2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征練習(xí)含解析新人教A版必修3

PAGE1-第15課時(shí)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征學(xué)問(wèn)點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念及簡(jiǎn)潔應(yīng)用1．下列關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說(shuō)法中正確的一項(xiàng)是()A．中位數(shù)可以精確地反映出總體的狀況B．平均數(shù)可以精確地反映出總體的狀況C．眾數(shù)可以精確地反映出總體的狀況D．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能精確地反映出總體的狀況答案D解析依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義可知平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能精確地反映出總體的狀況．2．一個(gè)樣本的容量為60，分成5組，已知第一組、第三組的頻數(shù)分別是9、10，其次、五組的頻率都為eq\f(1,5)，則該樣本的中位數(shù)在()A．其次組B．第三組C．第四組D．第五組答案B解析其次組的頻數(shù)為60×eq\f(1,5)＝12，∵9＋12＝21<30，9＋12＋10＝31>30，∴中位數(shù)在第三組．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義3．下列說(shuō)法正確的是()A．在兩組數(shù)據(jù)中，平均值較大的一組方差較大B．平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差則反映數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小C．方差的求法是求出各個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方后再求和D．在記錄兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中，方差大說(shuō)明射擊水平穩(wěn)定答案B解析本題主要考查平均數(shù)、方差的性質(zhì)，平均數(shù)表示樣本的集中趨勢(shì)，平均值的大小并不能說(shuō)明該組數(shù)據(jù)的方差的大小，所以A錯(cuò)誤；方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，所以C錯(cuò)誤；方差大說(shuō)明射擊水平不穩(wěn)定，所以D錯(cuò)誤，故選B．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三標(biāo)準(zhǔn)差、方差的應(yīng)用4．在某項(xiàng)體育競(jìng)賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：90899095939493去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A．92，2B．92，2．8C．93，2D．93，2．8答案B解析去掉一個(gè)最高分95與一個(gè)最低分89后，所得的5個(gè)數(shù)分別為90，90，93，94，93，所以eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝eq\f(460,5)＝92，s2＝eq\f(2×90－922＋2×93－922＋94－922,5)＝eq\f(14,5)＝2．8，故選B．5．已知母雞產(chǎn)蛋的最佳溫度在10℃左右，下面是在甲、乙兩地六個(gè)時(shí)刻測(cè)得的溫度，你認(rèn)為甲、乙兩地哪個(gè)地方更適合母雞產(chǎn)蛋？解①eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4．②極差：甲地溫度極差＝15－(－5)＝20；乙地溫度極差＝10－0＝10．③標(biāo)準(zhǔn)差：s甲＝eq\r(\f(1,6)×[－5－42＋…＋－4－42＋－3－42])≈8．4；s乙＝eq\r(\f(1,6)×[1－42＋…＋2－42＋0－42])≈3．5．明顯兩地的平均溫度相等，乙地溫度的極差、標(biāo)準(zhǔn)差較小，說(shuō)明白乙地溫度波動(dòng)較?。虼?，乙地比甲地更適合母雞產(chǎn)蛋．易錯(cuò)點(diǎn)一運(yùn)用數(shù)字特征作評(píng)價(jià)時(shí)考慮不周6．一次數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)競(jìng)賽中，兩組學(xué)生成果如下：經(jīng)計(jì)算，已知兩個(gè)組的平均分都是80分，請(qǐng)依據(jù)所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)，進(jìn)一步推斷這次競(jìng)賽中哪個(gè)組更優(yōu)秀，并說(shuō)明理由．易錯(cuò)分析對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的時(shí)候，應(yīng)從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等多個(gè)角度進(jìn)行推斷．否則評(píng)價(jià)易出現(xiàn)偏差．正解(1)甲組成果的眾數(shù)為90分，乙組成果的眾數(shù)為70分，從成果的眾數(shù)這一角度看，甲組成果好些．(2)甲、乙兩組成果的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成果在80分以上(含80分)的有33人，乙組成果在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成果總體較好．(3)從成果統(tǒng)計(jì)表看，甲組成果大于或等于90分的有20人，乙組成果大于或等于90分的有24人，所以乙組成果在高分段的人數(shù)多．同時(shí)，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度看，乙組成果較好．易錯(cuò)點(diǎn)二忽視方差的統(tǒng)計(jì)意義導(dǎo)致錯(cuò)誤作答7．甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/km2)：品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9．89．910．11010．2乙9．410．310．89．79．8若某村要從中引進(jìn)一種冬小麥大量種植，給出你的建議．易錯(cuò)分析由于忽視了比較兩種小麥產(chǎn)量的穩(wěn)定性而致誤．正解由題意得eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(9．8＋9．9＋10．1＋10＋10．2)＝10，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(9．4＋10．3＋10．8＋9．7＋9．8)＝10．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9．8－10)2＋(9．9－10)2＋(10．1－10)2＋(10－10)2＋(10．2－10)2]＝0．02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9．4－10)2＋(10．3－10)2＋(10．8－10)2＋(9．7－10)2＋(9．8－10)2]＝0．244，甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10，且seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以產(chǎn)量比較穩(wěn)定的為甲種冬小麥，舉薦引進(jìn)甲種冬小麥大量種植．一、選擇題1．為主動(dòng)提倡“學(xué)生每天熬煉一小時(shí)”的活動(dòng)，某學(xué)校舉辦了一次以班級(jí)為單位的廣播操競(jìng)賽，9位評(píng)委給高三(1)班打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，統(tǒng)計(jì)員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91；復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)覺(jué)有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無(wú)法看清．若記分員計(jì)算無(wú)誤，則數(shù)字x應(yīng)當(dāng)是()A．2B．3C．4D．5答案A解析假設(shè)94分是最高分，由題意知記分員在去掉一個(gè)最高分94和一個(gè)最低分87后，余下的7個(gè)數(shù)字的平均數(shù)是91，即eq\f(89＋88＋92＋90＋x＋93＋92＋91,7)＝91，∴635＋x＝91×7＝637，∴x＝2．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．故選A．2．在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：2，4，4，6，6，6，8，8，8，9．若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征相同的是()A．眾數(shù)B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．標(biāo)準(zhǔn)差答案D解析依據(jù)題意，B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得，則平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都增加2，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差公式可知，標(biāo)準(zhǔn)差也不變．故選D．3．甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好小組各有5名同學(xué)，在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，用如圖所示的莖葉圖統(tǒng)計(jì)出其成果．若甲、乙小組的平均成果分別是eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，則下列結(jié)論正確的是()A．eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，甲比乙成果穩(wěn)定B．eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，乙比甲成果穩(wěn)定C．eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，甲比乙成果穩(wěn)定D．eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，乙比甲成果穩(wěn)定答案A解析依據(jù)莖葉圖可知，甲組5名同學(xué)的成果分別是88，89，90，91，92，乙組5名同學(xué)的成果分別是88，83，84，89，91．故eq\x\to(x)甲＝90，eq\x\to(x)乙＝87，即eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙；seq\o\al(2,甲)＝2，seq\o\al(2,乙)＝9．2，即seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲比乙成果穩(wěn)定．4．為了普及環(huán)保學(xué)問(wèn)，增加環(huán)保意識(shí)，某高校隨機(jī)抽取30名學(xué)生參與環(huán)保學(xué)問(wèn)測(cè)試，得分(非常制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為eq\x\to(x)，則()A．me＝m0＝eq\x\to(x)B．me＝m0＜eq\x\to(x)C．me＜m0＜eq\x\to(x)D．m0＜me＜eq\x\to(x)答案D解析由題目所給的統(tǒng)計(jì)圖可知，30個(gè)數(shù)據(jù)按大小依次排列好后，中間兩個(gè)數(shù)為5，6，故中位數(shù)為me＝eq\f(5＋6,2)＝5．5．又眾數(shù)為m0＝5，平均值eq\x\to(x)＝eq\f(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2,30)＝eq\f(179,30)≈5．97，∴m0＜me＜eq\x\to(x)．5．已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x100是杭州市100個(gè)一般職工某月份的收入(均不超過(guò)2萬(wàn)元)，設(shè)這100個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，假如再加上某人這個(gè)月份的收入x101(約100萬(wàn)元)，則相對(duì)于x，y，z，這101個(gè)數(shù)據(jù)()A．平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變B．平均數(shù)變大，中位數(shù)可能不變，方差也不變C．平均數(shù)變大，中位數(shù)肯定變大，方差可能不變D．平均數(shù)變大，中位數(shù)可能不變，方差變大答案D解析因?yàn)閿?shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x100是杭州市100個(gè)一般職工2024年10月份的收入，而x101大于x1，x2，x3，…，x100許多，所以這101個(gè)數(shù)據(jù)中，平均數(shù)變大，但中位數(shù)可能不變，也可能變大，由于數(shù)據(jù)的集中程度受到x101比較大的影響，變得更加離散，所以方差變大．故選D．二、填空題6．樣本a1，a2，a3，…，a10的平均數(shù)為12，樣本b1，b2，…，b8的平均數(shù)為5，則樣本a1，b1，a2，b2，…，a8，b8，a9，a10的平均數(shù)為_(kāi)_______．答案eq\f(80,9)解析由題知eq\x\to(a)＝12，eq\x\to(b)＝5，則新樣本的平均數(shù)為eq\f(12×10＋5×8,10＋8)＝eq\f(80,9)．7．已知一組樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差s＝8．5，則另一組樣本3x1＋5，3x2＋5，…，3xn＋5的標(biāo)準(zhǔn)差s′＝________．答案25．5解析s′＝3s＝25．5．三、解答題8．某工廠有工人1000名，其中250名工人參與過(guò)短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參與過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱為B類工人)．現(xiàn)用分層抽樣的方法(按A類、B類分兩層)從該工廠的工人中共抽查100名，調(diào)查他們的生產(chǎn)實(shí)力(此處生產(chǎn)實(shí)力指一天加工的零件數(shù))．(1)A類工人和B類工人應(yīng)分別抽查多少名？(2)A類工人的抽查結(jié)果和B類工人的抽查結(jié)果如下表所示：A類工人B類工人①先確定x，y，再畫(huà)出頻率分布直方圖．就生產(chǎn)實(shí)力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更?。?不用計(jì)算，可通過(guò)視察直方圖干脆回答結(jié)論)②分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)實(shí)力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)實(shí)力的平均數(shù)．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)解(1)由題意可知應(yīng)從A類工人中抽查25名，B類工人中抽查75名．(2)①由(1)可知4＋8＋x＋5＋3＝25，6＋y＋36＋18＝75，得x＝5，y＝15．頻率分布直方圖如下圖所示．從直方圖可以推斷：B類工人中個(gè)體間的差異程度更?。趀q\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(4,25)×105＋eq\f(8,25)×115＋eq\f(5,25)×125＋eq\f(5,