山東省臨沂市2025屆高三2月一模考試數(shù)學(xué)試卷(卷后帶答案解析)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)山東省臨沂市2025屆高三2月一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．（

）A． B．C． D．2．已知集合.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．4．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離5．在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A． B． C． D．6．的展開(kāi)式中的一項(xiàng)是（

）A． B． C． D．7．已知，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足時(shí)，的最小值為（

）A．49 B．50 C．99 D．100二、多選題9．甲，乙兩個(gè)體育社團(tuán)小組成員的某次立定跳遠(yuǎn)成績(jī)（單位：厘米）如下：甲組：，，，，，，，，，，，乙組：，，，，，，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是252B．乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是246C．從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)均在250厘米以上的概率為D．甲組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)都有提高10．圓柱的軸截面是正方形，分別是上、下底面的圓心，是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線，若圓柱的側(cè)面積為，則（

）A．圓柱的體積是B．圓柱內(nèi)切球的表面積是C．D．點(diǎn)到直線距離的最大值為11．將曲線經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)可得到雙曲線，若直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．設(shè)隨機(jī)變量，若，則.13．2025年春晚，劉謙表演了一個(gè)現(xiàn)場(chǎng)互動(dòng)魔術(shù)，道具只有三個(gè)：勺子、筷子和杯子.劉謙讓觀眾從左到右隨便擺放這三個(gè)道具，分為三個(gè)位置：左位、中位和右位.假若按照魔術(shù)規(guī)則只進(jìn)行前兩步：第一步，筷子跟它左邊的東西互換位置，如果筷子已經(jīng)在最左邊，那么就不需要移動(dòng)；第二步，杯子跟它右邊的東西互換位置，如果杯子已經(jīng)在最右邊，就不需要移動(dòng).完成這兩步后，在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的概率是.14．點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在拋物線上，記兩點(diǎn)間的最小距離為，若，則.四、解答題15．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若，求.16．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.17．《教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)規(guī)劃綱要（年）》中指出深入實(shí)施素質(zhì)教育，健全德智體美勞全面培養(yǎng)體系，加快補(bǔ)齊體育、美育、勞動(dòng)教育短板，某中學(xué)為了解學(xué)生每天參加綜合體育活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名男生和100名女生，統(tǒng)計(jì)他們周一到周五在校期間的運(yùn)動(dòng)步數(shù)，數(shù)據(jù)如下表所示：運(yùn)動(dòng)步數(shù)（萬(wàn)步）合計(jì)人數(shù)（男）1294100人數(shù)（女）1472100表中數(shù)據(jù)成等差數(shù)列；成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列.(1)若周一到周五在校期間的運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬(wàn)步視為體育鍛煉達(dá)標(biāo)，估計(jì)該中學(xué)男生體育鍛煉的達(dá)標(biāo)率；(2)為進(jìn)一步了解女生每天參加綜合體育活動(dòng)的情況，在步數(shù)位于兩組內(nèi)的女生中，采用等比例分層抽樣的方法抽取10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記步數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望.18．在中，，如圖將沿翻折至.

(1)證明：平面平面；(2)若二面角大小為.（i）求與平面所成角的正弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.19．已知橢圓的離心率為是的左、右焦點(diǎn)，且，直線過(guò)點(diǎn)與交于兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)若，求的方程；(3)若直線過(guò)點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，且的斜率乘積為分別是線段的中點(diǎn)，求面積的最大值.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《山東省臨沂市2025屆高三2月一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案ADBCBCCDBCDAC題號(hào)11答案BC1．A【分析】運(yùn)算復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A2．D【分析】由，可得，即可得解.【詳解】，因?yàn)?，所以，解得，所以的取值范圍?故選：D.3．B【分析】把直線方程化為斜截式，根據(jù)直線方向公式進(jìn)行判斷即可.【詳解】，所以該直線的一個(gè)方向向量為，因?yàn)?，所以向量與向量是共線向量，其他選項(xiàng)的向量與向量不是共線向量，故選：B4．C【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心距即可判斷.【詳解】圓的圓心，半徑，圓，即，圓心，半徑，則，所以兩圓外切.故選：C.5．B【分析】由題意，，根據(jù)點(diǎn)在上，即可列方程求解.【詳解】由題意點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又，所以，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得或（舍去）.故選：B.6．C【分析】由二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)即可驗(yàn)算.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，對(duì)比選項(xiàng)依次代入得對(duì)應(yīng)項(xiàng)，的展開(kāi)式中的項(xiàng)可以是.故選：C.7．C【分析】綜合利用正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性分析判定.【詳解】因?yàn)槭莾?nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，并且是奇函數(shù)，所以,所以“”是“”充分必要條件，故選：C.8．D【分析】根據(jù)的關(guān)系求出的表達(dá)式，進(jìn)一步解不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，此時(shí)，也滿足該式，故，若，解得，故所求為100.故選：D.9．BCD【分析】對(duì)于A直接利用百分位數(shù)計(jì)算公式即可；對(duì)于B根據(jù)公式計(jì)算中位數(shù)和平均數(shù)；對(duì)于C根據(jù)古典概率公式計(jì)算即可；對(duì)于D，求出兩者平均數(shù)判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)，即253，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，甲組中跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上的有7人，乙組中跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上的有2人，所以從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)均在250厘米以上的概率為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，甲組的平均成績(jī)?yōu)槔迕祝医M的平均成績(jī)?yōu)槔迕?，所以將甲組中跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)?48厘米的成員調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)都有提高，故D正確.故選：BCD.10．AC【分析】根據(jù)圓柱體積公式、側(cè)面積公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、點(diǎn)到線距離公式逐一判斷即可.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，所以母線為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以.因?yàn)閳A柱的體積是，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)閳A柱的底面半徑為2，所以母線為4，所以圓柱內(nèi)切球的半徑為，所以圓柱內(nèi)切球的表面積是，因此選項(xiàng)B不正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，，，所以選項(xiàng)C正確；設(shè)，直線的單位方向向量為，所以點(diǎn)到直線距離為，由題意，所以當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求點(diǎn)到直線距離的最大值的關(guān)鍵是利用點(diǎn)到直線距離的向量公式寫(xiě)出表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.11．BC【分析】由雙曲線定義、對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)依次求得，進(jìn)一步只需聯(lián)立與即可判斷D.【詳解】對(duì)于BC，由題意將曲線夾在中間的兩條漸近線方程為，所以這兩條漸近線所形成的那個(gè)銳角的一半為，曲線的兩條漸近線的中間那條直線為，聯(lián)立以及，解得或，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，解得，故BC正確，對(duì)于A，若直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D，要求，由雙曲線的對(duì)稱性可知，只需聯(lián)立與，解得或，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意，，所以，解得.故答案為：.13．【分析】由條件概率知識(shí)即可求解.【詳解】我們不妨把勺子、筷子和杯子的第一個(gè)字的拼音的第一個(gè)小寫(xiě)英文字母來(lái)代替這三個(gè)東西，例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，一開(kāi)始的狀態(tài)有六種情況，我們用表示一次調(diào)換，那么根據(jù)題意有，第一種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，第二種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，第三種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，第四種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，第五種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，（本質(zhì)上沒(méi)有調(diào)換），第六種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，從以上可以看出來(lái)，末狀態(tài)杯子在右邊對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)有：第一、二、三、五、六種初始狀態(tài)共5種情況，在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的末狀態(tài)只能是（對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)是第二種初始狀態(tài)），故所求概率為.故答案為：.14．【分析】本題可先求出、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得出的表達(dá)式，然后求出，最后根據(jù)的表達(dá)式計(jì)算的值.【詳解】已知點(diǎn)在直線上，則將點(diǎn)代入直線方程可得

①.點(diǎn)在拋物線上，則將點(diǎn)代入拋物線方程可得

②.因?yàn)?、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以.由①可得，由②可得，則.令，則，將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式：，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，.因?yàn)椋?，則.，可以發(fā)現(xiàn)上式中相鄰兩項(xiàng)的分子分母可以約分，約分后可得：.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離最值的問(wèn)題，先根據(jù)點(diǎn)所在的曲線方程得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，再將距離表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)（如二次函數(shù)的頂點(diǎn)式）來(lái)求解最值.在處理連乘形式的式子時(shí)，要善于觀察式子中各項(xiàng)的規(guī)律，通過(guò)約分等方法簡(jiǎn)化計(jì)算.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得，由此即可得解；（2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解.【詳解】（1）由正弦定理邊化角可得，即，所以，因?yàn)?，所以，又，解得；?）若，則，這里是三角形外接圓的半徑，解得，由余弦定理可得.16．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】（1）由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）令，則，令，則，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為.17．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）需要根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出男生運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬(wàn)步的人數(shù)，進(jìn)而計(jì)算達(dá)標(biāo)率；（2）先根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求出相關(guān)人數(shù)，再利用分層抽樣確定抽取人數(shù)，最后通過(guò)古典概型求出隨機(jī)變量的分布列和期望.【詳解】（1）已知成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則.又因，即.由等差數(shù)列性質(zhì)，可得.聯(lián)立方程組，解得，，.男生運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬(wàn)步（即、、這三組）的人數(shù)為人.所以男生體育鍛煉的達(dá)標(biāo)率為.（2）因?yàn)槌晒葹檎麛?shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為（），且，即.所以，即.因?yàn)?，?dāng)，舍去；當(dāng)滿足題意；當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.步數(shù)位于內(nèi)的女生人數(shù)為人，步數(shù)位于內(nèi)的女生人數(shù)為人.采用等比例分層抽樣抽取10人，則從步數(shù)位于內(nèi)抽取人，從步數(shù)位于內(nèi)抽取人.隨機(jī)變量表示步數(shù)在內(nèi)的人數(shù)，的可能取值為，，.；；；所以的分布列為：期望.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）（ii）存在點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)滿足題意【分析】（1）只需證明平面，注意到，故只需證明平面，由即可證明；（2）（i）由題意得即二面角的平面角，結(jié)合解三角形知識(shí)求解即可；（ii）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)，將平面與平面的法向量表示出來(lái)，結(jié)合平面與平面所成角的余弦值為列出關(guān)于的方程，判斷該方程的解的情況即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）（i）在四棱錐中，由（1）知即二面角的平面角，故，因?yàn)?，所以，從而，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，又因?yàn)椋傻闷矫?，與平面所成角即為.在中，由余弦定理可得：，由等面積法，，所以與平面所成角的正弦值為；（ii）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)，可得，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，，即，令，可得，，即，令，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，，解得或，所以存在點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)滿足題意.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩異面直線所成的角為，；②直線與平面所成的角為，；③二面角的大小為，.19．(1)(2)，或；(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓焦距公式。橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線的斜率是否為零，結(jié)合橢圓弦長(zhǎng)公式分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形的特點(diǎn)、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?/p>