高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)專(zhuān)題突破課三　利用基本不等式求最值含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)專(zhuān)題突破課三利用基本不等式求最值含答案專(zhuān)題突破課三利用基本不等式求最值——寸轄制輪尋專(zhuān)題,綱舉目張謀突破利用基本不等式求最值問(wèn)題是本章的難點(diǎn),也是高考的命題熱點(diǎn).解題方法多種多樣,靈活多變.常見(jiàn)以下四種方法:(1)“1”的整體代換;(2)借助基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系;(3)化歸消元;(4)構(gòu)造定值.現(xiàn)以同一道題目分別講解這四種方法.典例呈現(xiàn)(一題多解)已知正數(shù)a,b滿足1a+1b=3,求a+b想算思“1”的代換把13a+13b作為一個(gè)整體和a+b是如何構(gòu)造出基本不等式的應(yīng)用原型的?構(gòu)造不等關(guān)系條件變形為a+b=3ab,消ab化歸消元消去一個(gè)變量,轉(zhuǎn)化為關(guān)于同一變量的代數(shù)式構(gòu)造定值通過(guò)條件式構(gòu)造新定值【嘗試解答】方法一:“1”的代換【解析】由1a+1b=3得13所以a+b=(a+b)(13a+13b)=23+a3b+b當(dāng)且僅當(dāng)a3b=b3a,即a=b所以a+b的最小值為43【總結(jié)升華】常值代換法的關(guān)注點(diǎn)(1)題目原型:條件式可化為ax+by=1(或cx+dy=1)的形式,求cx+dy(或ax+by)的最小值;(2)求解原理:(ax+by)(=ac+bd+bcyx+adxy≥【即學(xué)即練】已知x,y是正實(shí)數(shù),且x+y=4,求1x+3y【解析】因?yàn)閤,y是正實(shí)數(shù),x+y=4,所以1x+3y=(1x+3y)·x+y4=14(4+當(dāng)且僅當(dāng)yx=3xy,即x=2×(3-1),y=2×(3-3)時(shí)等號(hào)成立.故1x+方法二:借助基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系【解析】由1a+1b=3得a+b由ab≤a+得ab≤(a所以a+b=3ab≤34(a+b)2則4(a+b)≤3(a+b)2,所以a+b≥43當(dāng)且僅當(dāng)a=b,1a+1所以a+b的最小值為43【總結(jié)升華】基本不等式的實(shí)質(zhì)是描述a+b與ab的關(guān)系,解題時(shí)根據(jù)需要消去其一,便可構(gòu)造新不等式.【即學(xué)即練】設(shè)a>0,b>0,若ab=a+b+3,求ab的最小值.【解析】因?yàn)閍>0,b>0,則ab>0,所以ab=a+b+3≥2ab+3,即ab≥2ab+3,則ab-2ab-3≥0,所以(ab+1)(ab-3)≥0,解得ab≥3,即ab≥9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào),所以ab的最小值為9.方法三:化歸消元:二元轉(zhuǎn)化為一元【解析】由1a+1b=3得a+b=3ab,所以b=由于a>0,b>0,可得a>13,則3a-1>0所以a+b=a+a3a-1=a=13(3a+13a-1+1)=1≥13(2(3a當(dāng)且僅當(dāng)3a-1=13a-1,即a所以a+b的最小值為43【總結(jié)升華】利用條件式消去一個(gè)變量,轉(zhuǎn)化為關(guān)于另一個(gè)變量的代數(shù)式,借助基本不等式求解,如果等號(hào)不成立,可運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題.【即學(xué)即練】若x2+2xy=4,且x,y∈[0,+∞),則x+y的最小值為_(kāi)______.

答案:2【解析】由題意得y=4-x22x=2x-x2,所以x+y=x+2x-x2=x2+2x≥2x2方法四:構(gòu)造定值【解析】因?yàn)閍>0,b>0,且1a+1b所以3a>1,且3b>1.由1a+1b=3,得a+b=3所以(3a-1)(3b-1)=1(定值),所以(3a-1)+(3b-1)≥2(3a所以3a+3b≥4,則a+b≥43,當(dāng)且僅當(dāng)3a-1=3b-1=1,即a=b=2所以a+b的最小值為43【總結(jié)升華】構(gòu)造定值的關(guān)鍵在于對(duì)條件式的熟練變形,既要產(chǎn)生定值,又要能求最值.【即學(xué)即練】若正數(shù)a,b滿足a>1,b>1,且a+b=3,則1a-1+4A.4 B.6 C.9 D.16【解析】選C.由a+b=3,可得a-1+b-1=1,a-1>0,b-1>0,所以1a-1+4b-1=(1a-1+4b-1)(a-1+b-1)=5+b-1a-1+專(zhuān)題突破課四求函數(shù)解析式的方法——寸轄制輪尋專(zhuān)題,綱舉目張謀突破解析法是函數(shù)最主要的表示法,求函數(shù)的解析式是函數(shù)知識(shí)的命題熱點(diǎn).結(jié)合所給條件,靈活選擇求解方法是解題關(guān)鍵.常見(jiàn)以下三種方法:(1)待定系數(shù)法;(2)換元法;(3)方程組法.方法一待定系數(shù)法【例1】已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù),且滿足f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6,則f(x)=2x2-x+1.

【解析】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6,即a(2x+1)2+b(2x+1)+c+a(2x-1)2+b(2x-1)+c=16x2-4x+6,可得8a=164則f(x)=2x2-x+1.【總結(jié)升華】關(guān)于待定系數(shù)法求解析式如果已知函數(shù)的類(lèi)型,則先設(shè)出函數(shù)的解析式,再確定系數(shù)即可.除了一次函數(shù)、反比例函數(shù)外,注意一元二次函數(shù)的以下幾種形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c;(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k;(3)兩點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2).其中a≠0,頂點(diǎn)為(h,k),根為x1,x2.【即學(xué)即練】已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),若f(f(x))=4x+8,則f(x)=2x+83或-2x-8【解析】設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.又因?yàn)閒(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8,即a2=4ab+b所以f(x)=2x+83或f(x)=-2x-8方法二換元法(配湊法)【例2】已知f(x+1)=x+2x,求f(x).【解析】方法一(換元法):令t=x+1,則x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1).方法二(配湊法):f(x+1)=x+2x=(x+1)2-1.因?yàn)閤+1≥1,所以f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1).【總結(jié)升華】已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式的方法(1)配湊法:對(duì)f(g(x))的解析式進(jìn)行配湊變形,使它能用g(x)表示出來(lái),再用x代替兩邊所有的“g(x)”即可.(2)換元法:對(duì)于形如f(g(x))的解析式求f(x),設(shè)t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.【即學(xué)即練】已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).【解析】方法一(配湊法):因?yàn)閒(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,所以f(x)=x2-5x+6.方法二(換元法):令t=x+1,則x=t-1,所以f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,即f(x)=x2-5x+6.方法三方程組法(或消去法)【例3】已知f(x)+2f(1x)=x(x≠0),求f(x)【解析】因?yàn)閒(x)+2f(1x)=x,用1x代替x得f(1x)+2f(x)=1由①②消去f(1x)得f(x)=23x-x所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=23x-x3(【總結(jié)升華】解方程組法求解析式已知關(guān)于f(x)與f(1x)或f(-x)的解析式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成