高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)專題突破練一含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)專題突破練一含答案專題突破練一(時(shí)間:45分鐘分值:55分)1.(5分)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=2,AD=3,∠BAD=90°.若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),則·的最大值為()A.2 B.3 C.6 D.7【解析】選C.以A為原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),C(2,3),D(0,3),設(shè)P(x,0),其中0≤x≤3,則=(x-2,-3),=(x,-3),所以·=x(x-2)+3=x2-2x+3=(x-1)2+2,當(dāng)x=3時(shí),·有最大值6.2.(5分)若單位向量e1,e2的夾角為120°,則當(dāng)|e1-λe2|(λ∈R)取得最小值時(shí),λ的值為()A.-2 B.-1 C.-12 D.【解析】選C.由題意知e1·e2=cos120°=-12,因?yàn)閨e1-λe2|2=λ2+λ+1,所以當(dāng)λ=-1【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)0≤θ<2π,已知兩個(gè)向量=(cosθ,sinθ),=(2+sinθ,2-cosθ),則向量的長度的最大值是()A.2 B.3 C.32 D.23【解析】選C.因?yàn)?-=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ),所以||=(=10-因?yàn)?≤θ<2π,所以-1≤cosθ≤1,所以2≤10-8cosθ當(dāng)cosθ=-1時(shí),||有最大值32.3.(5分)(2024·合肥高一檢測(cè))設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a,b的夾角,已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t,|a+tb|的最小值為1,則()A.若θ確定,則|a|唯一確定B.若θ確定,則|b|唯一確定C.若|a|確定,則θ唯一確定D.若|b|確定,則θ唯一確定【解析】選A.如圖,記=a,=b,=tb,則=a+tb,則當(dāng)b⊥(a+tb)時(shí),|a+tb|取得最小值1,若θ確定,則|a|唯一,|b|不確定,若|a|確定,θ可能有兩解(圖中=a或=a),若|b|確定,則a不確定,從而θ也不確定.4.(5分)已知平面向量a,b滿足|a|=2,a與a-b的夾角為120°,記m=ta+(1-t)b(t∈R),則|m|的取值范圍為()A.[3,+∞) B.[2,+∞)C.[1,+∞) D.12,+∞【解析】選A.設(shè)a=,b=,如圖所示:則a-b=-=,因?yàn)閍與a-b的夾角為120°,所以∠OAB=120°,∠OAC=60°,因?yàn)閙=ta+(1-t)b(t∈R),且t+1-t=1,m,a,b的起點(diǎn)相同,所以其終點(diǎn)共線,即在直線AB上,所以當(dāng)m⊥時(shí),|m|最小,最小值為3,無最大值,所以|m|的取值范圍為[3,+∞).5.(5分)(2023·長春高一檢測(cè))如圖,扇形AOB中,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),且∠AOB=3π4.若=x+y,則x+2y的最大值為()A.10 B.3 C.2 D.1【解析】選A.由題意,建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)扇形半徑為2a,由∠AOB=3π4可得A(-2a,2a),B(2a,0),設(shè)C(2acosθ,2asinθ),θ∈0,3π4,由=x+y,可得(2acosθ,2asinθ)=x(-2a,2a)+y(2a,0),所以2a整理得:x=則x+2y=22sinθ+2cosθ=10sin(θ+φ),其中tanφ=12,所以當(dāng)sin(θ+φx+2y有最大值10.6.(5分)(多選)在邊長為2的正方形ABCD中,P,Q在正方形(含邊)內(nèi),滿足=x+y,則下列結(jié)論正確的是()A.若點(diǎn)P在BD上,則x+y=1B.x+y的取值范圍為[1,2]C.若點(diǎn)P在BD上,則·=4D.若P,Q在線段BD上,且=2,則·的最小值為1【解析】選ACD.當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí),因?yàn)?x+y,所以x+y=1,故A正確;因?yàn)镻在邊長為2的正方形ABCD(含邊)內(nèi),且=x+y,所以x∈[0,1],y∈[0,1],則x+y∈[0,2],故B錯(cuò)誤;當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí),=x+y=x+(1-x),=+,所以·=[x+(1-x)]·(+)=x+(1-x)=4,故C正確;若P,Q在線段BD上,且=2,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(a,2-a),則Q(a+2,2-2-a),a∈[0,2-2],所以·=(a,2-a)·(a+2,2-2-a)=a(a+2)+(2-a)(2-2-a)=2a2-(4-22)a+4-22=2a-2-222所以當(dāng)a=2-22時(shí),·有最小值為1,故D正確7.(5分)已知正方形ABCD的邊長為1,若點(diǎn)E是AB邊上的中點(diǎn),則·的值為__________,若點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則|·|的最大值為__________.

【解析】如圖分別以AB,AD所在直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),=(0,-1),=(1,1),若點(diǎn)E是AB邊上的中點(diǎn),則E12,0,所以=12,-1,所以·=0×12+(-1)×(-1)=1;若點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)E(x,0)(0≤x≤1),所以=(x,-1),所以|·|=|x-1|,由0≤x≤1,可得0≤|·|≤1,所以當(dāng)x=0時(shí),|·|的最大值為1.答案:11【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·商丘高一檢測(cè))如圖,菱形ABCD的邊長為6,=14,=34,則·的取值范圍為__________.

【解析】設(shè)∠BAD=θ,θ∈(0,π),則·=36cosθ,因?yàn)?14,=34,所以=+=+14=+14,=+=34+34=34-34,所以·=+14·34-34=34·-34+316-316·=34×36cosθ-34×36+316×36-=814cosθ-81因?yàn)棣取?0,π),所以cosθ∈(-1,1),所以-812<814cosθ-所以·的取值范圍為-812,0.答案:-812,08.(5分)已知菱形ABCD的邊長為a(a>0),則||的取值范圍是__________.

【解析】如圖所示:易知=+,且||=||=a,<,>∈(0,π),所以||2=(+)2=a2+a2+2a2cos<,>,易知cos<,>∈(-1,1),所以||2=a2+a2+2a2cos<,>∈(0,4a2),因此||∈(0,2a).答案:(0,2a)9.(5分)(2023·深圳高一檢測(cè))圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤,已知圖二中正六邊形的邊長為2,圓O的圓心為正六邊形的中心,半徑為1,若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)A,B在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱,則·的取值范圍是__________.

【解析】連接AB,OM,如圖所示:·=(+)·(+)=+·+·+·=+·(+)-1=-1.根據(jù)圖形可知,當(dāng)點(diǎn)M位于正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí),|MO|有最小值為3,此時(shí)-1=2,當(dāng)點(diǎn)M位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí),|MO|有最大值為2,此時(shí)-1=3,故2≤·≤3,即·的取值范圍是[2,3].答案:[2,3]10.(10分)(2024·泰安高一檢測(cè))已知a,b,c為平面向量,|a|=2,|b|=3,|c|=1,(a-c)·(b-c)=5.(1)求a·b的取值范圍;(2)設(shè)a+b與a-b的夾角為β,求cosβ的最小值.【解析】(1)因?yàn)?a-c)·(b-c)=5,所以a·b-c·(a+b)+c2=5,因?yàn)閨c|=1,所以a·b-c·(a+b)=4,設(shè)c與a+b的夾角為θ,θ∈[0,π],由上式可得a·b-|c|·|a+b|·cosθ=4.又|a+b|=(a+b)2所以cosθ=a·令m=a·b,a與b的夾角為α,α∈[0,π],所以m=a·b=|a|·|b|cosα=23cosα,所以-23≤m≤23.因?yàn)閨cosθ|=|a·b-所以m2-10m+9≤0,解得1≤m≤9.綜上可得1≤m≤23,即1≤a·b≤23;(2)因?yàn)閏osβ=(=a=149所以由(1)可知:當(dāng)a·b=1時(shí),cosβ的值最小,代入,得:cosβ=149-4×所以cosβ的最小值等于515專題突破練五(時(shí)間:45分鐘分值:65分)1.(5分)已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面,下列說法中正確的是()A.若m⊥α,n?α,則m⊥nB.若m∥α,n∥α,則m∥nC.若m⊥α,m⊥n,則n∥αD.若m∥α,m⊥n,則n⊥α【解析】選A.對(duì)于A,若m⊥α,n?α,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得m⊥n,故正確;對(duì)于B,若m∥α,n∥α,則m與n可能相交、平行或者異面,故錯(cuò)誤;對(duì)于C,若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α,故錯(cuò)誤;對(duì)于D,若m∥α,m⊥n,則n與α相交、平行或n?α,故錯(cuò)誤.2.(5分)如圖,將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角,此時(shí)∠B'AC=60°,則這個(gè)二面角大小是()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選D.如圖,連接B'C,則△AB'C為等邊三角形.由題意可知,∠B'DC為所求二面角的平面角.設(shè)AD=a,則B'C=AC=2a,B'D=DC=a,所以B'C2=B'D2+DC2,所以∠B'DC=90°.3.(5分)在三棱錐P-ABC中,PA=PB=6,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,則PC=()A.6 B.26 C.10 D.210【解析】選C.因?yàn)镻A=PB=6,PA⊥PB,所以AB=23,因?yàn)锳B⊥BC,∠BAC=30°,所以BC=ABtan30°=2,因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC,AB⊥BC,平面PAB∩平面ABC=AB,BC?平面ABC,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以PC=PB2+4.(5分)空間四邊形P-ABC的各邊及對(duì)角線長度都相等,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A.DF∥平面PBCB.AB⊥平面PDCC.平面PEF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面PBC【解析】選C.因?yàn)榭臻g四邊形P-ABC的各邊及對(duì)角線長度都相等,D,E,F,G分別是AB,BC,CA,AP的中點(diǎn),連接GD,GF,DF,AE,PE,DC,PD,所以BC∥DF,又DF?平面PBC,BC?平面PBC,所以DF∥平面PBC,故A正確;因?yàn)镻D⊥AB,CD⊥AB,PD∩CD=D,所以AB⊥平面PDC,故B正確;因?yàn)镻E⊥BC,AE⊥BC,PE∩AE=E,所以BC⊥平面PAE,因?yàn)锽C?平面ABC,所以平面PAE⊥平面ABC,故D正確;只有C不正確.5.(5分)(多選)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,則AE的值可能是()A.a B.32a C.2a D.5【解析】選AC.由已知,得A1B1=B1C1,又D是A1C1的中點(diǎn),所以B1D⊥A1C1,又側(cè)棱AA1⊥底面ABC,可得側(cè)棱AA1⊥平面A1B1C1,又B1D?平面A1B1C1,所以AA1⊥B1D,因?yàn)锳A1∩A1C1=A1,所以B1D⊥平面AA1C1C,又CE?平面AA1C1C,所以B1D⊥CE,若CE⊥平面B1DE,則CE⊥DE.設(shè)AE=x(0<x<3a),則CE2=x2+4a2,DE2=a2+(3a-x)2,又CD2=a2+9a2=10a2,所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a.6.(5分)平行四邊形ABCD中,AB>AD,將三角形ABD沿著BD翻折至三角形A'BD,則下列直線中有可能與直線A'B垂直的是________(填所有符合條件的序號(hào)).

①直線BC;②直線CD;③直線BD;④直線A'C.【解析】對(duì)于①,若BC⊥BD,當(dāng)平面A'BD⊥平面BCD時(shí),BC⊥平面A'BD,則此時(shí)BC⊥A'B,故①成立;對(duì)于②,若∠ABD>45°,則在翻折的過程中,∠A'BA可超過90°,故存在∠A'BA=90°,因?yàn)锳B∥CD,所以CD⊥A'B,故②成立;對(duì)于③,在△ABD中,因?yàn)锳B>AD,所以∠ABD為銳角,即∠A'BD為銳角,故直線BD不可能和直線A'B垂直,故③不成立;對(duì)于④,因?yàn)锳B>AD,所以在△A'BC中,A'B>BC,所以∠BA'C始終為銳角,故直線A'C不可能和直線A'B垂直,故④不成立.答案:①②7.(5分)如圖,PA垂直于圓所在平面,AC為圓的直徑,B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),AS⊥PC,AN⊥PB,且S,N都為垂足,請(qǐng)寫出一個(gè)與平面ANS垂直的平面________.

【解析】因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,又因?yàn)锳C是直徑,所以AB⊥BC,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,AN?平面PAB,所以BC⊥AN,又因?yàn)锳N⊥PB,且BC∩PB=B,所以AN⊥平面PBC,又PC?平面PBC,所以AN⊥PC,又AS⊥PC,AN∩AS=A,所以PC⊥平面ANS,PC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面ANS,PC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面ANS,所以與平面ANS垂直的平面是平面PAC和平面PBC.答案:PAC(或PBC)8.(10分)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為3,求P到平面ABC的距離.【解析】如圖,過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于O,則PO為P到平面ABC的距離.再過O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,連接PC,PE,PF,則PE⊥AC,PF⊥BC.又PE=PF=3,所以O(shè)E=OF,所以CO為∠ACB的平分線,即∠ACO=45°.在Rt△PEC中,PC=2,PE=3,所以CE=1,所以O(shè)E=1,所以PO=PE2-OE9.(10分)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,PA=PB,PC=PD.(1)證明:CD與平面PAD不垂直;(2)證明:平面PAB⊥平面ABCD.【證明】(1)若CD⊥平面PAD,則CD⊥PD,由已知PC=PD,得∠PCD=∠PDC<90°,這與CD⊥PD矛盾,所以CD與平面PAD不垂直.(2)取AB,CD的中點(diǎn)E,F,連接PE,PF,EF,由PA=PB,PC=PD,得PE⊥AB,PF⊥CD,所以EF為直角梯形的中位線,所以EF⊥CD,又PF∩EF=F,所以CD⊥平面PEF,由PE?平面PEF,得CD⊥PE,又因?yàn)锳B⊥PE且梯形兩腰AB,CD必交,所以PE