高三上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點(diǎn)D、E、F．

(1)試證明：BD(2)若P為重心，AD=5,BE=4,CF=3，求△ABC的面積．【題型3求三角形面積的最值或范圍】【例3.1】（2324高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊，已知2a?c6=cosCcosB且A．0,43 B．43,93 C．【例3.2】（2425高一下·安徽·階段練習(xí)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書(shū)九章》中給出了三角形的面積公式：已知△ABC的三邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S=14a2c2?a2+cA．12 B．10 C．8 D．6【變式3.1】（2324高一下·廣東廣州·期中）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，acos(1)求角A的大小；(2)若a=6，求△ABC面積的最大值.【變式3.2】（2324高一下·江西南昌·階段練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興”號(hào)召，農(nóng)民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：△BNC區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，△CMA區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，△MNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚(yú)塘養(yǎng)魚(yú)供休閑垂釣．為安全起見(jiàn)，在魚(yú)塘△MNC周圍筑起護(hù)欄．已知AC=40m，BC=403m，AC⊥BC

(1)若魚(yú)塘△MNC的面積是“民宿”△CMA的面積的3倍，求∠ACM；(2)當(dāng)∠ACM為何值時(shí)，魚(yú)塘△MNC的面積最小，最小面積是多少？【題型4求三角形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍】【例4.1】（2324高一下·江蘇淮安·期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=3，且3cosB+sinB=cA．3,23 B．3,23 C．【例4.2】（2324高一下·重慶·階段練習(xí)）銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosCc+sinAtanCA．32,3 C．3,23 【變式4.1】（2324高一下·廣西南寧·期末）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且sin2B=(1)求角B的大小；(2)點(diǎn)D是AC上的一點(diǎn)，∠ABD=∠CBD，且BD=1，求△ABC周長(zhǎng)的最小值.【變式4.2】（2324高一下·上海寶山·期末）銳角△ABC中角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且asin(1)求角B的大?。?2)若b=32，求【題型5三角形的模型問(wèn)題】【例5.1】（2324高一下·浙江·期中）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若B=60°，b=2，則邊AC上中線BD的取值范圍為（

）A．213,3C．1,3 D．【例5.2】（2425高二上·湖北鄂州·階段練習(xí)）在△ABC中，AB=2，E是BC邊中點(diǎn)，線段AE長(zhǎng)為32，∠BAC=120°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD是∠BAC的角平分線，則AD=A．23 B．1 C．2 D．【變式5.1】（2324高一下·重慶·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且sinC+3cos(1)若a+c=2，求邊AC上的角平分線BD長(zhǎng)；(2)求邊AC上的中線BE的取值范圍.【變式5.2】（2324高一下·江西·期末）記△ABC的內(nèi)角A,B,∠ACB的對(duì)邊分別為a,b,c,c=6,△ABC的面積S=3(1)若cosB=35(2)已知D為AB上一點(diǎn)，從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求線段CD長(zhǎng)度的最大值.①CD為∠ACB的平分線；②CD為邊AB上的中線.注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【題型6解雙三角形問(wèn)題】【例6.1】（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2,∠B=2∠D=120°，記△ABC與△ACD的面積分別為S1,SA．2 B．3 C．1 D．3【例6.2】（2324高一下·福建泉州·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，∠ABC=3π4，∠ADC=π6，AB=1，CD=4A．1 B．3 C．2 D．4【變式6.1】（2425高三上·安徽·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，AC與DB的交點(diǎn)為E，DB平分∠ADC，AB=BC=CD=2，AD>2．(1)證明：BD(2)若∠ABD=3π4【變式6.2】（2324高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且點(diǎn)B，D位于直線AC的兩側(cè)，在△ADC中，2AD?DC=A

(1)求∠ADC的大??；(2)若∠BAD=π3，∠ABC=5π6，AB=1【題型7解三角形與三角函數(shù)綜合】【例7.1】（2425高二下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)y=fx(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足a2?b【例7.2】（2324高一下·湖南常德·期中）已知向量m=(1)求m2(2)記fx=m?n，在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c【變式7.1】（2425高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=m?n，其中向量m(1)求f(x)的最小值；(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知f(A)=2，b=1，△ABC的面積為32，求b+c【變式7.2】（2024·北京·三模）已知函數(shù)f(x)=23sinωx(1)求ω的值；(2)在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.c為f(x)在0,π2上的最大值，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求a?b的取值范圍.條件①：acosB+bcosA=2ccosC；條件②：模塊二模塊二測(cè)量問(wèn)題1．測(cè)量問(wèn)題(1)測(cè)量距離問(wèn)題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離有以下三種類型：類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法A,B間不可達(dá)也不可視測(cè)得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得B,C與點(diǎn)A可視但不可達(dá)測(cè)得BC=a，B，C的大小，則A=π(B+C)，由正弦定理得C,D與點(diǎn)A,B均可視不可達(dá)測(cè)得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數(shù).在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.(2)測(cè)量高度問(wèn)題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型：類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法底部

可達(dá)測(cè)得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達(dá)點(diǎn)B與C,D共線測(cè)得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數(shù).

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點(diǎn)B與C,D不共線測(cè)得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數(shù).

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.(3)測(cè)量角度問(wèn)題測(cè)量角度問(wèn)題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問(wèn)題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【題型8距離、高度、角度測(cè)量問(wèn)題】【例8.1】（2324高一下·浙江杭州·期末）如圖，計(jì)劃在兩個(gè)山頂M,N間架設(shè)一條索道.為測(cè)量M,N間的距離，施工單位測(cè)得以下數(shù)據(jù)：兩個(gè)山頂?shù)暮０胃進(jìn)C=1003m,NB=502m，在BC同一水平面上選一點(diǎn)A，在A處測(cè)得山頂M,N的仰角分別為60°和30°

A．100m B．506m C．100【例8.2】（2324高一下·天津西青·期末）天津廣播電視塔是津門(mén)十景之一，被人們稱為“天塔”，建成于1991年：它曾是亞洲第一高塔，現(xiàn)為集廣播電視、觀光旅游、娛樂(lè)餐飲于一體的4A級(jí)景區(qū)．某校一項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，欲測(cè)量天塔AB的高度．在天塔湖岸邊上，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C、D．測(cè)得∠CBD=30°,CD=414m，在C、D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得天塔頂部A的仰角分別為45°A．414m B．4142m C．414【變式8.1】（2324高一下·吉林·期末）如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得∠BCD=60°，∠BDC=75°，CD=60m，并在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角∠ACB=30°

(1)求B與D兩點(diǎn)間的距離；(2)求塔高AB.【變式8.2】（2425高一下·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）要航測(cè)某座山的海拔高度，如圖，飛機(jī)的航線與山頂M在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為海拔10000米，速度為900km/h，航測(cè)員先測(cè)得對(duì)山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過(guò)40s飛過(guò)M點(diǎn)后又測(cè)得對(duì)山頂?shù)母┙菫?5°(1)求BM的長(zhǎng)度；（結(jié)果帶根號(hào)）(2)求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到m）一、單選題1．（2425高一下·福建三明·階段練習(xí)）在銳角△ABC中，∠A=2∠B，則b+c2b的范圍是（

A．1,32 B．1,43 C．2．（2324高一下·天津·階段練習(xí)）在△ABC中，已知asinAa2+A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形3．（2324高一下·黑龍江大慶·期中）如圖，無(wú)人機(jī)在離地面高200m的A處，觀測(cè)到山頂M處的仰角為15°，山腳C處的俯角為45°，已知∠MCN=60°

A．2002m C．3002m 4．（2324高一下·重慶·期末）某工業(yè)園區(qū)有A、B、C共3個(gè)廠區(qū)，其中AB=63km，BC=3km，∠ABC=90°，現(xiàn)計(jì)劃在工業(yè)園區(qū)外選擇P處建一倉(cāng)庫(kù)，若∠APB=90°，則CP

A．6km B．33km C．6+335．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且c=2,B=2C，則a+b的取值范圍為（

）A．2,10 B．2+22,10 C．2+226．（2324高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）在△ABC中，點(diǎn)M，N在邊BC上，且滿足：AM=12AB+AC，ABAC=BNNC，若A．12 B．23 C．227．（2324高一下·福建莆田·期中）在銳角三角形ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且3b=2asinB，a=3，則三角形A．3?3,33 B．3?3,338．（2324高一下·安徽六安·期末）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且bcosA+acosB=3，A．C=B．△ABC的外接圓半徑為2C．△ABC的面積的最大值為9D．△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是6,3+2二、多選題9．（2324高一下·重慶·期末）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=7，b=2，A=π3A．c=3 B．sinC．sinC=27 D．△ABC中10．（2324高一下·廣東佛山·期中）如圖，為測(cè)量海島的高度AB以及其最高處瞭望塔的塔高BC，測(cè)量船沿航線DA航行，且DA與AC在同一鉛直平面內(nèi)，測(cè)量船在D處測(cè)得∠BDA=α，∠CDA=β，然后沿航線DA向海島的方向航行m千米到達(dá)E處，測(cè)得∠BEA=γ，∠CEA=δ（δ>γ>β>α，測(cè)量船的高度忽略不計(jì)），則（

）A．AB=msinγC．BC=msinα11．（2324高一下·重慶·期末）若△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別是a，b，c，b=3，且b3sinA?A．△ABC外接圓的半徑為3 B．△ABC的周長(zhǎng)的最小值為3+2C．△ABC的面積的最大值為334 D．邊AC的中線BM三、填空題12．（2425高一·江蘇·假期作業(yè)）在△ABC中，已知AB=2且AC=3BC，則△ABC面積的最大值是．13．（2324高一下·天津河?xùn)|·期中）某課外活動(dòng)小組，為測(cè)量山高，如圖，他們