高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)八　全稱量詞與存在量詞含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)八全稱量詞與存在量詞(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)下列命題中是存在量詞命題的是 ()A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0B.任意一個(gè)負(fù)數(shù)都比零小C.每一個(gè)正方形都是矩形D.存在沒有最大值的二次函數(shù)【解析】選D.選項(xiàng)A,B,C含有全稱量詞,是全稱量詞命題,D選項(xiàng)含有存在量詞,是存在量詞命題.2.(5分)(2024·合肥高一檢測)下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()A.每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開口向上B.存在一條直線與已知直線不平行C.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若a-b≤0,則a≤bD.存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使等式x2-2x+1=0成立【解析】選C.B,D是存在量詞命題,故應(yīng)排除;對(duì)于A,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象開口向下,也應(yīng)排除.3.(5分)下列命題是假命題的是 ()A.所有實(shí)數(shù)均有倒數(shù)B.?a∈N,使得方程ax+1=0無實(shí)數(shù)根C.梯形的對(duì)角線都不互相平分D.有些三角形不是等腰三角形【解析】選A.對(duì)于A,0沒有倒數(shù),假命題;對(duì)于B,當(dāng)a=0時(shí),方程ax+1=0無實(shí)數(shù)根,真命題;對(duì)于C,任意梯形的對(duì)角線不互相平分,真命題;D為真命題.4.(5分)以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是 ()A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2≤0C.兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使1x【解析】選B.A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱量詞命題;B中當(dāng)x=0時(shí),x2=0,所以B既是存在量詞命題又是真命題;C中因?yàn)?+(-3)=0,所以C是假命題;D中對(duì)于任一個(gè)負(fù)數(shù)x,都有1x<0,所以D是假命題5.(5分)(多選)下列命題是“?x∈R,x2>3”的表述方式的有 ()A.有一個(gè)x∈R,使得x2>3成立B.對(duì)有些x∈R,x2>3成立C.任選一個(gè)x∈R,都有x2>3成立D.至少有一個(gè)x∈R,使得x2>3成立【解析】選ABD.原命題是存在量詞命題,C選項(xiàng)是全稱量詞命題,先排除;A,B,D選項(xiàng)是存在量詞命題且符合題意.6.(5分)(多選)下列命題中,是真命題的是 ()A.空集是任何一個(gè)非空集合的真子集B.?x∈R,4x2>2x-1+3x2C.?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2D.?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解【解析】選AC.利用空集和真子集的關(guān)系可以判斷A正確;將4x2>2x-1+3x2整理,得x2-2x+1=(x-1)2>0,又x∈R,所以(x-1)2≥0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)x=1時(shí),|x-2|=|1-2|<2,故選項(xiàng)C正確;當(dāng)a=0,b=0時(shí),方程ax+b=0有無數(shù)多解,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.7.(5分)命題“對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x,x2+2x+1都不小于零”,用“?”或“?”符號(hào)表示為.

【解析】含有全稱量詞“任意一個(gè)”,用符號(hào)“?”表示,“不小于零”就是“≥0”.因此命題用符號(hào)表示為“?x∈R,x2+2x+1≥0”.答案:?x∈R,x2+2x+1≥0【補(bǔ)償訓(xùn)練】命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述為.

【解析】“有些”是存在量詞,所以命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”可表述為?x<0,使(1+x)(1-9x)>0.答案:?x<0,使(1+x)(1-9x)>08.(5分)命題“存在x1∈R,x2∈R,且x1<x2,使x12>x22”是【解析】含有存在量詞“存在”,是存在量詞命題,令x1=-1,x2=0,則x12>x答案:存在真9.(5分)下列全稱量詞命題中,真命題的個(gè)數(shù)為.

①?x∈R,x2+2>0;②?x∈N,x4≥1;③對(duì)任意x,y,都有x2+y2≠0.【解析】①由于?x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0,所以命題“?x∈R,x2+2>0”是真命題.②因?yàn)?∈N,當(dāng)x=0時(shí),x4≥1不成立,所以命題“?x∈N,x4≥1”是假命題.③當(dāng)x=y=0時(shí),x2+y2=0,所以該命題是假命題.答案:110.(10分)試判斷下列全稱量詞命題的真假:(1)?x∈R,x2+1≥2;【解析】(1)取x=0,則x2+1=1<2,所以“?x∈R,x2+1≥2”是假命題.(2)直角坐標(biāo)系內(nèi)任何一條直線都與x軸有交點(diǎn);【解析】(2)與x軸平行的直線與x軸無交點(diǎn),所以該命題為假命題.(3)每個(gè)二次函數(shù)都有最小值.【解析】(3)對(duì)于y=ax2+bx+c,當(dāng)a<0時(shí)函數(shù)有最大值無最小值,所以“每個(gè)二次函數(shù)都有最小值”是假命題.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ()①?x∈R,x≤0;②至少有一個(gè)整數(shù),它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù);③?x∈{x|x是無理數(shù)},x+5是無理數(shù).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選D.①?x∈R,x≤0,正確;②至少有一個(gè)整數(shù),它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù),正確,例如數(shù)1滿足條件;③?x∈{x|x是無理數(shù)},x+5是無理數(shù),正確,例如x=π.綜上可得①②③都正確.12.(5分)(多選)以下命題是真命題的是 ()A.?x∈R,x2B.?x∈{1,-1,0},2x+1>0C.?x∈N,x2≤xD.?x∈N*,x為29的約數(shù)【解析】選ACD.對(duì)于A,這是全稱量詞命題,因?yàn)閤2≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,所以x對(duì)于B,這是全稱量詞命題,因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí),2x+1>0不成立,故B為假命題;對(duì)于C,這是存在量詞命題,當(dāng)x=0或x=1時(shí),有x2≤x成立,故C為真命題;對(duì)于D,這是存在量詞命題,當(dāng)x=1時(shí),x為29的約數(shù)成立,所以D為真命題.13.(5分)命題:“?x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”為真命題的充要條件是.

【解析】命題“?x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”為真命題,即“?x∈{x|1≤x≤2},a≥x2”恒成立,所以a≥(x2)max=4,故“?x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”為真命題的充要條件為a≥4.答案:a≥414.(10分)選擇合適的量詞(?,?),加在p(x)的前面,使其成為一個(gè)真命題.(1)x>2;【解析】(1)?x∈R,x>2.(2)x是偶數(shù);【解析】(2)?x∈Z,x是偶數(shù).(3)若x是無理數(shù),則x2是無理數(shù);【解析】(3)?x∈R,若x是無理數(shù),則x2是無理數(shù).(如x=42(4)a2+b2=c2.【解析】(4)?a,b,c∈R,a2+b2=c2.15.(10分)設(shè)語句q(x):|x-1|=1-x.(1)寫出q(1),q(2),并判斷它們是不是真命題;【解析】(1)q(1):|1-1|=1-1,真命題.q(2):|2-1|=1-2,因?yàn)閨2-1|=1,1-2=-1,所以|2-1|≠1-2,假命題.(2)寫出“?a∈R,q(a)”,并判斷它是不是真命題;【解析】(2)?a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(2)為假命題,所以“?a∈R,|a-1|=1-a”為假命題.(3)寫出“?a∈R,q(a)”,并判斷它是不是真命題.【解析】(3)?a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(1)為真命題,所以“?a∈R,|a-1|=1-a”為真命題.【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)(多選)下列命題中,是存在量詞命題且是真命題的是 ()A.?x∈R,|x|≤0B.存在x∈R,使得x2+x+1=0C.至少有一個(gè)無理數(shù)x,使得x3是有理數(shù)D.有的有理數(shù)沒有倒數(shù)【解析】選ACD.對(duì)于A.命題是存在量詞命題,所以?x=0,使|x|=0,所以A是真命題,故A正確;對(duì)于B.x2+x+1=0,Δ=-3<0,方程無解,所以B是假命題,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C.命題是存在量詞命題,?x=33,使得(33)對(duì)于D.有理數(shù)0沒有倒數(shù),故D正確.17.(5分)能夠說明“存在不相等的實(shí)數(shù)a,b,使得a2-ab+b=0”是真命題的一組有序數(shù)對(duì)(a,b)為.

【解析】由a2-ab+b=0,得ab-b=a2,即b(a-1)=a2,則b=a2a-1當(dāng)a=2時(shí),b=4,故能夠說明“存在不相等的實(shí)數(shù)a,b,使得a2-ab+b=0”是真命題.答案:(2,4)(答案不唯一)二集合的表示(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)下列命題中正確的是 ()A.集合{x∈N|x2=1}中有兩個(gè)元素B.集合{0}中沒有元素C.集合{x|x<23}可以用列舉法表示D.{1,2}與{(1,2)}不是相等集合【解析】選D.{x∈N|x2=1}={1},只有一個(gè)元素;集合{0}是單元素集,有一個(gè)元素,這個(gè)元素是0;{x|x<23}表示小于23的所有實(shí)數(shù),不能用列舉法表示;集合{1,2}是數(shù)集,{(1,2)}是點(diǎn)集,不相等.2.(5分)方程x2-4x-5=0的解集用列舉法表示為 ()A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5}C.{(-1,5)} D.{-1,5}【解析】選D.解x2-4x-5=0可得x=-1或5,用列舉法表示為{-1,5}.3.(5分)對(duì)集合1,12,1A.{x|x=1n,n∈Z,且n<5B.{x|x=1n,n∈Z,且n≤5C.{x|x=1n,n∈N*,且n<5D.{x|x=1n,n∈N*,且n≤5【解析】選D.A,B中x可以表示負(fù)數(shù),C中沒有元素15【補(bǔ)償訓(xùn)練】集合{-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}用描述法可表示為 ()A.{-1≤x≤8}B.{x|-1≤x≤8}C.{x∈Z|-1≤x≤8}D.{x∈N|-1≤x≤8}【解析】選C.觀察可知集合中的元素是從-1到8的連續(xù)整數(shù),所以可以表示為{x∈Z|-1≤x≤8}.4.(5分)若1∈{x+2,x2},則實(shí)數(shù)x的值為 ()A.-1 B.1C.1或-1 D.1或3【解析】選B.由1∈{x+2,x2},可得x2=1或x+2=1,當(dāng)x2=1時(shí),x=±1.當(dāng)x=1時(shí),x+2=3,滿足要求;當(dāng)x=-1時(shí),-1+2=1,不滿足元素的互異性,舍去.當(dāng)x+2=1時(shí),x=-1,舍去.所以x=1.5.(5分)(多選)已知集合A={x∈N|x<6},則下列關(guān)系式成立的是 ()A.0∈A B.1.5?AC.-1?A D.6∈A【解析】選ABC.因?yàn)锳={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5},所以6?A,故D不成立,其余都成立.6.(5分)(多選)若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)k可以為()A.-2 B.-1 C.0 D.1【解析】選CD.當(dāng)k=0時(shí),4x+4=0,即x=-1,A={-1},成立;當(dāng)k≠0時(shí),Δ=16-4·k·4=0,解得k=1,A={x|x2+4x+4=0}={-2},成立.7.(5分)由大于-1小于5的自然數(shù)組成的集合用列舉法表示為,用描述法表示為.

【解析】大于-1小于5的自然數(shù)有0,1,2,3,4,故用列舉法表示集合為{0,1,2,3,4},用描述法表示可用x表示代表元素,其滿足的條件是x∈N且-1<x<5,所以集合表示為{x∈N|-1<x<5}.答案:{0,1,2,3,4}{x∈N|-1<x<5}8.(5分)(2024·西安高一檢測)設(shè)-5∈{x|x2-ax-5=0},則集合{x|x2+ax+3=0}=.

【解析】由題意知-5是方程x2-ax-5=0的一個(gè)根,所以(-5)2+5a-5=0,得a=-4,所以方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以{x|x2-4x+3=0}={1,3}.答案:{1,3}9.(5分)用列舉法表示集合D={(x,y),x∈N,y∈N|y=-x2+8}為.

【解析】由已知得集合D為點(diǎn)集,結(jié)合元素的條件可知答案只有三組,列舉可得答案.答案:{(0,8),(1,7),(2,4)}10.(10分)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)“Welcome”中的所有字母構(gòu)成的集合;【解析】(1)由于“Welcome”中包含的不同字母有W,e,l,c,o,m,共6個(gè)元素,因此可以用列舉法表示為{W,e,l,c,o,m}.(2)大于1且小于8的有理數(shù);【解析】(2)大于1且小于8的有理數(shù)有無數(shù)個(gè),用描述法表示為{x∈Q|1<x<8}.(3)由|a|a+b|b|(a【解析】(3)設(shè)x=|a|a+b|b|,當(dāng)a>0,b>0時(shí),x=2;當(dāng)a<0,b<0時(shí),x=-2;當(dāng)a(4)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合.【解析】(4)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的共同特征是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)坐標(biāo)為0,故集合為{(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)集合{(x,y)|y=2x-1}表示 ()A.方程y=2x-1B.點(diǎn)(x,y)C.平面直角坐標(biāo)系中的所有點(diǎn)組成的集合D.一次函數(shù)y=2x-1圖象上的所有點(diǎn)組成的集合【解析】選D.本題中的集合是點(diǎn)集,其表示一次函數(shù)y=2x-1圖象上的所有點(diǎn)組成的集合.12.(5分)(多選)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,則下列判斷正確的是 ()A.x1·x2∈A B.x2·x3∈BC.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A【解析】選ABC.因?yàn)榧螦表示奇數(shù)集,集合B表示偶數(shù)集,所以x1,x2是奇數(shù),x3是偶數(shù),所以x1+x2+x3為偶數(shù),即D是錯(cuò)誤的.13.(5分)已知集合A={x|2x+a>0},且1?A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解析】因?yàn)??{x|2x+a>0},所以2×1+a≤0,即a≤-2.答案:{a|a≤-2}【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知集合A={a+3,(a+1)2,a2+2a+2},若1∈A,則實(shí)數(shù)a的值為.

【解析】①若a+3=1,則a=-2,此時(shí)A={1,1,2},不符合集合中元素的互異性,舍去.②若(a+1)2=1,則a=0或a=-2.當(dāng)a=0時(shí),A={3,1,2},滿足題意;當(dāng)a=-2時(shí),由①知不符合條件,故舍去.③若a2+2a+2=1,則a=-1,此時(shí)A={2,0,1},滿足題意.綜上所述,實(shí)數(shù)a的值為-1或0.答案:-1或014.(10分)設(shè)集合B={x∈N|62+x∈N(1)試判斷元素1和2與集合B的關(guān)系;【解析】(1)當(dāng)x=1時(shí),62+1=2∈當(dāng)x=2時(shí),62+2=32所以1∈B,2?B.(2)用列舉法表示集合B.【解析】(2)因?yàn)?2+x∈N,x所以2+x只能取2,3,6,所以x只能取0,1,4,所以B