高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第六章　6.2　6.2.4　第1課時　向量的數(shù)量積(1)含答案

高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第六章6.26.2.4第1課時向量的數(shù)量積(1)含答案6.2.4向量的數(shù)量積第1課時向量的數(shù)量積(1)【學習目標】1.理解平面向量數(shù)量積的概念.2.通過幾何直觀了解平面向量投影的概念以及投影向量的含義.3.會求向量的數(shù)量積、投影向量與兩個向量的夾角.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算一、向量的夾角1.定義:已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作=a,=b,則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角.2.范圍:θ∈[0,π].3.記作:<a,b>.4.特例:(1)當θ=0時,向量a與b同向.(2)當θ=π時,向量a與b反向.(3)當θ=π2時,向量a與b垂直,記作a⊥b二、向量的數(shù)量積1.向量的數(shù)量積(1)條件:兩個非零向量a,b,<a,b>=θ;(2)定義:|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積;

(3)記法:a·b,即a·b=|a||b|cosθ;

(4)規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2.投影向量(1)條件:兩個非零向量a,b,=a,=b;(2)投影:過的起點A和終點B,分別作所在直線的垂線,垂足分別是A1,B1,得到,稱這種變換為向量a向向量b投影;(3)定義:叫做向量a在向量b上的投影向量.(4)公式:a在b方向上的投影向量是|a|cosθe,其中<a,b>=θ,e=b|【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若非零向量a,b互相垂直,則它們的夾角為90°.(√)提示:由向量夾角的定義可知,此說法正確.(2)兩向量的數(shù)量積仍是一個向量.(×)提示:兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,故此說法錯誤.(3)若a≠0,a·b=0,則b=0.(×)提示:當a,b為非零向量,且a⊥b時,有a·b=0,但b≠0,故說法錯誤.(4)已知e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量,則向量e1在向量e2上的投影是12e2.(提示:向量e1在向量e2上的投影是變換過程,而12e2是向量e1在向量e2上的投影向量類型一向量的數(shù)量積(數(shù)學運算)【典例1】(1)(教材提升·例9)已知|a|=8,|b|=6,<a,b>=150°,則a·b=()A.-243 B.-24 C.243 D.16【解析】選A.因為|a|=8,|b|=6,<a,b>=150°,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=8×6×-32）=-243(2)(2024·鄭州高一檢測)在邊長為2的等邊△ABC中,·的值是()A.4 B.-4 C.2 D.-2【解析】選D.因為|AB|=|BC|=2,與的夾角為120°,所以·=||·||cos120°=2×2×（-12）=-2.【總結升華】向量數(shù)量積(1)關鍵:兩個向量的模與它們的夾角;(2)注意:兩個向量的夾角需要通過向量夾角的定義確定,不能直接將圖形中的夾角作為兩個向量的夾角.【即學即練】1.如圖,在圓C中弦AB的長度為6,則·=()A.6 B.12 C.18 D.無法確定【解析】選C.取線段AB的中點D,連接CD,得CD⊥AB.所以·cosA==12·,所以·=·cosA·=12·=18.2.已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60°,則·=__________.

【解析】連接AC,與BD相交于點E,因為四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,邊長為a,所以∠BDC=30°,∠BCD=120°,BE=DE=acos30°=3a故BD=3a,<,>=150°,所以·=||·||cos150°=3a·a·（-32）=-32a2.答案:-32a【補償訓練】已知圓O的半徑為2,弦MN的長為23,若2=,則·=()A.-4 B.-2 C.2 D.4【解析】選B.如圖,設MN的中點為Q,連接OQ,則OQ⊥MN.由||=||=2,||=23,得|MQ|=3,|OQ|=1,所以∠OMQ=π6,||=233所以|PQ|=33,所以∠POQ=π6,所以∠POM=π6,||=所以·=-·=-||||cosπ6=-2×233×3類型二投影向量(數(shù)學運算)【典例2】在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求:(1)在方向上的投影向量;(2)在方向上的投影向量的模.【解析】(1)由題意得,AC⊥BC,cosA==35,所以在方向上的投影向量為||·cosA·=3×35×=925.(2)由題意得,AC⊥BC,cosB=45,所以在方向上的投影向量為||·(-cosB)=5×-45=-4,所以在方向上的投影向量的模為4.【總結升華】投影向量(1)依據(jù)投影的定義,結合平面幾何知識作出恰當?shù)拇咕€,直接得到投影向量;(2)直接利用公式:a在b方向上的投影向量是|a|cosθe,其中<a,b>=θ,e=b|【即學即練】1.已知四邊形ABCD為菱形,則向量在向量上的投影向量為()A.14 B.12 C.-14 D.-12【解析】選B.因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD,設AC與BD的交點為O,則向量在向量上的投影向量為=12.2.(2024·齊齊哈爾高一檢測)已知|a|=8,|b|=3,a與b的夾角為π4,則b在a方向上的投影向量是__________【解析】因為|a|=8,|b|=3,a與b的夾角為π4,所以b在a方向上的投影向量是|b|cos<a,b>·a|a|=3×22×答案:32類型三向量的夾角(數(shù)學運算)【典例3】(1)(2024·臺州高一檢測)已知非零向量a,b,c滿足|a|=|b|,c=13a,若c為b在a上的投影向量,則向量a,b夾角的余弦值為(A.12 B.13 C.14 【解析】選B.由c=13a,c為b在a上的投影向量,c=13a=|b|cos<a,b>·a|a|=（|b||a|cos<a,b>）a=cos<a,b>a,所以13a=cos<a(2)已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8,則△ABC的形狀是__________.

【解析】因為·=||||cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=12,所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等邊三角形.答案:等邊三角形【總結升華】向量的夾角(1)公式:cosθ=a·b|a||b|(2)注意:θ∈[0,π].【即學即練】1.已知|a|=2,|b|=3,a·b=-3,則a與b的夾角為__________.

【解析】由cos<a,b>=a·b|a||且<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=2π3答案:2π2.(2024·臨夏高一檢測)在△ABC中,若·<0,則△ABC為__________三角形.(填“銳角”“鈍角”或“直角”)

【解析】因為·=||||cosA<0,故cosA<0,而A為三角形內角,故A為鈍角,所以△ABC是鈍角三角形.答案:鈍角第2課時向量的數(shù)量積(2)【學習目標】1.理解平面向量數(shù)量積的性質與運算律.2.能通過向量的數(shù)量積解決向量的模與夾角問題.3.會用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直問題.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象數(shù)學運算邏輯推理一、向量數(shù)量積的性質設a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ;

(2)a⊥b?a·b=0;(3)當a與b同向時,a·b=|a||b|;當a與b反向時,a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2或|a|=a·(4)|a·b|≤|a||b|.【教材挖掘】(P19)如果a·b=0,是否有a=0,或b=0?提示:不一定,當a與b的夾角為π2時,也有a·b=0二、向量數(shù)量積的運算律(1)a·b=b·a(交換律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結合律);(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).【教材挖掘】(P21)設a,b,c是向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立嗎?為什么?提示:不一定成立,因為a·b為實數(shù),b·c為實數(shù),則(a·b)c為與向量c共線的向量,(b·c)a為與向量a共線的向量,而向量a與向量c未必共線,所以不一定成立.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若a·b=a·c,則b=c.(×)提示:若a=0,b和c為任一向量時,都有a·b=a·c,此時b和c不一定相等.(2)若a2=b2,則a=b或a=-b.(×)提示:因為a2=|a|2,b2=|b|2,所以還有可能|a|=|b|,不一定方向相同或相反.(3)若a∥b,則a·b=|a||b|.(×)提示:當a與b反向時,a·b=-|a||b|.(4)a,b為非零向量,若a⊥b,則|a+b|=|a-b|.(√)提示:先對|a+b|和|a-b|進行平方,然后利用題意可得a·b=0,從而得出結論正確.類型一向量數(shù)量積的運算律(數(shù)學運算)【典例1】(1)(教材提升·例12)已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=5,且a與b夾角的余弦值為15,則(a+2b)·(2a-b)=()A.-36 B.-28 C.33 D.12【解析】選A.依題意,a·b=|a||b|cos<a,b>=2×5×15所以(a+2b)·(2a-b)=2a2-2b2+3a·b=2×22-2×52+3×2=-36.(2)(2024·曲靖高一檢測)在邊長為2的正方形ABCD中,E是AD的中點,則(+)·=____________.

【解析】如圖,(+)·=(+)·(+)=(+)·(-)=-,因為||=||,所以(+)·=0.答案:0【總結升華】關于向量數(shù)量積的運算律(1)利用向量數(shù)量積的運算律把要求的式子展開,將條件代入運算;(2)注意完全平方、平方差等公式在運算中的應用,可以起到簡化運算過程的作用.【即學即練】(2024·南通高一檢測)已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為π6,則(a+b)·(2a-b)=(A.2 B.8 C.192 D.5+【解析】選B.由|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為π6,可知a·b=2×3cosπ6=3,則(a+b)·(2a-b)=2|a|2+a·b-|b|2類型二向量模的相關問題(數(shù)學運算)【典例2】(1)(2024·保定高一檢測)已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,a·(a+b)=-1,則|a+2b|=()A.5 B.25 C.5 D.20【解析】選B.因為a·(a+b)=-1,所以a2+a·b=4+a·b=-1,所以a·b=-5,所以|a+2b|=(a+2=22+4×(-(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,則|b|=__________.

【解析】由|a+b|=|2a-b|,得a2=2a·b;由|a-b|=3,得a2-2a·b+b2=3,即b2=3,|b|=3.答案:3【總結升華】求向量的模的關注點(1)依據(jù):a·a=a2=|a|2或|a|=a2(2)策略:求模問題一般轉化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應用a2=|a|2;(3)注意:勿忘開方.【即學即練】(2024·成都高一檢測)已知平面向量a,b滿足|a-2b|=1,a·b=1,則|a+2b|=()A.3 B.22 C.3 D.23【解析】選C.因為|a-2b|=1,a·b=1,所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=a2-4a·b+4b2+8a·b=|a-2b|2+8a·b=9,即|a+2b|=3.【補償訓練】已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,|a-2b|=4,則|a-b|=________.

【解析】|a-2b|=4兩邊平方得,a2-4a·b+4b2=16,因為|a|=2,|b|=3,所以4-4a·b+36=16,解得a·b=6,|a-b|2=a2-2a·b+b2=4-12+9=1,故|a-b|=1.答案:1類型三向量的夾角與垂直問題(邏輯推理、數(shù)學運算)角度1夾角問題【典例3】(2024·六安高一檢測)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且|a-2b|=|a+4b|,則a,b的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π3 【解析】選C.由已知|a-2b|=|a+4b|可得,a2-4a·b+4b2=a2+8a·b+16b2,即a·b+b2=0,又因為|a|=2|b|,所以cos<a,b>=-|b|2|a【總結升華】關于向量的夾角(1)方法:將已知條件展開,圍繞夾角公式cos<a,b>=a·b(2)注意:向量夾角θ的取值范圍,θ∈[0,π].【即學即練】已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a·b=1,則向量a與a-b的夾角為__________.

【解析】|a-b|=(a-b)2設向量a與a-b的夾角為θ,則cosθ=a·(a-b)又θ∈[0,π],所以θ=π6答案:π【補償訓練】已知平面向量a,b滿足|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°,若a+b與ta-b的夾角為鈍角,則t的取值范圍是______.

【解析】因為|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°,所以a·b=12因為a+b與ta-b的夾角為鈍角,所以(a+b)·(ta-b)<0且這兩個向量不共線,(a+b)·(ta-b)=ta2+(t-1)a·b-b2=32t