高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊5.7　三角函數(shù)的應用含答案

高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊5.7三角函數(shù)的應用含答案5.7三角函數(shù)的應用【學習目標】1.會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題.2.體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.3.能閱讀、理解問題情境,合理確定正弦型函數(shù)中參數(shù)的取值,初步掌握讀模、識模、建模、解模的過程.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象、直觀想象數(shù)學抽象、數(shù)學運算數(shù)學建模一、函數(shù)y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中參數(shù)的物理意義二、三角函數(shù)的應用(1)三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化規(guī)律、預測未來等方面發(fā)揮重要作用.(2)用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟收集數(shù)據(jù)→畫散點圖→選擇函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→檢驗.(3)實際問題的背景往往比較復雜,而且需要綜合應用多學科的知識才能解決.因此,建立三角函數(shù)模型時,一定要結合相關學科的知識,從復雜的背景中將基本的數(shù)學關系抽取出來.教材挖掘(P242)問題現(xiàn)實生活中存在大量具有周而復始、循環(huán)往復特點的周期運動變化現(xiàn)象,你能舉出哪些例子?提示:彈簧振子的運動,鐘擺的擺動,水中浮標的上下浮動,琴弦的振動,日出日落,潮漲潮落,一天溫度的變化,一天人員流動的變化等等.很顯然,三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)可以很好地“擬合”這種周期性的變化.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y=|sinx+12|的最小正周期為π.提示:函數(shù)y=|sinx+12|的最小正周期為2π(2)一個彈簧振子做簡諧振動的最小正周期為0.4s,振幅為5cm,則該振子在2s內通過的路程為50cm.(×)提示:一個最小正周期通過的路程為20cm,所以2s內通過的路程為20×20.(3)電流強度I(A)隨時間t(s)變化的關系式是I=5sin(100πt+π3),則當t=1200s時,電流強度I為52A提示:當t=1200s時,I=5sin100π×1200+π3類型一由圖象求函數(shù)的解析式(數(shù)學抽象)【典例1】如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象的一部分,求此函數(shù)的解析式【解析】方法一:(逐一定參法)由題中圖象知A=3,T=5π6-(-π6)=π,所以ω=所以y=3sin(2x+φ).因為點(-π6,0)所以-π6×2+φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<π所以φ=π3,所以y=3sin(2x+π3方法二:(待定系數(shù)法)由題中圖象知A=3.因為圖象過點(π3,0)和(5π6,0所以πω解得ω=2,φ=π3所以y=3sin(2x+π3)方法三:(圖象變換法)由A=3,T=π,點(-π6,0)可知函數(shù)圖象由y=3sin2x向左平移π6所以y=3sin2(x即y=3sin(2x+π3)【總結升華】由y=Asin(ωx+φ)的圖象求其解析式的常用方法方法一:最值法(1)A:一般可由圖象的最高點和最低點的縱坐標來確定|A|,|A|=f((2)ω:因為T=2πω,所以往往通過求周期T來確定ω.可通過已知曲線及其與x軸的交點來確定T,注意相鄰的最高點與最低點之間的水平距離為T2(3)φ:以五點作圖法中的最高點作為突破口,即當ωx+φ=π2+2kπ,k∈Z時,y有最大值,或者由五點作圖法中的第一個點(-φω,0)方法二:“五點”對應法依據(jù)五點作圖法的原理,點的序號與式子的關系如下;“第一點”(即圖象第一次上升時與x軸的交點)橫坐標滿足ωx+φ=0;“第二點”(即圖象的“峰點”)橫坐標滿足ωx+φ=π2“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)橫坐標滿足ωx+φ=π;“第四點”(即圖象的“谷點”)橫坐標滿足ωx+φ=3π2“第五點”(即圖象第二次上升時與x軸的交點)橫坐標滿足ωx+φ=2π.【即學即練】1.如圖為函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象.則函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式是 (A.f(x)=233sin(2x-B.f(x)=23sin(2x-πC.f(x)=2sin(2x-π6D.f(x)=233sin(2x+【解析】選A.由函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象知,T2=2π3-π6=π2,T=π,所以由“五點法”畫圖知,f(π6)=Asin(2×π6+φ)=0,π3+φ=0,解得φ又f(0)=Asin(-π3)=-32A=-1,解得A=233,所以函數(shù)f(x)=233sin(2.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示,則f(x)的函數(shù)解析式為【解析】由函數(shù)的頂點(-π2,3),(3π2,-3)可得A=3,12T=πω=3π2-(-π2再根據(jù)“五點法”作圖可得12·(-π2)+φ=0,求得φ=π4,故函數(shù)f(x)=3cos(12x答案:f(x)=3cos(12x+π類型二三角函數(shù)在物理中的應用(數(shù)學建模)【典例2】已知電流I與時間t的關系式為I=Asin(ωt+φ).(1)如圖是I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一個周期內的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I=Asin(ωt+φ【解析】(1)因為周期T=2×[1180-(-1900)]=175,ω=2π所以I=300sin(150πt+φ).將(-1900,0)代入上式,得sin(φ-π6由于|φ|<π2,所以φ-π6=0,φ=可得I=300sin(150πt+π6)(2)如果t在任意一段1150秒的時間內,電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值,那么ω【解析】(2)如果t在任意一段1150秒的時間內,電流I=Asin(ωt+φ必滿足區(qū)間長度1150至少包含一個周期,即1150≥2πω,可得ω所以ω的最小正整數(shù)值是943.【備選例題】(多選)(2024·寧德高一檢測)從物理學知識可知,圖中彈簧振子中的小球相對平衡位置的位移y與時間t(單位:s)的關系符合函數(shù)y=Asin(ωt+φ)(|ω|<100).從某一時刻開始,用相機的連拍功能給彈簧振子連拍了20張照片.已知連拍的間隔為0.01s,將照片按拍照的時間先后順序編號,發(fā)現(xiàn)僅有第5張、第13張、第17張照片與第1張照片是完全一樣的,則小球正好處于平衡位置的所有照片的編號有()A.4 B.6 C.12 D.18【解析】選BCD.因為僅有第5張,第13張,第17張照片與第1張照片完全一樣,則彈簧振子運動時的最小正周期為T=12×0.01=0.12=325則ω=2π325=50π3,所以y=Asin(50π3t由題意可知y=Asin(50π3×1100+=Asin(50π3×5100+φ所以sin(π6+φ)=sin(5π6+φ則12cosφ+32sinφ=12cosφ-3所以sinφ=0,則φ=mπ(m∈Z),則y=Asin(50π3t+mπ)令y=0,可得50πt3+mπ=nπ(m,n所以t=350(n-m令k=n-m∈Z,則t=350k(k∈由0<3k50≤15,可得0<k因為k∈Z,則k∈{1,2,3},當k=1時,t=350=0.當k=2時,t=650=0.當k=3時,t=950=0.18s,對應第18張照片【總結升華】處理物理學問題的策略(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等,其共同的特點是具有周期性.(2)明確物理概念的意義,此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念,因此要熟知其意義并與對應的三角函數(shù)知識結合解題.【即學即練】如圖,彈簧掛著一個小球做上下運動,小球在t秒時相對于平衡位置的高度h(厘米)有如下關系式:h=3sint+3cost,t∈[0,+∞),則小球在開始振動(即t=0)時h的值為,小球振動過程中最大的高度差為厘米.

【解析】因為h=3sint+3cost=6sin(t+π4),t∈[0,+∞),當t=0時,h=3小球振動過程中最大的高度差為6-(-6)=26.答案:326類型三三角函數(shù)在生活中的應用(數(shù)學抽象)【典例3】通常情況下,同一地區(qū)一天的溫度隨時間變化的曲線接近于函數(shù)y=Asin(ωt+φ)+b的圖象.2023年1月下旬某地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現(xiàn)在14時,最高溫度為14℃;最低溫度出現(xiàn)在凌晨2時,最低溫度為零下2℃.(1)請推理該地區(qū)該時段的溫度函數(shù)y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,t∈[0,24))的解析式;【解析】(1)因為最高溫度為14℃,最低溫度為零下2℃.所以A=12×[14-(-2)]=8,b=1因為函數(shù)的周期T=24,所以ω=2π24=π由π12·2+φ=-π2+2kπ,|φ|<π,可得φ所以函數(shù)解析式為y=8sin(π12t-2π3(2)29日上午9時某高中將舉行期末考試,如果溫度低于10℃,教室就要開空調,請問屆時學校后勤應該送電嗎?【解析】(2)當t=9時,y=8sin(π12·9-2π3)+6=8sin因為sinπ12<sinπ6,所以y=8sinπ12+6<8sinπ6【總結升華】解三角函數(shù)應用問題的基本步驟【即學即練】風車發(fā)電是指把風的動能轉為電能.如圖,風車由一座塔筒和三個葉片組成,每兩個葉片之間的夾角均為120°.現(xiàn)有一座風車,塔筒高70米,葉片長40米.葉片按照逆時針方向勻速轉動,并且4秒旋轉一圈,風車開始旋轉時某葉片的一個端點P在風車的最低點(此時P離地面30米).設點P離地面的距離為S(米),轉動時間為t(秒),則S與t之間的函數(shù)關系式為,葉片旋轉一圈內點P離地面的高度不低于50米的時長為秒.

【解析】(1)設S=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0),由題得A+B=110-A又2πω所以ω=π2,所以S=40sin(π2t+φ又函數(shù)的圖象過點(0,30),所以30=40sin(π2×0+φ)+70,所以φ=-π所以S=40sin(π2t-π2)+70=70-40cosπ所以S=70-40cosπ2t(t≥0)(2)令S=70-40cosπ2t≥50,所以cosπ2t≤所以2kπ+π3≤π2t≤2kπ+5π3,所以4k+23≤t≤4k+103,k當k=0時,23≤t≤10所以葉片旋轉一圈內點P離地面的高度不低于50米的時長為83秒答案:S=70-40cosπ2t(t≥0)類型四三角函數(shù)“擬合”模型的應用(數(shù)學建模)【典例4】如表是某地1992年~2023年的月平均氣溫(華氏度).月份123456平均氣溫21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均氣溫73.071.964.753.539.827.7以月份為x軸,令x=月份-1,以平均氣溫為y軸.(1)描出散點圖用正弦型曲線去擬合這些數(shù)據(jù);【解析】(1)如圖所示:(2)第(1)問中所求得正弦型曲線對應的函數(shù)的周期T是多少?【解析】(2)1月份的氣溫最低,為21.4華氏度,7月份氣溫最高,為73.0華氏度,據(jù)圖知,T2=7-1=6,所以T=12(3)估計這個正弦型曲線的振幅A;【解析】(3)2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.(4)下面四個函數(shù)模型中哪一個最適合這些數(shù)據(jù)?①yA=cosπx6;②y③y-46-A=cosπx6【解析】(4)因為x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,代入①,得yA=26.025.代入②,得y-46A=26.0-4625.8故函數(shù)模型③最適合.【總結升華】處理曲線擬合與預測問題的一般步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出散點圖.(2)通過觀察散點圖,畫出與其“最貼近”的直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線.(3)根據(jù)所學函數(shù)知識,求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式.(4)利用函數(shù)解析式,根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制,以便為決策和管理提供依據(jù).【即學即練】如表中給出了在24小時內人的體溫的變化情況(從夜間零點開始計時):時間/h024681012溫度/℃36.836.736.636.736.837.037.2時間/h141618202224溫度/℃37.337.437.337.237.036.8(1)作出這組數(shù)據(jù)的散點圖;【解析】(1)散點圖如圖所示:(2)選用一個三角函數(shù)來近似描述這些數(shù)據(jù).【解析】(2)設t時的體溫y=Asin(ωt+φ)+C,則C=37.A=37.4-37=0.4,ω=2πT=2π24=由0.4sin(π12×16+φ)+37=37.得sin(4π3+φ)=1,取φ=-5π6,故可用函數(shù)y=0.4sin(π12t-5π第二章階段提升課題型一不等式及其性質1.不等式及其性質貫穿整個高中數(shù)學學習,只要是涉及范圍的問題,都和不等式有關,在高中數(shù)學中有著很高的地位.2.掌握不等式的運算性質,重點提升數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).【典例1】(1)已知實數(shù)0<a<1,則以下不等關系正確的是()A.a2>1a>a>-a B.a>a2>1aC.1a>a>a2>-a D.1a>a2>a【解析】選C.因為0<a<1,所以0<a2<1,1a>1,-1<-a<0,0<a2<a,因此1a>a>a2(2)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關系是()A.A≤B B.A≥BC.A<B或A>B D.A>B【解析】選B.因為A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=(a-b2)2+34b2≥0,所以A(3)已知2<a<3,-2<b<-1,求ab,b2a【解析】因為-2<b<-1,所以1<-b<2.又因為2<a<3,所以2<-ab<6,所以-6<ab<-2.因為-2<b<-1,所以1<b2<4.因為2<a<3,所以13<1a<12,所以13所以ab的取值范圍為{ab|-6<ab<-2},b2a的取值范圍為【總結升華】不等式及其性質的兩個關注點(1)作差法是比較兩個實數(shù)大小的基本方法.(2)應用不等式的基本性質可以證明不等式,但一定要注意應用條件;當判斷不等式是否成立時,常常選擇特殊值法.題型二基本不等式的應用1.基本不等式:ab≤a+b2(a>0,2.熟練掌握基本不等式的應用,重點提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).【典例2】(1)若正實數(shù)x,y滿足x+y=2,則1xy的最小值為(A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.由題意,正實數(shù)x,y滿足x+y=2,則xy≤(x+y2)2=1,當且僅當x=y=1時,等號成立,即xy≤1,所以1xy(2)已知正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則(3+1a)(1+2b)的最小值為(A.14+46 B.25C.24 D.123【解析】選A.(3+1a)(1+2b)=3a+a+ba=14+8·ab+3·ba=14+46.當且僅當8ab=3ba,即a=-3+26(3)已知正實數(shù)x,y滿足x+4y-xy=0,若x+y≥m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為()A.{m|0<m<9} B.{m|0≤m≤9}C.{m|m<9} D.{m|m≤9}【解析】選D.由于x+4y-xy=0,即x+4y=xy,等式兩邊同時除以xy得4x+1x,y為正實數(shù),由基本不等式可得x+y=(x+y)(4x+1y)=4yx+當且僅當4yx=xy,即當x=6,因此m≤9.【總結升華】基本不等式的關注點(1)前提:“一正”“二定”“三相等”.(2)配湊:要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式.(3)方法:一是消元法;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)“1”代換的方法;三是配湊法.題型三解一元二次不等式1.對于實數(shù)的一元二次不等式(分式不等式)首先轉化為標準形式(二次項系數(shù)為正),然后能分解因式的變成因式相乘的形式,從而得到不等式的解集.2.對于含參數(shù)的不等式要注意對參數(shù)進行討論,做到不重不漏.3.掌握不等式的解法,重點提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).【典例3】(1)(多選)下列不等式的解集正確的是()A.不等式-x2+7x>6的解集是{x|1<x<6}B.不等式(2-x)(x+3)<0的解集是{x|x<-3或x>2}C.不等式4(2x2-2x+1)>x(4-x)的解集是xD.不等式x-2x+3≥0的解集是{x|【解析】選ABC.對于A,不等式-x2+7x>6可化為x2-7x+6<0,解得1<x<6,所以不等式的解集是{x|1<x<6},所以選項A正確;對于B,不等式(2-x)(x+3)<0可化為(x-2)(x+3)>0,解得x<-3或x>2,所以不等式的解集是{x|x<-3或x>2},所以選項B正確;對于C,不等式4(2x2-2x+1)>x(4-x)可化為(3x-2)2>0,解得x≠23所以不等式的解集是xx對于D,不等式x-2x+3≥0可化為x+3≠0所以不等式的解集是{x|x<-3或x≥2},所以選項D錯誤.(2)已知不等式ax2+bx+2>0的解集是x-12<x<1A.-14 B.-10 C.10 D.14【解析】選C.因為不等式ax2+bx+2>0的解集是x-12<x<13,所以-12,13是方程ax2+bx+2=0的兩個實數(shù)根,且a<0.(3)解關于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0.【解析】對于一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0,則a≠0.①當a>0時,函數(shù)y=a(x-a)(x+1)的圖象開口向上,與x軸的交點橫坐標為a,-1,原不等式的解集為{x|x<-1或x>a};②當a<0時,函數(shù)y=a(x-a)(x+1)的圖象開口向下,與x軸的交點橫坐標為a,-1,(i)若a=-1,不等式解集為?;(ii)若-1<a<0,不等式的解集為{x|-1<x<a};(iii)若a<-1,不等式的解集為{x|a<x<-1}.綜上所述,當a>0時,原不等式的解集為{x|x<-1或x>a};當a=-1時,原不等式的解集為?;當-1<a<0時,原不等式的解集為{x|-1<x<a};當a<-1時,原不等式的解集為{x|a<x<-1}.【總結升華】一元二次不等式的解集問題(1)不含參數(shù)的一元二次不等式的解集受a的符號、b2-4ac的符號的影響,且與相應的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系.(2)含有參數(shù)的一元二次不等式的求解,常就“二次項系數(shù)”“判別式Δ”“兩個根的大小”對參數(shù)進行討論.題型四不等式的實際應用問題1.不等式的應用題常以函數(shù)為背景,多是解決現(xiàn)實生活、生產中的優(yōu)化問題,在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根據(jù)題設條件構建數(shù)學模型是解題關鍵.2.利用不等式解決實際應用問題,重點提升數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).【典例4】(1)某自來水廠擬建一平面圖為矩形且面積為200m2的二級凈水處理池(如圖).池的深度一定,池的外圍周壁建造價格為400元/m,中間的一條隔壁建造價格為100元/m,池底建造價格為60元/m2,池壁厚度忽略不計.當凈水處理池的長為______